Niech Σ(x) będzie zbiorem liter słowa x. Zauważmy że x ≈ y ⇒ Σ(x) = Σ(y)

Sprawdzanie równoważności kwadratowej słów

Dwa słowa są kwadratowo równoważne gdy możemy zamienić jedno w drugie wykonując ciąg (być może pusty) operacji zamiany podsłowa typu zz przez z lub podsłowa z przez zz. Inaczej mówiąc definiujemy z ≈ zz, oraz x ≈ y gdy można otrzymać x z y przez wielokrotne stosowanie z → zz dla podsłów x lub y.

Niech Σ(x) będzie zbiorem liter słowa x. Zauważmy że x ≈ y ⇒ Σ(x) = Σ(y)

Oznaczamy

ˆ

x = pαβq, p, q ∈ Σ(x) ^∗ , α, β ∈ Σ(x)

gdzie pα to najkrótszy prefiks taki, że Σ(pα) = Σ(x) oraz βq najkrótszy sufiks o tej samej własności. Zauważmy, że

Σ(p) = Σ(x) − {α}

Następujący fakt (a dokładniej punkt 2) daje algorytm sprawdzania rów- noważności kwadratowej. Algorytm ten jest zasadniczo algorytmem z zada- nia „Przyspieszanie algorytmu” z XVI Olimpiady Informatycznej.

Twierdzenie.

1. x ₁ ≈ x ₂ ⇔ ˆ x 1 ≈ ˆ x 2

2. Niech ˆ x 1 = p 1 α 1 β 1 q 1 i ˆ x 2 = p 2 α 2 β 2 q 2 . Wtedy ˆ

x 1 ≈ ˆ x 2 ⇔ (p ₁ ≈ p ₂ ∧ q ₁ ≈ q ₂ ∧ α ₁ = α 2 ∧ β ₁ = β 2 ) Lemat (pomocniczy).

x ≈ ˆ x Dowód.

Fakt 1. Σ(y) ⊆ Σ(x) ⇒ (∃u) x ≈ xyu.

Dowód. Dowód przez indukcję ze względu na długość y. Dla |y| = 0 oczywi- ste. Niech y = y ⁰ α. Wtedy z założenia indukcyjnego (∃u ⁰ ) x ≈ xy ⁰ u ⁰ . Roz- łóżmy x = zαz ⁰ – istnieje taki rozkład, bo mamy założenie o Σ(y) ⊆ Σ(x).

Twierdzimy zatem, że istnieje u, że x ≈ xyu = zαz ⁰ y ⁰ αu. Wystarczy wziąć u = z ⁰ y ⁰ u ⁰ , bo wtedy otrzymujemy

xyu = zαz ⁰ y ⁰ αz ⁰ y ⁰ u ⁰ = z(αz ⁰ y ⁰ ) ² u ⁰ ≈ zαz ⁰ y ⁰ u ⁰ = xy ⁰ u ^{0 ind.} ≈ x Analogicznie można dowieść Σ(y) ⊆ Σ(x) ⇒ (∃u) x ≈ uyx.

1

Fakt 2. (∃w, t) x ≈ tˆ x ∧ ˆ x ≈ xw

Dowód. Niech x = pαy. Zachodzi Σ(y) ⊆ Σ(pα), więc można skorzystać z faktu 1: (∃u) pα ≈ pαyu i dodatkowo ustalmy w = uβq co daje

ˆ

x = pαβq ^{fakt 1} ≈ pαyuβq = xuβq = xw

Analogicznie ustalmy x = zβq, mamy Σ(pα) = Σ(βq), więc (∃v) βq ≈ vpαβq i niech t = zv, zatem

x = zβq ^{fakt 1} ≈ zvpαβq = zv ˆ x = tˆ x

Teraz można dowieść lematu:

x ^{fakt 2} ≈ tˆ x ≈ tˆ xˆ x ^{fakt 2} ≈ xˆ x ^{fakt 2} ≈ xxw ≈ xw ^{fakt 2} ≈ x ˆ

Przy pomocy lematu udowodnijmy twierdzenie główne.

Dowód. 1. Zauważmy, że relacja ≈ jest relacją równoważności (działa zwrot- ność, przechodniość i symetria), na mocy czego jeśli x ₁ ≈ x ₂ i ˆ x ₁ ≈ ˆ x ₂ , to wszystkie cztery słowa leżą w jednej klasie abstrakcji. Podobnie jeśli x 1 6≈ x ₂ , to ˆ x 1 i ˆ x 2 znajdują się w dwóch różnych klasach abstrakcji.

2. (⇒) Załóżmy, że ˆ x ₁ ≈ ˆ x ₂ oraz nie zachodzi prawa strona twierdzenia (dowód nie wprost). Rozpatrzmy przypadki:

1. p ₁ 6≈ p ₂ . Jeśli Σ(p ₁ ) 6= Σ(p 2 ) (wtedy α 1 6= α ₂ ), to za pomocą operacji podwojenia dowolnego podsłowa (lub odwrotnej) nie możemy doprowa- dzić do „wymienienia” α ₁ na jakiś inny znak, a co za tym idzie zmiany zbioru Σ(p ₁ ). Nie można zatem uzgodnić prefiksów słów ˆ x 1 i ˆ x 2 , więc sprzeczność z założeniem.

Załóżmy zatem, że Σ(p ₁ ) = Σ(p 2 ) (wtedy także α 1 = α 2 ). Jeśli

|Σ(p ₁ )| = 1, to wtedy p ₁ ≈ p ₂ i mamy sprzeczność. W przeciwnym przypadku rozbijmy p ₁ i p ₂ na czwórki (p _p

, α _p

, β _p

, q _p

) i (p _p

, α _p

, β _p

, q _p

) i rekurencyjnie dla krótszych słów o mniejszym alfabecie sprawdzamy przypadki tego twierdzenia. Na którymś poziomie tej rekurencji mu- siałoby okazać się (dla pewnych słów w ₁ i w ₂ ), że

• Σ(w ₁ ) = Σ(w ₂ ) i |Σ(w ₁ )| = 1 i sprzeczność, albo

2

• α _w

6= α _w

lub β _w

6= β _w

, co doprowadzi do sprzeczności z zało- żeniem o ˆ x ₁ ≈ ˆ x ₂ , bo nie będzie się dało uzgodnić prefiksów.

2. q ₁ 6≈ q ₂ . Analogicznie jak powyżej.

3. α ₁ 6= α ₂ . Wtedy Σ(p ₁ ) 6= Σ(p 2 ) i można skorzystać z dowodu pierw- szego podpunktu.

4. β ₁ 6= β ₂ . Analogicznie jak powyżej.

2. (⇐) Niech ˆ x ₁ = p ₁ αβq ₁ i ˆ x ₂ = p ₂ αβq ₂ . Z założenia p ₁ ≈ p ₂ i q ₁ ≈ q ₂ , więc możemy prefiksy i sufiksy obu słów ze sobą uzgodnić niezależnie od siebie i będzie dobrze.

Problemy

1. Pokazać, że można sprawdzić relację ≈ w czasie O(n|Σ|).

2. Jakiego rzędu jest najkrótsze wyprowadzenie x z y jeśli x ≈ y?

3. Dla alfabetu rozmiaru k ile jest klas równoważności?

4. Wyznaczyć (szybkim algorytmem) najkrótszego reprezentanta każdej klasy. Czy reprezentanci maja jakies szczególne własności. W szcze- gólności podać szybki algorytm który dla danego słowa x wyznaczy najkrótsze y t. że x ≈ y.

3