Materiały pomocnicze do dwiczeo w LPF

1

Materiały pomocnicze do dwiczeo w LPF

Nella Mirowska

W praktyce laboratoryjnej często potrzebna jest znajomośd różnych wielkości fizycznych, których wartości nie są stałe, lecz zmieniają się np. wraz ze zmianą temperatury. Do takich wielkości należą m.in.

gęstośd, lepkośd i napięcie powierzchniowe cieczy. Poniżej przedstawiono tabele z danymi liczbowymi oraz wykresy temperaturowych zależności tych wielkości dla wody i gliceryny. Dla każdego wykresu podano równanie linii najlepszego dopasowania (linii regresji), na podstawie którego można obliczyd wartośd danej wielkości fizycznej w dowolnej temperaturze z przedziału dopasowania. Rolę argumentu funkcji tj. zmiennej niezależnej x w równaniu y = f(x) pełni temperatura, zaś zmienna zależna y jest poszukiwaną wartością wielkości fizycznej. Podstawiając za x interesującą nas wartośd temperatury (z przedziału dopasowania!!!) możemy obliczyd wartośd y wielkości poszukiwanej. Na przykład, korzystając z równania figurującego na wykresie zależności η = f(t), obliczmy dla wody wartośd napięcia powierzchniowego σ = y w temperaturze t = x = 28,3°C:

y = 0,0003∙28,3²-0,1418∙28,3+75,6654 = 0,2403-4,0129+75,6654 = 71,8924 ≈ 71,89.

Uwzględniając mnożnik 10^-3 podany w tabeli, zapiszemy wynik w postaci σ(t=28,3°C) = 71,89∙10^-3[N/m]. Tak otrzymana wartośd σ jest oczywiście poprawniejsza, niż gdybyśmy z tabeli przyjęli σ(30°C) = 71,18∙10^-3[N/m]

dla temperatury najbliższej tj. dla t = 30°C lub obliczyli ją jako np. średnią σśr = 71,575∙10^-3[N/m] dla dwóch najbliższych temperatur 25°C i 30°C. Widad, że między wartością poprawną σ(t=28,3°C) a wartościami przybliżonymi σ(30°C) i σśr jest spora rozbieżnośd, która wynika z nieliniowego charakteru zależności σ=f(t) Stopieo dopasowania linii regresji do danych zawartych w tabeli (są to punkty na wykresie) określa

parametr R², a właściwie współczynnik korelacji R. Im wartośd współczynnika R jest bliższa |1|(wtedy również R²≈1), tym dopasowanie jest dokładniejsze. W rozpatrywanym przykładzie otrzymano R²= 0,999 (czyli R = 0,9995), co świadczy o bardzo wysokim stopniu dopasowania wielomianu drugiego stopnia do punktów na wykresie z przedziału temperatur 0*°C+÷100*°C +.

W dalszej części przedstawiono tabele innych nieliniowych zależności i odpowiadające im wykresy oraz równania linii najlepszego dopasowania w wybranym przedziale wartości x:

- zależnośd współczynnika załamania od długości fali świetlnej n = f() dla dwóch typów szkła (flint i crown), - zależnośd skręcenia płaszczyzny polaryzacji od długości fali świetlnej Φ = f() dla kwarcu,

- zależnośd przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej g = f(Φ),

Sposób obliczania wartości funkcji y tj. wartości wielkości n, Φ lub g dla wybranego argumentu x, czyli odpowiednio  lub Φ jest analogiczny do wcześniej podanego dla napięcia powierzchniowego wody.

