Spis tre´sci

Spis tre´sci

Spis tre´sci

1 Wst˛ep 1

1.1 Wst˛ep . . . 1

1.2 Literatura . . . 1

2 Elementy rachunku prawdopodobie ´nstwa 2 2.1 Podstawy . . . 2

2.2 Prawdopodobie´nstwo warunkowe . . . 3

2.3 Prawdopodobie´nstwo całkowite . . . 3

2.4 Niezale˙zno´s´c zdarze´n . . . 5

3 Wnioskowanie statystyczne 6 4 Podstawowe modele statystyczne 7 4.1 Model dwumianowy . . . 7

4.2 Model gaussowski . . . 8

5 Estymacja 11 5.1 Estymatory punktowe . . . 11

5.2 Przedziały ufno´sci . . . 12

5.3 Przedział ufno´sci dla ´sredniej . . . 13

5.4 Przedział ufno´sci dla wariancji . . . 15

5.5 Przedział ufno´sci dla frakcji . . . 15

1 Wst˛ep

1.1 Wst˛ep

STATYSTYKA

nauka po´swi˛econa metodom badania (analizowania) zjawisk masowych; polega na systematyzowaniu obserwowanych cech ilo´sciowych i jako´sciowych oraz przed- stawianiu wyników w postaci zestawie´n tabelarycznych, wykresów, itp.; posłu- guje si˛e rachunkiem prawdopodobie´nstwa.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobie´nstwa; zajmuje si˛e badaniem zbiorów na podstawie znajomo´sci własno´sci ich cz˛e´sci.

1.2 Literatura

Literatura

1. Feller W., Wst˛ep do rachunku prawdopodobie´nstwa, T. 1. PWN, Warszawa 1966

2. Feller W., Wst˛ep do rachunku prawdopodobie´nstwa, T. 2. PWN, Warszawa 1969

3. Fisz M., Rachunek prawdopodobie´nstwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1958

4. Jasiulewicz H., Kordecki W., Rachunek prawdopodobie´nstwa i statystyka matematyczna, przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2002

5. Jakubowski J., Sztencel R., Wst˛ep do teorii prawdopodobie´nstwa, SCRIPT, Warszawa 2001

Literatura

6. Jakubowski J., Sztencel R., Rachunek prawdopodobie´nstwa dla (prawie) ka˙zdego,SCRIPT, Warszawa 2002

7. Krysicki W. (i inni), Rachunek prawdopodobie´nstwa i statystyka matema- tyczna w zadaniach, cz˛e´s´c I Rachunek prawdopodobie´nstwa,PWN 1995 8. Krzy´sko M., Wykłady z teorii prawdopodobie´nstwa, UAM, Pozna´n 1997 9. Niemiro W., Rachunek prawdopodobie´nstwa i statystyka matematyczna,

Szkoła Nauk ´Scisłych, Warszawa 1999

10. Pluci ´nska A., Pluci ´nski E., Probabilistyka, WNT, Warszawa 2000

2 Elementy rachunku prawdopodobie ´nstwa

2.1 Podstawy

Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych

Poj˛eciem pierwotnym w rachunku prawdopodobie´nstwa jest przestrze ´n zdarze ´n elementarnych Ω.

Zdarzenie losowe

Podzbiory zbioru Ω nazywamy zdarzeniami losowymi Prawdopodobie ´nstwo

Definicja

Dowoln ˛a funkcj˛e okre´slon ˛a na zdarzeniach losowych tak ˛a, ˙ze

• Dla ka˙zdego zdarzenia A zachodzi P (A) ≥ 0

• P (Ω) = 1

• Je´sli A i B s ˛a takimi zdarzeniami, ˙ze A ∩ B = ∅ dla i 6= j, to P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

2.2 Prawdopodobie ´nstwo warunkowe

Prawdopodobie ´nstwo warunkowe Definicja

Prawdopodobie´nstwem warunkowym zaj´scia zdarzenia A pod warunkiem zaj´scia zdarzenia B, gdzie P (B) > 0, nazywamy liczb˛e

P (A|B) = P (A ∩ B) P (B)

