2. Wybrane zagadnienia matematyki wykorzystywane do opisu liniowych układów automatyki
2.1. Przekształcenie Laplace’a
Wykorzystanie przekształcenia Laplace’a do obliczeń zwane jest rachunkiem operatorowym. Znaczenie rachunku operatorowego w zastosowaniach technicznych polega na tym, że umożliwia on w stosunkowo prosty sposób rozwiązywanie liniowych równań różniczkowych.
Przekształcenie Laplace’a, oznaczane symbolem L, przyporządkowuje funkcji f(t) zmiennej rzeczywistej t funkcję F(s) zmiennej zespolonej sc j wg zależności zwanej całką Laplace’a.
) ( )
( )]
(
[f t f t e dt F s
L
st
(2.1) Funkcja F(s) nazywa się transformatą Laplace’a danej funkcji f(t); funkcja f(t) nazywa się oryginałem funkcji F(s). Nie wszystkie funkcje f(t) mają transformaty.
Aby można było wyznaczyć transformatę funkcji f(t) muszą być spełnione warunki:
- f(t) ma w każdym przedziale skończonym wartość skończoną,
- f(t) ma pochodną dt
df w każdym przedziale skończonym,
- istnieje zbiór liczb rzeczywistych c, dla których całka
f t ectdt0
)
( jest absolutnie zbieżna.
Operacja wyznaczania funkcji F(s) dla danej funkcji f(t) nazywa się prostym przekształceniem (prostą transformacją) Laplace’a. Operacja wyznaczania oryginału na podstawie transformaty, oznaczana symbolem L1, nazywa się odwrotnym przekształceniem Laplace’a. Zależność umożliwiająca określenie oryginału na podstawie transformaty, zwana całką Riemanna – Mellina, ma postać:
ds e s j F
s F L t f
j c
j c
st
( )
2 )] 1 ( [ )
( 1
(2.2)
W technice funkcje f(t) są funkcjami czasu, które mają fizyczny sens dla t0. Zakłada się, że dla t0 f(t)0. Przy tym założeniu, całka Laplace’a przybiera postać zwaną jednostronnym przekształceniem Laplace’a:
dt e t f s
F
st0
) ( )
( (2.3)
W zastosowaniach praktycznych do wykonywania transformacji prostej i odwrotnej, które są podstawowymi operacjami w rachunku operatorowym, zwykle nie zachodzi potrzeba wykorzystywania wzorów definicyjnych. Najczęściej wystarczy znajomość podstawowych własności przekształceń Laplace’a i tablice transformat typowych funkcji zmiennej rzeczywistej. Zestawienie transformat funkcji przydatnych w dalszych rozważaniach zawiera tablica 2.1.
W tablicy 2.1 między innymi występują dwie funkcje, odgrywające ważną rolę w analizie modeli matematycznych elementów i układów automatyki: f(t)(t) - impuls jednostkowy (funkcja Diraca) – rys. 2.1 i f(t)1(t) - skok jednostkowy (funkcja Heaviside’a) – rys. 2.2.
Definicje tych funkcji są następujące:
)
(t dla t0+, 0
) (t
dla t0 oraz
0 ) (
1t dla t0, 1
) (
1t dla t 0.
Nazwa „impuls jednostkowy” funkcji (t) wynika z właściwości tej funkcji 1
)
(
dt
t
Rys. 2.1. Impuls jednostkowy (funkcja Diraca)
Rys. 2.2. Skok jednostkowy (funkcja Heaviside’a)
Tablica 2.1. Tablica transformat Laplace’a wybranych funkcji
Lp. Oryginał f(t) Transformata F(s)
1 (t)– impuls jednostkowy 1
2 1 t( )– skok jednostkowy
s 1
3 t
2
1 s
4 1
! ) 1 (
1
tn
n 1 ; 1
sn n
5 t
e
s
1
6 tet
)2
( 1
s
7 n t
n e
t
)!
