WYKŁAD 11 3.6. Całka nieoznaczona funkcji jednej zmiennej i jej własności. Całkowanie przez części i przez podstawienie. Całkowanie funkcji wymiernych. Całkowanie pewnych typów funkcji przestępnych.

WYKŁAD 11

3.6. Całka nieoznaczona funkcji jednej zmiennej i jej własności.

Całkowanie przez części i przez podstawienie. Całkowanie funkcji wymiernych. Całkowanie pewnych typów funkcji przestępnych.

3A118 (Definicja). Funkcję F nazywamy pierwotną funkcji f w przedziale ( , )

X  a b , jeżeli dla każdego x X spełniony jest warunek '( )F x  f x( ) lub równoważny mu warunek dF x( ) f x dx( ) .

Przykłady: 1) ( ) 1f x  F x( ) ; x

2) ( )f x e^x F x( )e^x  , gdzie C jest stałą. C Korzystając (B) ze wzoru Lagrange’a 3A+B101 mamy

3A+B119 (Twierdzenie: postać funkcji pierwotnych). Każdą funkcję pierwotną G funkcji f na X można przedstawić w postaci G x( )F x( ) , gdzie C F jest ustaloną (dowolnie) funkcją pierwotną funkcji f na X , a C jest stosownie do G i F dobraną stałą.

3A120 (Definicja: całka nieoznaczona). Wzór (postać ogólna pierwotnej) ( )

F x  , gdzie C F jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f , a C jest dowolną stałą (stalą całkowania), nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f (w przedziale X ) i oznaczamy



f x dx( ) . Mamy zatem,



f x dx( ) F x( )C (niektóry autorzy definiują całkę jako zbiór { ( )F x C C,  } wszystkich pierwotnych funkcji f ). Funkcję f oraz wyrażenie f x dx( ) w



f x dx( ) nazywamy odpowiednio funkcją podcałkowalną oraz wyrażeniem podcałkowalnym, literę x nazywamy zmienną całkowania,

Uwaga. Jeżeli funkcja posiada w pewnym przedziale funkcję pierwotną, to mówimy, że jest ona w tym przedziale całkowalna.

3A+C121 (Twierdzenie). Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale X , to jest w tym przedziale całkowalna, to jest posiada funkcję pierwotną F.

Korzystając (B) z definicji i twierdzenia o pochodnej funkcji zwożonej mamy 3A+B122 (Twierdzenie: własności całek). Jeżeli funkcje f i g mają funkcję pierwotne F i G (na X ), to:

122.1) pochodna całki nieoznaczonej:

( ) ( ) ( ) ( )

d f x dx f x d f x dx f x dx

dx



 



 ^;

122.2) całka nieoznaczona pochodnej:

'( ) ( ) ( ) ( )

F x dxF x  C dF x F x C

 

^;

122.3) całkowanie przez podstawienie:

( ( )) '( ) ( ( )) f u x u x dxF u x C



^,

w szczególności

0 ,

( ) 1 ( )

R

f x dx F x C



 

   







   



;

122.4) liniowość całki nieoznaczonej:

a) ( ( )



f x g x dx( )) 



f x dx( ) 



g x dx( ) ^, b)



cf x dx( ) c f x dx



( ) ^{, gdzie cconst, c .}

3A+B123 (Całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych, uu x( ), ( )^'= ( )^'_x ):

123.1)



0 dxC^; 123.2)

1

, 1

1

u du u C

  



    



 ^;

123.3) du ln

u C

u  



^;

123.4) , 0, 1

ln

u

u a

a du C a a

 a   



^;

123.5)



e du^u e^u C^; 123.6)



sinu du cosuC^; 123.7)



cosu dusinuC^; 123.8) ₂

cos

du tg u C

u  



^;

123.9) ₂ sin

du ctg u C u   



^;

123.10) ₂du ₂ 1 u 1 u ₁

arctg C arcctg C

a u  a a   a a 



 ^;

123.11) _{2 2} 1 2 ln

du u a

u a a u a C

  

 



^;

123.12) ₁

2du 2 arcsinu arccosu

C C

a a

a u

    



 ^;

123.13) ^{2 2}

2du 2 ln

u u a C

u a

   



 ^;

123.14) shu du



chuC^; 123.15)



chu du shuC^; 123.16) du₂

cthu C sh u   



^;

123.17) du₂

thu C ch u  



^.

