Siły wewnętrzne

(1)

1

Wykład nr 3

Siły wewnętrzne – przykłady

Mechanika teoretyczna

2

Przykład – belka przegubowa

15kNm

1m 8kN/m

1,5m 2,5m

RA

HE

60^ο 10kN

1m 1m 1,5m 1,5m

15kNm

1m 8kN/m

1,5m 2,5m

60^ο 10kN

1m 1m 1,5m 1,5m

RB

VE

ME

A B C D E

3

Reakcje

: E 10 cos 60 0 X H − ° =

∑

^Y^:^R^A⁺^R^B⁺^V^E⁻⁸^kN^/^m^⋅³^,⁵^m⁻¹⁰^kN^sin⁶⁰^°⁼⁰

0 5 , 6 5 , 23 5 1 , 3 8 4 60 sin 10 15

5 , 6 9 :

=



 



 +

⋅

−

⋅

°

− +

+ +

⋅ +

∑

⋅

m m m m kN kNm

M m R m R

ME A B E

0 5 , 1 5 , 23 5 1 , 3 / 8 5 , 1 4

: =



 



 +

⋅

−

⋅ +

∑

^M^C^l ^R^A⋅ ^m ^R^B ^m ^kN ^m ^m ^m ^m RA

HE

15kNm

1m 8kN/m

1,5m 2,5m

60^ο 10kN

1m 1m 1,5m 1,5m

RB VE

ME

A B C D E

: 6 3, 5 8 / 3, 5 13, 5 3, 5 10 sin 60 1 0

2

l

D A B

M R ⋅m+R ⋅ m− kN m⋅ m⋅ m+ m− kN °⋅m=

∑

4

Przyjęcie przekrojów, przedziały

E 5 H = kN

2, 010 ME= − kN

4, 330 VE= kN

kN R_A=17,002

kN RB=15,328

m x 0;1

1

1−α ∈

α

m m x 1 ;3,5

2

2−α ∈

α

m m x 3,5 ;6

3

3−α ∈

α

m m x 6 ;8,5

4

4−α ∈

α

m m x 8,5 ;10

5

5−α ∈

α RA

HE

15kNm

1m 8kN/m

1,5m 2,5m

60^ο 10kN

1m 1m 1,5m 1,5m

RB VE

ME

α1 α2 α3 α4 α5

A B C D E

x

5

Przekrój α ₁ − α ₁ ^x ∈ ⁰ ^; ¹ ^m

1

= 0 N

α

x m kN T

α1

= − 8 / ⋅

2 1

/ 4

/ 2 8

x m kN

x x m kN M

⋅

−

=

⋅

−

α

=

kNm M

m x

M x

4 1

0 0

1 1

−

=

α α RA

HE

15kNm

1m 8kN/m

1,5m 2,5m

60^ο 10kN

1m 1m 1,5m 1,5m

RB

VE

ME

α1

A B C D E

x

kN T m x

T x

8 1

0 0

1 1

−

=

α α

6

Przekrój α 2 −α 2 ^x ∈ ¹ ^m ^; ³ ^, ⁵ ^m

RA

HE

15kNm

1m

8kN/m

1,5m 2,5m

60^ο 10kN

1m 1m 1,5m 1,5m

RB

VE

ME

α2

A B C D E

x

2=0 Nα

kN x m kN

Tα₂=−8 / ⋅ +17,002

( )

kNm x

kN x

m kN

m x x kN

x m kN M

002 , 17 002 , 17 / 4

1 002 , 2 17 / 8

2 2

−

⋅ +

⋅

−

=

−

⋅ +

⋅

−

α =

kNm M

m x

kNm M m x

495 , 6 5

, 3

4 1

2 2

−

=

−

=

α α

kN T

m x

kN T m x

998 , 10 5

, 3

002 , 9 1

2 2

−

=

α α

7

Przekrój α 3 −α 3 ^x ∈ ³ ^, ⁵ ^m ^; ⁶ ^m

RA

15kNm

1m

8kN/m

1,5m 2,5m

60^ο 10kN

1m 1m 1,5m 1,5m

RB VE

ME

α3

A B C D E

x

3=0 Nα

kN

kN kN m m kN T

33 , 4

328 , 15 002 , 17 5 , 3 /

3 8

=

+ +

⋅

−

α =

( ) ( )

kNm x kN

m x kN m x kN

x m m m kN M

65 , 21 33 , 4

5 , 3 328 , 15 1 002 , 17

2 5 , 5 3 , 3 /

3 8

−

⋅

=

−

⋅ +

−

⋅ +

+



 

