• Nie Znaleziono Wyników

2. Wybrane zagadnienia matematyki wykorzystywane do opisu liniowych układów automatyki

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "2. Wybrane zagadnienia matematyki wykorzystywane do opisu liniowych układów automatyki"

Copied!
14
0
0

Pełen tekst

(1)

2. Wybrane zagadnienia matematyki wykorzystywane do opisu liniowych układów automatyki

2.1. Przekształcenie Laplacea

Wykorzystanie przekształcenia Laplace’a do obliczeń zwane jest rachunkiem operatorowym. Znaczenie rachunku operatorowego w zastosowaniach technicznych polega na tym, że umożliwia on w stosunkowo prosty sposób rozwiązywanie liniowych równań różniczkowych.

Przekształcenie Laplacea, oznaczane symbolem L, przyporządkowuje funkcji f(t) zmiennej rzeczywistej t funkcję F(s) zmiennej zespolonej scj wg zależności zwanej całką Laplacea.

) ( )

( )]

(

[f t f t e dt F s

L

st

(2.1) Funkcja F(s) nazywa się transformatą Laplacea danej funkcji f(t); funkcja f(t) nazywa się oryginałem funkcji F(s). Nie wszystkie funkcje f(t) mają transformaty.

Aby można było wyznaczyć transformatę funkcji f(t) muszą być spełnione warunki:

- f(t) ma w każdym przedziale skończonym wartość skończoną,

- f(t) ma pochodną dt

df w każdym przedziale skończonym,

- istnieje zbiór liczb rzeczywistych c, dla których całka

f t ectdt

0

)

( jest absolutnie zbieżna.

Operacja wyznaczania funkcji F(s) dla danej funkcji f(t) nazywa się prostym przekształceniem (prostą transformacją) Laplacea. Operacja wyznaczania oryginału na podstawie transformaty, oznaczana symbolem L1, nazywa się odwrotnym przekształceniem Laplacea. Zależność umożliwiająca określenie oryginału na podstawie transformaty, zwana całką Riemanna – Mellina, ma postać:

ds e s j F

s F L t f

j c

j c

st

 

 ( )

2 )] 1 ( [ )

( 1

(2.2)

W technice funkcje f(t) są funkcjami czasu, które mają fizyczny sens dla t0. Zakłada się, że dla t0 f(t)0. Przy tym założeniu, całka Laplacea przybiera postać zwaną jednostronnym przekształceniem Laplacea:

(2)

dt e t f s

F

st

0

) ( )

( (2.3)

W zastosowaniach praktycznych do wykonywania transformacji prostej i odwrotnej, które są podstawowymi operacjami w rachunku operatorowym, zwykle nie zachodzi potrzeba wykorzystywania wzorów definicyjnych. Najczęściej wystarczy znajomość podstawowych własności przekształceń Laplace’a i tablice transformat typowych funkcji zmiennej rzeczywistej. Zestawienie transformat funkcji przydatnych w dalszych rozważaniach zawiera tablica 2.1.

W tablicy 2.1 między innymi występują dwie funkcje, odgrywające ważną rolę w analizie modeli matematycznych elementów i układów automatyki: f(t)(t) - impuls jednostkowy (funkcja Diraca) – rys. 2.1 i f(t)1(t) - skok jednostkowy (funkcja Heaviside’a) – rys. 2.2.

Definicje tych funkcji są następujące:



 )

(t dla t0+, 0

) (t

 dla t0 oraz

0 ) (

1t  dla t0, 1

) (

1t  dla t 0.

Nazwa „impuls jednostkowy” funkcji (t) wynika z właściwości tej funkcji 1

)

( 



dt

t

Rys. 2.1. Impuls jednostkowy (funkcja Diraca)

Rys. 2.2. Skok jednostkowy (funkcja Heaviside’a)

(3)

Tablica 2.1. Tablica transformat Laplacea wybranych funkcji

Lp. Oryginał f(t) Transformata F(s)

1 (t)– impuls jednostkowy 1

2 1 t( )– skok jednostkowy

s 1

3 t

2

1 s

4 1

! ) 1 (

1

tn

n 1 ; 1

sn n

5 t

e

s

1

6 tet

)2

( 1

s

7 n t

n e

t

)!