3A+B124 (Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienia).

124.1. Jeżeli

1) funkcje :g X  i f I : są ciągłe odpowiednio na przedziałach X i I, 2) funkcja : X  ma ciągłą pochodną na przedziale X, I

3) ( )g x  f( ( )) x  '( )x , to

( )

( ) ( ( )) '( ) ( ) ( ) ( ( ))

x u

g x dx f x x dx f u du F u C F x C

 





     

  

^,

124.2. Jeżeli dodatkowo istnieje ciągła różniczkowalna odwrotna funkcja

1( ) x^ u , to

1

1 ( )

( )

( ) ( ( )) '( ) ( ) ( ) ( ( )) ,

u x

x u

f u du f x x dx g x dx G x C G u C



  









     

  

gdzie F i G są funkcjami pierwotnymi funkcji f i g odpowiednio.

3A+B125 (Przykłady).

125.1)

1 1

1 2

'( ) 2

2 ( )

( ) 1 1

2

u x dx u

u du C u x C

u x

 



    

   

;

125.2) ( ) '( ) ^{1 2}( ) ; u x u x dx udu  2u x C

 

125.3)

2 2 2

2 1 arcsin(2 1) (2 1) arcsin(2 1)

4 4 4 4 4 4

x x x dx x dx

dx

x x x x x x

    

  

  

     

 

2

2

2 2

1 ( 4 4 ) 1 2 1

arcsin(2 1) 2 4 4

4 4 4 2 1 2 1 4

d x x dx

x x x

x x x

 

         

   

2 2

1 4 4 arcsin (2 1)

arcsin(2 1) (arcsin(2 1)) ;

2 2 4

x x x

x d x    C

       

125.4) ^{ln ln ln} ln ln ln ;

ln ln ln ln ln ln ln ln

dx d x d x

x C

x x x  x x  x  

  

125.5) ^{2 2 2}

sin arcsin

1 1 sin cos cos cos cos

x t

t x

x dx t tdt t tdt tdt



      

   

1 cos 2 2

tdt

 

 1 1 1 1 1

cos 2 (2 ) sin 2 arcsin

2t 4 td t C 2t 4 t C 2 x

        

1 1 1 2

sin( cos( arcsin 1 .

2 arcsin )x  arcsin )x  C 2 x 2x x C

3A126 (Twierdzenie o całkowaniu przez części). Jeżeli funkcji ( )u x i ( )v x mają w pewnym przedziale ciągłe pochodne u x '( ) i v x'( ), to

( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) u x v x dxu x v x  v x u x dx

  czyli po prostu udv uvvdu w tym przedziale.

3A+B127 (Przykłady). Niech P x będzie wielomianem stopnia n . Wtedy _n( ) 127.1)

1 0

( ), ( )

( ) 1 ...

,

n n

x

n x x

u P x du P x dx P x e dx

dv e dx v e

   







 

 

 

 

    

 

2

2 , 2 2 ,

2 ...

, ,

x x x

x x

x x

u x du dx u x du xdx

x e dx x e xe dx

dv e dx v e dv e dx v e

  

 

 

       

     

   

  

  

   

 

127.2)

1 0

( ), ( )

( )cos( ) 1 ...

cos( ) , sin( )

n n

n

u P x du P x dx

P x x dx

dv x dx v x

 

 







 

 

 

 

    

 

127.3)

1 0

( ), ( )

( )sin( ) 1 ...

sin( ) , cos( )

n n

n

u P x du P x dx

P x x dx

dv x dx v x

 

 







 

 

 

 

     

 

127.4)

1

( )ln ln , ...

( ) , ( )

n

n n

u x du dx

P x xdx x

dv P x dx v P_ x

   

 

 

  

 

 

ln , 1

ln ln ln ln ;

, u x du dx

xdx x x x x dx x x dx x x x C

dx dv v x x

   

 

        

    

 

 

127.5)

1

( )arccos

... , ...

