Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 7. Rodzaje zbieżności zmiennych losowych

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 7. Rodzaje zbieżności zmiennych losowych

Ćw. 7.1 Niech {Xn}_n∈N będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, takich, że P (X_n = 1) = 1/n², P (X_n = 0) = 1 − 1/n².

Zbadaj zbieżność podanego ciągu do 0 według prawdopodobieństwa, prawie wszędzie i w przestrzeni L¹.

Ćw. 7.2 Dla każdego n ∈ N rozkład zmiennej Xn zadany jest następująco:

P (Xn= −n − 4) = 1

n + 4, P (Xn = n + 4) = 3

n + 4, P (Xn= −1) = 1 − 4 n + 4. Wykaż, że ciąg {X_n}_n∈N jest zbieżny według prawdopodobieństwa, a

E( lim

n→∞X_n) 6= lim

n→∞EX_n.

Ćw. 7.3 Niech {X_n}_n∈N będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie E(1). Niech

Y_n = min{X₁, . . . , X_n}.

Pokaż, że ciąg {Y_n}_n∈N jest zbieżny do 0 według prawdopodobieństwa i prawie wszę- dzie. Czy ciąg ten jest także zbieżny do 0 w przestrzeniach L¹ i L²?