1 (

1

0 ) ;

(

1 

n

sn 8 sint

2

2

s

9 cost

2 2  s

s

10 1 (1 t) e

( )

1

s s

11 1(et 1)

 ( )

1

s s

12 e t sin( o 1 )t

1

2 2

0 0  



 

2 0 0 2

2 0

2 

s

s

1 0  13

 

 



2

2 2 0

1

) 1

( sin 1

1

0

 

 

tg arc

e t t

) 2

( 2 0 02

2 0



s

s s

1 0 

(4)

14

sin 4 4

2 cos 4

2 2

2

2 2

D C t e

C D

AC B

D C t Ae

Ct Ct

 

 

0

2 4

2

D C

D Cs s

B As

W dalszych rozważaniach będą wykorzystywane niżej wymienione twierdzenia dotyczące własności przekształcenia Laplacea.

Twierdzenia o liniowości :

)]

( [ )]

( [

)]

( [ )]

( [ )]

( ) (

[ 1 2 1 2

t f L k t f k L

t f L t f L t f t f L

 (2.4)

)]

( [ )]

( [

)]

( [ )]

( [ )]

( ) ( [

1 1

1

2 1 1

1 2

1 1

s F L k s F k L

s F L s F L s F s F L

 (2.5)

Twierdzenia o transformacie pochodnych :

) 0 ( ) ( )

0 ( )]

( ) [

(        



 s L f t f s F s f

dt t

L df (2.6)

gdzie F(s)L[f(t)],

) 0 ( ) 0 ( )

) (

( 2 '

2

2       

 

s F s s f f

dt t f

L d (2.7)

gdzie

dt t f df( )

'

Wzór ogólny ma postać:

) 0 ( )

0 ( .

...

) 0 ( ' )

0 ( )

) ( (

) 1 ( )

2 (

2 1







n n

n n

n n

n

f f

s

f s f

s s F dt s

t f L d

(2.8)

gdzie 1

1 )

1

( ( )

nn n

dt t f

f d

Twierdzenie o transformacie całki:

 

s s t F

f s L d f L

t ( )

) 1 (

) (

0



 

(2.9)

Twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie zmiennej zespolonej:

 



) ( ) (

) ( ) (

s F t f e L

s F t f e L

t t

(2.10)

Twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie zmiennej rzeczywistej:

(5)





) ( )]

( [ )

( [

) ( )]

( [ )

( [

s F e t f L e t

f L

s F e t f L e t

f L

s s

s s

 (2.11)

Twierdzenia o wartości początkowej i końcowej:

- jeżeli istnieje granica lim ( ) (0 )

0  

f t f

t , to

) ( lim ) ( lim

0 f t s F s

s

t  

, (2.12)

- jeżeli istnieje granica lim ( ) ()

f t f

t , to

) ( lim ) ( lim

0s F s t

f

s

t  

(2.13)

2.2. Zastosowanie przekształcenia Laplacea do rozwiązywania liniowych zwyczajnych równań różniczkowych o stałych współczynnikach

Rozwiązaniem równania różniczkowego

) ( ) ) (

( )

... ( ) ( )

( 2 1 0

2 1 2

1

1 a y t f t

dt t a dy dt

t y a d

dt t y a d

dt t y

andn nnnn         (2.14)

ze stałymi współczynnikami an,...a0, w którym f(t) jest znaną funkcją zmiennej rzeczywistej t , jest funkcja y(t) spełniająca to równanie. Na ogół równanie takie spełnia wiele (tzw. rodzina) funkcji y(t). Zwykle poszukuje się jednej funkcji y(t), spełniającej dodatkowe warunki, tzw. warunki brzegowe (początkowe), która nazywa się rozwiązaniem szczególnym danego równania różniczkowego.