2.3 Prawdopodobie ´nstwo całkowite

Prawdopodobie ´nstwo całkowite Prawdopodobie ´nstwo całkowite

Je˙zeli B1, . . . , B_ns ˛a takimi zdarzeniami losowymi, ˙ze

• P (B_i) > 0 dla i = 1, . . . , n,

• B₁∪ · · · ∪ B_n= Ω,

• B_i∩ B_j dla i 6= j,

to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi

P (A) = P (A|B₁)P (B₁) + · · · + P (A|B_n)P (B_n)

Prawdopodobie ´nstwo całkowite - przykład Zadanie

Przedsi˛ebiorstwo zawarło umowy z zakładami Z1, Z2oraz Z3 na dostaw˛e podze- społów. Zakład Z₁ dostarcza 50%, zakład Z₂ dostarcza 35% natomiast zakład Z₃ dostarcza 15% potrzebnych podzespołów. Wiadomo, ˙ze 95% dostaw zakładu Z₁, 80% dostaw zakładu Z₂ oraz 85% dostaw zakładu Z3 odpowiada wymaganiom technicznym. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze jeden wylosowany podzespół odpowiada wymaganiom technicznym?

Prawdopodobie ´nstwo całkowite - przykład Rozwi ˛azanie

B₁ - zdarzenie polegaj ˛ace na wylosowaniu podzespołu wyprodukowanego w za- kładzie Z1.

B₂ - zdarzenie polegaj ˛ace na wylosowaniu podzespołu wyprodukowanego w zakładzie Z₂.

B₃ - zdarzenie polegaj ˛ace na wylosowaniu podzespołu wyprodukowanego w zakładzie Z3.

A - zdarzenie polegaj ˛ace na wylosowaniu podzespołu odpowiadaj ˛acemu wy- mogom technicznym.

Prawdopodobie ´nstwo całkowite - przykład Rozwi ˛azanie

P (A|B₁) = 0.95 P (B₁) = 0.50 P (A|B₂) = 0.80 P (B₂) = 0.35

P (A|B3) = 0.85 P (B3) = 0.15

P (A) = P (A|B₁)P (B₁) + P (A|B₂)P (B₂) + P (A|B₃)P (B₃)

= 0.8825

Prawdopodobie ´nstwo całkowite Wzór Bayesa

Je˙zeli B₁, . . . , B_ns ˛a takimi zdarzeniami losowymi, ˙ze

• P (B_i) > 0 dla i = 1, . . . , n,

• B₁∪ · · · ∪ B_n= Ω,

• B_i∩ B_j dla i 6= j,

oraz niech P (A) > 0. Wówczas dla dowolnego j ∈ {1, . . . , n} mamy P (B_j|A) = P (A|Bj)P (Bj)

P (A)

Prawdopodobie ´nstwo całkowite - przykład cd Zadanie

Do punktu serwisowego zgłasza si˛e klient z urz ˛adzeniem, w którym uszkodzony jest podzespół. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze producentem zepsutego pod- zespołu był zakład Z1?

Prawdopodobie ´nstwo całkowite - przykład cd Rozwi ˛azanie

P (B₁|A) = P (A|B1)P (B1)

P (A) = 0.5382

2.4 Niezale˙zno´s´c zdarze ´n

Niezale˙zno´s´c zdarze ´n Definicja

Zdarzenia A oraz B nazywamy niezale˙znymi, gdy P (B|A) = P (B), P (A) > 0.

Zdarzenia A oraz B s ˛a niezale˙zne, gdy

P (A ∩ B) = P (A)P (B)

3 Wnioskowanie statystyczne

Idea wnioskowania statystycznego

Poj˛ecia Populacja

Zbiór obiektów z wyró˙znion ˛a cech ˛a (cechami) Próba

Wybrana cz˛e´s´c populacji podlegaj ˛aca badaniu Cecha

Wielko´s´c losowa charakteryzuj ˛aca obiekty danej populacji

Poj˛ecia

Cecha jako´sciowa

Cecha przyjmuj ˛aca warto´sci nie b˛ed ˛ace liczbami (np. kolor, płe´c, smakowito´s´c) Cecha skokowa (dyskretna)

Cecha przyjmuj ˛aca pewne warto´sci liczbowe i nie przyjmuj ˛aca warto´sci po´sred- nich (np. liczba bakterii, liczba pracowników, liczba pasa˙zerów).

