3. Całka krzywoliniowa nieskierowana

(1)

3. Całka krzywoliniowa nieskierowana

3.1 Pojęcia wstępne

Łukiem zwykłym w przestrzeni R nazywamy zbiór wszystkich punktów ² ) 2

, (x y R

M = ∈ takich, Ŝe

), (t x

x= y= y(t), t∈

[ ] α

^,

β

,

gdzie funkcje ^x, ^y∈^C([α,β]), przy czym róŜnym wartościom parametru t∈

( α

^,

β )

odpowiadają róŜne punkty M . Podane wyŜej równania nazywamy równaniami

parametrycznymi lub opisem parametrycznym łuku. Łuki będziemy zazwyczaj oznaczać literami L lub K .

Łuk L⊂R² nazywamy otwartym, jeŜeli ^x(α)≠ ^x(β) lub ^y(α)≠ ^y(β). Łuk L⊂R² nazywamy zamkniętym, jeŜeli ^x(α)= ^x(β) i ^y(α)= ^y(β).

Łuk L⊂R² nazywamy regularnym (gładkim), jeŜeli funkcje ^x, ^y∈^C¹([

α

,

β

]) oraz

[ ] [

^x^′⁽^t⁾ ² ⁺ ^y^′⁽^t⁾

]

² ^>⁰^dlat∈

[ ] α

^,

β

.

Łuk L⊂R² nazywamy kawałkami regularnym (kawałkami gładkim), jeŜeli przedział

[ ] α

^,

β

moŜna podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów tak, aby w kaŜdym z nich łuk był łukiem regularnym (gładkim).

Łuk L⊂R², w którym wyróŜniono początek i koniec, nazywamy łukiem

skierowanym, w przeciwnym przypadku mówimy, Ŝe L⊂R² jest łukiem nieskierowanym.

JeŜeli ^A=(^x(

α

),^y(

α

)) jest początkiem, a punkt ^B=(^x(

β

),^y(

β

)) jest końcem łuku R2

L⊂ , to łuk ten moŜemy zapisać takŜe L= AB^∪ .

Łuk L⊂R² moŜna określić równaniem w postaci jawnej )

(x y

y= , x∈[ ba, ], gdzie y∈C¹([a,b]).

Łuk L⊂R² moŜna równieŜ określić w układzie biegunowym )

(

ϕ

r

r = ,

ϕ

∈

[ ϕ

1,

ϕ

2

]

^,

gdzie ^r∈^C¹([

ϕ

₁,

ϕ

₂]). Przykłady

Łuk L⊂R² mający przedstawienie parametryczne





⋅

− +

=

⋅

− +

=

t y y y y

t x x x L x

) (

) : (

1 2 1

1 2

1 gdzie 0≤t≤1

jest odcinkiem na płaszczyźnie łączącym punkty A=(x₁,y₁) i B=(x₂,y₂), czyli L= AB. Łuk L⊂R² mający przedstawienie parametryczne





⋅ +

=

⋅ +

=

t R y y

t R x L x

sin : cos

0

0 gdzie ⁰≤t≤²π

jest okręgiem o środku w punkcie M₀ =(x₀,y₀) i promieniu R , czyli L=S(M₀,R). Łuk L⊂R² mający przedstawienie jawne

2 4 1x

y= gdzie 0≤x≤2 jest łukiem paraboli łączącym punkty A=(0,0) i B=(2,1).

Łuk L⊂R² mający przedstawienie w układzie biegunowym

(2)

ϕ

⋅

=a

r gdzie ⁰≤ϕ ≤²π jest pierwszym zwojem (skrętem) spirali Archimedesa (a>0).

3.2 Definicje całki krzywoliniowej nieskierowanej Niech łuk L⊂R² ma przedstawienie parametryczne

), (t x

x= y= y(t), t∈

[ ] α

^,

β

,

gdzie funkcje ^x, ^y∈^C¹([

α

,

β

]) oraz f :L→R, f ∈C(L), f = f(x,y). Wtedy

[ ] [ ]

∫

⁼

∫

^′ ⁺ ^′

L

DEF

dt t y t

x t y t x f dl

y x f

β α

2

2 ( )

) ( )) ( ), ( ( )

,

( .