( ) arcsin ...

( ) , ( )

( )

n n

n n

n

P x x

u du

P x x dx

P x dx dv v P x

P x arctgx ^

 

 

 

    

2

2

1

2 2 2 2

2

arcsin ,

arcsin 1 arcsin arcsin

, 1

1 2 1

arcsin (1 ) (1 ) arcsin 1 ;

2 1 2

u x du dx x

xdx x x x dx x x

dx dv v x x

x dx x x x d x x x x C

x



   

 

    

       

       

 



127.6) ,

sin cos cos

sin , cos

x x

x u e du e dx x x

e xdx x e e xdx

dv x dx v x

   

     

   

  

 

, cos sin sin

cos , sin

x x

x x x

u e du e dx

x e x e e xdx

dv x dx v x

   

     

 

 

 

sin cos

sin ;

2

x x

x x e x e

e xdx  C

 

 127.7)

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

, 2 2

2 2

,

u a x du x dx x

a x dx a x x a x x dx

a x

dv dx v x

      

 

     

       

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

arcsin 2

1( arcsin ) .

2

x a a x

x a x dx x a x a x dx a C

a x a

a x dx x a x a x C

a

 

         



    



127.8)

2 2

2 2 , ... ...

,

u a x du

x a dx

dv dx v x

    

  

    

3A+B128 (Funkcje wymierne). Funkcję R którą można zapisać w postaci ilorazu dwóch wielomianów P i Q nazywamy funkcją wymierną ( ( )

( ) ( ) R x P x

Q x ).

Funkcja ( ) ( ) P x

Q x jest właściwa, gdy stopień wielomianu P w liczniku jest

mniejszy od stopnia wielomianu Q w mianowniku. Z algebry wiadomo (A+C), że każdą funkcję wymierną można przedstawić w postaci sumy pewnego wielomianu (być może równego zeru) oraz ułamków prostych

pierwszego rodzaju

( )^r A

xa , gdzie ,A a , r i drugiego rodzaju ₂

( )^r

Ax B x px q



  ,

gdzie

2 2

, , , , , , 0.

4

A B M p q r p   q a 

Omawiając całkowanie funkcji wymiernych, zatem można ograniczyć się do wskazania sposobu całkowania ułamków prostych, ponieważ całkowanie wielomianu sprowadza się do poznanego już wcześnej całkowania funkcji potęgowych.

3A+B129 (Całkowanie ułamków prostych). Niech A a A B M p q, , , , , ,  ,r ,

2

2 0

4

p    q a .

129.1. Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju:

( )

Adx d x a ln

A A x a C

x a x a

    

 

 

^;

1

1 ( ) ( ) ( )

( ) 1

r r

r r

Adx A

A x a d x a x a C

x a r

 

      

 

 

^;

129.2. Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju:

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

( )

2 2

ln ln( ) 2 .

2 2 4

4 x p t

Ax B At M A d t a dt

dx dt M

x px q t a t a a t

dx dt

A M t A M x p

t a arctg C x px q arctg C

a a p q p

q

   

       

 

       

         

 

   

W przypadku ₂

( )^r

Ax B x px q



 



^{dla r 2} korzystamy z następującego wzoru

rekurencyjnego: _{2 2 2} 1 _{2 2 1 2}2 3 _{2 2 1}

( )^r 2 ( 1) ( )^r 2( 1) ( )^r

dt t r dt

t a a r a t ^ a r a t ^

   

    

 

^.

3A130 (Algorytm całkowania funkcji wymiernych).

130.1. Funkcję wymierną

) (

) ) (

( Q x

x x P

R  zapisujemy w postaci sumy wielomianu

) (x

W (być może zerowego) i funkcji

) (

)

1( x Q

x

P wymiernej właściwej

) (

) ) (

( )

( ¹

x Q

x x P

W x

R   .