Cecha ci ˛agła

Cecha przyjmuj ˛aca warto´sci z pewnego przedziału liczbowego (np. wzrost, waga, plon)

4 Podstawowe modele statystyczne

4.1 Model dwumianowy

Do´swiadczenie Bernoulliego Okre´slenie

Wykonujemy dwuwynikowe do´swiadczenie. Wyniki nazywane s ˛a umownie suk- cesoraz pora˙zka. Prawdopodobie´nstwo sukcesu wynosi p (pora˙zki: 1 − p).

Zmienna losowa

Zmienn ˛a losow ˛a X jest uzyskanie sukcesu.

Schemat Bernoulliego Okre´slenie

Do´swiadczenie Bernoulliego wykonujemy n krotnie w sposób niezale˙zny. Zmienn ˛a losow ˛a X jest liczba sukcesów.

Rozkład dwumianowy

Zmienna losowa X ma rozkład B(n, p):

P_n,p{X = k} =n k



p^k(1 − p)^n−k, k = 0, 1, . . . , n.

Schemat Bernoulliego Przykład

Wadliwo´s´c procesu produkcyjnego wynosi 10%. Obliczy´c prawdopodobie´nstwo,

˙ze na osiem wylosowanych produktów b˛ed ˛a co najwy˙zej dwa złe.

Schemat Bernoulliego Rozwi ˛azanie

Do´swiadczenie Bernoulliego: wylosowanie jednego elementu.

Sukces: element wadliwy Pora˙zka: element dobry

Prawdopodobie´nstwo sukcesu: 0.1 Prawdopodobie´nstwo pora˙zki: 0.9 Schemat Bernoulliego

Rozwi ˛azanie

Schemat Bernoulliego: wylosowanie dziesi˛eciu elementów.

Prawdopodobie´nstwo wylosowania co najwy˙zej dwóch złych=

prawdopodobie´nstwo wylosowania ˙zadnego złego+

prawdopodobie´nstwo wylosowania jednego złego+

prawdopodobie´nstwo wylosowania dwóch złych.

10 0



0.1⁰0.9¹⁰+10 1



0.1¹0.9⁹+10 2



0.1²0.9⁸

4.2 Model gaussowski

Rozkład normalny Okre´slenie

Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (µ, σ²):

f_µ,σ²(x) = 1 σ√

2πe⁻¹²(^x−µ_σ )², −∞ < x < ∞.

EX = µ D²X = σ².

Rozkład normalny

Rozkład normalny

Rozkład normalny UWAGA

Oznaczenie rozkładu normalnego

N (warto´s´c ´srednia, wariancja)

lub

N (warto´s´c ´srednia, odchylenie standardowe)

Rozkład normalny UWAGA

Nasze oznaczenie rozkładu normalnego

N (warto´s´c ´srednia, wariancja)

Rozkład normalny Prawo trzech sigm

P {|X − µ| < σ} = 0.68268 ≈ 0.68 P {|X − µ| < 2σ} = 0.95450 ≈ 0.95 P {|X − µ| < 3σ} = 0.99730 ≈ 0.997

Rozkład normalny

Rozkład normalny Przykład

Przyjmuj ˛ac, ˙ze waga (w kilogramach) noworodka jest zmienn ˛a losow ˛a o rozkła- dzie N (3, 0.25) okre´sli´c procent noworodków o wadze:

• z przedziału (3, 3.25),

• z przedziału (2.5, 3.5).

Rozkład normalny Rozwi ˛azanie

Niech X oznacza wag˛e (w kilogramach) noworodka. Jest to zmienna losowa o warto´sci ´sredniej 3 i o odchyleniu standardowym 0.5.

Mamy obliczy´c:

• P {X ∈ (3, 3.25)},

• P {X ∈ (2.5, 3.5)}.

Rozkład normalny Rozwi ˛azanie

P {X ∈ (3, 3.25)} =

ROZKŁAD.NORMALNY(3.25; 3; 0.5; 1)−

ROZKŁAD.NORMALNY(3; 3; 0.5; 1) = 0.1915.

Odpowied´z: nieco ponad 19% noworodków ma wag˛e mi˛edzy 3 a 3.25 kilograma Rozkład normalny

Rozwi ˛azanie

P {X ∈ (2.5, 3.5)} =

P {X ∈ (´srednia − odchylenie, ´srednia + odchylenie)} = 0.6827.