Przykład Obliczyć

∫

=

L

dl y x

I ² , gdzie

0 2 sin 2

cos

: 2 _≤ _≤π

=

= t

t y

t

L x .

Mamy zgodnie z definicją

[ ] [ ]

∫ ∫

⁼









=

−

= =

⋅

= +

−

⋅

= ²

0

2

0 2 2

2 2

sin sin cos

cos 16 cos

2 sin

cos 8

π π

du dt t

u dt t

t t dt

t t

t t I

3 0 16 1 3 3 16 0

1

2 |

16 =− =

−

=

∫

^u ^du ^u ^.

Niech łuk L⊂ R² ma przedstawienie jawne )

(x y

y= , ^x^∈

[ ]

^a^,^b ^,

gdzie funkcja y∈C¹([a,b]) oraz f :L→R, f ∈C(L). Wtedy

[ ]

∫

⁼

∫

^⋅ ⁺ ^′

L

b

a DEF

dx x y x

y x f dl

y x

f( , ) ( , ( )) 1 ( ) ² .

Przykład Obliczyć

∫

=

L

dl y x

I ² gdzie L:y= 4−x² 0≤x≤2. Na podstawie definicji

∫

^ ⁼ ^⋅ ⁻ ^⋅ ⁺ ₋ ⁼



 





− + −

⋅

−

⋅

=

2

0

2 2 2

2 2

0

2

2 2

2

1 4 4

4 1

4 dx

x x x

x dx x

x x x

I

[ ]

∫

⁼ ^⋅

∫

⁼ ^⋅ ⁼

⋅ −

−

⋅

=

2

0

2

0

2 0 3 2

2 2

2

3 16 3

2 2 4

4 2 dx x dx x

x x

x .

Uwaga

JeŜeli łuk L⊂R² ma przedstawienie jawne

(3)

) ( y x

x= , ^y∈

[ ]

^c^,^d ^,

gdzie funkcja x∈C¹([c,d]) oraz f :L→R, f ∈C(L), to

[ ]

∫

⁼ ^d ^⋅ ⁺ ^′

c DEF

L

dy y x y

y x f dl

y x

f( , ) ( ( ), ) 1 ( ) ² .

JeŜeli łuk L⊂R² dany jest we współrzędnych biegunowych )

(ϕ r

r = ,

ϕ

∈

[ ϕ

1,

ϕ

2

]

,

gdzie funkcja ^r∈^C¹([

ϕ

₁,

ϕ

₂]) oraz f :L→R, f ∈C(L), to całkę krzywoliniową nieskierowaną po łuku L określa się wzorem

[ ] [ ]

∫

⁼ ² ^⋅ ⁺ ^′

1

2

2 ( )

) ( ) sin , cos ( )

, (

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

^r ^r ^r ^d

r f dl

y x f

L

DEF

. Przykład

Obliczyć całkę

( )

∫

⁺

=

L

dl y x

I ² ² , gdzie L:x² + y² =ax, a>0. Wprowadzając współrzędne biegunowe otrzymujemy równanie łuku L w postaci

ϕ cos a

r= , gdzie −^π₂ ≤ϕ ≤^π₂ . Zatem na mocy definicji mamy

[ ] [ ] [ ]

∫ ∫ ∫

− − −

=

⋅

=

⋅

=

− +

⋅

= ²

2

2 2 2

cos sin

cos

π π

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

â ^d â ^r ^d â â ^d

a r I

( ) [ ]

∫

− + = ⋅ + − =

⋅

= ²

2

3

2 1 3

3

2 2 2 sin

2 cos 2 1

2 2

π π

ϕ π ϕ

ϕ

^d ^a ^π^π ^a

a .

3.3 Zastosowania całki krzywoliniowej nieskierowanej - Długość łuku

Długość łuku L⊂R² wyraŜa się wzorem

∫

=

L

dl

L .

