5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady
Grzegorz Kosiorowski
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
Asymptoty - motywacja
Wiemy już jak badać wygląd funkcji różniczkowalnej wewnątrz jej przedziałów określoności.
Jednak, jak zaraz zobaczymy na
przykładach, funkcje o takiej samej wypukłości i monotoniczności mogą się zachowywać zupełnie inaczej na końcach tych przedziałów. Jak rozróżnić takie funkcje? Możemy to uczynić dzięki pojęciu asymptoty.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 2 / 39
Asymptoty - motywacja
Wiemy już jak badać wygląd funkcji różniczkowalnej wewnątrz jej przedziałów określoności. Jednak, jak zaraz zobaczymy na
przykładach, funkcje o takiej samej wypukłości i monotoniczności mogą się zachowywać zupełnie inaczej na końcach tych przedziałów.
Jak rozróżnić takie funkcje? Możemy to uczynić dzięki pojęciu asymptoty.
Asymptoty - motywacja
Wiemy już jak badać wygląd funkcji różniczkowalnej wewnątrz jej przedziałów określoności. Jednak, jak zaraz zobaczymy na
przykładach, funkcje o takiej samej wypukłości i monotoniczności mogą się zachowywać zupełnie inaczej na końcach tych przedziałów.
Jak rozróżnić takie funkcje? Możemy to uczynić dzięki pojęciu asymptoty.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 2 / 39
Asymptoty - motywacja
Jak widać, w pobliżu +∞ funkcje f1(x ) = x2x−1, f2(x ) =√ x i
Tymczasem wszystkie mają tam dodatnią pierwszą pochodną i ujemną drugą, więc na podstawie dotychczasowej analizy, nie umielibyśmy ich rozróżnić.
Asymptoty - motywacja
Jak widać, w pobliżu +∞ funkcje f1(x ) = x2x−1, f2(x ) =√ x i
f3(x ) = arctg x zachowują się zupełnie inaczej. Tymczasem wszystkie mają tam dodatnią pierwszą pochodną i ujemną drugą, więc na podstawie dotychczasowej analizy, nie umielibyśmy ich rozróżnić.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 3 / 39
Asymptoty - motywacja
Natomiast łatwo rozróżnić zachowanie tych funkcji, gdy poszukamy
f1 zachowuje się jak y = x , f3 jak y = π2, a f2 rośnie do nieskończoności, ale wolniej niż jakakolwiek prosta.
Asymptoty - motywacja
Natomiast łatwo rozróżnić zachowanie tych funkcji, gdy poszukamy dodatkowej informacji: do jakiej prostej podobne są wykresy tych funkcji w pobliżu +∞? f1 zachowuje się jak y = x ,
f3 jak y = π2, a f2 rośnie do nieskończoności, ale wolniej niż jakakolwiek prosta.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 4 / 39
Asymptoty - motywacja
Natomiast łatwo rozróżnić zachowanie tych funkcji, gdy poszukamy
a f2 rośnie do nieskończoności, ale wolniej niż jakakolwiek prosta.
Asymptoty - motywacja
Natomiast łatwo rozróżnić zachowanie tych funkcji, gdy poszukamy dodatkowej informacji: do jakiej prostej podobne są wykresy tych funkcji w pobliżu +∞? f1 zachowuje się jak y = x , f3 jak y = π2, a f2 rośnie do nieskończoności, ale wolniej niż jakakolwiek prosta.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 4 / 39
Asymptoty - motywacja
Analogicznie, w pobliżu 0 i z jego prawej strony, funkcje g1(x ) =√ x i
Asymptoty - motywacja
Różnicę w ich zachowaniu można opisać w ten sposób, że wykres g2(x ) = −x1 staje się coraz bardziej podobny do x = 0, a wykres g1(x ) =√
x nie.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 6 / 39
Asymptoty - przykład ekonomiczny
Przypomnijmy sobie jeszcze przykład z rozdziału o granicach:
Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji
Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne w zależności od wielkości produkcji q wynoszą qv (q), gdzie v (q) = Aq + B, więc C (q) = (Aq + B)q + k. Jak zmienia się koszt średni AC (q) =C (q)q wyprodukowania jednostki towaru przy bardzo dużej skali produkcji?
Jak obliczyliśmy wtedy, średni koszt AC (q) upodabniał się przy dużym q do prostej y = Aq + B. Taką prostą nazywamy asymptotą.
Nieformalna definicja
Asymptota funkcji to prosta, do której zbliża się jej wykres, gdy się wzdłuż niego przemieszczamy w kierunku końca przedziału
określoności.
Asymptoty - przykład ekonomiczny
Przypomnijmy sobie jeszcze przykład z rozdziału o granicach:
Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji
Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne w zależności od wielkości produkcji q wynoszą qv (q), gdzie v (q) = Aq + B, więc C (q) = (Aq + B)q + k. Jak zmienia się koszt średni AC (q) =C (q)q wyprodukowania jednostki towaru przy bardzo dużej skali produkcji?
Jak obliczyliśmy wtedy, średni koszt AC (q) upodabniał się przy dużym q do prostej y = Aq + B. Taką prostą nazywamy asymptotą.