Odpowied´z: prawie 68.3% noworodków ma wag˛e mi˛edzy 2.5 a 3.5 kilograma

5 Estymacja

5.1 Estymatory punktowe

Estymatory punktowe Okre´slenie

Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X1, X₂, . . . , X_n

Estymator (punktowy) jest funkcj ˛a próby θ = ˆˆ θ(X1, X2, . . . , Xn) przybli˙zaj ˛ac ˛a warto´s´c parametru θ

Estymatory punktowe Rozkład normalny N (µ, σ²)

Estymator ´sredniej µ - ´srednia arytmetyczna X =¯ 1

n

n

X

i=1

X_i = X₁+ · · · + X_n n

Estymatory punktowe Rozkład normalny N (µ, σ²)

Estymator wariancji σ² - wariancja próbkowa

S² = 1 n − 1

n

X

i=1

(Xi− ¯X)²

Suma kwadratów odchyle ´n od ´sredniej

varX =

n

X

i=1

(X_i− ¯X)² =

n

X

i=1

X_i² − n ¯X² =

n

X

i=1

X_i²− 1 n

n

X

i=1

X_i

!2

Estymatory punktowe Rozkład normalny N (µ, σ²)

Estymator odchylenia standardowego σ S =√

S²

Estymatory punktowe

Rozkład dwumianowy B(n, p)

k - liczba sukcesów w próbie n elementowej Estymator punktowy:

ˆ p = k

n

5.2 Przedziały ufno´sci

Przedział ufno´sci Okre´slenie

Przedziałem ufno´sci nazywamy przedział o ko´ncach zale˙znych od próby, który z pewnym z góry zadanym prawdopodobie´nstwem pokrywa nieznan ˛a warto´s´c pa- rametru θ

P {θ ∈ (θ(X₁, . . . , X_n), θ(X₁, . . . , X_n))} = 1 − α Poziom ufno´sci: prawdopodobie´nstwo 1 − α

Przedział ufno´sci Długo´s´c przedziału d

• Liczno´s´c próby (n %=⇒ d &)

• Poziom ufno´sci (1 − α %=⇒ d %)

• Wariancja cechy (σ² &=⇒ d &)

5.3 Przedział ufno´sci dla ´sredniej

Przedział ufno´sci dla warto´sci ´sredniej Rozkład normalny N (µ, σ²)

Wariancja σ²jest nieznana Poziom ufno´sci: 1 − α



X − t(α; n − 1)¯ S

√n , ¯X + t(α; n − 1) S

√n



t(α; ν): warto´s´c krytyczna rozkładu t (Studenta) z ν stopniami swobody Długo´s´c przedziału: d = 2t(α; n − 1) S

√n

Przedział ufno´sci dla warto´sci ´sredniej Przykład - tre´s´c

Oszacowa´c przeci˛etn ˛a ilo´s´c punktów uzyskiwanych na klasówce.

n = 300 X

x_i = 176.566 X

x²_i = 107.845302

Przedział ufno´sci dla warto´sci ´sredniej Przykład - rozwi ˛azanie

Populacja: Słuchacze podstawowego kursu statystyki Cecha X: ilo´s´c punktów zdobytych na klasówce Zało˙zenie: cecha X ma rozkład normalny N (µ, σ²) Zadanie: oszacowa´c parametr µ

Technika statystyczna: przedział ufno´sci dla ´sredniej poziom ufno´sci 1 − α = 0.95

Przedział ufno´sci dla warto´sci ´sredniej Przykład - rozwi ˛azanie

Obliczenia

¯ x = 1

n

Xxi = 176.566

300 = 0.589 varX =X

x²_i − 1 n

Xx_i2

= 107.845302 − 176.566²

300 = 3.92679 s² = 3.92679

300 − 1 = 0.01313, s =√

s² = 0.11460

Przedział ufno´sci dla warto´sci ´sredniej Przykład - rozwi ˛azanie

Obliczenia cd

t(0.05; 299) ≈ 1.96 t(0.05; 299) s

√n = 1.960.11460

√300 = 0.01297 (0.589 − 0.013, 0.589 + 0.013) = (0.576, 0.602) Przedział ufno´sci dla warto´sci ´sredniej

Przykład - rozwi ˛azanie

Odpowied´z: µ ∈ (0.576, 0.602)

Wniosek. Przeci˛etna ilo´s´c punktów zdobywana na klasówce jest liczb ˛a z prze- działu (0.576, 0.602). Zaufanie do tego wniosku wynosi 95%.

