CAŁKI NIEOZNACZONE

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 13.

CAŁKI NIEOZNACZONE

Definicja (funkcja pierwotna)

Niech F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli

'( ) ( ) dla każdego .

F x  f x xI

Przykład

Udowodnić, że funkcje F x₁( ) 3 cos²x, ₂ 1 ( ) 2 cos 2

F x  2 x są funkcjami pierwotnymi dla funkcji ( ) sin 2 .

f x  x

Twierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych)

Niech F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, wtedy

1) G x( )F x( )C, gdzie C , jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I;

2) każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić w postaci F x( )D, gdzie D . Definicja (całka nieoznaczona)

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji

{ ( )F x C C,  }.

Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez



f x dx( ) .

Fakt (pochodna całki nieoznaczonej)

Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy dla każdego x I ( ) ' ( ).

f x dx f x

  







Fakt (całka nieoznaczona pochodnej)

Niech funkcja f 'f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy dla każdego x I

'( ) ( ).

f x dx f x



Fakt (całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych)

1)



0dxC, ²⁾



^{x dx }_^x_^1₁^{C, dla   1, 3)}



¹_x^{dxln x C,}

4) ,

ln

x

x a

a dx C

 a



⁵⁾



^{e dxx exC, 6)}



^{sinx dx cosx C , 7)}



^{cosx dxsinx C ,}

8) 1₂

ctg ,

sin dx x C

x   



⁹⁾



_cos¹²_x^{dxtg xC, 10)}



_1¹_x^{2 dxarctg xC,}

11) 2

1 arcsin ,

1

dx x C

x

 



 gdzie C oznaczają dowolną stałą rzeczywistą.

Przykład

Korzystając z powyższych reguł obliczyć podane całki:

3 2

1 1

a) , b) .

3^x

dx dx



x



Fakt (całki ważniejszych typów funkcji)

1) '( )

ln ( ) , ( )

f x

dx f x C

f x  



2) ₂'( ) 1

( ) , ( )

f x dx C

f x

f x   



3) '( )

2 ( ) .

( )

f x dx f x C

f x  



Twierdzenie (o liniowości całki nieoznaczonej)

Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to 1)



( ( )f x g x dx( )) 



f x dx( ) 



g x dx( ) , 2)



(cf x dx( )) c f x dx



( ) .

Przykład

Korzystając z twierdzenia o liniowości całki nieoznaczonej obliczyć podane całki:

2 2 2

a) 1 , b) .

1

x x x

dx dx

x x

 

 



Twierdzenie (o całkowaniu przez części)

Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne, to

( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) . f x g x dx f x g x  f x g x dx

 

Przykład

Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć podane całki:

2 2

a)



x e^xdx, b) ln



x dx.

Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)

Jeżeli f

1) funkcja f I:  jest ciągła na przedziale I,

2) funkcja : J  ma ciągłą pochodną na przedziale J to

( ) ( ( )) '( ) ( ( )) .

f x dx f  t  x dxF  t C

 

Przykład

Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć podane całki:

a) (2



x5)7dx, b)



x 1x dx.