Nieformalna definicja
Asymptota funkcji to prosta, do której zbliża się jej wykres, gdy się wzdłuż niego przemieszczamy w kierunku końca przedziału
określoności.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 7 / 39
Asymptoty - przykład ekonomiczny
Przypomnijmy sobie jeszcze przykład z rozdziału o granicach:
Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji
Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne w zależności od wielkości produkcji q wynoszą qv (q), gdzie v (q) = Aq + B, więc C (q) = (Aq + B)q + k. Jak zmienia się koszt średni AC (q) =C (q)q wyprodukowania jednostki towaru przy bardzo dużej skali produkcji?
Jak obliczyliśmy wtedy, średni koszt AC (q) upodabniał się przy dużym q do prostej y = Aq + B. Taką prostą nazywamy asymptotą.
Nieformalna definicja
Asymptoty - przykład ekonomiczny
Przypomnijmy sobie jeszcze przykład z rozdziału o granicach:
Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji
Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne w zależności od wielkości produkcji q wynoszą qv (q), gdzie v (q) = Aq + B, więc C (q) = (Aq + B)q + k. Jak zmienia się koszt średni AC (q) =C (q)q wyprodukowania jednostki towaru przy bardzo dużej skali produkcji?
Jak obliczyliśmy wtedy, średni koszt AC (q) upodabniał się przy dużym q do prostej y = Aq + B. Taką prostą nazywamy asymptotą.
Nieformalna definicja
Asymptota funkcji to prosta, do której zbliża się jej wykres, gdy się wzdłuż niego przemieszczamy w kierunku końca przedziału
określoności.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 7 / 39
Asymptota pionowa - formalna definicja
Asymptota pionowa - definicja
Asymptota pionowa prawostronna wykresu funkcji f to prosta o równaniu x = x0, dla której lim
x →x0+f (x ) = +∞ lub lim
x →x0+f (x ) = −∞.
Asymptota pionowa lewostronna wykresu funkcji f to prosta o równaniu x = x0, dla której lim
x →x0−f (x ) = +∞ lub lim
x →x0−f (x ) = −∞. Asymptota pionowa obustronna (czasem słowo „obustronna” się opuszcza) wykresu funkcji f to prosta o równaniu x = x0, o ile jest jego asymptotą pionową prawostronną i lewostronną.
Uwaga! Dla funkcji ciągłych asymptot pionowych szukamy tylko w tych końcach przedziałów określoności, które są liczbami
rzeczywistymi. W wypadku funkcji nieciągłych - powinniśmy jeszcze sprawdzić punkty nieciągłości, mimo, że należą do dziedziny.
Asymptota pionowa - formalna definicja
Asymptota pionowa - definicja
Asymptota pionowa prawostronna wykresu funkcji f to prosta o równaniu x = x0, dla której lim
x →x0+f (x ) = +∞ lub lim
x →x0+f (x ) = −∞.
Asymptota pionowa lewostronna wykresu funkcji f to prosta o równaniu x = x0, dla której lim
x →x0−f (x ) = +∞ lub lim
x →x0−f (x ) = −∞.
Asymptota pionowa obustronna (czasem słowo „obustronna” się opuszcza) wykresu funkcji f to prosta o równaniu x = x0, o ile jest jego asymptotą pionową prawostronną i lewostronną.
Uwaga! Dla funkcji ciągłych asymptot pionowych szukamy tylko w tych końcach przedziałów określoności, które są liczbami
rzeczywistymi. W wypadku funkcji nieciągłych - powinniśmy jeszcze sprawdzić punkty nieciągłości, mimo, że należą do dziedziny.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 8 / 39
Asymptota pionowa - formalna definicja
Asymptota pionowa - definicja
Asymptota pionowa prawostronna wykresu funkcji f to prosta o równaniu x = x0, dla której lim
x →x0+f (x ) = +∞ lub lim
x →x0+f (x ) = −∞.
Asymptota pionowa lewostronna wykresu funkcji f to prosta o równaniu x = x0, dla której lim
x →x0−f (x ) = +∞ lub lim
x →x0−f (x ) = −∞.
Asymptota pionowa obustronna (czasem słowo „obustronna” się opuszcza) wykresu funkcji f to prosta o równaniu x = x0, o ile jest jego asymptotą pionową prawostronną i lewostronną.
Uwaga! Dla funkcji ciągłych asymptot pionowych szukamy tylko w tych końcach przedziałów określoności, które są liczbami
rzeczywistymi. W wypadku funkcji nieciągłych - powinniśmy jeszcze sprawdzić punkty nieciągłości, mimo, że należą do dziedziny.
Asymptota pionowa - formalna definicja
Asymptota pionowa - definicja
Asymptota pionowa prawostronna wykresu funkcji f to prosta o równaniu x = x0, dla której lim
x →x0+f (x ) = +∞ lub lim
x →x0+f (x ) = −∞.
Asymptota pionowa lewostronna wykresu funkcji f to prosta o równaniu x = x0, dla której lim
x →x0−f (x ) = +∞ lub lim
x →x0−f (x ) = −∞.
Asymptota pionowa obustronna (czasem słowo „obustronna” się opuszcza) wykresu funkcji f to prosta o równaniu x = x0, o ile jest jego asymptotą pionową prawostronną i lewostronną.
Uwaga! Dla funkcji ciągłych asymptot pionowych szukamy tylko w tych końcach przedziałów określoności, które są liczbami
rzeczywistymi. W wypadku funkcji nieciągłych - powinniśmy jeszcze sprawdzić punkty nieciągłości, mimo, że należą do dziedziny.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 8 / 39
Asymptota pionowa - przykład 1
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty pionowe funkcji f (x ) =(x −1)1 2.