2

WODA

Zależność gęstości wody od temperatury (pod ciśnieniem 101325*Pa+):

y = -1E-07x⁴+ 4E-05x³- 0,007x²+ 0,051x + 999,8 R² = 1

955,000 960,000 965,000 970,000 975,000 980,000 985,000 990,000 995,000 1000,000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

ρ *kg/m³]

t [°C]

gęstość wody ρ= f(t)

Serie1

Wielob. (Serie1)

Zależnośd ρ = f(t) nie jest liniowa w przedziale temperatur 0÷100*°C+. Gęstośd wody maleje ze wzrostem temperatury. Dopasowanie wartości zawartych w tabeli funkcją czwartego stopnia jest bardzo dobre (R² = 1). Wyraźnie widad silną nieliniowośd występującą szczególnie w przedziale 0÷30*°C+, dlatego przedział ten jest reprezentowany większą ilością wartości tablicowych ρ*kg/m³].

t*°C+ kg/m³]

0 999,841 1 999,900 2 999,941 4 999,973 5 999,965 10 999,700 15 999,099 16 998,943 17 998,774 18 998,595 19 998,405 20 998,203 21 997,992 22 997,770 23 997,538 24 997,296 25 997,044 26 996,783 27 996,512 28 996,232 29 995,944 30 995,646 35 994,030 40 992,210 45 990,220 50 988,040 60 983,210 70 977,780 80 971,800 90 965,310 95 961,890 100 958,350

3

Zależność napięcia powierzchniowego wody od temperatury:

y = -0,0003x²- 0,1418x + 75,6654 R² = 1,0000

58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

σ *N/m+ x 10^-3

t [°C]

napięcie powierzchniowe wody σ = f(t)

Serie1 Wielob. (Serie1)

Zależnośd σ = f(t) nie jest liniowa w przedziale temperatur 0÷100*°C+.

Napięcie powierzchniowe wody maleje ze wzrostem temperatury.

Dopasowanie wartości zawartych w tabeli funkcją trzeciego stopnia jest bardzo dobre (R² = 1).

T [K] t *°C +  [N/m]x 10^-3

273,15 0 75,65

278,15 5 74,9

283,15 10 74,22

288,15 15 73,49

291,15 18 73,05

293,15 20 72,75

298,15 25 71,97

303,15 30 71,18

308,15 35 70,4

313,15 40 69,56

318,15 45 68,76

323,15 50 67,91

328,15 55 67,04

333,15 60 66,18

338,15 65 65,31

343,15 70 64,4

348,15 75 63,5

353,15 80 62,6

373,15 100 58,85

4

Zależność lepkości wody od temperatury:

Zależnośd η = f(t) nie jest liniowa w przedziale temperatur 0÷100*°C+. Lepkośd wody silnie maleje ze

wzrostem temperatury. Dopasowanie wartości zawartych w tabeli funkcją czwartego stopnia jest bardzo dobre (R² = 0,999).

t *°C+ η *Pa∙s+x 10^-3

5 1,510

10 1,303

15 1,134

20 1,002

25 0,891

30 0,798

35 0,720

40 0,654

45 0,597

50 0,548

55 0,500

60 0,469

65 0,430

70 0,406

75 0,380

80 0,356

85 0,330

90 0,316

95 0,299

100 0,283

5

GLICERYNA

stężenie gęstość w 25°C współczynnik lepkości η *Pa∙s+

C [%] ρ*kg/m³] 20 *°C+ 25 *°C+ 30 *°C+

100 1262 1,49500 0,94200 0,62200

99 1259 1,19400 0,77200 0,50900

98 1257 0,97100 0,62700 0,42300

97 1254 0,80200 0,52200 0,35300

96 1252 0,65900 0,43400 0,29600

95 1249 0,54400 0,36500 0,24800

80 1209 0,06180 0,04570 0,03480

50 1127 0,00603 0,00502 0,00423

25 1067 0,00209 0,00180 0,00159

10 1024 0,00131 0,00115 0,00102

0 997 0,00100 0,00089 0,00080

Zależność gęstości gliceryny od stężenia:

y = 2,641x + 997,7 R² = 0,999

950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300

0 20 40 60 80 100

ρ *kg/m³]

C [%]

ρ = f(C)

Serie1 Liniowy (Serie1)

Zależnośd ρ = f(C) przy stałej temperaturze jest liniowa w przedziale stężenia 0÷100[%]. Gęstośd gliceryny rośnie ze wzrostem jej stężenia C*%+. Dopasowanie wartości zawartych w tabeli funkcją liniową jest bardzo dobre (R² = 0,999).