1 (
1
0 ) ;
(
1
n
s n 8 sint
2
2
s
9 cost
2 2 s
s
10 1 (1 t) e
( )
1
s s
11 1(et 1)
( )
1
s s
12 e t sin( o 1 )t
1
2 2
0 0
2 0 0 2
2 0
2
s
s
1 0 13
2
2 2 0
1
) 1
( sin 1
1
0
tg arc
e t t
) 2
( 2 0 02
2 0
s
s s
1 0
14
sin 4 4
2 cos 4
2 2
2
2 2
D C t e
C D
AC B
D C t Ae
Ct Ct
0
2 4
2
D C
D Cs s
B As
W dalszych rozważaniach będą wykorzystywane niżej wymienione twierdzenia dotyczące własności przekształcenia Laplace’a.
Twierdzenia o liniowości :
)]
( [ )]
( [
)]
( [ )]
( [ )]
( ) (
[ 1 2 1 2
t f L k t f k L
t f L t f L t f t f L
(2.4)
)]
( [ )]
( [
)]
( [ )]
( [ )]
( ) ( [
1 1
1
2 1 1
1 2
1 1
s F L k s F k L
s F L s F L s F s F L
(2.5)
Twierdzenia o transformacie pochodnych :
) 0 ( ) ( )
0 ( )]
( ) [
(
s L f t f s F s f
dt t
L df (2.6)
gdzie F(s)L[f(t)],
) 0 ( ) 0 ( )
) (
( 2 '
2
2
s F s s f f
dt t f
L d (2.7)
gdzie
dt t f df( )
'
Wzór ogólny ma postać:
) 0 ( )
0 ( .
...
) 0 ( ' )
0 ( )
) ( (
) 1 ( )
2 (
2 1
n n
n n
n n
n
f f
s
f s f
s s F dt s
t f L d
(2.8)
gdzie 1
1 )
1
( ( )
nn n
dt t f
f d
Twierdzenie o transformacie całki:
s s t F
f s L d f L
t ( )
) 1 (
) (
0
(2.9)Twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie zmiennej zespolonej:
) ( ) (
) ( ) (
s F t f e L
s F t f e L
t t
(2.10)
Twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie zmiennej rzeczywistej:
) ( )]
( [ )
( [
) ( )]
( [ )
( [
s F e t f L e t
f L
s F e t f L e t
f L
s s
s s
(2.11)
Twierdzenia o wartości początkowej i końcowej:
- jeżeli istnieje granica lim ( ) (0 )
0
f t f
t , to
) ( lim ) ( lim
0 f t s F s
s
t
, (2.12)
- jeżeli istnieje granica lim ( ) ()
f t f
t , to
) ( lim ) ( lim
0s F s t
f
s
t
(2.13)
2.2. Zastosowanie przekształcenia Laplace’a do rozwiązywania liniowych zwyczajnych równań różniczkowych o stałych współczynnikach
Rozwiązaniem równania różniczkowego
) ( ) ) (
( )
... ( ) ( )
( 2 1 0
2 1 2
1
1 a y t f t
dt t a dy dt
t y a d
dt t y a d
dt t y
andn n n nn (2.14)
ze stałymi współczynnikami an,...a0, w którym f(t) jest znaną funkcją zmiennej rzeczywistej t , jest funkcja y(t) spełniająca to równanie. Na ogół równanie takie spełnia wiele (tzw. rodzina) funkcji y(t). Zwykle poszukuje się jednej funkcji y(t), spełniającej dodatkowe warunki, tzw. warunki brzegowe (początkowe), która nazywa się rozwiązaniem szczególnym danego równania różniczkowego.
Równanie różniczkowe można zapisać także stosując uproszczoną symbolikę:
) ( ) ( )
( )
( ...
) ( )
( 1 ( 1) 2 1 0
)
( t a y t a y t a y t a y t f t
y
an n n n (2.15)
Wykorzystując rachunek operatorowy, poszukiwanie rozwiązania szczególnego można sprowadzić do następujących operacji:
- poddanie przekształceniu Laplace’a obu stron danego równania z uwzględnieniem warunków początkowych,
- wyznaczenie transformaty Y(s) szukanej funkcji,
- wyznaczenie szukanej funkcji przez wykonanie odwrotnego przekształcenia Laplace’a y(t) L1[Y(s)].