Dziedziną funkcji f jest R ∖ {1}, zatem obliczamy:
x →1lim+ 1
(x − 1)2 = + ∞ = lim
x →1−
1
(x − 1)2 =lim
x →1
1 (x − 1)2. Zatem x = 1 jest asymptotą pionową (obustronną) funkcji f .
Asymptota pionowa - przykład 1
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty pionowe funkcji f (x ) =(x −1)1 2. Dziedziną funkcji f jest R ∖ {1}, zatem obliczamy:
x →1lim+ 1 (x − 1)2 =
+ ∞ = lim
x →1−
1
(x − 1)2 =lim
x →1
1 (x − 1)2. Zatem x = 1 jest asymptotą pionową (obustronną) funkcji f .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 9 / 39
Asymptota pionowa - przykład 1
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty pionowe funkcji f (x ) =(x −1)1 2. Dziedziną funkcji f jest R ∖ {1}, zatem obliczamy:
x →1lim+ 1
(x − 1)2 = + ∞
= lim
x →1−
1
(x − 1)2 =lim
x →1
1 (x − 1)2. Zatem x = 1 jest asymptotą pionową (obustronną) funkcji f .
Asymptota pionowa - przykład 1
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty pionowe funkcji f (x ) =(x −1)1 2. Dziedziną funkcji f jest R ∖ {1}, zatem obliczamy:
x →1lim+ 1
(x − 1)2 = + ∞ = lim
x →1−
1
(x − 1)2 =lim
x →1
1 (x − 1)2.
Zatem x = 1 jest asymptotą pionową (obustronną) funkcji f .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 9 / 39
Asymptota pionowa - przykład 1
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty pionowe funkcji f (x ) =(x −1)1 2. Dziedziną funkcji f jest R ∖ {1}, zatem obliczamy:
x →1lim+ 1
(x − 1)2 = + ∞ = lim
x →1−
1
(x − 1)2 =lim
x →1
1 (x − 1)2. Zatem x = 1 jest asymptotą pionową (obustronną) funkcji f .
Asymptota pionowa - przykład 2
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty pionowe funkcji f (x ) =x −11 .
Dziedziną funkcji f jest R ∖ {1}, zatem obliczamy:
x →1lim+ 1
x − 1 = + ∞; lim
x →1−
1
x − 1 = − ∞.
Zatem x = 1 jest asymptotą pionową (obustronną) funkcji f , mimo że granice obustronne w 1 są różne.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 10 / 39
Asymptota pionowa - przykład 2
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty pionowe funkcji f (x ) =x −11 . Dziedziną funkcji f jest R ∖ {1}, zatem obliczamy:
x →1lim+ 1 x − 1 =
+ ∞; lim
x →1−
1
x − 1 = − ∞.
Zatem x = 1 jest asymptotą pionową (obustronną) funkcji f , mimo że granice obustronne w 1 są różne.
Asymptota pionowa - przykład 2
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty pionowe funkcji f (x ) =x −11 . Dziedziną funkcji f jest R ∖ {1}, zatem obliczamy:
x →1lim+ 1
x − 1 = + ∞; lim
x →1−
1 x − 1 =
− ∞.
Zatem x = 1 jest asymptotą pionową (obustronną) funkcji f , mimo że granice obustronne w 1 są różne.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 10 / 39
Asymptota pionowa - przykład 2
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty pionowe funkcji f (x ) =x −11 . Dziedziną funkcji f jest R ∖ {1}, zatem obliczamy:
x →1lim+ 1
x − 1 = + ∞; lim
x →1−
1
x − 1 = − ∞.
Zatem x = 1 jest asymptotą pionową (obustronną) funkcji f , mimo że granice obustronne w 1 są różne.
Asymptota pionowa - przykład 2
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty pionowe funkcji f (x ) =x −11 . Dziedziną funkcji f jest R ∖ {1}, zatem obliczamy:
x →1lim+ 1
x − 1 = + ∞; lim
x →1−
1
x − 1 = − ∞.
Zatem x = 1 jest asymptotą pionową (obustronną) funkcji f , mimo że granice obustronne w 1 są różne.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 10 / 39
Asymptota pionowa - przykład 3
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty pionowe funkcji f (x ) = e1x.
Dziedziną funkcji f jest R ∖ {0}, zatem obliczamy:
x →0lim+e1x = + ∞; lim
x →0−e1x =0.
Zatem x = 0 jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f , natomiast funkcja ta nie ma asymptot pionowych obustronnych.
Asymptota pionowa - przykład 3
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty pionowe funkcji f (x ) = e1x. Dziedziną funkcji f jest R ∖ {0}, zatem obliczamy:
x →0lim+e1x =
+ ∞; lim
x →0−e1x =0.
Zatem x = 0 jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f , natomiast funkcja ta nie ma asymptot pionowych obustronnych.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 11 / 39
Asymptota pionowa - przykład 3
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty pionowe funkcji f (x ) = e1x. Dziedziną funkcji f jest R ∖ {0}, zatem obliczamy:
x →0lim+e1x = + ∞; lim
x →0−e1x =
0.
Zatem x = 0 jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f , natomiast funkcja ta nie ma asymptot pionowych obustronnych.
Asymptota pionowa - przykład 3
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty pionowe funkcji f (x ) = e1x. Dziedziną funkcji f jest R ∖ {0}, zatem obliczamy:
x →0lim+e1x = + ∞; lim
x →0−e1x =0.
