POMIAR MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI STALI PRZEZ POMIAR WYDŁUŻENIA DRUTU

(1)

I PRACOWNIA FIZYCZNA 1

POMIAR MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI STALI PRZEZ POMIAR WYDŁUŻENIA DRUTU

I.

Cel ćwiczenia: zapoznanie z teorią odkształceń sprężystych ciał stałych oraz z prawem Ho- oke’a .Wyznaczanie modułu sprężystości (modułu Younga) metodą pomiaru wydłużenia.

II.

^Przyrządy:

mechaniczno-optyczny układ pomiarowy, śruba mikrometryczna, suwmiarka, miarka milimetrowa, obciążniki.

III.

Literatura: 1. J. L. Kacperski, „I Pracownia fizyczna”, 2. H. Szydłowski „Pracownia fizyczna”,

IV. Wprowadzenie

Ciała o strukturze krystalicznej mają odpowiednio uporządkowane i w określony sposób roz- mieszczone cząsteczki, jony lub atomy. Uporządkowanie to odpowiada stanowi równowagi czyli stanowi minimum energii potencjalnej. Wypadkowa wszystkich sił działających na dowolną czą- steczkę ciała ze strony otaczających ją cząstek równa jest zeru. Takiemu stanowi równowagi od- powiadają w układzie makroskopowym określone rozmiary geometryczne ciała (objętość, kształt).

Działanie sił zewnętrznych na ciało stałe może prowadzić do odkształcenia ciała stałego (deformacji). Odkształcenie ciała stałego jest to zmiana jego rozmiarów geometrycznych i kształtu.

Podczas odkształcenia następuje przemieszczenie się cząsteczek z początkowych położeń równo- wagi w nowe położenia. Prowadzi to do pojawienia się sił wzajemnego oddziaływania cząstecz- kowego. W ten sposób w odkształconym ciele pojawiają się wewnętrzne siły sprężyste.

Jeśli po usunięciu zewnętrznych sił odkształcających, odkształcenie znika, to takie odkształ- cenie nazywamy sprężystym. Takie odkształcenie jest odwracalne.

Odkształceniem niesprężystym, przy działaniu dostatecznie dużych sił zewnętrznych, towa- rzyszą nieodwracalne zmiany w budowie krystalicznej. W tym przypadku po usunięciu sił ze- wnętrznych ciało nie powraca do rozmiarów pierwotnych. Następuje trwałe odkształcenie pla- styczne.

Przy ustalonym odkształceniu sprężystym wypadkowa wewnętrznych sił sprężystych, powsta- jących w ciele, równoważy siły zewnętrzne działające na ciało. Dzięki temu można wyznaczyć wartość wewnętrznych sił sprężystych poprzez pomiar wartości sił zewnętrznych przyłożonych do ciała.

Wewnętrzne siły sprężyste charakteryzuje stosunek siły do powierzchni, na którą ta siła dzia- ła. Stosunek ten nazywany jest napięciem lub naprężeniem

p = S

F (1)

gdzie F – siła zewnętrzna, S − powierzchnia na którą ta siła działa.

Zależnie od tego w jakim kierunku działa siła w stosunku do badanej powierzchni rozróżnia się naprężenie normalne pn, gdy F ⊥ S i naprężenie styczne ps, gdy F || S.

Naprężenie normalne działa na ciało ściskająco lub rozciągająco.

(2)

Rys.1 Odkształcenie podłużne (naprężenie normalne): a) rozciąganie, b) ściskanie.

Punkt o współrzędnej x (rys.1a, b) na skutek rozciągania (ściskania) przesuwa się o ξ, nato- miast punkt o współrzędnych x + ∆x przesunie się o ξ + ∆ξ. Zatem odkształcenie w punkcie o współrzędnej x dla przypadku, który tu rozpatrujemy (ciała izotropowego, gdzie przesunięcie jest równolegle do działającej siły) jest definiowane jako:

ε = dx

dξ (2)

Dla ciał izotropowych wszystkie elementy ciała ulegają odkształceniu w ten sam sposób. Jest to odkształcenie jednorodne. W przypadku kiedy odkształcenie jest takie samo dla wszystkich ele- mentów ciała wzór (1) można zapisać w postaci:

ε = x

ξ (3)

Z doświadczenia wynika, że odkształcenie jest proporcjonalne do naprężenia, które je wywo- łało, a więc

ε = k p gdzie k nazywamy współczynnikiem sprężystości.