 −

⋅

−

α =

kNm M

m x

M m x

kNm M

m x

330 , 4 6

0 5

495 , 6 5

, 3

3 3 3

=

−

=

α α α

8

Przekrój α 4 −α 4 ^x ∈ ⁶ ^m ^; ⁸ ^, ⁵ ^m

RA

HE

15kNm

1m

8kN/m

1,5m 2,5m

60^ο 10kN

1m 1m 1,5m 1,5m

RB VE

ME

α4

A B C D E

x

kN kN

Nα4=−10 cos60°=−5 kN kN

kN

Tα4=4,33 −10 sin60°=−4,33

( )

kNm x kN

m x kN kNm x kN M

31 , 30 33 , 4

6 60 sin 10 65 , 21 33 ,

4 4 +

⋅

−

=

−

⋅

°

−

⋅

α =

kNm M

m x

M m x

m M m x

495 , 6 5

, 8

0 7

33 , 4 6

4 4 4

−

=

α α α

(2)

9

Przekrój α 5 −α 5 ^x ∈ ⁸ ^, ⁵ ^m ^; ¹⁰ ^m

RA

HE

15kNm

1m

8kN/m

1,5m 2,5m

60^ο 10kN

1m 1m 1,5m 1,5m

RB VE

ME

α5

A B C D E

x

kN N

_α5

= − 5

kN T

α5

= − 4 , 33

kNm x

kN

kNm kNm x

kN M

31 , 45 33

, 4

15 31 , 30 33

,

5

4 +

⋅

−

=

= + +

⋅

−

α

=

kNm M

m x

kNm M

m x

01 , 2 10

505 , 8 5

, 8

5 5

=

α α

10

Wykresy

RA

HE

15kNm

1m 8kN/m

1,5m 2,5m

60^ο 10kN

1m 1m 1,5m 1,5m

RB VE

ME

A B C D E

Nα[kN]

Tα[kN]

Mα[kN ]m

- +

- -

+ +

- - -

+ +

-

8 9,002

10,998 4,330

4,330

5 5

4,330

4

6,495

4,330

6,495

8,505

1,065 2,010

11

Ekstremum

- +

8 9,002

10,998 4,330 x₀

-

8

+

1m 2,5m

Tα[kN]

m x

kNm m

kNm kNm

1 002 , 9 5

, 2

998 , 10 002 , 9

0− + =

m x

0

= 2 , 125

kNm x

kN x

m kN

M

α2

= − 4 / ⋅

²

+ 17 , 002 ⋅ − 17 , 002

( x m ) kNm

M

α2 0

= 2 , 125 = 1 , 065 0 002 , 17 /

2

= − 8 kN m ⋅ x + kN = T

α

12

Przykład – belka przegubowa

VA

HA

RB

1m

A B C D E F

20kN 8kN/m 4kNm/m

RD RF

2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m

1m

20kN 8kN/m 4kNm/m

2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m

13

Reakcje

∑

^X^:^H^A⁼⁰

∑

^Y^:^V^A⁺^R^B⁺^R^D⁺^R^F⁻²⁰^kN⁻⁸^kN^/^m^⋅²^m⁻¹₂⁸^kN^/^m^⋅⁴^m⁼⁰

0 5 , 3 / 4 34 2 1 4 / 28 1

1 2 / 8 1 20 5 , 10 6 3 :

=

⋅

+



 