Zatem x = 0 jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f , natomiast funkcja ta nie ma asymptot pionowych obustronnych.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 11 / 39
Asymptota pionowa - przykład 3
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty pionowe funkcji f (x ) = e1x. Dziedziną funkcji f jest R ∖ {0}, zatem obliczamy:
x →0lim+e1x = + ∞; lim
x →0−e1x =0.
Zatem x = 0 jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f , natomiast funkcja ta nie ma asymptot pionowych obustronnych.
Asymptota ukośna - definicja
Asymptota ukośna
Asymptota ukośna prawostronna wykresu funkcji f to prosta o równaniu y = ax + b, taka że lim
x →∞[f (x ) − (ax + b)] = 0.
Asymptota ukośna lewostronna wykresu funkcji f to prosta o równaniu y = ax + b, taka że lim
x →−∞[f (x ) − (ax + b)] = 0.
Asymptota ukośna obustronna wykresu funkcji f to prosta o
równaniu y = ax + b, o ile jest jego asymptotą ukośną prawostronną i lewostronną.
Uwaga: jeśli w powyższej definicji a = 0, to taką asymptotę nazywa się często asymptotą poziomą.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 12 / 39
Asymptota ukośna - definicja
Asymptota ukośna
Asymptota ukośna prawostronna wykresu funkcji f to prosta o równaniu y = ax + b, taka że lim
x →∞[f (x ) − (ax + b)] = 0.
Asymptota ukośna lewostronna wykresu funkcji f to prosta o równaniu y = ax + b, taka że lim
x →−∞[f (x ) − (ax + b)] = 0.
Asymptota ukośna obustronna wykresu funkcji f to prosta o
równaniu y = ax + b, o ile jest jego asymptotą ukośną prawostronną i lewostronną.
Uwaga: jeśli w powyższej definicji a = 0, to taką asymptotę nazywa
Asymptota ukośna - twierdzenie
Asymptota ukośna
Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptotą ukośną prawostronną funkcji f , wtedy i tylko wtedy, gdy
x →∞lim f (x )
x =a, lim
x →∞(f (x ) − ax ) = b.
Analogiczne twierdzenie (tylko z granicami w −∞) zachodzi dla asymptot ukośnych lewostronnych.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 13 / 39
Asymptota ukośna - twierdzenie
Asymptota ukośna
Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptotą ukośną prawostronną funkcji f , wtedy i tylko wtedy, gdy
x →∞lim f (x )
x =a, lim
x →∞(f (x ) − ax ) = b.
Analogiczne twierdzenie (tylko z granicami w −∞) zachodzi dla asymptot ukośnych lewostronnych.
Asymptota ukośna - przykład 1
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x ) =√ x .
Oczywiście, jako że funkcja f jest określona tylko dla liczb
nieujemnych, tylko szukanie asymptoty ukośnej prawostronnej postaci y = ax + b ma sens.
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
√x x = lim
x →∞
1
√x =0.
b = lim
x →∞(f (x ) − ax ) = lim
x →∞
√x = + ∞.
Ponieważ b nie jest liczbą, f nie ma asymptot ukośnych.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 14 / 39
Asymptota ukośna - przykład 1
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x ) =√ x . Oczywiście, jako że funkcja f jest określona tylko dla liczb
nieujemnych, tylko szukanie asymptoty ukośnej prawostronnej postaci y = ax + b ma sens.
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
√x x = lim
x →∞
1
√x =0.
b = lim
x →∞(f (x ) − ax ) = lim
x →∞
√x = + ∞.
Ponieważ b nie jest liczbą, f nie ma asymptot ukośnych.
Asymptota ukośna - przykład 1
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x ) =√ x . Oczywiście, jako że funkcja f jest określona tylko dla liczb
nieujemnych, tylko szukanie asymptoty ukośnej prawostronnej postaci y = ax + b ma sens.
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
√x x =
x →∞lim 1
√x =0.
b = lim
x →∞(f (x ) − ax ) = lim
x →∞
√x = + ∞.
Ponieważ b nie jest liczbą, f nie ma asymptot ukośnych.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 14 / 39
Asymptota ukośna - przykład 1
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x ) =√ x . Oczywiście, jako że funkcja f jest określona tylko dla liczb
nieujemnych, tylko szukanie asymptoty ukośnej prawostronnej postaci y = ax + b ma sens.
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
√x x = lim
x →∞
1
√x =
0.
b = lim
x →∞(f (x ) − ax ) = lim
x →∞
√x = + ∞.
Ponieważ b nie jest liczbą, f nie ma asymptot ukośnych.
Asymptota ukośna - przykład 1
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x ) =√ x . Oczywiście, jako że funkcja f jest określona tylko dla liczb
nieujemnych, tylko szukanie asymptoty ukośnej prawostronnej postaci y = ax + b ma sens.
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
√x x = lim
x →∞
1
√x =0.
b = lim
x →∞(f (x ) − ax ) = lim
x →∞
√x = + ∞.
Ponieważ b nie jest liczbą, f nie ma asymptot ukośnych.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 14 / 39
Asymptota ukośna - przykład 1
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x ) =√ x . Oczywiście, jako że funkcja f jest określona tylko dla liczb
nieujemnych, tylko szukanie asymptoty ukośnej prawostronnej postaci y = ax + b ma sens.
