Funkcje wielu zmiennych
1 Zbiory na p laszczy´ znie
Definicja Przestrzeni¸a dwuwymiarow¸a (p laszczyzn¸a) nazywamy zbi´or wszystkich par uporz¸adkowanych (x, y), gdzie x, y ∈ R. Przestrze´n t¸e oznaczamy symbolem R2:
R2 = { (x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R }.
Elementy (x, y) tego zbioru nazywamy punktami p laszczyzny i oznaczamy P = (x, y). Liczby x, y nazywamy wsp´o lrz¸ednymi punktu P .
Definicja Odleg lo´s´c punkt´ow P1, P2 p laszczyzny oznaczamy symbolem d(P1, P2) i okre´slamy wzorem:
d(P1, P2) =p
(x2− x1)2+ (y2− y1)2, gdy P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2) ∈ R2.
Uwaga Zamiast symbolu d(P1, P2), u˙zywa si¸e tak˙ze oznaczenia |P1P2|.
Przyk lad Odleg lo´s´c punkt´ow P = (3, −4), Q = (4, −3) wynosi d(P, Q) =p
(4 − 3)2+ (−3 − (−4))2 =√ 2.
Definicja Otoczeniem punktu P0 ∈ R2 o promieniu r (r > 0) nazywamy zbi´or:
U (P0, r) = { P ∈ R2 : d(P0, P ) < r }.
Otoczeniem punktu na p laszczy´znie jest ko lo otwarte o ´srodku w punkcie P0 i promieniu r.
Uwaga Je˙zeli promie´n otoczenia nie b¸edzie istotny w rozwa˙zaniach, to zamiast U (P0, r) b¸e- dziemy pisa´c U (P0).
Definicja S¸asiedztwem punktu P0 ∈ R2 o promieniu r (r > 0) nazywamy zbi´or:
S(P0, r) = { P ∈ R2 : 0 < d(P0, P ) < r }.
Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze S(P0, r) = U (P0, r) \ { P0}.
Uwaga Je˙zeli promie´n s¸asiedztwa nie b¸edzie istotny w rozwa˙zaniach, to zamiast S(P0, r) b¸edziemy pisa´c S(P0).
2 Funkcje dw´ och zmiennych
Definicja Funkcj¸a f dw´och zmiennych okre´slon¸a na zbiorze D ⊂ R2 o warto´sciach w R nazywamy przyporz¸adkowanie ka˙zdemu punktowi (x, y) ∈ D dok ladnie jednej liczby z = f (x, y) ∈ R.
Przyk lad
a) f (x, y) = ln(1 − x2− y2), b) g(x, y) =√
xy, c) F (x, y) = (x−2)(x−2)(y+1)2+(y+1)2. Definicja Dziedzin¸a funkcji f nazywamy zbi´or:
Df = { (x, y) ∈ R2 : ∃z∈R z = f (x, y) }.
Przyk lad Dziedziny funkcji podanych w poprzednim przyk ladzie s¸a nast¸epuj¸ace:
a) Df = { (x, y) ∈ R2 : x2+ y2 < 1 }, b) Dg = { (x, y) ∈ R2 : xy ≥ 0 }, c) DF = R2 \ { (2, −1)}.
Definicja Wykresem funkcji f nazywamy zbi´or:
Wf = { (x, y, z) : (x, y) ∈ Df ∧ z = f (x, y) }.
Definicja Poziomic¸a wykresu funkcji f odpowiadaj¸ac¸a poziomowi h ∈ R nazywamy zbi´or:
{ (x, y) ∈ Df : f (x, y) = h }.
Przyk lad
Wykresem funkcji f (x, y) = 1 − x − y jest p laszczyzna o wektorze normalnym ~n = [1, 1, 1], a poziomic¸a odpowiadaj¸ac¸a poziomowi h jest prosta okre´slona r´ownaniem kraw¸edziowym
( x + y + z = 1, z = h.
Wykresem funkcji f (x, y) = x2+y2 jest paraboloida o wierzcho lku w punkcie (0, 0, 0), a poziomic¸a odpowiadaj¸ac¸a poziomowi h, gdzie h ≥ 0 jest okr¸ag x2+ y2 = h po lo˙zony na p laszczy´znie z = h.