 +

⋅

−

+

⋅

−

⋅ +

∑

⋅

m m kNm m m m m kN

m m m kN m kN m R m R m R

M_A _B _D _F

0 5 , 3 / 4 5 , 2

: ⋅ + ⋅ =

∑

^M^E^p ^R^F ^m ^kNm^m ^m

0 5 , 3 / 4 5 , 31 5 1 , 1 / 23 6 1 5 , 1

: ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =

∑

^M^C^p ^R^D ^m ^R^F ^m ^kN ^m ^m ^m ^kNm ^m ^m

VA

HA

R_B 1m

A B C D E F

20kN 8kN/m 4kNm/m

R_D R_F

2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m

14

Przyjęcie przekrojów, przedziały

=0 HA

kN V_A=40,039

kN R_B=3,744

kN RF=5,6

kN R_D=13,817

VA

HA

RB

1m

A B C D E F

20kN 8kN/m

4kNm/m

RD RF

2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m

α2

x α1 α3 α4 α5 α6 α7

m x 0;1

1

1−α ∈

α

m m x 1 ;3

2

2−α ∈

α

m m x 3 ;4

3

3−α ∈

α

m m x 4 ;7

4

4−α ∈

α

m m x 7 ;9

5

5−α ∈

α

m m x 9 ;11,5

6

6−α ∈

α

m m x 11,5 ;12,5

7

7−α ∈

α

15

Przekrój

VA

HA

R_B 1m

A B C D E F

20kN 8kN/m

4kNm/m

R_D R_F

2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m

α2

x α1 α3 α4 α5 α6 α7

m x 0 ; 1

1 1 −α ∈

α

1

= 0 N

α

kN T

α1

= − 20

x kN M

α1

= − 20 ⋅

kNm M

m x

M x

20 1

0 0

1 1

−

=

α α

16

Przekrój

VA

HA

R_B 1m

A B C D E F

20kN 8kN/m

4kNm/m

R_D R_F

2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m

α2

xα1 α3 α4 α5 α6 α7

m m x 1 ; 3

2 2 − α ∈

α

2=HA=0 N_α

x m kN kN

m x m kN kN kN m x m kN V kN

T A

⋅

−

=

−

⋅

− +

−

=

−

⋅

− +

−

=

/ 8 039 , 28

) 1 ( / 8 039 , 40 20 ) 1 ( / 8

2 20

α

( ) ( )

kNm x

kN x

m kN

m m x x m kN m x kN x kN

m m x x m kN m x V x kN

M A

039 , 44 039 , 28 / 4

2 1 1 / 8 1 039 , 40 20

2 1 1 / 8 1 20

2 2

−

⋅ +

⋅

−

=

− =

⋅

−

⋅

−

⋅ +

⋅

−

=

− =

⋅

−

⋅

−

⋅ +

⋅

−

α =

kNm M

m x

kNm M

m x

078 , 4 3

20 1

2 2

=

−

=

α α

kN T

m x

kN T

m x

039 , 4 3

039 , 20 1

2 2

=

α α

(3)

17

Przekrój

– siły normalne i tnące

m m x 3 ; 4

3 3 −α ∈

α

V_A HA

R_B 1m

A B C D E F

20kN 8kN/m

4kNm/m

R_D R_F

2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m

α2

x α1 α3 α4 α5 α6 α7

3=HA=0 N_α

( )

² ⁴^/ ⁽⁷ ⁾

/ 8 7

2 3

3

x m m kN x q

m m kN x m

x q

−

⋅

=

− =

kN T

m x

kN T m x

961 , 2 4

039 , 4 3

3 3

−

=

α α

( ) ( ) ( ( ) ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

kN m x

x kN m kN

m x x m m kN m kN

m x x m m kN kN kN kN

m x x q m kN m x x q m m kN V kN

T _A

039 , 37 14 1

3 7

/ 2 / 28 1

3 7 / 2 16 039 , 40 20

3 /

28 3 1 2

/ 8 20

2 2

2

3 3

3

+

−

=

−

⋅

−

⋅

−

+

−

⋅

−

⋅

−

− +

−

=

−

⋅

−

⋅

−

⋅

− +

−

α =

18

Przekrój

– momenty zginające

m m x 3 ; 4

3 3 − α ∈

α

V_A HA

R_B 1m

A B C D E F

20kN 8kN/m

4kNm/m

R_D R_F

2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m

α2

xα1 α3 α4 α5 α6 α7

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ( ) ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