6

Zależność lepkości gliceryny od stężenia w różnych temperaturach :

0,00000 0,20000 0,40000 0,60000 0,80000 1,00000 1,20000 1,40000 1,60000

0 20 40 60 80 100

η*Pa∙s+

C[%]

η=f(C)

Serie1 Serie2 Serie3

Lepkośd gliceryny rośnie ze wzrostem jej stężenia. Szczególnie silny wzrost η = f(C) obserwowany jest dla stężeo powyżej 90%. Wzrost temperatury osłabia tę tendencję.

Zależność lepkości gliceryny od temperatury:

y = 2,9E-06x⁴- 4,7E-04x³+ 2,9E-02x²- 8,2E-01x + 9,7E+00

R² = 1,0E+00

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

η*Pa∙s+

t [°C]

η = f(t) dla 100%

Serie1 Wielob. (Serie1)

Lepkośd gliceryny (przykładowo o stężeniu 100% ) silnie maleje ze wzrostem temperatury. Dopasowanie

wartości zawartych w tabeli funkcją czwartego stopnia jest bardzo dobre (R² = 1).

t *°C+ η*Pa∙s+

10 3,95

20 1,495

25 0,942

30 0,622

50 0,18

t = 20°C

t = 25°C

t = 30°C

7

SZKŁO

Zależność współczynnika załamania n od długości fali świetlnej :

crown

y = -4,94E-10x³+ 9,86E-07x²- 6,90E-04x + 1,68E+00

R² = 1,00E+00

1,51 1,515 1,52 1,525 1,53 1,535

400 450 500 550 600 650 700 750

n

[nm]

n=f() - crown

Serie1

Wielob. (Serie1)

Zależność współczynnika załamania n od długości fali świetlnej :

flint

y = -1,32E-09x³+ 2,55E-06x²- 1,70E-03x + 2,00E+00

R² = 1,00E+00

1,6000 1,6050 1,6100 1,6150 1,6200 1,6250 1,6300 1,6350 1,6400

400 450 500 550 600 650 700 750

n

[nm]

n=f( ) - flint

Serie1

Wielob. (Serie1)

Oba typy szkła charakteryzuje spadek wartości współczynnika załamania n ze wzrostem długości fali świetlnej , przy czym silniejszą tendencję wykazuje flint. Dopasowania wartości zawartych w tabelach funkcjami trzeciego stopnia jest bardzo dobre (R² = 1).

 [nm]

n



687 1,5118 656 1,5127 589 1,5153 527 1,5186 486 1,5214 431 1,5267 397 1,5312

 [nm] n



687 1,6020 656 1,6038 589 1,6085 527 1,6145 486 1,6200 431 1,6308 397 1,6404

8

Kwarc – zależność skręcenia płaszczyzny polaryzacji Φ od długości fali świetlnej :

y = -1,00E-06x³+ 1,99E-03x²- 1,37E+00x + 3,45E+02

R² = 1,00E+00

10,000 15,000 20,000 25,000 30,000 35,000 40,000 45,000 50,000 55,000

350 400 450 500 550 600 650 700 750

Φ[°]

[nm]

Φ = f()

Serie1

Wielob. (Serie1)

Powyższą zależnośd Φ = f() przedstawiono dla płytki kwarcowej o grubości 1*mm+ tj. dla grubości

jednostkowej kwarcu. Widad, że kąt skręcenia płaszczyzny polaryzacji silnie maleje ze wzrostem długości fali świetlnej spolaryzowanej liniowo. Zwiększenie tej grubości o wielokrotnośd grubości jednostkowej wpłynie na osłabienie natężenia fali świetlnej, lecz nie zmieni kąta skręcenia płaszczyzny polaryzacji. Inne niż jednostkowe zmiany grubości płytki kwarcowej spowodują już zmianę wartości kąta skręcenia płaszczyzny polaryzacji.

Dopasowanie wartości zawartych w tabeli funkcją trzeciego stopnia jest bardzo dobre (R² = 1).