Jednostronny przedział ufno´sci dla warto´sci ´sredniej Rozkład normalny N (µ, σ²)

Wariancja σ²jest nieznana Poziom ufno´sci: 1 − α

(−∞, X + t(2α; n − 1)¯ S

√n)

( ¯X − t(2α; n − 1) S

√n, ∞)

5.4 Przedział ufno´sci dla wariancji

Przedział ufno´sci dla wariancji Rozkład normalny N (µ, σ²) Warto´s´c ´srednia µ jest nieznana

Poziom ufno´sci: 1 − α varX χ^{2 α}₂; n − 1
,

varX χ² 1 −^α₂; n − 1

!

χ²(α; ν) jest stablicowan ˛a warto´sci ˛a krytyczn ˛a rozkładu chi–kwadrat z ν stop- niami swobody

5.5 Przedział ufno´sci dla frakcji

Przedział ufno´sci dla prawdopodobie ´nstwa sukcesu Rozkład dwumianowy B(n, p)

k - liczba sukcesów w próbie n elementowej Poziom ufno´sci: 1 − α

Dokładny przedział ufno´sci

 p₁

1 −α

2; k, n − k

, 1 − p₁ 1 − α

2; n − k, k

Przybli˙zony przedział ufno´sci ˆ

p − u_1−α/2

rp(1 − ˆˆ p)

n , ˆp + u_1−α/2

rp(1 − ˆˆ p) n

!

u_α jest kwantylem rz˛edu α rozkładu N (0, 1).

Przedział ufno´sci dla prawdopodobie ´nstwa sukcesu Przykład - tre´s´c

Oszacowa´c odsetek ocen dostatecznych otrzymywanych na klasówce.

n = 300 k = 88

Przedział ufno´sci dla prawdopodobie ´nstwa sukcesu Przykład - rozwi ˛azanie

Populacja: Słuchacze podstawowego kursu statystyki Cecha X: ocena dostateczna/inna z klasówki

Zało˙zenie: cecha X ma rozkład dwupunktowy D(p) Zadanie: oszacowa´c parametr p

Technika statystyczna: przybli˙zony przedział ufno´sci dla prawdopodobie´n- stwa p

poziom ufno´sci 1 − α = 0.95

Przedział ufno´sci dla prawdopodobie ´nstwa sukcesu Przykład - rozwi ˛azanie

Obliczenia

p =b 88

300 = 0.29 u_1−α/2 = u_0.975 = 1.96 0.29 − 1.96

r0.29(1 − 0.29)

300 = 0.2387 0.29 + 1.96

r0.29(1 − 0.29)

300 = 0.3413 Przedział ufno´sci dla prawdopodobie ´nstwa sukcesu Przykład - rozwi ˛azanie

Odpowied´z: p ∈ (0.2387, 0.3413)

Wniosek. Odsetek ocen dostatecznych zdobywanych na klasówce jest liczb ˛a z przedziału (23.87%, 34.13%). Zaufanie do tego wniosku wynosi 95%.

Jednostronny przedział ufno´sci dla prawdopodobie ´nstwa sukcesu Rozkład dwumianowy B(n, p)

k - liczba sukcesów w próbie n elementowej Poziom ufno´sci: 1 − α

Dokładne jednostronne przedziały ufno´sci

(0 , 1 − p₁(1 − α; n − k, k)) (p₁(1 − α; k, n − k) , 1)

Jednostronny przedział ufno´sci dla prawdopodobie ´nstwa sukcesu Rozkład dwumianowy B(n, p)

k - liczba sukcesów w próbie n elementowej Poziom ufno´sci: 1 − α

Przybli˙zone jednostronne przedziały ufno´sci

0, ˆp + u1−α

rp(1 − ˆˆ p) n

!

ˆ

p − u1−α

rp(1 − ˆˆ p) n , 1

!