x, d) f (x) = 1 2x − 3 . 2. Obliczyć pochodną funkcji

(1)

MATEMATYKA lista zadań nr 9

1. Wyznaczyć pochodną funkcji f , korzystając z defincji pochodnej

a) f (x) = 3x

²

− 2x, b) f (x) = sin 5x, c) f (x) = 2 − √

x, d) f (x) = 1 2x − 3 . 2. Obliczyć pochodną funkcji

a) f (x) = x

²

sin x, b) f (x) = 2x

x + 3 , c) f (x) = tg √

x, d) f (x) = sin

²

x+sin x

²

,

e) f (x) = x

²

− 3

x

²

+ 3 , f) f (x) = (1 + √

x) · 1

√ x − 1

!

, g) f (x) = e

^x

sin x + cos x ,

h) f (x) =

³

√

x

²

− √

⁴

x

³

· √

⁵

x

⁴

+

⁶

√

x

⁵

, i) f (x) = ln x

²

1 − x

²

, j) f (x) = ln

s

1 + x 1 − x ,

k) f (x) = arc sin √

1 − 3x, l) f (x) = arc sin x

√ 1 − x

²

, m) f (x) = arctg √ x.

3. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji a) f (x) = x· √

1 − x

²

, b) f (x) = x−ln(x

²

+1), c) f (x) = arctg x−x, d) f (x) = x−e

^x

,

e) f (x) = cos x−x, f) f (x) = x

ln x , g) f (x) = ln(x+ √

1 + x

²

), h) f (x) = e

^−x²

. 4. Obliczyć granice, korzystając z reguły de l’Hospitala

a) lim

x→0

2x − arc sin x

2x + arctg x , b) lim

x→0

tg x − sin x

x

³

, c) lim

x→π/4

cos x − sin x cos 2x ,

d) lim

x→0

ln(2 + x) − ln x

x , e) lim

x→1

1 x − 1

e

^x

− 1

, f) lim

x→∞

x ·

e

¹^x

− 1

,

g) lim

x→∞

x

^x¹

, h) lim

x→0

x

^{sin 2x}

, i) lim

x→5

(6 − x)

^x−5¹

, j) lim

x→0

(1 + sin x)

^{sin x}¹

. 5. Uzasadnić, że funkcja nie ma ekstremum

a) f (x) = x

³

+ x, b) f (x) = cos x + 3x, c) f (x) = arctg x + 2x, d) f (x) = √

2x + 1.