kNm x

kN x

m kN x m kN

m x x m m kN m kN

m m x x x m m kN

m x kN m x kN x kN

m x m x x q m m kN m x x x q

m x m m kN m x V x kN

M A

039 , 53 039 , 37 / 7 3 /

1

3 7

/ 2 / 38 1

2 3 3 7 / 2

2 16 1 039 , 40 20

3 3 3 2 /

28 1 2 3 3

2 2 / 8 1 20

2 3

2

2 2

3 3

3

−

⋅ +

⋅

−

⋅

=

−

⋅

−

⋅

−

− +

−

⋅

−

⋅

−

+

−

⋅

−

⋅ +

⋅

−

=

−

⋅

−

⋅

−

− −

−

⋅

−

+

−

⋅

−

⋅ +

⋅

−

α =

kNm M

m x

kNm M

m x

450 , 4 4

078 , 4 3

3 3

=

α α

19

Przekrój α 4 −α 4 ^x ∈ ⁴ ^m ^; ⁷ ^m

4=HA=0 N_α

( ) ( ) ( ( ) ) ( )

kN mx

x kN m kN

kN kN mx

x kN m kN

R m x x q m kN m x x q m m kN V kN

T _A _B

783 , 40 14 1

744 , 3 039 , 37 14 1

3 /

28 3 1 2

/ 8 20

2 2

3 3

4

+

−

=

= + +

−

=

= +

−

⋅

−

⋅

−

⋅

− +

−

α =

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

kNm x kN x m kN x m kN

m x R m x m x x q m kN

m m x x x q m x m m kN m x V x kN M

B A

015 , 68 783 , 40 / 7 3 /

1

4 3 3

3 2 /

28 1

2 3 3 2

2 / 8 1 20

2 3 2

3

3 4

−

⋅ +

⋅

−

⋅

=

−

⋅ +

−

⋅

−

⋅

−

− +

−

⋅

−

⋅

−

⋅ +

⋅

−

α = V_A HA

R_B 1m

A B C D E F

20kN 8kN/m

4kNm/m

R_D R_F

2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m

α2

x α1 α3 α4 α5 α6 α7

kN T

m x

kN T m x

217 , 8 7

783 , 0 4

4 4

−

=

α α

kNm M

m x

M m x

kNm M

m x

201 , 11 7

0 5 , 5

450 , 4 4

4 4 4

−

=

α α α

20

Przekrój α 5 − α 5 ^x ∈ ⁷ ^m ^; ⁹ ^m

5=HA=0 N_α

kN

kN kN kN kN kN kN

R R m m kN m m kN V kN

T _A _B _D

6 , 5

817 , 13 744 , 3 16 16 039 , 40 20

4 / 28 2 1 / 8

5 20

=

= + +

−

− +

−

=

= + +

⋅

−

⋅

− +

−

α =

( ) ( )

kNm x kN

m x R m x R m m x m m kN

m x m m kN m x V x kN M

D B

A

401 , 50 6 , 5

7 4

34 3 1 4 / 28 1

2 2 / 8 1

5 20

−

⋅

=

−

⋅ +

−

⋅ +



 



 



 



 +

−

⋅

−

+

−

⋅

−

⋅ +

⋅

−

α = V_A HA

R_B 1m

A B C D E F

20kN 8kN/m

4kNm/m

R_D R_F

2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m

α2

xα1 α3 α4 α5 α6 α7

0 001 , 0 9

201 , 11 7

5 5

≈

−

=

−

=

kNm M

m x

kNm M

m x

α α

21

Przekrój α ₆ − α ₆ ^x ∈ ⁹ ^m ^; ¹¹ ^, ⁵ ^m

6

= H

A

= 0 N

_α

kN T

α6

= 5 , 6

( )

6

5, 6 50, 401 4 / 9

1, 6 14, 401

M kN x kNm kNm m x m

kN x kNm

α

= ⋅ − − ⋅ − =

= ⋅ −

VA

H_A

R_B 1m

A B C D E F

20kN 8kN/m 4kNm/m

R_D R_F

2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m

α2

x α1 α3 α4 α5 α6 α7

kNm M

m x

kNm M

m x

999 , 3 5

, 11

0 001 , 0 9

6 6

=

≈

−

=

α α

22

Przekrój α ₇ −α ₇ ^x ∈ ¹¹ ^, ⁵ ^m ^; ¹² ^, ⁵ ^m

7

= H

A

= 0 N

_α

0 6

,

7

= 5 kN − R

F

= T

_α

( )

kNm x

kN

m x kN kNm x

kN M

999 , 49 4

5 , 11 6

, 5 401 , 14 6

,

7

1 +

⋅

−

=

−

⋅

−

⋅

α

=

VA

H_A

R_B 1m

A B C D E F

20kN 8kN/m 4kNm/m

R_D R_F

2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m

α2

xα1 α3 α4 α5 α6 α7

0 001 , 0 5

, 12

999 , 3 5

, 11

7 7

≈

−

=

kNm M

m x

kNm M

m x

α α

23

Wykresy

VA

HA

RB

1m

A B C D E F

20kN 8kN/m 4kNm/m

RD RF

2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m

Nα[kN]