Przykład 2.1
Wyznaczyć funkcję y(t) spełniającą równanie 0
) ( 2 ) ( 3 )
(t y t y t
y
i warunki początkowe: y(0)0 i y(0)2. Rozwiązanie
Zgodnie z podanym algorytmem, poddajemy obie strony równania przekształceniu Laplace’a. Wykorzystuje się przy tym twierdzenie o liniowości i o transformacji pochodnych. Oznaczając transformatę szukanej funkcji
) ( )]
(
1[y t Y s
L
można napisać:
( ) (0 )
2 ( ) 03 ) 0 ( ) 0 ( )
2Y(s sy y sY s y Y s
s
Po uwzględnieniu warunków początkowych i przekształceniu, otrzymuje się transformatę szukanej funkcji
2 3 ) 2
( 2
s s s
Y
Wyznaczenie oryginału jest sprawą prostą, jeżeli otrzymana transformata występuje w tablicy transformat. W przeciwnym przypadku należy mianownik transformaty rozłożyć na czynniki, co umożliwia przekształcenie transformaty na sumę ułamków prostych. W danym przypadku
) 1 )(
2 (
2 2
3 ) 2
( 2
s s s
s s Y
Ułamek
) 1 )(
2 (
2
s
s jest sumą dwóch ułamków prostych
1 2
2 1
s
A s
A .
Wartości A1 i A2 można wyznaczyć przyrównując obydwa wyrażenia:
) 1 ( ) 2 (
2 )
1 ( ) 2 (
2 )
( )
1 ( ) 2 (
) 2 ( )
1 ( 1 2
2 1
2 1 2
1 2 1
s s s s
A A
s A A s
s
s A s
A s
A s
A
Z porównania liczników wynika układ równań
2 2
0
2 1
2 1
A A
A A
z którego otrzymuje się: A1 2 oraz A2 2.
Transformatę szukanej funkcji można więc przedstawić w postaci
1 2 1 2 2 1 )
(
s s
s Y
Posługując się tablicą transformat otrzymujemy szukaną funkcję
t
t e
e t
y( )2 2 2
Zwykle najbardziej pracochłonną czynnością przy rozwiązywaniu równania różniczkowego jest rozkład transformaty na ułamki proste. Sposób rozkładu zależy od rodzaju miejsc zerowych mianownika transformaty.
Jeżeli mianownik transformaty ma tylko pojedyncze rzeczywiste miejsca zerowe, to rozkład na ułamki proste przeprowadza się według wzoru:
m m
m s s
A s
s A s s
A s
s s
s s s
s L s
M s s L
F
...
) )...(
)(
(
) ( )
( ) ) (
(
2 2
1 1
2 1
(2.16) Współczynniki A1, ... Am można wyznaczyć ze wzoru:
) )(
( )
lim ( k
s
k s s s
s M
s A L
k
(2.17)
Wzory (2.16) i (2.17) obowiązują również w przypadku, w którym jedno z miejsc zerowych wielomianu M(s)jest zerem.
Jeżeli wielomian M(s) posiada oprócz pojedynczych rzeczywistych miejsc zerowych także miejsca zerowe wielokrotne, np. p–krotne miejsce zerowe s2, to rozkład na ułamki proste przeprowadza się według wzoru:
p p
p s s
B s
s B s
s B s s
A s
s s s
s L s
M s s L
F .... ( )
) (
) )(
(
) ( )
( ) ) (
(
2 2
2 2
2 1
1 1
2
1
(2.18)
Współczynniki B1, ... B można wyznaczyć ze wzorów: p
p s
p s s s
s M
s
B L ( )
) (
)
lim ( 2
2
(2.19)
p
s
p s s s
s M
s L ds
B d ( )
) (
)
lim ( 2
1
2 (2.20)
p
s
p s s s
s M
s L ds
B d ( )
) (
) (
! 2
lim 1 22 2
2
2 (2.21)
p
i i s i s
p s s
s M
s L ds
d
B i ( )
) (
) (
!
lim 1 2
2
(2.22) Podany sposób rozkładu dotyczy także wielokrotnego miejsca zerowego równego zero.