3 Granica funkcji dw´ och zmiennych
Definicja Ci¸agiem punkt´ow na p laszczy´znie nazywamy przyporz¸adkowanie ka˙zdej liczbie na- turalnej punktu p laszczyzny R2.
Warto´s´c tego przyporz¸adkowania dla n ∈ N nazywamy n-tym wyrazem ci¸agu i oznaczamy przez Pn= (xn, yn). Ci¸ag taki oznaczamy symbolem {Pn} lub {(xn, yn)}.
Przyk lad
a) (xn, yn) = (1,n1), b) (xn, yn) = ((−1)n, (−1)n+1), c) (xn, yn) = (2−n, 3−n), n ∈ N.
Definicja Ci¸ag {Pn} = {(xn, yn)} jest zbie ˙zny do punktu P0 = (x0, y0), co zapisujemy
n→∞lim Pn = P0 lub lim
n→∞(xn, yn) = (x0, y0),
wtedy i tylko wtedy, gdy
n→∞lim xn = x0 oraz lim
n→∞ yn = y0. Przyk lad
a) (xn, yn) = (1,n1), n ∈ N xn= 1, lim
n→∞ xn= 1, yn = 1
n, lim
n→∞ yn= 0, lim
n→∞(xn, yn) = (1, 0), b) (xn, yn) = ((−1)n, (−1)n+1), n ∈ N
n→∞lim (xn, yn) nie istnieje, c) (xn, yn) = (2−n, 3−n), n ∈ N.
n→∞lim (xn, yn) = (0, 0).
Definicja Niech P0 = (x0, y0) ∈ R2 oraz niech funkcja f b¸edzie okre´slona w s¸asiedztwie S(P0).
Liczba A jest granic¸a funkcji f w punkcie P0, co zapisujemy lim
(x,y)→(x0,y0) f (x, y) = A, wtedy i tylko wtedy, gdy
n→∞lim (xn, yn) = (x0, y0) =⇒ lim
n→∞ f (xn, yn) = A dla dowolnego ci¸agu {(xn, yn)} ⊂ S(P0).
Uwaga Granic¸e funkcji f w punkcie (x0, y0) zapisujemy tak˙ze w postaci
x→x0lim
y→y0
f (x, y).
Mo˙zna te˙z pisa´c
f (x, y) → A, gdy (x, y) → (x0, y0).
Przyk lad lim
(x,y)→(0,0)
px2+ y2 = 0, lim
(x,y)→(0,0)
1
x4+ y4 = ∞, lim
(x,y)→(0,0)
x
x + y nie istnieje.
4 Ci¸ ag lo´ s´ c funkcji dw´ och zmiennych
Definicja Niech P0 = (x0, y0) ∈ R2 oraz niech funkcja f b¸edzie okre´slona w otoczeniu U (P0).
Funkcja f jest ci¸ag la w punkcie (x0, y0) wtedy i tylko wtedy, gdy lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x, y) = f (x0, y0).
Przyk lad
Funkcja f (x, y) =px2+ y2 jest ci¸ag la w punkcie (0, 0).
Funkcje f (x, y) = x4+y1 4 i f (x, y) = x+yx nie s¸a ci¸ag le w punkcie (0, 0).
5 Pochodne cz¸ astkowe funkcji dw´ och zmiennych
Definicja Niech P0 = (x0, y0) ∈ R2 oraz niech funkcja f b¸edzie okre´slona w otoczeniu U (P0).
Pochodn¸a cz¸astkow¸a pierwszego rz¸edu funkcji f wzgl¸edem zmiennej x w punkcie P0 okre´slamy wzorem
∂f
∂x(x0, y0) = lim
∆x→0
f (x0+ ∆x, y0) − f (x0, y0)
∆x
Pochodn¸a cz¸astkow¸a pierwszego rz¸edu funkcji f wzgl¸edem zmiennej y w punkcie P0 okre´slamy wzorem
∂f
∂y(x0, y0) = lim
∆y→0
f (x0, y0+ ∆y) − f (x0, y0)
∆y
Pochodne cz¸astkowe oznacza si¸e tak˙ze symbolami fx0(x0, y0), fy0(x0, y0), fx(x0, y0), fy(x0, y0), D1f (x0, y0), D2f (x0, y0).