Równanie różniczkowe można zapisać także stosując uproszczoną symbolikę:

) ( ) ( )

( )

( ...

) ( )

( 1 ( 1) 2 1 0

)

( t a y t a y t a y t a y t f t

y

annnn         (2.15)

Wykorzystując rachunek operatorowy, poszukiwanie rozwiązania szczególnego można sprowadzić do następujących operacji:

- poddanie przekształceniu Laplacea obu stron danego równania z uwzględnieniem warunków początkowych,

- wyznaczenie transformaty Y(s) szukanej funkcji,

- wyznaczenie szukanej funkcji przez wykonanie odwrotnego przekształcenia Laplacea y(t) L1[Y(s)].

Przykład 2.1

Wyznaczyć funkcję y(t) spełniającą równanie 0

) ( 2 ) ( 3 )

(t  y t  y t

y 

(6)

i warunki początkowe: y(0)0 i y(0)2. Rozwiązanie

Zgodnie z podanym algorytmem, poddajemy obie strony równania przekształceniu Laplacea. Wykorzystuje się przy tym twierdzenie o liniowości i o transformacji pochodnych. Oznaczając transformatę szukanej funkcji

) ( )]

(

1[y t Y s

L

można napisać:

( ) (0 )

2 ( ) 0

3 ) 0 ( ) 0 ( )

2Y(ssy  y    sY sy   Y s

s

Po uwzględnieniu warunków początkowych i przekształceniu, otrzymuje się transformatę szukanej funkcji

2 3 ) 2

( 2

 

s s s

Y

Wyznaczenie oryginału jest sprawą prostą, jeżeli otrzymana transformata występuje w tablicy transformat. W przeciwnym przypadku należy mianownik transformaty rozłożyć na czynniki, co umożliwia przekształcenie transformaty na sumę ułamków prostych. W danym przypadku

) 1 )(

2 (

2 2

3 ) 2

( 2

 

 

s s s

s s Y

Ułamek

) 1 )(

2 (

2

s

s jest sumą dwóch ułamków prostych

1 2

2 1

 

s

A s

A .

Wartości A1 i A2 można wyznaczyć przyrównując obydwa wyrażenia:

) 1 ( ) 2 (

2 )

1 ( ) 2 (

2 )

( )

1 ( ) 2 (

) 2 ( )

1 ( 1 2

2 1

2 1 2

1 2 1

 

 

 

 

s s s s

A A

s A A s

s

s A s

A s

A s

A

Z porównania liczników wynika układ równań

2 2

0

2 1

2 1

A A

A A

z którego otrzymuje się: A1 2 oraz A2 2.

Transformatę szukanej funkcji można więc przedstawić w postaci

1 2 1 2 2 1 )

(   

 

s s

s Y

Posługując się tablicą transformat otrzymujemy szukaną funkcję

t

t e

e t

y( )2 2 2

(7)

Zwykle najbardziej pracochłonną czynnością przy rozwiązywaniu równania różniczkowego jest rozkład transformaty na ułamki proste. Sposób rozkładu zależy od rodzaju miejsc zerowych mianownika transformaty.

Jeżeli mianownik transformaty ma tylko pojedyncze rzeczywiste miejsca zerowe, to rozkład na ułamki proste przeprowadza się według wzoru:

m m

m s s

A s

s A s s

A s

s s

s s s

s L s

M s s L

F   

 

 

 

 ...

) )...(

)(

(

) ( )

( ) ) (

(

2 2

1 1

2 1

(2.16) Współczynniki A1, ... Am można wyznaczyć ze wzoru:

) )(

( )

lim ( k

s

k s s s

s M

s A L

k

(2.17)

Wzory (2.16) i (2.17) obowiązują również w przypadku, w którym jedno z miejsc zerowych wielomianu M(s)jest zerem.