 [nm] Φ°+



687 15,750  656 17,317 589 21,717 527 27,717 486 32,767 431 42,533 397 51,183

9

PRZYSPIESZENIE ZIEMSKIE

Przyjęło się, że wartośd przyspieszenia ziemskiego dla całego obszaru Polski, której średnia wysokośd nad poziomem morza to173[m], wynosi 9,81[m/s²+. Często taka dokładnośd jest za mała, bowiem wartośd g[m/s²] zależy od szerokości geograficznej rozpatrywanego miejsca oraz od jego wysokości nad poziomem morza(n.p.m.). Położenie geograficzne Polski mieści się w przedziale około 49°÷54°, a wysokośd n.p.m. jest zróżnicowana (niziny, wyżyny, góry, jeziora). Warto prześledzid, jak oba te czynniki – wysokośd i szerokośd geograficzna – wpływają na wartośd przyspieszenia geograficznego.

Zależność przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej :

y = -1,57E-07x³+ 2,11E-05x²- 5,98E-05x + 9,78E+00

R² = 1,00E+00 9,77000

9,78000 9,79000 9,80000 9,81000 9,82000 9,83000 9,84000

0 20 40 60 80 100

g [m/s²]

Φ *°]

g = f(Φ)

Serie1

Wielob. (Serie1)

Widad, że zależnośd g = f(Φ) dla szerokości geograficznych z przedziału 45°÷ 55° można uznad za liniową.

Potwierdza to wykres i wysoki stopieo dopasowania danych zawartych w tabeli funkcją liniową (R = 0,9999):

y = 0,0009x + 9,7660 R² = 0,9999

9,80000 9,80200 9,80400 9,80600 9,80800 9,81000 9,81200 9,81400 9,81600

38 40 42 44 46 48 50 52 54 56

g [m/s²]

Φ *°]

g = f(Φ)

Serie1 Liniowy (Serie1)

Φ[°+ g [m/s² ]

0 9,78038 10 9,78204 20 9,78652 30 9,79338 40 9,80180 45 9,80620 50 9,81121 60 9,81924 70 9,82614 80 9,83065 90 9,83210

10 Powyższe dane dotyczą tak zwanych umownych wartości g *m/s²], czyli zredukowanych do poziomu morza.

Właśnie takie wartości (umowne, zredukowane, normalne) można najczęściej znaleźd w tablicach.

Obliczenie dokładnej wartości przyspieszenia ziemskiego w danym miejscu, gdy znana jest wysokośd nad poziomem morza i szerokośd geograficzna, umożliwia wzór podany przez Heiskanena :

g(Φ,z) =9,78049(1+0,005293sin

Φ-0,000007sin

2Φ)-0,000003086z

gdzie: gΦ - przyspieszenie ziemskie w [m/s²+ na szerokości geograficznej Φ, Φ - szerokośd geograficzna w *°+,

z - wysokośd nad poziomem morza w *m+,

mnożnik 9,78049 to wartośd zbliżona do przyspieszenia ziemskiego na równiku (gtabl = 9,78038[m/s²]dla Φ=0°).

Na podstawie tego wzoru obliczono i umieszczono w tabeli wartości g(Φ,z) oraz wartości umownego (zredukowanego) przyspieszenia ziemskiego g(Φ) dla wybranych miejscowości w Polsce. Zamieszczono również, dla porównania, kilka wartości tablicowych gtabl(Φ,z). Jak widać, wartości g(Φ) i gtabl(Φ,z) są niemal identyczne. Otrzymane wyniki przedstawiono również graficznie.

miasto m.n.p.m. Φ[°+ gtabl[m/s²]

g(Φ,z)

gobl(Φ) (umowne)