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
√x x = lim
x →∞
1
√x =0.
b = lim(f (x ) − ax ) = lim √ x =
+ ∞.
Ponieważ b nie jest liczbą, f nie ma asymptot ukośnych.
Asymptota ukośna - przykład 1
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x ) =√ x . Oczywiście, jako że funkcja f jest określona tylko dla liczb
nieujemnych, tylko szukanie asymptoty ukośnej prawostronnej postaci y = ax + b ma sens.
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
√x x = lim
x →∞
1
√x =0.
b = lim
x →∞(f (x ) − ax ) = lim
x →∞
√x = + ∞.
Ponieważ b nie jest liczbą, f nie ma asymptot ukośnych.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 14 / 39
Asymptota ukośna - przykład 1
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x ) =√ x . Oczywiście, jako że funkcja f jest określona tylko dla liczb
nieujemnych, tylko szukanie asymptoty ukośnej prawostronnej postaci y = ax + b ma sens.
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
√x x = lim
x →∞
1
√x =0.
b = lim(f (x ) − ax ) = lim √
x = + ∞.
Asymptota ukośna - przykład 2
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x ) = arctg x .
Obliczamy najpierw asymptotę ukośną prawostronną postaci y = ax + b:
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
arctg x x =0,
b = lim
x →∞(f (x ) − ax ) = lim
x →∞arctg x = π 2.
Stąd y = π2 jest asymptotą ukośną (poziomą) prawostronną funkcji f .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 15 / 39
Asymptota ukośna - przykład 2
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x ) = arctg x . Obliczamy najpierw asymptotę ukośną prawostronną postaci y = ax + b:
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
arctg x
x =
0,
b = lim
x →∞(f (x ) − ax ) = lim
x →∞arctg x = π 2.
Stąd y = π2 jest asymptotą ukośną (poziomą) prawostronną funkcji f .
Asymptota ukośna - przykład 2
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x ) = arctg x . Obliczamy najpierw asymptotę ukośną prawostronną postaci y = ax + b:
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
arctg x x =0,
b = lim
x →∞(f (x ) − ax ) = lim
x →∞arctg x =
π 2.
Stąd y = π2 jest asymptotą ukośną (poziomą) prawostronną funkcji f .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 15 / 39
Asymptota ukośna - przykład 2
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x ) = arctg x . Obliczamy najpierw asymptotę ukośną prawostronną postaci y = ax + b:
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
arctg x x =0,
b = lim
x →∞(f (x ) − ax ) = lim
x →∞arctg x = π 2.
Stąd y = π2 jest asymptotą ukośną (poziomą) prawostronną funkcji f .
Asymptota ukośna - przykład 2
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x ) = arctg x . Obliczamy najpierw asymptotę ukośną prawostronną postaci y = ax + b:
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
arctg x x =0,
b = lim
x →∞(f (x ) − ax ) = lim
x →∞arctg x = π 2.
Stąd y = π2 jest asymptotą ukośną (poziomą) prawostronną funkcji f .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 15 / 39
Asymptota ukośna - przykład 2
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x ) = arctg x .
Teraz obliczamy asymptotę ukośną lewostronną postaci y = ax + b: a = lim
x →−∞
f (x ) x = lim
x →−∞
arctg x x =0,
b = lim
x →−∞(f (x ) − ax ) = lim
x →−∞arctg x = −π 2.
Stąd y = −π2 jest asymptotą ukośną (poziomą) lewostronną funkcji f . Funkcja ta nie ma asymptoty ukośnej obustronnej.
Asymptota ukośna - przykład 2
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x ) = arctg x . Teraz obliczamy asymptotę ukośną lewostronną postaci y = ax + b:
a = lim
x →−∞
f (x ) x = lim
x →−∞
arctg x
x =
0,
b = lim
x →−∞(f (x ) − ax ) = lim
x →−∞arctg x = −π 2.
Stąd y = −π2 jest asymptotą ukośną (poziomą) lewostronną funkcji f . Funkcja ta nie ma asymptoty ukośnej obustronnej.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 16 / 39
Asymptota ukośna - przykład 2
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x ) = arctg x . Teraz obliczamy asymptotę ukośną lewostronną postaci y = ax + b:
a = lim
x →−∞
f (x ) x = lim
x →−∞
arctg x x =0,
b = lim
x →−∞(f (x ) − ax ) = lim
x →−∞arctg x =
−π 2.
Stąd y = −π2 jest asymptotą ukośną (poziomą) lewostronną funkcji f . Funkcja ta nie ma asymptoty ukośnej obustronnej.
Asymptota ukośna - przykład 2
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x ) = arctg x . Teraz obliczamy asymptotę ukośną lewostronną postaci y = ax + b:
a = lim
x →−∞
f (x ) x = lim
x →−∞
arctg x x =0,
b = lim
x →−∞(f (x ) − ax ) = lim
x →−∞arctg x = −π 2.
Stąd y = −π2 jest asymptotą ukośną (poziomą) lewostronną funkcji f . Funkcja ta nie ma asymptoty ukośnej obustronnej.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 16 / 39
Asymptota ukośna - przykład 2
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x ) = arctg x . Teraz obliczamy asymptotę ukośną lewostronną postaci y = ax + b:
a = lim
x →−∞
f (x ) x = lim
x →−∞
arctg x x =0,
b = lim
x →−∞(f (x ) − ax ) = lim
x →−∞arctg x = −π 2.
Asymptota ukośna - przykład 3
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji x2−2x −1x .