Mianownik transformaty oprócz miejsc zerowych rzeczywistych pojedynczych i wielokrotnych może mieć pary miejsc zerowych zespolonych sprzężonych. W przypadku wystąpienia jednej pary miejsc zerowych sprzężonych, np.
3 ) 2
3 2 )(
(
) ( )
( ) ) (
(
1 2 1
1
s s
D s C s s
A s
s s s
s L s
M s s L
F
licznik ułamka prostego, którego mianownik jest trójmianem winien być dwumianem.
W każdym przypadku wartości współczynników występujących w licznikach ułamków prostych można wyznaczyć metodą wykorzystaną w przykładzie 2.1.
Przykłady do samodzielnego rozwiązania:
1. Rozwiązać równanie różniczkowe y(t)4y(t)13y(t)0 przy warunkach początkowych: y(0)1, y(0)0 y(0)0.
Odp.: y t e t t e t sin3t 3
3 2 cos )
( 2 2
2. Rozwiązać równanie 2y(t)3y(t) y(t)4 przy warunkach początkowych:y(0)1, y(0)1.
Odp.: y(t)4et4e0.5t
3. Wyznaczyć oryginał transformaty 2 ) 2 ( ) 1
(
s s s
F .
Odp.: f t e 2t t e 2t 2 1 4
1 4 ) 1
(
2.3. Linearyzacja równań nieliniowych
Modele matematyczne procesów zachodzących w urządzeniach technicznych lub zachodzących z udziałem tych urządzeń mogą mieć postać równań algebraicznych, równań różniczkowych albo równań różnicowych (w przypadku urządzeń o działaniu impulsowym). Mogą to być równania liniowe albo nieliniowe. Matematyczny opis zjawisk fizycznych (model matematyczny) jest zawsze przybliżeniem ich rzeczywistego charakteru. W przypadku modeli nieliniowych, do niektórych celów może okazać się bardziej użyteczny mniej dokładny model liniowy. Tworzenie opisu liniowego na podstawie opisu nieliniowego nazywa się linearyzacją.
Linearyzacja opisu nieliniowego w postaci równań algebraicznych nazywa się linearyzacją statyczną, linearyzacja opisu nieliniowego w postaci równań różniczkowych nazywa się linearyzacją dynamiczną.
Metody linearyzacji statycznej przedstawiono na przykładzie nieliniowej funkcji jednej zmiennej y f(x) - rys. 2.3.
Postać równania liniowego zależy od celu linearyzacji, którym może być:
- uzyskanie najlepszej zgodności opisu liniowego z nieliniowym w określonym przedziale zmian zmiennej niezależnej (rys.2.3a) - jest to linearyzacja metodą siecznej,
- uzyskanie najlepszej zgodności opisu liniowego z nieliniowym dla określonej wartości zmiennej niezależnej, a więc i określonej wartości zmiennej zależnej, (rys. 2.3b) - jest to linearyzacja metodą stycznej.
Przykładowo na rys. 2.3a prosta 1 reprezentuje liniową funkcję y1 a1k1x, która zastępuje opis nieliniowy w zakresie x1 xx2 tak aby średniokwadratowy błąd różnicy między układem nieliniowym a jego liniowym przybliżeniem był minimalny, natomiast prosta 2 na rys. 2.3b reprezentuje liniową funkcję y2 a2 k2x, która jest zgodna z opisem nieliniowym jedynie w punkcie o współrzędnych x0, y0.
Ponieważ w automatyce rozważa się zachowanie układów w otoczeniu określonego punktu pracy, w dalszych rozważaniach przydatny jest drugi sposób linearyzacji.
Jest oczywiste, że współczynnik kierunkowy k2 jest pochodną nieliniowej funkcji )
(x
f , wyznaczoną w punkcie pracy o współrzędnych x0 i y0, zapisywaną symbolicznie w postaci
0 2
) (
dx x k df
Zlinearyzowaną funkcję y2 a2k2x można zapisać także w postaci )
( 0
2 0
2 y k x x
y .