W konsekwencji p = ε

k 1 S

F= ⋅ = E ε (4)

E = k

1 nazywamy modułem sprężystości albo modułem Younga.

Moduł Younga ma wymiar naprężenia i wynosi N m^-2.

Wobec stałości współczynnika E naprężenie jest zgodnie z (4) proporcjonalne do odkształce- nia. Formuła ta stanowi treść prawa Hooke`a.

Wykorzystując wzory (3) i (4) mamy:

S F = E

x

ξ (5)

Dla pręta o długości l_o przesuniecie ξ odpowiada przyrostowi długości pręta o ∆l, czyli mamy:

ξξξξ

l_o ∆l

l_o+∆l

F

x

a)

ξξξξ

l_o−∆l

F

l_o ∆l

x

b)

(3)

S F = E

lo

∆l

(6) Prawo Hooke`a jest spełnione tylko dla naprężeń p < pp, gdzie pp jest granicą proporcjonal- ności . Po przekroczeniu tej granicy odkształcenie nie jest zgodne z prawem Hooke`a − proporcjo- nalność między naprężeniem i odkształceniem nie jest już zachowana, jednak po usunięciu działa- jącej siły ciało wraca do poprzedniej postaci. Odkształcenie jest więc w dalszym ciągu sprężyste.

Jeśli przekroczona zostanie granica sprężystości p_sp a naprężenie dalej rośnie, wówczas odkształ- cenie nie zanika po ustąpieniu siły. Jest to obszar odkształceń niesprężystych. Przy dalszym zwiększaniu naprężenia po przekroczeniu granicy wytrzymałości pw ciało ulega zniszczeniu (ze- rwaniu, rozkruszeniu). Ciała, które mają p_sp > p_p nazywamy ciałami plastycznymi (podlegają dzia- łaniu plastycznemu: kuciu, zginaniu, walcowaniu, rozciąganiu, tłoczeniu itp.), natomiast jeśli psp ≤ pp, to ciało nazywamy ciałem kruchym (żeliwo szkło, ceramika).

Rys.2 Zależność między naprężeniem i odkształceniem ε ciał stałych

W wyniku odkształceń sprężystych pod wpływem działania sił normalnych następuje zmiana wymiarów poprzecznych ∆z i ∆y badanego materiału (w przypadku pręta zmiana jego promienia).

Doświadczalnie można stwierdzić, że

∆ = z z

y

∆y

(dla ciał izotropowych) (7) a względne zwężenie jest proporcjonalne do względnego wydłużenia czyli

y

∆y = µ

x

∆x

Dla pręta względne zmiany promienia są proporcjonalne do względnego przyrostu długości

ro

∆r = µ

lo

∆l

(8) Współczynnik proporcjonalności µ nazywamy współczynnikiem Poissona. Jest to wielkość niemianowana.

Gdy w czasie deformacji nie zachodzi zmiana objętości, współczynnik Poissona ma wartość µ = 0,5. Dla większości materiałów przybiera wartość od 0,25 do 0,5.

p_sp pp

pw

εεεε p

(4)

V. Metoda pomiarów

Z zależności (6) wynika, że pomiędzy siłą F rozciągającą pręt i wydłużeniem ∆l istnieje zwią- zek liniowy:

∆l = b F (9)

gdzie b = l_o/E S.

