Jak nale ˙zy interpretowa´c całk ˛e powierzchniow ˛a

Zestaw 01: Gradient, Dywergencja i Rotacja

Maciej J. Mrowi ´nski 14 marca 2018

Zestaw do samodzielnego rozwi ˛azania po wykładzie o operatorze∇. Nie jest obowi ˛azkowy i nie oddajecie mi tych rozwi ˛aza ´n. Je ˙zeli kto´s ma problemy/pytania, to oczywi´scie zapraszam na konsultacje.

Pytania

• Jak zdefiniowany jest gradient? Jak nale ˙zy go interpretowa´c?

• Jak nale ˙zy interpretowa´c całk ˛e powierzchniow ˛a?

• Jak definiujemy strumie ´n pola wektorowego? Jak nale ˙zy go inter- pretowa´c?

• O czym mówi nam dodatnia/zerowa/ujemna warto´s´c strumienia?

• Jak definiujemy dywergencj ˛e¹? Jak nale ˙zy j ˛a interpretowa´c? ¹Pami ˛etajcie, ˙ze na wykładzie zrobili-

´smy to na dwa sposoby (cho´c od strony formalnej technicznie rzecz bior ˛ac tylko jeden z nich był definicj ˛a).

• O czym mówi i jak nale ˙zy intuicyjnie interpretowa´c twierdzenie Gaussa?

• Jak nale ˙zy interpretowa´c całk ˛e krzywoliniow ˛a?

• O czym mówi nam dodatnia/zerowa/ujemna warto´s´c cyrkulacji?

• Co mo ˙zemy powiedzie´c o polu, dla którego cyrkulacja po dowol- nej krzywej jest zerowa?

• Jak definiujemy rotacj ˛e? Jak nale ˙zy j ˛a interpretowa´c?

• O czym mówi i jak nale ˙zy intuicyjnie interpretowa´c twierdzenie Stokes’a?

Problemy obliczeniowe

• Wyznacz strumie ´n pola

~_F=α[yzˆx+xzˆy+xyˆz] (1) przez powierzchni ˛e sfery

R²=x²+y²+z². (2)

• Wyka ˙z, ˙ze

V= ¹ 3 I

S

~r d~a, (3) gdzie S to pewna zamkni ˛eta powierzchnia, V to obj ˛eto´s´c, jak ˛a otacza S, natomiast~r= [x, y, z].

z e s taw 0 1: gradient, dywergencja i rotacja 2

• Wyznacz rotacj ˛e pola

~_F=β

hz²ˆx+x²ˆy−y²ˆzi

. (4)

• Wyznacz cyrkulacj ˛e pola

~_F=αz²ˆy+βy²ˆz (5) po le ˙z ˛acym na płaszczy´znie XY okr ˛egu

R²=x²+y². (6)