Przyk lad
Pochodne cz¸astkowe funkcji f (x, y) = (x − y)3 w punkcie (0, 0) s¸a w la´sciwe (sko´nczone)
∂f
∂x(0, 0) = lim
∆x→0
f (0 + ∆x, 0) − f (0, 0)
∆x = lim
∆x→0
(∆x)3− 0
∆x = 0
∂f
∂y(0, 0) = lim
∆y→0
f (0, 0 + ∆y) − f (0, 0)
∆y = lim
∆y→0
(−∆y)3− 0
∆y = 0
Pochodne funkcji f (x, y) =√3
x − y w punkcie (0, 0) s¸a niew la´sciwe
∂f
∂x(0, 0) = lim
∆x→0
f (0 + ∆x, 0) − f (0, 0)
∆x = lim
∆x→0
√3
∆x − 0
∆x = +∞
∂f
∂y(0, 0) = lim
∆y→0
f (0, 0 + ∆y) − f (0, 0)
∆y = lim
∆y→0
√3
−∆y − 0
∆y = −∞
Pochodne funkcji f (x, y) =px2+ y2 w punkcie (0, 0) nie istniej¸a
∂f
∂x(0, 0) = lim
∆x→0
f (0 + ∆x, 0) − f (0, 0)
∆x = lim
∆x→0
|∆x|
∆x nie istnieje
∂f
∂y(0, 0) = lim
∆y→0
f (0, 0 + ∆y) − f (0, 0)
∆y = lim
∆y→0
|∆y|
∆y nie istnieje
Niech P = (x, y) ∈ R2 oraz niech funkcja f b¸edzie okre´slona w otoczeniu U (P ). Pochodn¸a cz¸astkow¸a pierwszego rz¸edu funkcji f wzgl¸edem zmiennej x w punkcie P okre´slamy wzorem
∂f
∂x(x, y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x, y) − f (x, y)
∆x
Pochodn¸a cz¸astkow¸a pierwszego rz¸edu funkcji f wzgl¸edem zmiennej y w punkcie P okre´slamy wzorem
∂f
∂x(x, y) = lim
∆y→0
f (x, y + ∆y) − f (x, y)
∆y Przyk lad
Funkcja f (x, y) = (x − y)3 = x3− 3x2y + 3xy2− y3 ma pochodne cz¸astkowe
fx0 = 3x2− 6xy + 3y2 = 3(x − y)2, fy0 = −3x2+ 6xy − 3y2 = −3(x − y)2 Funkcja f (x, y) =√3
x − y ma pochodne cz¸astkowe fx0 = 1
3p(x − y)3 2, fy0 = −1 3p(x − y)3 2 Funkcja f (x, y) =px2+ y2 ma pochodne cz¸astkowe
fx0 = x
px2+ y2, fy0 = y px2+ y2
6 Gradient funkcji dw´ och zmiennych
Definicja Gradientem funkcji f w punkcie P0 = (x0, y0) nazywamy wektor okre´slony wzorem gradf (x0, y0) =
h
fx0(x0, y0), fy0(x0, y0) i
Gradient funkcji f oznacza si¸e tak˙ze symbolem ∇f (x0, y0).
Przyk lad
Gradient funkcji f (x, y) = x3− y3 w punkcie P0 = (1, 1) jest r´owny gradf (1, 1) = [ 3, −3 ]
Gradient funkcji f (x, y) = x3− y3 w punkcie P = (x, y) jest r´owny gradf = 3x2, −3y2
7 P laszczyzna styczna do wykresu funkcji dw´ och zmiennych
Definicja Niech funkcja f ma ci¸ag le pochodne cz¸astkowe fx0 i fy0 w punkcie P0 = (x0, y0).
P laszczyzn¸e styczn¸a do wykresu z = f (x, y) funkcji f w punkcie P0 okre´slamy wzorem z − z0 = fx0(x0, y0)(x − x0) + fy0(x0, y0)(y − y0),
gdzie z0 = f (x0, y0). P laszczyzn¸e styczn¸a oznacza si¸e symbolem π.
Przyk lad
P laszczyzna styczna do wykresu funkcji f (x, y) = x3− y3 w punkcie P0 = (1, 1) jest postaci π : z = 3(x − 1) − 3(y − 1)
lub po przekszta lceniach
π : 3x − 3y − z = 0