W automatyce, w przypadku posługiwania się funkcjami zlinearyzowanymi w określonym punkcie pracy, na ogół interesująca jest zależność pomiędzy odchyleniami
x i y od punktu pracy, gdzie: y yy0 i xxx0. Zatem jako ostateczny wynik linearyzacji metodą stycznej traktuje się zależność
dx x x
y df
0
)
( (2.23)
pomiędzy odchyleniami x i y od punktu pracy, zwanymi zmiennymi przyrostowymi.
Rys. 2.3. Interpretacja geometryczna metod linearyzacji nieliniowej funkcji jednej zmiennej: a) linearyzacja metodą siecznej, b) linearyzacja metodą stycznej Przeprowadzony proces linearyzacji polegał więc na :
- zastąpieniu krzywej, reprezentującej nieliniową zależność y f(x) styczną do niej w punkcie pracy,
- przeniesieniu początku układu współrzędnych do punktu pracy,
- zastąpieniu w modelu matematycznym zmiennych absolutnych x i y odchyleniami tych zmiennych od punktu pracy - zmiennymi przyrostowymi x i y.
Należy pamiętać, że równanie zlinearyzowane stanowi przybliżenie funkcji nieliniowej jedynie w otoczeniu punktu pracy, dla którego zostało wyznaczone.
Przedstawione metody linearyzacji nie zmieniają rzeczywistych nieliniowych właściwości opisywanego urządzenia, a jedynie ułatwiają ich analizę.
a) b)
Rys. 2.4. Interpretacja geometryczna linearyzacji układowej funkcji nieliniowej NL1 metodą sprzężenia zwrotnego: a) schemat układu, b) zależności pomiędzy sygnałami
W praktyce przemysłowej wykorzystuje się również tzw. linearyzację układową, polegającą na zastosowaniu dodatkowych elementów, które w odpowiednim połączeniu z elementem nieliniowym tworzą układ liniowy. Przykład linearyzacji polegającej na zastosowaniu dodatkowego liniowego elementu L2, tworzącego wraz z elementem nieliniowym układ liniowy, przedstawiono na rys. 2.4.
Przeprowadzone rozważania rozszerzyć można na funkcje wielu zmiennych. Na przykład, nieliniowej zależności y f(x1,x2) odpowiada równanie zlinearyzowane
2 2 0
2 1 1
1 0 2
1, ) ( , )
( x
x x x x f
x x x
y f
(2.24)
Równanie to reprezentuje płaszczyznę styczną do powierzchni opisanej nieliniowym równaniem y f(x1,x2), przy czym punkt styczności odpowiada założonemu punktowi pracy.
Ogólnie nieliniowej zależności y f(x1,x2,...xn) odpowiada równanie zlinearyzowane :
n n
x x x f
x x f
x
y f
0 2
2 0 1
1 0
... (2.25)
W przypadku nieliniowej funkcji przedstawionej w postaci uwikłanej, np.
0 ) , ,
(x1 x2 y
F
funkcja zlinearyzowana wokół punktu pracy o współrzędnych x10, x20, y0, ma postać:
0
0 2
2 0 1 1 0
y
dy x dF dx
x dF dx
dF
(2.26) Przykład 2.2
Przeprowadzić linearyzację funkcji yx2 w punkcie o współrzędnejx0 1.
Rys. 2.5. Rysunek do przykładu 2.2
Rozwiązanie
Korzystając ze wzoru (2.23) otrzymuje się
x x xx dx x
y d
( ) 2 0 2
0 2
Linearyzowaną funkcję oraz wynik linearyzacji – funkcję y2x (linia przerywana) przedstawiono na rys.2.5.
Przykład 2.3
Wyznaczyć zlinearyzowaną funkcję określającą zależność strumienia masy Q cieczy przepływającej przez zawór (rys. 2.6) od ciśnień p1 i p2 odpowiednio przed i za zaworem oraz od odległości x grzybka od gniazda zaworu.
Rys. 2.6. Schemat ideowy zaworu do przykładu 2.3 Rozwiązanie
W praktyce do wyrażenia zależności Q f(x,p1,p2) wykorzystuje się wzór )
(
2 p1 p2 dx
Q
w którym: - współczynnik przepływu, d - średnica gniazda zaworu, - gęstość cieczy, przy czym zakłada się, że const., const.
