Matematyka Dyskretna
Zestaw zada´n nr 6 1. Pokaza´c, ˙ze
(a) ˙zyja,w Londynie dwie osoby, kt´ore maja,taka,sama,liczbe,ksia,˙zek, (b) ˙zyja,na ´swiecie dwie osoby maja,ce taka,sama,liczbe, wÃlos´ow.
2. Danych jest n + 1 r´o˙znych dodatnich liczb caÃlkowitych nie wie,kszych ni˙z 2n. Pokaza´c, ˙ze
(a) istnieje w´sr´od nich para liczb, kt´orych suma wynosi 2n + 1, (b) istnieje w´sr´od nich para liczb wzgle,dnie pierwszych,
(c) istnieje w´sr´od nich liczba, kt´ora jest wielokrotno´scia innej liczby.
3. Danych jest n + 1 dodatnich liczb caÃlkowitych. Pokaza´c, ˙ze istnieje w´sr´od nich para liczb r´o˙znia,cych sie o wielokrotno´s´c n.
4. Niech T be,dzie tr´ojka,rem r´ownobocznym o boku r´ownym 1. Pokaza´c, ˙ze (a) je˙zeli w T umie´scimy 5 punkt´ow, to odlegÃlo´s´c mie,dzy dwoma z nich
powinna by´c nie wie,ksza ni˙z 1/2,
(b) nie mo˙zna pokry´c T trzema koÃlami, z kt´orych ka˙zde ma ´srednice, mniejsza,ni˙z 1/√
3.
5. Udowodni´c, ˙ze pewna wielokrotno´s´c dowolnej liczby caÃlkowitej dodatniej ma posta´c 99...900...0
6. Ka˙zdego dnia wrzucamy do skarbonki albo 1 zÃl. albo 2 zÃl. Po n dniach mamy m zÃl. w skarbonce. Pokaza´c, ˙ze dla dowolnej liczby caÃlkowitej k ∈ [0, 2n − m] be,dzie istniaÃl okres naste,puja,cych po sobie dni podczas kt´orych wÃlo˙zyli´smy do skarbonki dokÃladnie k zÃl.
7. Pokaza´c, ˙ze suma kwadrat´ow dw´och nieparzystych liczb caÃlkowitych nie mo˙ze by´c kwadratem liczby caÃlkowitej.
8. Mamy 12(n3− (n − 2)3) cegieÃlek o wymiarach 1 × 1 × 2 i chcemy zÃlaczy´c je razem tak, by otrzyma´c zewne,trzna,konstrucje,sze´s´cianu wymiaru n×n×n.
Pokaza´c, ˙ze mo˙zna to zrobi´c wtedy i tylko wtedy, gdy n jest parzyste.
9. Szachownice,n×n po wyrzuceniu dw´och p´ol mo˙zna pokry´c kostkami dom- ina wtedy i tylko wtedy, gdy n jest parzyste i wyrzucone pola sa,r´o˙znych kolor´ow.
