Funkcje wielu zmiennych
Całki podwójne
Przypomnienie: definicja całki oznaczonej pojedynczej
𝑃𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖)∙∆𝑥𝑖
𝑖=1 𝑛
𝑃𝑖 =
𝑖=1 𝑛
𝑓(𝑥𝑖)∙∆𝑥𝑖
𝑛 ∞lim
𝑖=1 𝑛
𝑃𝑖 = lim
𝑛 ∞𝑖=1 𝑛
𝑓 𝑥𝑖 ∙∆𝑥𝑖=
𝑎 𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ∈ 𝑅
𝑛 ∞ lim
𝑖=1 𝑛
𝑓 𝑥 𝑖 ∙∆𝑥 𝑖 =
𝑎 𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
granica suma funkcja różniczka podcałkowa
granica dolna granica górna
Całka podwójna - definicja
Wniosek: całka podwójna to objętość „krzywopowierzchniowego” prostopadłościanu
Całka podwójna po prostokącie
Zbiór normalny
Całkowanie po zbiorze normalnym
Całka podwójna po trójkącie
Całka podwójna po ćwiartce koła
Rozbicie dziedziny na dwa rozłączne podzbiory.
Współrzędne biegunowe
𝑥 = 𝜌 cos 𝜑 𝑦 = 𝜌 sin(𝜑)
Zamiana zmiennych w całce podwójnej.
D – opis zbioru w układzie kartezjańskim
∆ - opis zbioru we współrzędnych biegunowych
𝐷 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
∆ 𝑓(𝜌, 𝜑) ∙ 𝐽 ∙ 𝑑𝜌𝑑𝜑 =
∆ 𝑓(𝜌, 𝜑) ∙ 𝜌 ∙ 𝑑𝜌𝑑𝜑
𝑥 = 𝜌cos(𝜑) 𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛(𝜑)
Objętość bryły (we współrzędnych kartezjańskich)
Objętość bryły (we współrzędnych biegunowych)
Zastosowania całek podwójnych
Oblicz pole powierzchni płata:
Środek ciężkości we współrzędnych biegunowych (środek ciężkości ćwiartki koła)