- Pole płata

Niech S oznacza powierzchnię boczną walca o tworzących przechodzących przez łuk R2

L⊂ . Ponadto niech tworzące walca będą równoległe do osi Ox i w punkcie (x,y)∈L mają długość f(x,y)≥0. Wtedy pole płata S wyraŜa się wzorem

∫

=

L

dl y x f

S ( , ) .

(4)

W dalszym ciągu będziemy zakładać, Ŝe L⊂ R² jest łukiem regularnym o gęstości liniowej masy λ =λ(x,y), przy czym λ∈C(L). JeŜeli łuk L jest jednorodny, to

0 =const.

=

λ λ

- Masa łuku

∫

=

L

dl y x

m

λ

( , ) ^.

- Momenty statyczne - względem osi Ox

∫

^⋅

=

L

x y x y dl

MS

λ

( , ) ^,

- względem osi Oy

∫

^⋅

=

L

y x x y dl

MS

λ

( , ) ^.

- Współrzędne środka masy

(

xC yC

)

C = ;

m x_C = MS^y ,

m y_C = MS^x .

- Momenty bezwładności - względem osi Ox

∫

^⋅

=

L

x y x y dl

I ²

λ

( , ) ^, - względem osi Oy

∫

^⋅

=

L

y x x y dl

I ²

λ

( , ) ^, - względem punktu O=(0;0)

∫

⁺ ^⋅

=

L

O x y x y dl

I ( ² ²)

λ

( , ) ^.

- NatęŜenie pola elektrycznego

Niech P₀ =(x₀;y₀)∈R² będzie punktem ustalonym, P=(x,y)∈L⊂R² - punktem zmiennym łuku regularnego L . Wektory wodzące tych punktów oznaczmy odpowiednio przez rr0 =OP0

, rr =OP

, gdzie O=(0;0). NatęŜenie pola indukowane w punkcie P przez ₀ ładunek elektryczny o gęstości liniowej (rr)

λ

= , rozłoŜony w sposób ciągły na łuku L wyraŜa się wzorem

∫

−

⋅

⋅ −

= ⁻

L

dl r

r

r r

E r ₃

0 1 0

0

) ( ) ) (

4

( r r

r r

r

πε

r

λ

^,

gdzie

ε

₀ - stała dielektryczna próŜni, rr−rr₀ = PP₀ = (x−x₀)² +(y−y₀)² .

(5)

Przykłady

1. Obliczyć pole powierzchni bocznej walca x² + y² =1 ograniczonej powierzchniami z=0, z=2+xy.

Mamy L:x² + y² =1, f(x,y)=2+xy, zatem

∫

⁺

=

L

dl xy

S (2 ) .

Łuk L ma przedstawienie parametryczne: x=cost, y =sint, ⁰≤t ≤²π , zatem

[ ] [ ]

∫ ∫ ∫

⁼









=

= =

⋅ +

= +

−

⋅

⋅ +

= ^π ^π ^π

2

0

2

0

2

0 2

2

cos cos sin

sin 2

cos sin

) sin cos 2

( tdt dv

v dt t

t t dt

dt t t

t t S

π

⁴

4

0

= +

=

∫

^v^dv ^.

2. Znaleźć masę pierwszego zwoju spirali Archimedesa, jeśli gęstość liniowa równa się odległości od początku układu współrzędnych.

Mamy ^L:^r=^aϕ, ⁰≤ϕ≤²π , a>0 oraz λ(x,y)= x² +y² ^{, zatem}

=







=

= +

⋅ +

⋅

= +

⋅

= +

=

∫ ∫ ∫

L d udu

d u a

d a a

a dl y x m

π π

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

2

0

2

0

2 2 2

2 2

2 2 2

2 1

1

[ ]

⁼ ^⋅^_^

(

⁺

)

⁻ ^_^

⋅

=

⋅

= ¹⁺

∫

⁴ ₃² ³ ¹¹⁺⁴ ₃² ¹ ⁴ ² ³² ¹

1 2

2 ²

2

π

π a

a u du u

a .

3. Obliczyć współrzędne środka masy jednorodnego (λ =1) łuku cykloidy

π

2 0

, cos 1 ,

sin

:x=t− t y = − t ≤t≤

L .

