Metody numeryczne – Wykład 7 – Interpolacja wielomianowa

Metody numeryczne – Wykład 7 – Interpolacja wielomianowa

Marek Bazan

III rok - Elektronika

Semestr zimowy 2020/2021

Plan zajęć

1. Sformułowanie problemu 2. Wzór Lagrang´e’a

3. Błąd interpolacji 4. Wzór Newtona

5. Optymalny dobór węzłów interpolacji

Sformułowanie problemu

Na przedziale < a, b > danych jest n + 1 punktów x₀, x₁, . . . , x_n – węzłów interpolacji – oraz wartości pewnej funkcji y = f (x ) w tych punktach tzn.

f (x0) = y0, f (x1) = y1, . . . , f (xn) = yn. Zadanie polega na wyznaczeniu wielomianu

w_n(x ) = a₀xⁿ+ a₁xⁿ⁻¹+ · · · + a_n−1x + a_n, a₀ 6= 0. (1) który spełnia

f (x0) = y0= wn(x0), f (x1) = y1 = wn(x1), . . . , f (xn) = yn= wn(xn).

Sformułowanie problemu

Rysunek:Przykład interpolacji funkcji sin(x ) w 4 punktach wielomianem w3(x ).

Dowód istnienia wielomianu interpolacyjnego

Twierdzenie 1 Istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia conajwyżej n (n ­ 0), który w punktach x₀, x₁, . . . , x_m przyjmuje warości y0, y1, . . . , yn.

Dowód Mamy wielomian

w_n(x ) = a₀xⁿ+ a₁xⁿ⁻¹+ · · · + a_n−1x + a_n, a₀ 6= 0.

z nieznanymi współczynnikami a0, a1, . . . , an. Mamy również n + 1 warunków

y0 = wn(x0) y1 = wn(x1)

. . . (2)

y_n = w_n(x_n)

Dowód istnienia wielomianu interpolacyjnego (2)

a0x₀ⁿ+ a1x₀ⁿ⁻¹+ · · · + an−1x0+ an = y0

a₀x₁ⁿ+ a₁x₁ⁿ⁻¹+ · · · + a_n−1x₁+ a_n = y₁ . . .

a₀x_nⁿ+ a_nx₁ⁿ⁻¹+ · · · + a_n−1x_n+ a_n = y_n Mamy więc układ Ax = b

A =











x₀ⁿ x₀ⁿ⁻¹ x₀ⁿ⁻² . . . x₀² x0 1 x₁ⁿ x₁ⁿ⁻¹ x₁ⁿ⁻² . . . x₁² x₁ 1 . . .

x_nⁿ x_nⁿ⁻¹ x_nⁿ⁻² . . . x_n² x_n 1











(3)

b = [y₀, y₁, . . . , y_n]^T (4) x = [a₀, a₁, . . . , a_n]^T (5)

Dowód istnienia wielomianu interpolacyjnego (3) - Wyznacznik Vandermonde’a

Przy założeniu x_i 6= x_j dla i 6= j wyznacznik macierzy A

D =         

x₀ⁿ x₀ⁿ⁻¹ x₀ⁿ⁻² . . . x₀ 1 x₁ⁿ x₁ⁿ⁻¹ x₁ⁿ⁻² . . . x₁ 1 . . .

x_nⁿ x_nⁿ⁻¹ x_nⁿ⁻² . . . xn 1         

, (6)

który ma postać

D = ^Y

0¬j <i ¬n

(xi − x_j) (7)

spełnia warunek D 6= 0.

Interpolacja Lagrang´ e’a

Wielomian interpolacyjny jest postaci

W_n(x ) = y₀Φ₀(x ) + y₁Φ₁(x ) + · · · + y_nΦ_n(x ) gdzie

Φj(xi) =

( 0, gdy j 6= i , 1, gdy j = i . Funkcja Φ_j(x ) jest postaci

Φj(x ) = λ(x − x0)(x − x1) . . . (x − xj −1)(x − xj +1) . . . (x − xn) a ponieważ

Φ_j(x_j) = 1 = λ(x_j−x₀)(x_j−x₁) . . . (x_j−x_{j −1})(x_j−x_{j +1}) . . . (x_j−x_n) to otrzymujemy

λ = 1

(x_j − x₀)(x_j − x₁) . . . (x_j − x_{j −1})(x_j− x_{j +1}) . . . (x_j − x_n)

Interpolacja Lagrang´ e’a (2)

Wzór na wielomian interpolacyjny postaci W_n(x ) = y₀(x − x₁)(x − x₂) . . . (x − x_n)

(x₀− x₁) . . . (x₀− x_n) + + y1

(x − x0)(x − x2) . . . (x − xn) (x₁− x₀) . . . (x₁− x_n) + + y₂(x − x₀)(x − x₁) . . . (x − x_n)

(x2− x₀) . . . (x1− x_n) + . . .

+ yn

(x − x₀)(x − x₁) . . . (x − x_n−1) (xn− x₀) . . . (xn− x_n−1) =

=

n

X

j =0

yj

(x − x0)(x − x1) . . . (x − xj −1)(x − xj +1) . . . (x − xn) (x_j − x₀)(x_j − x₁) . . . (x_j− x_{j −1})(x_j − x_{j +1}) . . . (x_j − x_n)

Interpolacja Lagrang´ e’a - oszacowanie błędu

Dla funkcji f (x ) określonej w przedziale < a, b > i danych węzłów X = {(xi, f (xi))}ⁿ_{i =0} błędem interpolacji określamy następujące wyrażenie

ε(x ) = f (x ) − W_n(x )

gdzie W_n(x ) jest wielomianem interpolacyjnym dla węzłów X.