Jest to zależność nieliniowa, która po linearyzacji przybiera postać
2 2 0 1 1 0 0
p p p Q p x Q x
Q Q
,
przy czym
2 ( 1 2)
0 2 ( 10 20)0
p p d
p p x d
Q
) (
2 )
(
2 0 10 20
2 0 0 1
1 x p p
p x p
p Q
) (
2 )
(
2 0 10 20
2 0 0 1
2 x p p
p x p
p Q
gdzie x0, p10, p20 są współrzędnymi (parametrami) założonego punktu pracy.
Wartości współczynników równania zlinearyzowanego zmieniają się w przypadku zmiany punktu pracy.
Metodę linearyzacji dynamicznej przedstawiono na przykładzie równania różniczkowego, będącego nieliniową zależnością pomiędzy funkcjami y(t) i x(t) i ich pochodnymi
y(t),y(t),y(t),....y( )(t),x(t),x(t),x(t),....x( )(t)
0F n m (2.27)
W zastosowaniach praktycznych linearyzację dynamiczną przeprowadza się dla tzw.
statycznych punktów pracy, tj. punktów, w których wszystkie pochodne w równaniu (2.27) przyjmują wartość zero. Zbiór takich statycznych punktów pracy nazywa się charakterystyką statyczną opisywanego procesu. Zależność reprezentującą charakterystykę statyczną wyznacza się przyrównując do zera wartości pochodnych w równaniu różniczkowym. Oznacza to, że występujące w linearyzowanym równaniu funkcje y(t) i x(t) przyjmują wartości stałe, oznaczane jako y i x. Charakterystyka statyczna procesu opisanego równaniem różniczkowym (2.26) jest równaniem algebraicznym
0 ) ,
0(x y
F (2.28)
gdzie x i y są współrzędnymi charakterystyki statycznej danego procesu.
Linearyzując równanie różniczkowe (2.27), zarówno funkcje y(t) i x(t) jak i ich pochodne traktuje się analogicznie jak zmienne funkcji uwikłanej. Zatem równanie zlinearyzowane ma postać
0 ...
...
) ( ) 0 0 (
0
0 )
( ) 0 0 (
0 0
m m
n n
x x x F
x x F x F
x x y F
y y F
y y F y y F y F
(2.29)
gdzie:
) 0
(t y y
y
,
dt y y d
,
2 2
dt y y d
,
n n n
dt y
y d
( ) , xx(t)x0,
dt x x d
,
2 2
dt x x d
,
m m m
dt x
x d
( )
Nieliniowe równanie różniczkowe (2.27) zostało w wyniku linearyzacji zastąpione równaniem różniczkowym liniowym (2.29) o stałych współczynnikach.
Współczynnikami tymi są wartości odpowiednich pochodnych, wyznaczone w założonym punkcie pracy.
Przykład 2.4
Zlinearyzować nieliniowe równanie różniczkowe 0
)]
( [ 2 ) ( ) ( )]
( [ 2 )
(t x t 2x t x t x t 2
y
w statycznym punkcie pracy o współrzędnej x0 1 i wyznaczyć charakterystykę statyczną.
Rozwiązanie
Zgodnie ze wzorem (2.29) równanie zlinearyzowane ma postać
4 ( ) ( )
( )
( ) ( )
4 ( )
( ) 0)
( 0 0 0
y t x t x t x t x t x t xt xt
Ponieważ w statycznym punkcie pracy x(t)0 i x(t)0, ostatecznie otrzymuje się równanie zlinearyzowane
0 ) ( ) ( 4 )
(
y t x t x t
Przyrównując w danym nieliniowym równaniu różniczkowym pochodne do zera otrzymuje się charakterystykę statyczną
2x2
y .
Dla modelu zlinearyzowanego również można wyznaczyć charakterystykę statyczną, przyrównując pochodne do zera. W rozważanym przykładzie ma ona postać
x y
4
Łatwo zauważyć, że charakterystyka statyczna wyznaczona na podstawie modelu zlinearyzowanego reprezentuje linię prostą, styczną w punkcie pracy do charakterystyki statycznej wyznaczonej na podstawie modelu nieliniowego.