Jeżeli wielomian M(s) posiada oprócz pojedynczych rzeczywistych miejsc zerowych także miejsca zerowe wielokrotne, np. p–krotne miejsce zerowe s2, to rozkład na ułamki proste przeprowadza się według wzoru:

p p

p s s

B s

s B s

s B s s

A s

s s s

s L s

M s s L

F .... ( )

) (

) )(

(

) ( )

( ) ) (

(

2 2

2 2

2 1

1 1

2

1   

 

 

 

 

 (2.18)

Współczynniki B1, ... B można wyznaczyć ze wzorów: p

p s

p s s s

s M

s

B L ( )

) (

)

lim ( 2

2

(2.19)



 

 

p

s

p s s s

s M

s L ds

B d ( )

) (

)

lim ( 2

1

2 (2.20)



 

 

p

s

p s s s

s M

s L ds

B d ( )

) (

) (

! 2

lim 1 22 2

2

2 (2.21)



 

 

p

i i s i s

p s s

s M

s L ds

d

B i ( )

) (

) (

!

lim 1 2

2

(2.22) Podany sposób rozkładu dotyczy także wielokrotnego miejsca zerowego równego zero.

Mianownik transformaty oprócz miejsc zerowych rzeczywistych pojedynczych i wielokrotnych może mieć pary miejsc zerowych zespolonych sprzężonych. W przypadku wystąpienia jednej pary miejsc zerowych sprzężonych, np.

(8)

3 ) 2

3 2 )(

(

) ( )

( ) ) (

(

1 2 1

1  

 

 

 

s s

D s C s s

A s

s s s

s L s

M s s L

F

licznik ułamka prostego, którego mianownik jest trójmianem winien być dwumianem.

W każdym przypadku wartości współczynników występujących w licznikach ułamków prostych można wyznaczyć metodą wykorzystaną w przykładzie 2.1.

Przykłady do samodzielnego rozwiązania:

1. Rozwiązać równanie różniczkowe y(t)4y(t)13y(t)0 przy warunkach początkowych: y(0)1, y(0)0 y(0)0.

Odp.: y t e t t e t sin3t 3

3 2 cos )

(  2   2

2. Rozwiązać równanie 2y(t)3y(t) y(t)4 przy warunkach początkowych:y(0)1, y(0)1.

Odp.: y(t)4et4e0.5t

3. Wyznaczyć oryginał transformaty 2 ) 2 ( ) 1

(  

s s s

F .

Odp.: f t e 2t t e 2t 2 1 4

1 4 ) 1

(    

2.3. Linearyzacja równań nieliniowych

Modele matematyczne procesów zachodzących w urządzeniach technicznych lub zachodzących z udziałem tych urządzeń mogą mieć postać równań algebraicznych, równań różniczkowych albo równań różnicowych (w przypadku urządzeń o działaniu impulsowym). Mogą to być równania liniowe albo nieliniowe. Matematyczny opis zjawisk fizycznych (model matematyczny) jest zawsze przybliżeniem ich rzeczywistego charakteru. W przypadku modeli nieliniowych, do niektórych celów może okazać się bardziej użyteczny mniej dokładny model liniowy. Tworzenie opisu liniowego na podstawie opisu nieliniowego nazywa się linearyzacją.

Linearyzacja opisu nieliniowego w postaci równań algebraicznych nazywa się linearyzacją statyczną, linearyzacja opisu nieliniowego w postaci równań różniczkowych nazywa się linearyzacją dynamiczną.

Metody linearyzacji statycznej przedstawiono na przykładzie nieliniowej funkcji jednej zmiennej yf(x) - rys. 2.3.