0

Tα[kN]

Mα[kN ]m

20 20,039

8,217

5 6, 5 6,

0 783, 2,961

5,967 4,036

20

4,078 4,45

5,145 4,502

11,200

4

+ +

- -

-

+ +

-

+ 24

Ekstrema

0 039 , 37 14 1

₂ ²

3

= − x + kN =

m x kN m

T

_α

kN x

₀

= 3 , 542 m

( )

kNm

kNm x

kN x

m kN x m kN x M

145 , 5

039 , 53 039

, 37 /

7 3 /

1

0 2

0 3

0 2 0

3

=

−

⋅ +

⋅

−

⋅

α

=

0 783 , 40 14 1

₂ ²

4

= − x + kN =

m x kN m T

_α

kN

( )

kNm

kNm x

kN x

m kN x m kN x M

502 , 4

015 , 68 783

, 40 /

7 3 /

1

0 2

0 3

0 2 0

4

=

−

⋅ +

⋅

−

⋅

α

=

m

x

0

= 4 , 133

(4)

25

Obciążenie na pręcie ukośnym – na jednostkę rzutu

:

_A

0 X H =

∑

:

_A _B

10 kN 4 0

Y V R m

+ − m ⋅ =

∑

: 4 10 4 1 4 0

A B

2 M R m kN m m

⋅ − m ⋅ ⋅ =

∑

A

0 H =

A

20 V = kN

B

20 R = kN ( ) ( )

² ²

sin 1 0, 243

4 1

m

m m

φ= =

+

( ) ( )

² ²

cos 4 0, 970

4 1

m

m m

φ= =

m1 +

4m 10kN/m

RB

VA

HA

α

x φ

26

sin sin

4,851 2, 425 N VA q x

kN kN x

m

α= ⋅ φ− ⋅ ⋅ φ=

= − ⋅

2

10 2

5 20

A

kN x

M V x x

m kN x kN x

m

α= ⋅ − ⋅ ⋅ =

= − ⋅ + ⋅

cos cos

19, 403 9, 701 T VA q x

kN kN x

m

α= ⋅ φ− ⋅ ⋅ φ=

= − ⋅

0 4,851 19, 403 0

2 0 0 20

4 4,849 19, 401 0

x N kN T kN M

x m N T M kNm

x m N kN T kN M

α α α

= = = =

= = − = − =

1m

4m 10kN/m

RB

VA

HA

α

x φ

27

Wykresy

N

_α

[kN]

T

_α

[kN]

M

_α

[kN ] m +

+ +

-

19,403

19,403 4,851

4,851

20

28

Obciążenie na pręcie ukośnym – na jednostkę długości pręta

:

A

0 X H =

∑

( ) ( )

² ²

:

A B

10 4 1 0

Y V R kN m m

+ − m ⋅ + =

∑

( ) ( )

² ²

¹

: 4 10 4 1 4 0

A B

2 M R m kN m m m

⋅ − m ⋅ + ⋅ =

∑

A

0 H =

20, 616 V

A

= kN

20, 616 R

B

= kN

1m

4m 10kN/m

RB

VA

HA

α

x φ

29

Siły wewnętrzne

2

sin 2 sin

4 5 2, 5

A

N V q x x

kN kN x m

α= ⋅ φ− ⋅ +    ⋅ φ=

= − ⋅

2

2 2

10 5,154 20, 616

4 2

A

kN x x kN

M V x x x kN x

m m

α= ⋅ − ⋅ +    ⋅ = − ⋅ + ⋅

2

cos 2 cos

4

20 10

A

T V q x x

kN kN x m

α= ⋅ φ− ⋅ +    ⋅ φ=

= − ⋅

0 5 20 0

2 0 0 20, 616

4 5 20 0

x N kN T kN M

x m N T M kNm

x m N T kN M

α α α

= = = =

= = − = − =

1m

4m 10kN/m

R_B VA

HA

α

x φ

30

Wykresy

N

_α

[kN]