Obliczamy najpierw asymptotę ukośną prawostronną postaci y = ax + b:
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
x2−2x − 1 x2 = lim
x →∞
1 −2x − 1
x2
1 =1,
b = lim
x →∞
x2−2x − 1
x −x = lim
x →∞
x2−2x − 1 − x2
x = −2.
Zauważmy, że obliczenia asymptoty ukośnej lewostronnej (czyli z granicami lim
x →−∞) są identyczne. Stąd y = x − 2 jest asymptotą ukośną (ale nie poziomą) obustronną funkcji f .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 17 / 39
Asymptota ukośna - przykład 3
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji x2−2x −1x .
Obliczamy najpierw asymptotę ukośną prawostronną postaci y = ax + b:
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
x2−2x − 1
x2 =
x →∞lim
1 −2x − 1
x2
1 =1,
b = lim
x →∞
x2−2x − 1
x −x = lim
x →∞
x2−2x − 1 − x2
x = −2.
Zauważmy, że obliczenia asymptoty ukośnej lewostronnej (czyli z granicami lim
x →−∞) są identyczne. Stąd y = x − 2 jest asymptotą ukośną (ale nie poziomą) obustronną funkcji f .
Asymptota ukośna - przykład 3
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji x2−2x −1x .
Obliczamy najpierw asymptotę ukośną prawostronną postaci y = ax + b:
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
x2−2x − 1 x2 = lim
x →∞
1 −2x − 1
x2
1 =1,
b = lim
x →∞
x2−2x − 1
x −x =
x →∞lim
x2−2x − 1 − x2
x = −2.
Zauważmy, że obliczenia asymptoty ukośnej lewostronnej (czyli z granicami lim
x →−∞) są identyczne. Stąd y = x − 2 jest asymptotą ukośną (ale nie poziomą) obustronną funkcji f .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 17 / 39
Asymptota ukośna - przykład 3
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji x2−2x −1x .
Obliczamy najpierw asymptotę ukośną prawostronną postaci y = ax + b:
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
x2−2x − 1 x2 = lim
x →∞
1 −2x − 1
x2
1 =1,
b = lim
x →∞
x2−2x − 1
x −x = lim
x →∞
x2−2x − 1 − x2
x =
−2. Zauważmy, że obliczenia asymptoty ukośnej lewostronnej (czyli z granicami lim
x →−∞) są identyczne. Stąd y = x − 2 jest asymptotą ukośną (ale nie poziomą) obustronną funkcji f .
Asymptota ukośna - przykład 3
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji x2−2x −1x .
Obliczamy najpierw asymptotę ukośną prawostronną postaci y = ax + b:
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
x2−2x − 1 x2 = lim
x →∞
1 −2x − 1
x2
1 =1,
b = lim
x →∞
x2−2x − 1
x −x = lim
x →∞
x2−2x − 1 − x2
x = −2.
Zauważmy, że obliczenia asymptoty ukośnej lewostronnej (czyli z granicami lim
x →−∞) są identyczne. Stąd y = x − 2 jest asymptotą ukośną (ale nie poziomą) obustronną funkcji f .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 17 / 39
Asymptota ukośna - przykład 3
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji x2−2x −1x .
Obliczamy najpierw asymptotę ukośną prawostronną postaci y = ax + b:
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
x2−2x − 1 x2 = lim
x →∞
1 −2x − 1
x2
1 =1,
b = lim
x →∞
x2−2x − 1
x −x = lim
x →∞
x2−2x − 1 − x2
x = −2.
Stąd y = x − 2 jest asymptotą ukośną (ale nie poziomą) obustronną funkcji f .
Asymptota ukośna - przykład 3
Zadanie
Wskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji x2−2x −1x .
Obliczamy najpierw asymptotę ukośną prawostronną postaci y = ax + b:
a = lim
x →∞
f (x ) x = lim
x →∞
x2−2x − 1 x2 = lim
x →∞
1 −2x − 1
x2
1 =1,
b = lim
x →∞
x2−2x − 1
x −x = lim
x →∞
x2−2x − 1 − x2
x = −2.
Zauważmy, że obliczenia asymptoty ukośnej lewostronnej (czyli z granicami lim
x →−∞) są identyczne. Stąd y = x − 2 jest asymptotą ukośną (ale nie poziomą) obustronną funkcji f .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 17 / 39
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Przez badanie przebiegu zmienności funkcji rozumiemy wypisanie jej własności w postaci łatwej do odczytania, a najlepiej naszkicowanie wykresu te własności demonstrującego. Wymagane są następujące kroki:
Wyznaczenie dziedziny funkcji,
Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności i wyznaczenie asymptot (jeśli istnieją),
Obliczenie pierwszej pochodnej, wyznaczenie maksimów i minimów, wskazanie przedziałów, w których funkcja jest rosnąca/malejąca,
Obliczenie drugiej pochodnej, wyznaczenie punktów przegięcia, wskazanie przedziałów, w których funkcja jest wklęsła/wypukła, Naszkicowanie wykresu zgodnego z obliczeniami.
