62. 61. 56 17.04.2018

(1)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 LUX, lato 2017/18

KOLOKWIUM nr

56

^,

^17.04.2018

, godz. 17:15–18:00 Zadanie

61.

(10 punktów)

Dane są takie ciągi (a_n) i (b_n) o wyrazach dodatnich, że

∞

X

n=1

a⁶_n= 1 oraz

∞

X

n=1

b³_n= 1 . Dowieść, że

∞

X

n=1

a²_nb²_n¬ 1 . Rozwiązanie:

Korzystając z nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną dla trzech liczb a⁶_n, b³_n i b³_n otrzymujemy

∞

X

n=1

a²_nb²_n=

∞

X

n=1

q3

a⁶_nb³_nb³_n¬

∞

X

n=1

a⁶_n+ b³_n+ b³_n

3 =1

3·

∞

X

n=1

a⁶_n+

∞

X

n=1

b³_n+

∞

X

n=1

b³_n

!

=1 + 1 + 1 3 = 1 .

Zadanie

62.

(10 punktów)

Podać przykład takich ciągów (a_n) i (b_n) o wyrazach dodatnich, że

∞

X

n=1

a⁶_n= 1,

∞

X

n=1

b³_n= 1 oraz

∞

X

n=1

a²_nb²_n= 1 . Rozwiązanie:

W nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną dla trzech liczb a⁶_n, b³_n i b³_n równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a⁶_n= b³_n i taki warunek musi być spełniony dla każdego n, aby w nierówności z poprzedniego zadania zachodziła równość. Wystarczy przyjąć za

∞

X

n=1

a⁶_n szereg o sumie 1, np. a⁶_n= 1/2ⁿ, skąd an= 1

2^n/6 oraz bn= 1 2^n/3 .

Kolokwium 56 - 1 - Odpowiedzi i rozwiązania

(2)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 LUX, lato 2017/18

Zadanie

63.

(10 punktów)

Dane są takie ciągi (a_n) i (b_n) o wyrazach dodatnich, że

∞

X

n=1

a⁶_n= 8 oraz

∞

X

n=1

b³_n= 1 . Dowieść, że

∞

X

n=1

a²_nb²_n¬ 2 . Rozwiązanie:

Korzystając z nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną dla trzech liczb a⁶_n, 8b³_n i 8b³_n otrzymujemy

∞

X

n=1

a²_nb²_n=1 4·

∞

X

n=1

q3

a⁶_n· 8b³_n· 8b³_n¬1 4·

∞

X

n=1

a⁶_n+ 8b³_n+ 8b³_n

3 =

= 1 12·

∞

X

n=1

a⁶_n+ 8 ·

∞

X

n=1

b³_n+ 8 ·

∞

X

n=1

b³_n

!

=8 + 8 + 8 12 = 2 .

Zadanie

64.

(10 punktów)

Podać przykład takich ciągów (an) i (bn) o wyrazach dodatnich, że

∞

X

n=1

a⁶_n= 8,

∞

X

n=1

b³_n= 1 oraz

∞

X

n=1

a²_nb²_n= 2 . Rozwiązanie:

W nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną dla trzech liczb a⁶_n, 8b³_n i 8b³_n równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a⁶_n= 8b³_n i taki warunek musi być spełniony dla każdego n, aby w nierówności z poprzedniego zadania zachodziła równość. Wystarczy przyjąć za

∞

X

n=1

a⁶_n szereg o sumie 8, np. a⁶_n= 8/2ⁿ, skąd

an=

√2

2^n/6 oraz bn= 1 2^n/3 .

Kolokwium 56 - 2 - Odpowiedzi i rozwiązania