Najpierw obliczymy masę cykloidy

[ ] [ ] [ ]

∫

⁼

∫

⁻ ⁺ ⁼ ^⋅

∫

⁻ ⁼ ^⋅

∫

⁼⁻ ^⋅ ⁼

=

L

t t dt

dt t dt

t t

dl m

π π π

2 π 0

2

0

2

0

2 2 0 2

2

2 sin 2 1 cos 2 sin 4 cos 8

cos

1 .

Teraz obliczymy momenty statyczne

[ ] [ ] ( )

∫

⁼

∫

⁻ ^⋅ ⁻ ⁺ ⁼ ^⋅

∫

⁻ ⁼ ^⋅

∫

⁼

=

L

t

x ydl t t t dt t dt dt

MS

π π π

2

0

2

0

2

0 2 2 3

2 3

2 sin 2 1 cos 4 sin

cos 1 ) cos 1 (

( ) [ ]

∫

⁼⁻ ^⋅⁻

∫

⁻ ⁼⁻ ^⋅ ⁻ ⁻ ⁼









=

−

= =

⋅

−

⋅ ^π

2

0

1

1 1 3 3 2 1

2 2 1

2 2

3 8 32

) 1 ( sin 8

sin cos cos

1

4 u du u u

du dt

dt _t u

t t

t ,

( ) ( )

∫ ∫ ∫

⁼









=

= =

⋅

−

⋅

=

−

⋅

−

=

L

t

y dt d

dt t t

t dt

t t

t dl x MS

π π

τ τ

2

0

2

0

2 2

sin 2 sin 2

cos 2 2 sin

(6)

( ) [ ]

∫

⁻ ^⋅ ⁼ ^⋅

∫

^⋅ ⁻ ^⋅

∫

^⋅ ⁼ ^⋅ ⁻ ^⋅ ⁺

⋅

= ^π

τ τ τ τ

^π

τ τ τ

^π

τ τ τ τ τ

^π

0 0 0

0

2 cos 8 cos

sin 8 sin

8 sin

2 sin 2

4 d d d .

∫

⁻ ^⋅

∫

⁼

+^π

τ τ υ υ π

0

2 8

8

cos d d .

Mamy zatem

π

₌

π

=

= 8

8 m

x_C MS^y ,

3 4 8

3 32 =

=

= m

y_C MS^x , czyli

( )

3

,4

π

=

C .

4. Obliczyć momenty bezwładności łuku L , który jest brzegiem trójkąta o

wierzchołkach A=(1,0), B=(0,1), C=(0,0), jeŜeli gęstość liniowa jest równa y

x y x, )= +

λ( ^.

Łuk L przedstawimy w postaci L= AB+BC+CA, gdzie boki trójkąta mają przedstawienie parametryczne:

1 1 0

: ≤ ≤

=

−

= t

t y

t

AB x , 0 1

1

: 0 ≤ ≤

−

=

= t

t y

BC x , 0 1

: 0 ≤ ≤

=

= t

y t

CA x .

Mamy zatem

∫

⁺ ⁼

∫

⁺ ⁺

∫

⁺ ⁺

∫

⁺ ⁼

=

L AB BC CA

x y x y dl y x y dl y x y dl y x y dl

I ²( ) ²( ) ²( ) ²( )

4 1 3

2 3

1 2 0

) 1 ( 2

1

0

1

0

1

0

1 3 3

2 = − = +









=

−

=

= − +

− +

⋅

=

∫

^t ^dt

∫

^t ^dt

∫

^dt _dt^t _du^u

∫

^u ^du ^,

∫

⁺ ⁼

∫

⁺ ⁺

∫

⁺ ⁺

∫

⁺ ⁼

=

L AB BC CA

y x x y dl x x y dl x x y dl x x y dl

I ²( ) ²( ) ²( ) ²( )

∫

⁻ ^⋅ ⁺

∫

⁺

∫

⁼⁻ ^⋅

∫

⁺ ⁼ ⁺

=

1

0

1 2 1

0 3 1

0 2

4 1 3

2 4 2 1

0 2

) 1

( t dt dt t dt u du ,

2 1 3

2

2 +

= +

= _x _y

O I I

I .