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Przez badanie przebiegu zmienności funkcji rozumiemy wypisanie jej własności w postaci łatwej do odczytania, a najlepiej naszkicowanie wykresu te własności demonstrującego. Wymagane są następujące kroki:
Wyznaczenie dziedziny funkcji,
Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności i wyznaczenie asymptot (jeśli istnieją),
Obliczenie pierwszej pochodnej, wyznaczenie maksimów i minimów, wskazanie przedziałów, w których funkcja jest rosnąca/malejąca,
Obliczenie drugiej pochodnej, wyznaczenie punktów przegięcia, wskazanie przedziałów, w których funkcja jest wklęsła/wypukła, Naszkicowanie wykresu zgodnego z obliczeniami.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 18 / 39
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Przez badanie przebiegu zmienności funkcji rozumiemy wypisanie jej własności w postaci łatwej do odczytania, a najlepiej naszkicowanie wykresu te własności demonstrującego. Wymagane są następujące kroki:
Wyznaczenie dziedziny funkcji,
Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności i wyznaczenie asymptot (jeśli istnieją),
Obliczenie pierwszej pochodnej, wyznaczenie maksimów i minimów, wskazanie przedziałów, w których funkcja jest rosnąca/malejąca,
Obliczenie drugiej pochodnej, wyznaczenie punktów przegięcia, wskazanie przedziałów, w których funkcja jest wklęsła/wypukła, Naszkicowanie wykresu zgodnego z obliczeniami.
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Przez badanie przebiegu zmienności funkcji rozumiemy wypisanie jej własności w postaci łatwej do odczytania, a najlepiej naszkicowanie wykresu te własności demonstrującego. Wymagane są następujące kroki:
Wyznaczenie dziedziny funkcji,
Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności i wyznaczenie asymptot (jeśli istnieją),
Obliczenie pierwszej pochodnej, wyznaczenie maksimów i minimów, wskazanie przedziałów, w których funkcja jest rosnąca/malejąca,
Obliczenie drugiej pochodnej, wyznaczenie punktów przegięcia, wskazanie przedziałów, w których funkcja jest wklęsła/wypukła, Naszkicowanie wykresu zgodnego z obliczeniami.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 18 / 39
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Przez badanie przebiegu zmienności funkcji rozumiemy wypisanie jej własności w postaci łatwej do odczytania, a najlepiej naszkicowanie wykresu te własności demonstrującego. Wymagane są następujące kroki:
Wyznaczenie dziedziny funkcji,
Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności i wyznaczenie asymptot (jeśli istnieją),
Obliczenie pierwszej pochodnej, wyznaczenie maksimów i minimów, wskazanie przedziałów, w których funkcja jest rosnąca/malejąca,
Obliczenie drugiej pochodnej, wyznaczenie punktów przegięcia,
Naszkicowanie wykresu zgodnego z obliczeniami.
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Przez badanie przebiegu zmienności funkcji rozumiemy wypisanie jej własności w postaci łatwej do odczytania, a najlepiej naszkicowanie wykresu te własności demonstrującego. Wymagane są następujące kroki:
Wyznaczenie dziedziny funkcji,
Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności i wyznaczenie asymptot (jeśli istnieją),
Obliczenie pierwszej pochodnej, wyznaczenie maksimów i minimów, wskazanie przedziałów, w których funkcja jest rosnąca/malejąca,
Obliczenie drugiej pochodnej, wyznaczenie punktów przegięcia, wskazanie przedziałów, w których funkcja jest wklęsła/wypukła, Naszkicowanie wykresu zgodnego z obliczeniami.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 18 / 39
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Dodatkowo, by ułatwić naszkicowanie wykresu, warto wykonać dodatkowe kroki:
Sporządzenie tabelki zmienności funkcji, Zbadanie parzystości/nieparzystości funkcji,
Wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych.
Uwaga! Bardzo często w zadaniach egzaminacyjnych wymagane jest wykonanie tylko części poleceń (np. bez obliczania wartości funkcji w w ekstremach i punktach przegięcia, bez obliczania asymptot lub szkicowania wykresu). Dlatego trzeba uważnie czytać treść zadania.
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Dodatkowo, by ułatwić naszkicowanie wykresu, warto wykonać dodatkowe kroki:
Sporządzenie tabelki zmienności funkcji,
Zbadanie parzystości/nieparzystości funkcji,
Wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych.
Uwaga! Bardzo często w zadaniach egzaminacyjnych wymagane jest wykonanie tylko części poleceń (np. bez obliczania wartości funkcji w w ekstremach i punktach przegięcia, bez obliczania asymptot lub szkicowania wykresu). Dlatego trzeba uważnie czytać treść zadania.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 19 / 39
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Dodatkowo, by ułatwić naszkicowanie wykresu, warto wykonać dodatkowe kroki:
Sporządzenie tabelki zmienności funkcji, Zbadanie parzystości/nieparzystości funkcji,
Wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych.
Uwaga! Bardzo często w zadaniach egzaminacyjnych wymagane jest wykonanie tylko części poleceń (np. bez obliczania wartości funkcji w w ekstremach i punktach przegięcia, bez obliczania asymptot lub szkicowania wykresu). Dlatego trzeba uważnie czytać treść zadania.
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Dodatkowo, by ułatwić naszkicowanie wykresu, warto wykonać dodatkowe kroki:
Sporządzenie tabelki zmienności funkcji, Zbadanie parzystości/nieparzystości funkcji,
Wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych.
Uwaga! Bardzo często w zadaniach egzaminacyjnych wymagane jest wykonanie tylko części poleceń (np. bez obliczania wartości funkcji w w ekstremach i punktach przegięcia, bez obliczania asymptot lub szkicowania wykresu). Dlatego trzeba uważnie czytać treść zadania.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 19 / 39
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Dodatkowo, by ułatwić naszkicowanie wykresu, warto wykonać dodatkowe kroki:
Sporządzenie tabelki zmienności funkcji, Zbadanie parzystości/nieparzystości funkcji,
Wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych.