Postać równania liniowego zależy od celu linearyzacji, którym może być:

(9)

- uzyskanie najlepszej zgodności opisu liniowego z nieliniowym w określonym przedziale zmian zmiennej niezależnej (rys.2.3a) - jest to linearyzacja metodą siecznej,

- uzyskanie najlepszej zgodności opisu liniowego z nieliniowym dla określonej wartości zmiennej niezależnej, a więc i określonej wartości zmiennej zależnej, (rys. 2.3b) - jest to linearyzacja metodą stycznej.

Przykładowo na rys. 2.3a prosta 1 reprezentuje liniową funkcję y1a1k1x, która zastępuje opis nieliniowy w zakresie x1xx2 tak aby średniokwadratowy błąd różnicy między układem nieliniowym a jego liniowym przybliżeniem był minimalny, natomiast prosta 2 na rys. 2.3b reprezentuje liniową funkcję y2a2k2x, która jest zgodna z opisem nieliniowym jedynie w punkcie o współrzędnych x0, y0.

Ponieważ w automatyce rozważa się zachowanie układów w otoczeniu określonego punktu pracy, w dalszych rozważaniach przydatny jest drugi sposób linearyzacji.

Jest oczywiste, że współczynnik kierunkowy k2 jest pochodną nieliniowej funkcji )

(x

f , wyznaczoną w punkcie pracy o współrzędnych x0 i y0, zapisywaną symbolicznie w postaci

0 2

) ( 



dx x k df

Zlinearyzowaną funkcję y2 a2k2x można zapisać także w postaci )

( 0

2 0

2 y k x x

y    .

W automatyce, w przypadku posługiwania się funkcjami zlinearyzowanymi w określonym punkcie pracy, na ogół interesująca jest zależność pomiędzy odchyleniami

x i y od punktu pracy, gdzie: yyy0 i xxx0. Zatem jako ostateczny wynik linearyzacji metodą stycznej traktuje się zależność

dx x x

y df 





0

)

( (2.23)

pomiędzy odchyleniami x i y od punktu pracy, zwanymi zmiennymi przyrostowymi.

(10)

Rys. 2.3. Interpretacja geometryczna metod linearyzacji nieliniowej funkcji jednej zmiennej: a) linearyzacja metodą siecznej, b) linearyzacja metodą stycznej Przeprowadzony proces linearyzacji polegał więc na :

- zastąpieniu krzywej, reprezentującej nieliniową zależność yf(x) styczną do niej w punkcie pracy,

- przeniesieniu początku układu współrzędnych do punktu pracy,

- zastąpieniu w modelu matematycznym zmiennych absolutnych x i y odchyleniami tych zmiennych od punktu pracy - zmiennymi przyrostowymi x i y.

Należy pamiętać, że równanie zlinearyzowane stanowi przybliżenie funkcji nieliniowej jedynie w otoczeniu punktu pracy, dla którego zostało wyznaczone.

Przedstawione metody linearyzacji nie zmieniają rzeczywistych nieliniowych właściwości opisywanego urządzenia, a jedynie ułatwiają ich analizę.

a) b)

Rys. 2.4. Interpretacja geometryczna linearyzacji układowej funkcji nieliniowej NL1 metodą sprzężenia zwrotnego: a) schemat układu, b) zależności pomiędzy sygnałami

(11)

W praktyce przemysłowej wykorzystuje się również tzw. linearyzację układową, polegającą na zastosowaniu dodatkowych elementów, które w odpowiednim połączeniu z elementem nieliniowym tworzą układ liniowy. Przykład linearyzacji polegającej na zastosowaniu dodatkowego liniowego elementu L2, tworzącego wraz z elementem nieliniowym układ liniowy, przedstawiono na rys. 2.4.

Przeprowadzone rozważania rozszerzyć można na funkcje wielu zmiennych. Na przykład, nieliniowej zależności yf(x1,x2) odpowiada równanie zlinearyzowane

2 2 0

2 1 1

1 0 2

1, ) ( , )

( x

x x x x f

x x x

y f  

 

 

 

 

 

 (2.24)

Równanie to reprezentuje płaszczyznę styczną do powierzchni opisanej nieliniowym równaniem yf(x1,x2), przy czym punkt styczności odpowiada założonemu punktowi pracy.

