Rozkªad gamma, chi-kwadrat, t-studenta, F-Snedecora.
Denicja 1. Rozkªadem gamma Gamma(α, λ) nazywamy rozkªad o g¦sto±ci
f (x) = λα
Γ(α)xα−1e−λx, x > 0, gdzie
Γ(α) =
∞
Z
0
tα−1e−tdt.
EX = α
λ, V arX = α λ2.
Denicja 2. Rozkªadem chi kwadrat o n stopniach swobody nazywamy rozkªad zmiennej losowej
Y =
n
X
i=1
Xi2,
gdzie X1, . . . , Xn s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadzie N(0, 1). G¦sto±¢
i momenty tego rozkªadu dane s¡ wzorami:
f (x) =
1 2
k/2
Γ k2 x
k/2−1e−x/2, EX = n, V arX = 2n.
Denicja 3. Rozkªadem t-studenta o n stopniach swobody nazywamy rozkªad zmiennej losowej
T = X
pY /n, gdzie X ∼ N(0, 1), za± Y ∼ χ2(n). Ozn. T ∼ t(n).
G¦sto±¢ tego rozkªadu dana jest wzorem:
f (x) = Γ n+12
√nπΓ n2
1 + x2
n
−n+12 .
Gdy n > 1, to EX = 0 (dla n = 1 nie istnieje), za± gdy n > 2, to V arX = n−2n (dla n = 1, 2nie istnieje).
Denicja 4. Rozkªadem F-Snedecora (Fishera-Snedecora) o m i n stopniach swobody nazywamy rozkªad zmiennej losowej
Z = X/m Y /n ,
gdzie X i Y s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach chi-kwadrat z m i n stop- niami swobody, odpowiednio.
1
FAKT
(1) E(λ) = Gamma(1, λ), (2) χ2(n) = Gamma n2,12
.
(3) Je»eli X1, . . . , Xn s¡ niezale»ne o tym samym rozkªadzie Gamma(α, λ), to Pn
i=1
Xi
ma rozkªad Gamma(nα, λ).
Twierdzenie 1. Niech X1, . . . , Xniid∼ N (µ, σ2). Wówczas
X¯n = 1 n
n
X
i=1
Xi,
S2 = 1 n − 1
n
X
i=1
(Xi− ¯Xn)2 s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi oraz
X¯n ∼ N (µ,σ2 n ), n − 1
σ2 S2 ∼ χ2(n − 1),
√n
X¯n− µ
S ∼ t(n − 1).
Wynika st¡d, »e ES2 = σ2, V arS2 = (n−1)2σ4 .
2