Określmy funkcję pomocniczą

ϕ(u) = f (u) − Wn(u) + K (u − x0)(u − x1) . . . (u − xn) gdzie K jest pewną stałą.

Zauważmy, że

ϕ(x0) = ϕ(x1) = · · · = ϕ(x0) = 0

Interpolacja Lagrang´ e’a - oszacowanie błędu (2)

Współczynnik K dobieramy tak, aby pierwiastkiem funkcji ϕ(x ) był rownież punkt ˜x różny od węzłów interpolacji. Stąd

K = f (˜x ) − W_n(˜x ) (˜x − x₀)(˜x − x₁) . . . (˜x − x_n) przy czym K jest określone tylko i wyłącznie dla

˜

x 6= x_i i = 0, . . . , n, ale tak właśnie zakładamy o ˜x . Funkcja ϕ(u) ma więc n + 2 miejsc zerowych w przedziale

< a; b >, w punktach x₀, x₁, . . . , x_n, ˜x . Na podstawie twierdzenia Rolle’a możemy stwierdzić, że pochodna ϕ⁰(u) funkcji ϕ(u) ma conajmniej jedno miejsce zerowe w każdym z podprzedziałów, których końcami są miejsca zerowe funkcji ϕ,

Interpolacja Lagrang´ e’a - oszacowanie błędu (3)

Zatem wewnątrz przedziału (min(˜x , x0), max(˜x , xn) ma conajmniej n + 1 miejsc zerowych ξ₀⁽¹⁾, ξ₁⁽¹⁾, . . . , ξ⁽¹⁾n .

Stosując ponownie twierdzenie Rolle’a do pochodnej ϕ⁰(u) stwierdzamy, że istnieje conajmniej n punktów ξ₀⁽²⁾, ξ₁⁽²⁾, . . . , ξ_n−1⁽²⁾ takich, że

ϕ⁰⁰(ξ₀⁽¹⁾) = ϕ⁰⁰(ξ⁽²⁾₁ ) = · · · = ϕ⁰⁰(ξ_n−1⁽²⁾ ) = 0

Kontunuując to rozumowanie indukcyjnie dochodzimy do wniosku, że istnieje co najmniej jeden punktów przedziale

(min(˜x , x0), max(˜x , xn)), że

ϕ⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) = 0. (8)

Interpolacja Lagrang´ e’a - oszacowanie błędu (4)

A ponieważ

Wn⁽ⁿ⁺¹⁾(x ) = 0

ω⁽ⁿ⁺¹⁾n (x ) = [(x − x0)(x − x1) . . . (x − xn)]⁽ⁿ⁺¹⁾= (n + 1)!

więc

ϕ⁽ⁿ⁺¹⁾(u) = f⁽ⁿ⁺¹⁾− K (n + 1)!

Korzystając z (8) dla u = ξ mamy

K = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) (n + 1)!

oraz główny wynik

f (x ) − W_n(x ) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)

(n + 1)!(x − x₀)(x − x₁) . . . (x − x_n) (9)

Interpolacja Newtona

Zdefiniujmy ilorazy różnicowe oparte o dwa węzły f [x0; x1] = f (x1) − f (x0)

x1− x₀ f [x1; x2] = f (x2) − f (x1)

x2− x₁ . . .

f [xn−1; xn] = f (xn) − f (xn−1) x_n− x_n−1 i rekurencyjnie o trzy węzły

f [x0; x1; x2] = f [x₁; x₂] − f [x₀; x₁] x2− x₀ . . .

f [xn−2; xn−1; xn] = f [xn−1; xn] − f [xn−2; xn−1] xn− x_n−2

i dla n węzłów rekurencyjnie (rzędu n)

f [x_i; x_{i +1}; . . . ; x_{i +n}] = f [x_{i +1}; . . . ; x_{i +n}] − f [x_i; . . . ; x_{i +n−1}] x_{i +n}− x_i

Interpolacja Newtona (2) - tablica ilorazów różnicowych

x0 f (x0)

x1 f (x1) f [x0; x1]

x2 f (x2) f [x1; x2] f [x0; x1; x2]

x3 f (x3) f [x2; x3] f [x1; x3; x3] f [x0; . . . ; x3]

x4 f (x4) f [x3; x4] f [x2; x3; x4] f [x1; . . . ; x4] f [x0; . . . ; x4]

. . .

xn f (xn) f [xn−1; xn] f [xn−2; xn−1; xn] f [xn−4; . . . ; xn] f [xn−5; . . . ; xn] . . . f [x0; . . . ; xn]

ω_i ≡ 1 i = 0,

ω_i(x ) = (x − x₀)(x − x₁) . . . (x − x_i) i = 1, . . . , n

Wn(x ) = f (x0)+f [x0; x1]ω1(x )+f [x0; x1; x2]ω2(x )+· · ·+f [x0, . . . , xn]ωn(x )

Optymalne układy węzłów

Rysunek:Przykład interpolacji funkcji 1/(1 + (10x )²) w 11 węzłach równoodległych wielomianem w₁0(x ) na przedziale [−1, 1].

Optymalne układy węzłów (2)

Rysunek:Przykład interpolacji funkcji 1/(1 + (10x )²) w 21 węzłach będących zerami wielomianu Czebyszewa T₂₀(0) wielomianem w₂0(x ) na przedziale [−1, 1].

x_m = cos

2m + 1 2n π



m = 0, 1, . . . , n − 1 (10)

Dziekuję za uwagę ...