Ogólnie nieliniowej zależności yf(x1,x2,...xn) odpowiada równanie zlinearyzowane :

n n

x x x f

x x f

x

y f  

 

 

 

 

 

 

 

 

0 2

2 0 1

1 0

... (2.25)

W przypadku nieliniowej funkcji przedstawionej w postaci uwikłanej, np.

0 ) , ,

(x1 x2 y

F

funkcja zlinearyzowana wokół punktu pracy o współrzędnych x10, x20, y0, ma postać:

0

0 2

2 0 1 1 0

 

 





 





 

y

dy x dF dx

x dF dx

dF   

(2.26) Przykład 2.2

Przeprowadzić linearyzację funkcji yx2 w punkcie o współrzędnejx0 1.

Rys. 2.5. Rysunek do przykładu 2.2

(12)

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru (2.23) otrzymuje się

 

x x x

x dx x

y d      



 ( ) 2 0 2

0 2

Linearyzowaną funkcję oraz wynik linearyzacji – funkcję y2x (linia przerywana) przedstawiono na rys.2.5.

Przykład 2.3

Wyznaczyć zlinearyzowaną funkcję określającą zależność strumienia masy Q cieczy przepływającej przez zawór (rys. 2.6) od ciśnień p1 i p2 odpowiednio przed i za zaworem oraz od odległości x grzybka od gniazda zaworu.

Rys. 2.6. Schemat ideowy zaworu do przykładu 2.3 Rozwiązanie

W praktyce do wyrażenia zależności Qf(x,p1,p2) wykorzystuje się wzór )

(

2 p1 p2 dx

Q  

w którym:  - współczynnik przepływu, d - średnica gniazda zaworu,  - gęstość cieczy, przy czym zakłada się, że  const.,  const.

Jest to zależność nieliniowa, która po linearyzacji przybiera postać

2 2 0 1 1 0 0

p p p Q p x Q x

Q Q  

 

 

 

 

 

 

 

 

 ,

przy czym

2 ( 1 2)

0 2 ( 10 20)

0

p p d

p p x d

Q    





    

) (

2 )

(

2 0 10 20

2 0 0 1

1 x p p

p x p

p Q

 



 

 



 

    

) (

2 )

(

2 0 10 20

2 0 0 1

2 x p p

p x p

p Q

 

 

 

 

 

 

    

gdzie x0, p10, p20 są współrzędnymi (parametrami) założonego punktu pracy.

(13)

Wartości współczynników równania zlinearyzowanego zmieniają się w przypadku zmiany punktu pracy.

Metodę linearyzacji dynamicznej przedstawiono na przykładzie równania różniczkowego, będącego nieliniową zależnością pomiędzy funkcjami y(t) i x(t) i ich pochodnymi

y(t),y(t),y(t),....y( )(t),x(t),x(t),x(t),....x( )(t)

0

F   n   m (2.27)

W zastosowaniach praktycznych linearyzację dynamiczną przeprowadza się dla tzw.

statycznych punktów pracy, tj. punktów, w których wszystkie pochodne w równaniu (2.27) przyjmują wartość zero. Zbiór takich statycznych punktów pracy nazywa się charakterystyką statyczną opisywanego procesu. Zależność reprezentującą charakterystykę statyczną wyznacza się przyrównując do zera wartości pochodnych w równaniu różniczkowym. Oznacza to, że występujące w linearyzowanym równaniu funkcje y(t) i x(t) przyjmują wartości stałe, oznaczane jako y i x. Charakterystyka statyczna procesu opisanego równaniem różniczkowym (2.26) jest równaniem algebraicznym

0 ) ,

0(x y

F (2.28)

gdzie x i y są współrzędnymi charakterystyki statycznej danego procesu.