130.2 . Mianownik Q funkcji wymiernej właściwej rozkładamy na czynniki liniowe i kwadratowe nierozkładalne:

s

r l

s s

l k

r k

n

x x x x x p x q x p x q

a x

Q ( )  ( 

₁

)

¹

...(  ) (

²



₁



₁

)

¹

...(

²

  )

_,

gdzie p_i² 4q_i 0,i1,...,s.

130.3. Zapisujemy rozkład (teoretyczny) funkcji wymiernej właściwej na ułamki proste pierwszego i drugiego rodzaju:

1 1

1 1

1

1 11 12 1 1

2

1 1 1

1 1

11 11 12 12

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

( ) ... ... ...

( ) ( ) ( ) ( )

... ...

( ) ( )

r r

k r rk

k k

r r

l l

l

A A

P x A A A

Q x x x x x x x x x x x

B x C B x C B x C

x p x q x p x q x p x q

        

    

       

     

1 1

2

s s

s s

B x C x p x q



 

2 2

2 2

...

( )

s s

s s

B x C x p x q

   

  (

²

)

s s

s

sl sl

l

s s

B x C x p x q



 

130.4. Znajdujemy nieznane współczynniki ₁₁,..., ; ₁₁,..., ;

r s

rk sl

A A B B ₁₁,...,

sls

C C

tego rozkładu (sprowadzeniem do wspólnego mianownika ( )Q x i przyrównywaniem liczników).

130.5. Obliczamy całki poszczególnych składników rozkładu funkcji wymiernej, to jest wielomianu i ułamków prostych.

3A+B131 (Przykłady). Obliczyć podane całki z funkcji wymiernych:

131.1)

5 4 3 2

3

3 2 3 1

1

x x x x x

d x x

     

 

2

3

(3 2 1 3 )

1

x x x d x

x

   

 

2

2

1 1

(3 2 1 )

1 1

x x x dx

x x x

     

   

3 2

2

1

1 1

dx x

x x x dx

x x x

       

3 2

2

( 1) 1 2 1 3

1 2 1

d x x

x x x dx

x x x

  

        

3 2

2 2

( 1) 1 (2 1) 3

1 2 1 2 1

d x x dx dx

x x x dx

x x x x x

 

            

3 2 2

2

( 1)

1 3 2

ln 1 ln 1 ...

1 3

2 2 ( )

2 4

d x

x x x x x x

x

          

 

131.2) _{2 2 2} ...

(1 ) ^{A B} dx

x x ^

 

A-metoda: ₂ ¹ _{2 2} ¹ ₂² ₂^{1 2} _{2 2}² ...

(1 ) 1 (1 )

A A Bx C B x C

x x x x x x

 

    

  

WM-metoda:

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

(1 ) (1 ) (1 )

x x  x x  x 

   ^{2 2 2 2}

1 1 1

...

1 (1 )

x  x  x

 

131.3) ² ₈ ...

1 dx

x 

 

   ^{  } _{   }

    ^{  }

4 4 2 2

2 2

2

8 4 2 1 2 1 2

1 2

1 2

2 2 2

3 3

1 1 2 2

2 2 2

2 2

A :

1 1 1 1 1

2

1 1

2 1 2 1 1 1 1

1 2 1 2 1 ...

x x x x

x x

metoda

x x x x x

A A

x x

x x x x x x x

B x C

B x C B x C

x x x x x

     

 

  

    

   

 

      



 

   

    

4 4

8 8 4 4

2 1 1 1 1

WM :

1 1 1 1

x x

metoda

x x x x

  

   

   

  ^{   }

2 2

4 4 4 2

1 1 1 1 1 1 1 1

2 4 1 4 1 ...

1 1 1 2 1

x x

x x

x x x x

  

      

 

   

3A+B132 (Uwaga). Z algorytmu 3A+B130 całkowania funkcji wymiernych wynika, że całka (funkcja pierwotna) każdej funkcji wymiernej jest funkcją elementarną. Ale funkcja pierwotna funkcji elementarnej nie musi być funkcją elementarną, na przykład funkcje pierwotne funkcji: ² sin ²

, ,cos , 1 ln

x x

x x

e x

 i

t.d. nie są funkcjami elementarnymi.