Wyznaczenie współczynnika b daje możliwość obliczenia modułu sprężystości:

E = bS lo

(10)

VI. Układ pomiarowy

Rys.3 Układ do pomiaru współczynnika sprężystości metalu

Rys.4 Fragment układu pomiarowego obrazujący sposób obliczenia wydłużenia ∆l drutu Drut stalowy o promieniu r jest zamocowany na stałe z jednej strony i nawinięty na walec o promieniu R (rys.3 i rys.4). Długość początkową drutu mierzy się od punktu zamocowania do miejsca jego styczności z walcem (zaniedbujemy rozciąganie odcinka nawiniętego na walec). Na walcu znajduje się zwierciadełko Z. Na to zwierciadełko kierowana jest wiązka światła ze źródła S, która odbijając się w nim jest następnie obserwowana przez otwór w ruchomej przesłonie P. Po obciążeniu niezamocowanego końca drutu następuje jego wydłużenie, co powoduje obrót zwier- ciadełka. W konsekwencji następuje przesunięcie odbitej od zwierciadełka wiązki światła na odle- głość a.

Z rys.4 wynika:

∆l = (R+r) α (kąt α wyrażony jest w radianach) oraz

d

α

2α R+r

∆l S drut stalowy

przekrój walca

P

a

Z 2r

walec o promieniu. R zwierciadło

ruchoma przesłona

F = mg

(5)

d =

a tg2α

gdzie a jest przesunięciem wiązki świetlnej, d odległością zwierciadełka od ruchomej przesłony.

Kąt α wynosi zatem

α = 2 1arc tg

d a

a co za tym idzie

∆l = 2

1(R+r) arc tg d

a (11)

Bezpośrednio w doświadczeniu mierzy się zależność przesunięcia wiązki światła od przyłożonej siły do drutu stalowego: a = a(F). Wykorzystując wzór (11), można zbadać zależność ∆l = ∆l(F).

Biorąc pod uwagę równanie (9) oczekiwany jest związek liniowy.

VII. Pomiary

1. Obciążyć drut jednym krążkiem metalowym, aby wyeliminować błędy wynikające z niewiel- kich skrzywień drutu.

2. Zmierzyć pięciokrotnie długość drutu l^o, średnicę drutu 2r (na próbce drutu), średnicę walca 2R, odległość d przesłony od zwierciadła. Pomiary zanotować w tabeli 1.

Tab.1 Lp. l_o

[m]

2r [m]

r [m]

2R [m]

R [m]

d [m]

3. Zwierciadełko ustawić w położeniu, w którym wiązka padająca i odbita są prostopadle do przysłony.

4. Zawiesić następny krążek na uchwycie. Następuje rozciągnięcie drutu z siłą F = mg (m jest masą krążka). Zmierzyć wartość a przesunięcia wiązki świetlnej.

5. Kontynuować pomiary dla zawieszonych 2, 3, 4 krążków (nie bierzemy pod uwagę „zerowe- go” obciążnika). Zmierzone wartości wpisać w tabelę 2.

Tabela 2

Lp. m

[kg]

F [N]

a [m]

∆l [m]

VIII. Opracowanie wyników

1. Wykorzystując tab.1 wyznaczyć wartości średniel_o,r,R,d.

Oszacować niepewności pomiarowe ∆l_o, ∆r, uwzględniając dokładność zastosowanych przy- rządów (miarka milimetrowa, śruba mikrometryczna). Pamiętać, że niepewność pomiaru promienia jest równa połowie niepewności wyznaczenia średnicy.

2. Na podstawie wzoru (11) wyznaczyć wydłużenie drutu ∆l i uzupełnić tabelę 2. Wykreślić za- leżność wydłużenia ∆l od przyłożonej siły: ∆l = ∆l(F).

(6)

3. Metodą najmniejszych kwadratów obliczyć współczynnik b nachylenia prostej (patrz wzór (9)) oraz jego niepewność ∆b lub znaleźć jego wartość graficznie i ocenić niepewność jego wyznaczenia.

4. Obliczyć przekrój drutu stalowego S = π r² oraz niepewność ∆S = 2πr∆r.

5. Wykorzystując wzór (10) obliczyć wartość modułu sprężystości E oraz jego niepewność ∆E.

Logarytmując wzór (10) a następnie różniczkując go, po przekształceniach otrzymuje się



 



 



 

 + ∆



 

 + ∆



 



±  ∆

=

∆ S

S b

E b E

o o

l l

6. Przeprowadzić dyskusję wyników.