• Nie Znaleziono Wyników

Denicja 1

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Denicja 1"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Rozkªad gamma, chi-kwadrat, t-studenta, F-Snedecora.

Denicja 1. Rozkªadem gamma Gamma(α, λ) nazywamy rozkªad o g¦sto±ci

f (x) = λα

Γ(α)xα−1e−λx, x > 0, gdzie

Γ(α) =

Z

0

tα−1e−tdt.

EX = α

λ, V arX = α λ2.

Denicja 2. Rozkªadem chi kwadrat o n stopniach swobody nazywamy rozkªad zmiennej losowej

Y =

n

X

i=1

Xi2,

gdzie X1, . . . , Xn s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadzie N(0, 1). G¦sto±¢

i momenty tego rozkªadu dane s¡ wzorami:

f (x) =

1 2

k/2

Γ k2 x

k/2−1e−x/2, EX = n, V arX = 2n.

Denicja 3. Rozkªadem t-studenta o n stopniach swobody nazywamy rozkªad zmiennej losowej

T = X

pY /n, gdzie X ∼ N(0, 1), za± Y ∼ χ2(n). Ozn. T ∼ t(n).

G¦sto±¢ tego rozkªadu dana jest wzorem:

f (x) = Γ n+12 

√nπΓ n2

 1 + x2

n

n+12 .

Gdy n > 1, to EX = 0 (dla n = 1 nie istnieje), za± gdy n > 2, to V arX = n−2n (dla n = 1, 2nie istnieje).

Denicja 4. Rozkªadem F-Snedecora (Fishera-Snedecora) o m i n stopniach swobody nazywamy rozkªad zmiennej losowej

Z = X/m Y /n ,

gdzie X i Y s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach chi-kwadrat z m i n stop- niami swobody, odpowiednio.

1

(2)

FAKT

(1) E(λ) = Gamma(1, λ), (2) χ2(n) = Gamma n2,12

.

(3) Je»eli X1, . . . , Xn s¡ niezale»ne o tym samym rozkªadzie Gamma(α, λ), to Pn

i=1

Xi

ma rozkªad Gamma(nα, λ).

Twierdzenie 1. Niech X1, . . . , Xniid∼ N (µ, σ2). Wówczas

n = 1 n

n

X

i=1

Xi,

S2 = 1 n − 1

n

X

i=1

(Xi− ¯Xn)2 s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi oraz

n ∼ N (µ,σ2 n ), n − 1

σ2 S2 ∼ χ2(n − 1),

√n

n− µ

S ∼ t(n − 1).

Wynika st¡d, »e ES2 = σ2, V arS2 = (n−1)4 .

2

Cytaty

Powiązane dokumenty

[r]

[r]

[r]

[r]

Wtedy zbiór Th(Mod F ((F , C, R))) wszystkich zda« prawdziwych w ka»dym modelu sko«czonym j¦zyka (F, C, R) nie jest rekurencyjnie przeliczalny, ale jego dopeªnienie jest.

Rz¦dem równania ró»niczkowego nazywamy najwy»szy rz¡d pochodnej niewiadomej funkcji y(x) wyst¦puj¡cy w równaniu..

(17) Rozwi¡zanie: Najpierw z warunku koniecznego i dostatecznego ∂P ∂y = ∂Q ∂x sprawdzamy, czy dane równanie jest zupeªne (jest ró»niczk¡ zupeªn¡ pewnej

Korzystaj¡c z twierdzenia o warto±ci ±redniej mo»na ªatwo wykaza¢, »e je»eli pochodna cz¡stkowa ∂f ∂y jest ograniczona, to funkcja speªnia warunek Lipschitza.... W ka»dym