3A+B133 (Metoda wymierności: sprowadzenie do całkowania funkcji

wymiernych). Niech R u v( , ) będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych, tzn.

którą można przedstawić w postaci ilorazu wielomianów dwóch zmiennych.

133.1. Całkowanie funkcji trygonometrycznych R(sin ,cos )x x . Korzystając z podstawienia uniwersalnego trygonometrycznego

tg2 t  x,

2

2 2

2 1

sin , cos

1 1

t t

x x

t t

  

  ,

2

2 1 dx dt

 t

 , mamy

2

2 2 2

2 1 2

(sin ,cos ) ( , ) ( )

1 1 1

t t dt

R x x dx R R t dt

t t t

  

  

   ,

gdzie ( )R t jest funkcją wymierną

Przykład:

2 2

1 2 ln ln tg

2 2 2

sin (1 )

1

dx x dt dt x

tg t t C C

t t

x t

t

  

       

     



.

133.2. Całkowanie funkcji z niewymiernościami (a  ): 0

a) ^{2 2}

sin

( , ) ( sin , cos ) cos

x a t

R x a x dx R a t a t a tdt

  

  R(sin ,cos )t t dt ...

b) ^{2 2}

/sin 2 lub

( , ) ( , cos )( cos )

sin sin sin

x a t x a cht

a t a

R x x a dx R a t dt

t t t

 

   

 

(sin ,cos ) ...

R t t dt 



c) ^{2 2} ₂

tg

( , ) ( , )

cos cos

x a t

a a d t R x x a dx R a tg t

t t

  

  R(sin , cos )t t d t ...

d)

1 1

{ ,...,1 }

( , ,..., ) , ...

k

k

i

I k

m

m v

n n

n m

x x

NWW n n

R x dx t

v

x x

x x

 

 

   

    ^





 

 





 

       

       

     

133.3. ( ) ( ) ( ) ...

ln

x x

e t

R e dx x t dx dt R t dtt R t dt

t

  

 

   

      

3A+B134 (Przykłady):

134.1)

6 5 3 3

3 2

3 5

1 6 1 1

6 6

1 1

1 1 6

x t

dx t dt t dt t

t t dt

x x dx t dt t t

     

    

            

2 3 2

3 6 6

6 ( 1 1 ) 2 3 6 6ln 1

1

2 1 3 1 6 1 6ln 1 1 ;

t t dt t t t t C

t

x x x x C

         

 

        

134.2) sin xdx ⁴ 1 cos 2 ² 1 1 1 1 cos 4

( ) cos 2

2 4 2 4 2

x x

dx dx xdx dx

     

   

1 1 1 1

sin 2 sin 4 ;

4x4 x8x32 xC

134.3) 1

cos( ) cos( ) (cos(( ) ) cos(( ) )) ...

x x dx 2 x x dx

         

 

134.4) 4) (sin ,cos ) ^{cos , dla}

( , ) ( , )

t x

R x x dx

R u v R u v

  

 

     

sin , dla

( , ) ( , )

t x

R u v R u v

  

    

 

tg dla

( , ) ( , ) ...

t x

R u v R u v

  

     

 

134.5)

3 , sin , cos , , ...

sin cos 2

dx x

t tg t x t x t tg x t ctg x

x x

 

      

  

134.6) 1 ¹ 1 ²

sinⁿ cos sinⁿ n sinⁿ

x d x x x x d x

n n

  

 

  dla n  ; 2

134.7) cosⁿx d x ...

134.8) Przy obliczaniu całek

sin (ⁿ ax)sin (^m bx dx) , cos (ⁿ ax)cos (^m bx dx) , sin (ⁿ ax)cos (^m bx dx) ...

  

korzystamy ze wzorów:

2 2

1 cos 2

sin 2 2sin cos , cos , 1 cos 2 2sin , 2

sin cos 1(sin( ) sin( ) ), 2

x x x x x x x

ax bx a b a b x

    

   

sin sin 1(cos( ) cos( ) ), ax bx 2 ab  ab x cos cos 1(cos( ) cos( ) )

ax bx 2 ab  ab x .