Linearyzując równanie różniczkowe (2.27), zarówno funkcje y(t) i x(t) jak i ich pochodne traktuje się analogicznie jak zmienne funkcji uwikłanej. Zatem równanie zlinearyzowane ma postać

0 ...

...

) ( ) 0 0 (

0

0 )

( ) 0 0 (

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





 

 

 

 

 

 

 

 

 

m m

n n

x x x F

x x F x F

x x y F

y y F

y y F y y F y F

 

 

 

 

(2.29)

gdzie:

) 0

(t y y

y 

 ,

dt y yd

 ,

2 2

dt y y d

 ,

n n n

dt y

y d

( ) , xx(t)x0,

dt x xd

 ,

2 2

dt x x d

 ,

m m m

dt x

x d

( )

(14)

Nieliniowe równanie różniczkowe (2.27) zostało w wyniku linearyzacji zastąpione równaniem różniczkowym liniowym (2.29) o stałych współczynnikach.

Współczynnikami tymi są wartości odpowiednich pochodnych, wyznaczone w założonym punkcie pracy.

Przykład 2.4

Zlinearyzować nieliniowe równanie różniczkowe 0

)]

( [ 2 ) ( ) ( )]

( [ 2 )

(tx t 2x tx tx t 2

y  

w statycznym punkcie pracy o współrzędnej x0 1 i wyznaczyć charakterystykę statyczną.

Rozwiązanie

Zgodnie ze wzorem (2.29) równanie zlinearyzowane ma postać

4 ( ) ( )

( )

 

( ) ( )

4 ( )

( ) 0

)

(    0  0  0 

y t x t xt x t x t xt xt xt

Ponieważ w statycznym punkcie pracy x(t)0 i x(t)0, ostatecznie otrzymuje się równanie zlinearyzowane

0 ) ( ) ( 4 )

(    

y t x t xt

Przyrównując w danym nieliniowym równaniu różniczkowym pochodne do zera otrzymuje się charakterystykę statyczną

2x2

y .

Dla modelu zlinearyzowanego również można wyznaczyć charakterystykę statyczną, przyrównując pochodne do zera. W rozważanym przykładzie ma ona postać

x y 

 4

Łatwo zauważyć, że charakterystyka statyczna wyznaczona na podstawie modelu zlinearyzowanego reprezentuje linię prostą, styczną w punkcie pracy do charakterystyki statycznej wyznaczonej na podstawie modelu nieliniowego.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Funkcje zmiennej

a) Kierownika zespołu badawczego: osoba posiadająca tytuł zawodowy magistra lub równorzędny (w przypadku ukończenia uczelni zagranicznej), która w ciągu ostatnich

- zbiór wszystkich elementów D: D = <ELEMENT_A,. to następne zdarzenie Cuaktywnienie Jednego z elementów aktywnych}, czyli następna zmiana stanu modelu nastąpi po

nim wydłużeniu czasu przerwy można przesyłać, przy dopuszczeniu biegu asynchronicznego i resynchronizacji, większe moce dopuszczalne niż przy minimalnym czasie

Zmienna, której wartości w analizie traktuje się jako dane i nie próbuje wyjaśniać. Zakłada się, że zmienne niezależne determinują wartość zmiennych zależnych lub

Zmienna losowa X przyjmuje wartości równe sumie liczby wypadłej na monecie i wartości bezwzględnej różnicy wyrzuconych oczek.. Klucz, który nie pasuje jest odkładany, a

Opertory można również podzielid na addytywne (dodawania i odejmowania, w tym or i xor są podstawowymi spośród operatorów arytmetycznych) oraz multiplikatywne (mnożenia, dzielenia,

W bada- niu poddano analizie modele zakładające: jeden z trzech modeli dla zmiennej binarnej (logitowy, probitowy oraz cloglog), cztery defin- icje zmiennej zależnej (20%, 10%, 5%