Zestaw 3.
Relacje
Wprowadźmy następujące oznaczenia na własności relacji: (Z) zwrotność, (NZ) niezwrot- ność, (PZ) przeciwzwrotność, (S) symetria, (AS) antysymetria, (PS) przeciwsymetria, (P) prze- chodniość, (Sp) spójność.
zad. 1. Które z własności (Z), (NZ), (PZ), (S), (AS), (PS), (P), (Sp) posiada relacja R ⊂ Z×Z, jeśli:
(a) (m, n) ∈ R ⇐⇒ m + n = 3;
(b) (m, n) ∈ R ⇐⇒ m − n jest liczbą parzystą;
(c) (m, n) ∈ R ⇐⇒ m6 n;
(d) (m, n) ∈ R ⇐⇒ max{m, n} = 3;
(e) relacja R to relacja pusta ∅ ⊂ Z × Z;
(f) relacja R to relacja pełna R = Z × Z.
zad. 2. Niech {1, 2} × {1, 2} ⊃ R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}.
(a) Znajdź R2 , R3 i R4.
(b) Wypisz elementy domknięcia relacji R.
(c) Czy relacja R jest przechodnia?
zad. 3. Niech R1, R2 będą relacjami dwuargumentowymi w zbiorze S.
(a) Pokaż, że relacja R1∪ R2 jest przeciwzwrotna, jeśli R1 i R2 są przeciwzwrotne.
(b) Pokaż, że relacja R1∩ R2 jest przechodnia, jeśli R1 i R2 są przechodnie.
zad. 4. Niech R będzie relacją dwuargumentową w zbiorze S.
(a) Udowodnij, że R jest relacją symetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy R = R−1.
(b) Udowodnij, że R jest relacją antysymetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy R ∩ R−1 ⊂ E, gdzie E := {(x, x) : x ∈ S}.
Indukcja
zad. 5. Wykaż za pomocą indykcji matematycznej, że dla każdego zbioru A ⊂ N zachodzi
|P (A)| = 2|A|.
zad. 6. Udowodnij, że każdy n-kąt można podzielić na n − 2 trójkąty nieprzecinającymi się prostymi.
zad. 7. Wykaż, ze n kwadratów można zawsze pociąć prostymi w ten sposób, aby z uzyskanych kawałków można było złożyć jeden nowy kwadrat.
1