T

_α

[kN]

M

_α

[kN ] m +

+ +

-

20 5

20,616

20 5

31

Przykład – rama

10kNm 15kN/m

3m

2m2m

20kN

2m 32

Reakcje

∑ ^X ^: ^H

^A

⁺ ²⁰ ^kN ⁼ ⁰

∑ ^Y ^: ^V

^A

⁺ ^R

^B

⁻ ¹⁵ ^kN ^⋅ ⁵ ^m ⁼ ⁰

0 2 5 5 1 / 15 2 20 10 5

: + ⋅ + − ⋅ − ⋅ ⋅ =

∑ ^M

^A

^M

^A

^R

^B

^m ^kNm ^kN ^m ^kN ^m ^m ^m

: 5 15 / 5 1 5 0

2

p

C B

M R ⋅ m − kN m ⋅ m ⋅ m =

∑

10kNm 15kN/m

3m

2m2m

20kN

2m RB

VA

MA

HA

C

(5)

33

Przyjęcie przekrojów, przedziały

kN H_A=−20

kNm M_A=30

kN VA=37,5

kN RB=37,5

m y 0;2

1

1−α ∈

α

m m y 2 ;4

2

2−α ∈

α

m m x 0 ;3

3

3−α ∈

α

4 4 3 ; 5 0 ; 4

0 ; 2 0 ; 4

3 , 4 , 2 , 0

5 , 0, 0, 4

x m m y m m

x m m y m m

punkt D x m y m x m y punkt B x m y x y m

α α− ∈ ∈

′∈ ′∈

′ ′

= = = =

′ ′

= = = =

10kNm 15kN/m

3m

2m2m

20kN

2m RB

VA

MA

HA

α3

α4

α1

α2

x x’

y y’

α D C

34

Przekrój α 1 − α 1 ^y ∈ ⁰ ^; ² ^m

kN V

N

α1

= −

A

= − 37 , 5 kN H T

α1

= −

A

= 20

kNm y kN

y H M

M

_A _A

30 20

1

−

⋅

=

⋅

−

α

=

kNm M

m y

kNm M

y

10 2

30 0

1 1

=

−

=

α α

10kNm 15kN/m

3m

2m2m

20kN

2m RB

VA

MA

HA

α3

α4

α1

α2

x x’

y y’

α

35

Przekrój α 2 − α 2 ^y ∈ ² ^m ^; ⁴ ^m

kN N

α₂

= − 37 , 5

0

2

= − H − 20 kN = T

α A

( )

2

20 30 20 2 10

M

α

= kN y ⋅ − kNm − kN ⋅ y − m = kNm

10kNm 15kN/m

3m

2m2m

20kN

2m RB

VA

MA

HA

α3

α4

α1

α2

x x’

y y’

α

36

Przekrój α 3 − α 3 ^x ∈ ⁰ ^; ³ ^m

0 20 20

3

= − H − 20 kN = kN − kN = N

α A

x m kN kN x m kN V

T

α3

=

A

− 15 / ⋅ = 37 , 5 − 15 / ⋅

3

2

4 20 2 10 15 /

2 7,5 / 37,5

A A A

M V x H m M kN m kNm kN m x x kN m x kN x

α

= ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ ⋅ =

= − ⋅ + ⋅

kNm M

m x

M m x

45 3

0 0

3 3

=

α α

kN T

m x

kN T

m x

5 , 7 3

5 , 37 0

3 3

−

=

α α

10k N m 15kN /m

3m

2m2m

20k N

2m RB

VA

MA

HA α3

α4 α1

α2

x x ’

y y’

α

37

Ekstremum

3

37, 5 15 / 0

T

_α

= kN − kN m x ⋅ =

2

3

7, 5 / 37, 5

M

_α

= − kN m x ⋅ + kN x ⋅ 2, 5

x = m

( )

3

2, 5 46,875

M

_α

m = kNm

10kNm 15kN/m

3m

2m2m

20kN

2m RB

VA

MA

HA

α3

α4

α1

α2

x x’

y y’