Uwaga! Bardzo często w zadaniach egzaminacyjnych wymagane jest wykonanie tylko części poleceń (np. bez obliczania wartości funkcji w w ekstremach i punktach przegięcia, bez obliczania asymptot lub
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Poprawne wykonanie badania zmienności funkcji przedstawię na dwóch przykładach. Pierwszym jest zbadanie zachowania funkcji danej wzorem:
f (x ) = 1
√
2πe−x 22.
Jest to bardzo istotna w statystyce funkcja znana jako standardowy rozkład normalny (rozkład Gaussa, rozkład dzwonowy), opisująca typowy rozkład cech w populacji (np. wzrostu, wagi, skłonności do ryzyka, rozkład stóp zwrotu z inwestycji itp.).
Dość ciekawym faktem jest, że kluczowe w badaniach zjawisk społecznych własności populacji, poprzez tę funkcję rozkładu wykazują związek z taką matematyczną abstrakcją jaką pozornie są liczby π i e.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 20 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Poprawne wykonanie badania zmienności funkcji przedstawię na dwóch przykładach. Pierwszym jest zbadanie zachowania funkcji danej wzorem:
f (x ) = 1
√
2πe−x 22.
Jest to bardzo istotna w statystyce funkcja znana jako standardowy rozkład normalny (rozkład Gaussa, rozkład dzwonowy), opisująca typowy rozkład cech w populacji (np. wzrostu, wagi, skłonności do ryzyka, rozkład stóp zwrotu z inwestycji itp.).
Dość ciekawym faktem jest, że kluczowe w badaniach zjawisk społecznych własności populacji, poprzez tę funkcję rozkładu
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to R - więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
x →∞lim f (x )
x = lim
x →∞
e−x 22 x√
2π = [ 0
∞ ] =0. Taki sam wynik otrzymujemy dla lim
x →−∞ f (x )
x . Łatwo sprawdzić też, że
x →∞lim f (x ) = lim
x →−∞f (x ) = 0, więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) obustronną y = 0.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 21 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22. Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.
Oczywiście, jest to R - więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
x →∞lim f (x )
x = lim
x →∞
e−x 22 x√
2π = [ 0
∞ ] =0. Taki sam wynik otrzymujemy dla lim
x →−∞ f (x )
x . Łatwo sprawdzić też, że
x →∞lim f (x ) = lim
x →−∞f (x ) = 0, więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) obustronną y = 0.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to R - więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
x →∞lim f (x )
x = lim
x →∞
e−x 22 x√
2π = [ 0
∞ ] =0. Taki sam wynik otrzymujemy dla lim
x →−∞ f (x )
x . Łatwo sprawdzić też, że
x →∞lim f (x ) = lim
x →−∞f (x ) = 0, więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) obustronną y = 0.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 21 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to R - więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
x →∞lim f (x )
x = lim
x →∞
e−x 22 x√
2π =
[ 0
∞ ] =0. Taki sam wynik otrzymujemy dla lim
x →−∞ f (x )
x . Łatwo sprawdzić też, że
x →∞lim f (x ) = lim
x →−∞f (x ) = 0, więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) obustronną y = 0.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to R - więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
x →∞lim f (x )
x = lim
x →∞
e−x 22 x√
2π = [ 0
∞ ] =
0.
Taki sam wynik otrzymujemy dla lim
x →−∞ f (x )
x . Łatwo sprawdzić też, że
x →∞lim f (x ) = lim
x →−∞f (x ) = 0, więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) obustronną y = 0.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 21 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to R - więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
x →∞lim f (x )
x = lim
x →∞
e−x 22 x√
2π = [ 0
∞ ] =0.
Taki sam wynik otrzymujemy dla lim
x →−∞
f (x ) x .
Łatwo sprawdzić też, że
x →∞lim f (x ) = lim
x →−∞f (x ) = 0, więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) obustronną y = 0.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to R - więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
x →∞lim f (x )
x = lim
x →∞
e−x 22 x√
2π = [ 0
∞ ] =0.
Taki sam wynik otrzymujemy dla lim
x →−∞
f (x )
x . Łatwo sprawdzić też, że
x →∞lim f (x ) = lim
x →−∞f (x ) = 0,
więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) obustronną y = 0.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 21 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to R - więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
x →∞lim f (x )
x = lim
x →∞
e−x 22 x√
2π = [ 0
∞ ] =0.
Taki sam wynik otrzymujemy dla lim
x →−∞
f (x )
x . Łatwo sprawdzić też, że
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
Obliczamy pochodną:
f′(x ) = ( 1
√
2πe−x 22)
′
= − x
√
2πe−x 22. i porównujemy ją z zerem:
f′(x ) > 0 ⇔ x < 0; f′(x ) < 0 ⇔ x > 0; f′(x ) = 0 ⇔ x = 0.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 22 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22. Obliczamy pochodną:
f′(x ) = ( 1
√
2πe−x 22)
′
= − x
√
2πe−x 22. i porównujemy ją z zerem:
f′(x ) > 0 ⇔ x < 0; f′(x ) < 0 ⇔ x > 0; f′(x ) = 0 ⇔ x = 0.
