Ćwiczenia nr 1, AM II, 2016/17 Dla x = (x1, . . . , xk) ∈ Rk niech
kxkp:=
k
X
i=1
|xi|p
!1/p
, kxk∞= max
i |xi|.
Zadanie 1. Wykazać, że
(a) kxkp jest normą dla p ∈ [1, ∞] (łatwe przypadki p = 1, 2, ∞), (b) kxk∞¬ kxk ¬ kxk1¬ k kxk∞.
(c) Mówimy, że norma ν(·) pochodzi od iloczynu skalarnego (x, y) 7→ x · y, jeśli ν(x) = √
x· x dla każdego x. Czy k · k1 pochodzi od pewnego iloczynu skalarnego? A k · kp?
(d) Udowodnić, że jeśli norma k · k pochodzi od pewnego iloczynu skalarnego wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi następujące równość
kx + yk2+ kx − yk2= 2 (kxk2+ kyk2).
Zadanie 2. Narysować kule B(0, 1) w metrykach indukowanych przez normy k · k1, k · k2i k · k∞.
Zadanie 3. Niech (x, y) 7→ x · y będzie iloczynem skalarnym na R2. Wykazać, że istnieją liczby a, b, c takie, że
x· y = (x1, x2)a b b c
y1
y2
.
Dowieść, że funkcja zadana powyższym wzorem jest iloczynem skalarnym o ile a, c > 0 oraz wyznacznik
a b b c
> 0.
Zadanie 4. ”Narysować” zbiory:
(a) {(x, y) : x2+ 2x + y2− 4y −1, 9x2+ 16y2¬ 144}, (b) {(x, y, z) : x, z 0, x + 2y + 3z = 6},
(c) {x2+ y2= 4, x2+ y2+ z2¬ 9}, (d) {x2− y2= z, x2+ y2+ z2¬ 1}, (e) {xy ¬ 0, x2+ z2¬ 1},
(f) {x, y 0, z −6, x + y + 2z 6, x + y + z ¬ 6}.
Które z nich są otwarte, domknięte, ograniczone, zwarte, wypukłe, spójne?
Zadanie 5. (D) Czy poniższe funkcje są normami (a) k(x, y)k =px2+ 4y2+ |x|, x, y ∈ R, (b) k(x, y)k = px2+ |y|.
Zadanie 6. Niech k(x, y)k = λ, gdzie λ jest (jedynym) rozwiązaniem równania e|x|/λ+ |y|/λ = 2.
dla (x, y) 6= (0, 0) i k(0, 0)k = 0. Czy to jest norma?
Zadanie 7. Znajdź normę na R2≃ C (o ile istnieje), że kula jednostkowa jest zbiorem (a) prostokątem [−1, 1] × [−2, 2],
(b) trójkątem równobocznym o środku (ciężkości) w (0, 0), którego jednym z wierzchołków jest (1, 0), (c) sześciokątem foremnum o środku w (0, 0), którego jednym z wierzchołków jest (1, 0).
Zadanie 8. Ciągłość normy: |kxk − kyk| ¬ kx − yk.
Zadanie 9. Wykazać, że kula jednostkowa w dowolnej normie jest zbiorem wypukłym.
Zadanie 10. Niech B ⊂ Rkbędzie zbiorem zwartym, wypukłym, symetrycznym względem 0 ∈ Rk. Wykazać, że istnieje norma, w której B(0, 1) = B.
Zadanie 11. Czy istnieje metryka na R2, w której każda kula B((x, y), r) jest trójkątem równobocznym o środku w (x, y), którego jeden z wierzchołków ma postać (x′, y), x′> x?
Zadanie 12. Obliczyć granice (o ile istnieją) (a) (x,y)→(0,0)lim
xy x2+y2, (b) (x,y)→(0,0)lim
x3+y3 x2+y2, (c) (x,y)→(0,0)lim
min{x,y}
max{x,y}, (d) (x,y)→(0,0)lim (x2+ y2)xy, (e) (x,y)→(0,0)lim xy,
(f) (x,y)→(0,0)lim x4+y4 x3+y3, (g) (x,y)→(a,b)lim
y sin πx
x+y−1 na prostej a + b = 1.
