Wrocªaw, 3 stycznia 2013
FAKULTET MATEMATYCZNY - LISTA 6
MARCIN PREISNER (PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL)
Ci¡gi rekurencyjne
wiczenia, czyli co ka»dy umie¢ powinien.
1. Dany jest ci¡g arytmetyczny: 2, 5, 8, 11, 14, .... Podaj wzór rekurencyjny tego ci¡gu.
2. Wyznacz pocz¡tkowe wyrazy ci¡gu rekurencyjnego:
(a1= 1 an= 2an−1 Znajd¹ wzór ogólny tego ci¡gu.
3. Wyznacz pocz¡tkowe wyrazy ci¡gu rekurencyjnego:
(a1= 1
an = 2an−1+ 1 oraz znajd¹ wzór ogólny tego ci¡gu.
4. Dany jest ci¡g geometryczny: 8, 4, 2, 1, .... Podaj wzór rekurencyjny tego ci¡gu.
5. Oblicz 37 wyraz ci¡gów:
(a1= 12 an = an−1+ 3
(a1= 12 an= 3 · an−1
(a1= 12
an = 3 · an−1+ 7
6. Okre±l wzorem rekurencyjnym ci¡g którego pierwszy i drugi wyraz jest równy 3, a ka»dy nast¦pny jest iloczynem dwóch poprzednich.
7. Dany jest ci¡g rekurencyjny, w którym ka»dy kolejny wyraz jest sum¡ pierwszego wyrazu i odwrotno±ci poprzedniego wyrazu. Zbadaj, jak zmieniaj¡ si¦ warto±ci wyrazów tego ci¡gu w zale»no±ci od pierwszego wyrazu. Co zauwa»asz?
8. Ci¡g an zadany jest rekurencyjnie:
a0= 1 a1= 0
an+1= 5an− 6an−1
Udowodnij indukcyjnie, »e an = 3 · 2n− 2 · 3n. 9. Napisz rekurencje, które opisuj¡ nast¦pujace ci¡gi:
(a) an: liczba jajek w n-tym dniu na fermie prodkuj¡cej codziennie 37 jajek, (b) an: liczba rejestracji o n znakach zawieraj¡cych 24 litery i 10 cyfr,
(c) an: liczba wyra»e« zawieraj¡cych n ró»nych znaków w dowolnej kolejno±ci,
(d) an: liczba uªo»e« n identycznych kostek domina 2 × 1 na planszy o wymiarach 2 × n, (e) an: maksymalna liczba cz¦±ci pªaszczyzny na jak¡ dzieli j¡ n prostych,
(f) an: liczba wyra»e« zªo»onych z liter: a, b, c, gdzie dwie identyczne litery nie stoj¡ obok siebie,
(g) an: liczba sposobów na który mo»na wci¡gn¡¢ agi trzech kolorów (dwumetrowe niebie- skie, jednometrowe czerwone i zielone) na maszt dªugo±ci n metrów,
10. Czy 2013 wyraz ci¡gu Fibbonacciego jest parzysty, czy nieparzysty? Jak¡ daje reszt¦ z dzielenia przez 3?
1
Zadania, czyli idziemy do przodu.
1. Podaj wzór rekurencyjny ci¡gu 2, 3, 6, 18, 108, 1944, 209952, ....
2. Napisz wzór ogólny ci¡gu rekurencyjnego:
(a0= b
an+1= can+ d 3. Zbadaj ci¡gi rekurencyjne, w których:
(a) pierwszy wyraz jest dowoln¡ liczb¡, za± ka»dy kolejny jest sum¡ cyfr poprzedniego wyrazu;
(b) pierwszy wyraz jest dowoln¡ liczb¡, za± ka»dy kolejny jest sum¡ kwadratów cyfr poprzed- niego wyrazu;
(c) pierwszy wyraz jest dowoln¡ liczb¡, za± ka»dy kolejny jest sum¡ sze±cianów cyfr poprzed- niego wyrazu;
(d) pierwszy wyraz jest dowoln¡ liczb¡ podzieln¡ przez 3, za± ka»dy kolejny jest sum¡ sze-
±cianów cyfr poprzedniego wyrazu.
4. Rozwi¡» poni»sze rekurencje:
(a)
a1= 7 a2= 5
an+2= an+1+ 2an (b)
a1= 1 a2= 1
an+2= an+1+ an (c)
a1= 3 a2= 0
an+2= 6an+1− 9an
(d)
a1= 3 a2= −1
an+2= 5an+1− 6an+ 20
(e)
a1= −2 a2= −5 an+2= −an
(f)
a1= 4 a2= 4
an+2= 2an+1−√ 2an
(g)
a1= 4√ 2 a2= 4
an+2= 2an+1−√ 2an (h)
a1= −11√ 2 a2= −3 a3= −43
an+3= an+2+ 8an+1+ 12an
5. Zbada¢ zbie»no±¢ ci¡gów okre±lonych rekurencyjnie:
(a1= 1√ 2 an+1=a4an
n+1
(a1= 1√ 2 an+1= aan+4
n+1
6. Zbada¢ zbie»no±¢ ci¡gu okre±lonego rekurencyjnie:
an+1= a2n+ 1 dla przypadków: a1∈ (0, 2), a1= 2, a1> 2. 7. Ci¡gi (xn)i (yn)s¡ okre±lone nast¦puj¡co:
xn+1= xn+ 2
xn+ 1, yn+1= yn+ 2 2yn
dla n = 0, 1, ... oraz x0 = y0 = 1. Udowodnij, »e dla ka»dego n = 0, 1, ... zachodzi równo±¢
yn= x2n−1.
8. (F) Ci¡giem Collatza jest ci¡g liczb naturalnych wyznaczany wedªug poni»szej zasady: bie- rzemy dowoln¡ liczb¦ naturaln¡. Je±li jest ona parzysta, to dzielimy j¡ przez dwa, je±li jest nieparzysta, mno»ymy j¡ przez 3 i dodajemy 1. Dla otrzymanej liczby znów powtarzamy t¦
operacj¦, a» do momentu, gdy otrzymamy 1. Spróbuj udowodni¢, »e niezale»nie od tego od jakiej liczby zaczniemy, to zawsze otrzymamy liczb¦ 1.
2