α

38

Przekrój ^α ⁴ ⁻ ^α ⁴

4 4 3 ; 5 0 ; 4

0 ; 2 0 ; 4

3 , 4 , 2 , 0

5 , 0, 0, 4

x m m y m m

x m m y m m

punkt D x m y m x m y punkt B x m y x y m

α α− ∈ ∈

′∈ ′∈

′ ′

= = = =

′ ′

= = = =

( ) ( ) ⁴ ² ⁰ ^, ⁸⁹⁴

sin 4

2

=

= +

m m

α m ( ) ( ) 4 2 ⁰ ^, ⁴⁴⁷

cos 2

2

=

= +

m m α m

10kNm 15kN/m

3m

2m2m

20kN

2m RB

VA

MA

H_A

α3

α4

α1

α2

x x’

y y’

α

39

Przekrój α ₄ − α ₄ (z lewej strony)

kN m x

kN

m x kN kN

x q V

kN H

N

_A _A

525 , 33 41

, 13

sin 15 sin 5 , 37

sin sin

cos 20

4

cos

+

−

=

−

=

⋅

− +

−

=

α α

α

kN N

m x

kN N

m x

525 , 33 5

705 , 6 3

4 4

−

=

−

=

α α

4

sin 20 sin cos cos

37, 5 cos 15 cos

6, 705 16, 763

A A

T H kN V q x

kN kN x

m

kN x kN

m

α

α α α α

α α

= + + − ⋅ =

= − =

= − +

kN N

m x

kN N

m x

762 , 16 5

352 , 3 3

4 4

−

=

−

=

α α

40

( )

4

2

20 2 15 / 10

2 37,5 20 20 40

30 7,5 10

7, 5 37, 5

A A A

M V x H y kN y m M kN m x x kNm

kN x kN y kN y kNm kNm kN x kNm

m kN x kN x

m

α

= ⋅ − ⋅ − ⋅ − − − ⋅ ⋅ − =

= ⋅ + ⋅ − ⋅ + +

− − − =

= − + ⋅

0 5

45 3

4 4

=

α α

M m x

kNm M

m x

Przekrój α ₄ − α ₄ (z lewej strony)

10k Nm 15kN /m

3m

2m2m

20k N

2m RB

VA

MA

HA

α3

α4

α1

α2

x x’

y y’

α

Siły wewnętrzne – przykłady

Wykład nr 3

Siły wewnętrzne – przykłady

Mechanika teoretyczna

Przykład – belka przegubowa

Reakcje

∑

∑

∑

∑

∑

Przyjęcie przekrojów, przedziały

Przekrój α 1 − α 1 x ∈ 0 ; 1 m

= 0 N

x m kN T

= − 8 / ⋅

/ 4

/ 2 8

x m kN

x x m kN M

⋅

−

=

=

⋅

⋅

−

=

kNm M

m x

M x

4 1

0 0

−

=

=

=

=

kN T m x

T x

8 1

0 0

−

=

=

=

=

Przekrój α 2 −α 2 x ∈ 1 m ; 3 , 5 m

( )

Przekrój α 3 −α 3 x ∈ 3 , 5 m ; 6 m

( ) ( )

Przekrój α 4 −α 4 x ∈ 6 m ; 8 , 5 m

( )

Przekrój α 5 −α 5 x ∈ 8 , 5 m ; 10 m

kN N

= − 5

kN T

= − 4 , 33

kNm x

kN

kNm kNm x

kN M

31 , 45 33

, 4

15 31 , 30 33

,

4

+

⋅

−

=

= + +

⋅

−

=

kNm M

m x

kNm M

m x

01 , 2 10

Przekrój α ₁ − α ₁ ^x ∈ ⁰ ^; ¹ ^m

Przekrój α 2 −α 2 ^x ∈ ¹ ^m ^; ³ ^, ⁵ ^m

Przekrój α 3 −α 3 ^x ∈ ³ ^, ⁵ ^m ^; ⁶ ^m

Przekrój α 4 −α 4 ^x ∈ ⁶ ^m ^; ⁸ ^, ⁵ ^m

Przekrój α 5 −α 5 ^x ∈ ⁸ ^, ⁵ ^m ^; ¹⁰ ^m