Elbląg 5 54,167 9,8144 9,8144

Szczecin 25 53,438 9,8137 9,8137

Gdaosk 38 54,356 9,8145 9,8145 9,8144

Toruo 51 53,020 9,8133 9,8133 9,8131

Bydgoszcz 64 53,150 9,8134 9,8132

Poznao 90 52,400 9,8126 9,8126 9,8124

Kalisz 102 51,770 9,8121 9,8117

Wrocław 117 51,109 9,8113 9,8114 9,8111

Warszawa 121 52,232 9,8123 9,8124 9,8120

Białystok 132 53,133 9,8132 9,8127

Zielona Góra 146 51,940 9,8121 9,8116

Opole 166 50,667 9,8109 9,8104

Lublin 200 51,233 9,8112 9,8113 9,8107

Łódź 203 51,817 9,8119 9,8118 9,8112

Kraków 214 50,060 9,8105 9,8102 9,8095

Katowice 266 50,259 9,8102 9,8094

Kłodzko 357 50,440 9,8101 9,8090

Bielsko Biała 320 49,820 9,8097 9,8087

Jelenia Góra 345 50,900 9,8105 9,8095

Ustrzyki Dln 450 49,430 9,8089 9,8075

Zakopane 820 49,300 9,8076 9,8051

11 Zależnośd g(Φ,z) od szerokości geograficznej z uwzględnieniem wysokości n.p.m. przybliżono funkcją

liniową. Stopieo dopasowania, przy tak dużej ilości punktów, można uznad za wysoki (R = 0,9857).

Występujące odstępstwa (rozrzuty) punktów od linii regresji mogą wynikad z kilku powodów:

– nieskalibrowanie wielkości grawimetrycznych (punkty pomiaru wysokości i szerokości geograficznej nie pokrywają się),

– zróżnicowanie rzeźby terenu w obrębie miejscowości (uwzględniano tzw. przeciętną wysokośd położenia danej miejscowości n.p.m.),

– gęstośd i jakośd skał podłoża danego terenu, – gęstośd skorupy ziemskiej w rejonie.

y = 0,0011x + 9,7547 R² = 0,9857

9,8080 9,8090 9,8100 9,8110 9,8120 9,8130 9,8140 9,8150

48 50 52 54 56

g [m/s²]

Φ [°]

g (Φ,z) = f(Φ)

Serie1 Liniowy (Serie1)

Kolejny wykres przedstawia zależnośd zredukowanego przyspieszenia g(Φ) od szerokości geograficznej Φ*°+

dla obszaru Polski.

y = -0,0001x²+ 0,0089x + 9,5451 R² = 0,9676

9,8070 9,8080 9,8090 9,8100 9,8110 9,8120 9,8130 9,8140 9,8150

48 50 52 54 56

g [m/s²]

Φ [°]

g(Φ) = f(Φ)

Serie1

Wielob. (Serie1)

12 Tym razem odpowiedniejsze okazało się dopasowanie nieliniowe (równaniem drugiego stopnia z dośd wysokim współczynnikiem R² = 0,9676). Widad, że dla miejscowości położonych w obszarze niższych szerokości geograficzny (poniżej 51°) wartośd umownego przyspieszenia ziemskiego g(Φ) jest wyraźnie zaniżona w stosunku do poprawniej obliczonej wartości g(Φ,z). Jest to skutkiem chociażby dwóch

czynników wpływających jednocześnie na obniżenie wartości przyspieszenia ziemskiego: zmniejszenie Φ i zwiększenie z tj. położenia miejscowości n.p.m.(patrz równanie Heiskanena). Jeszcze wyraźniej to widać na łącznym wykresie zależności g(Φ,z) i g(Φ) od szerokości geograficznej Φ[°], tj. na wykresie g = f(Φ)

przedstawionym poniżej:

y = 0,0011x + 9,7547 R² = 0,9857

y = -0,0001x²+ 0,0089x + 9,5451 R² = 0,9676

9,8070 9,8080 9,8090 9,8100 9,8110 9,8120 9,8130 9,8140 9,8150 9,8160

48 50 52 54 56

g [m/s²]

Φ [°]

g = f(Φ)

Serie1 Serie2 Liniowy (Serie1) Wielob. (Serie2)

Zagadnienie wyznaczenia dokładnej wartości przyspieszenia ziemskiego jest, jak pokazano, dośd

skomplikowane i wymaga uwzględnienia wielu czynników oraz specjalistycznych badao z różnych dziedzin naukowych. Warto zdawad sobie z tego sprawę i dlatego zwrócono uwagę na niektóre z nich. Tym niemniej, w sytuacjach niezbyt rygorystycznych można dla całej Polski (zśr = 173m.n.p.m.i Φśr = 51,6°) przyjąć wartość g = 9,8117[m/s²] lub nawet g = 9,81[m/s²].