Wykresy i własności funkcji (funkcje wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne)

Lista nr 8 – odpowiedzi GP, sem.II, studia stacjonarne, 2012/13

Wykresy i własności funkcji (funkcje wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne)

1. a)

1 2

−1

−2

x y

π

3 2π

3

π

3

5π

3

2π

sin x

sin(3x) sin 3x −^π₂

= sin 3 x −^π₆

2 sin 3x −^π₂

Przekształcenia:

sin x → sin(3x) → sin ^ 3 ^ x −

^ → 2 sin ^ 3 ^ x −

^

Własności:

D = R, Y = h−2; 2i, f ↑: x ∈ ^ 0 +

k;

+

k ^ , f ↓: x ∈ ^

+

k;

+

k ^ , k ∈ Z.

b)

1

−1

x y

π

2

π

2π

− sin x −^π₄

Przekształcenia:

sin x → sin ^ x −

^ → − sin ^ x −

^ Własności:

D = R, Y = h−1; 1i, f ↑: x ∈ ^

+ 2kπ;

+ 2kπ ^ , f ↓: x ∈ ^ −

+ 2kπ;

+ 2kπ ^ , k ∈ Z.

c)

1

−1

x y

π

2

π

−

−π

cos x cos(2x) = cos(2|x|)

1

2cos(2|x|) 1+¹2cos(2|x|)

Przekształcenia:

cos x → cos(2x) = cos(2|x|) →

cos(2|x|) → 1 +

cos(2|x|) Własności:

D = R, Y = h

;

i, f ↑: x ∈ ^

+ kπ; π + kπ ^ , f ↓: x ∈ ^ 0 + kπ;

+ kπ ^ , k ∈ Z.

d)

1 2

−1

−2

−3

x y

π 2π

−2π −π

cos x

cos ¹₂x

= cos ¹₂|x|

2 cos ¹₂|x|

−1 + 2 cos ¹2|x|

Przekształcenia:

e)

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

x y

π

2

π

2π

−

−π

tg x

tg x −^π4



 

1 2

 

−₂¹

 

Przekształcenia:

tg x → tg ^ x −

^ →    tg ^ x −

^   →

   tg ^ x −

^   → −

   tg ^ x −

^  

Własności:

D = R \ ⁿ

+ kπ, k ∈ Z ^o , Y = (−∞; 0i,

f ↑: x ∈ ^

+ kπ;

+ kπ ^ , f ↓: x ∈ ^

+ kπ;

+ kπ ^ , k ∈ Z.

f)

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

x y

π

3 2π

3

π

2π

−

−

−π

tg x

tg x +^π₃

tg |x| +^π3

Przekształcenia:

tg x → tg ^ x +

^ → tg ^ |x| +

^ → 2 tg ^ |x| +

^ Własności:

D = R \ ^n

+ kπ, k ∈ N ∪ {0} ^o ∪ ⁿ −

− kπ, k ∈ N ∪ {0} ^o , Y = R,

f ↑: x ∈ R

\ ⁿ

+ kπ, k ∈ N ∪ {0} ^o , f ↓: x ∈ R

\ ⁿ −

− kπ, k ∈ N ∪ {0} ^o

g)

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

x y

π

2

π

−

−π

ctg x

ctg(2x)

ctg(2|x|)

| ctg(2|x|)|

Przekształcenia:

ctg x → ctg(2x) → ctg(2|x|) → | ctg(2|x|)|

Własności:

D = R \ ⁿ k

, k ∈ Z ^o , Y = h0; ∞),

f ↑: x ∈ ^

+ k

;

+ k

^ , f ↓: x ∈ ^ 0 + k

;

+ k

^ , k ∈ Z

h)

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

x y

π

2

π

−

−π

ctg x

ctg |x|

ctg

2 ctg

Przekształcenia:

ctg x → ctg |x| → ctg    x +

   → 2 ctg    x +

Własności:

D = R \ ⁿ

+ kπ, k ∈ Z ^o , Y = R,

f ↑: x ∈ ^ −

− kπ;

− kπ ^ , k ∈ Z, k < 0, f ↓: x ∈ ^ −

+ kπ;

+ kπ ^ , k ∈ N ∪ {0}