Poj ˛ecia podstawowe

Kinematyka: opis ruchu

Fizyka I (Mechanika)

Wykład II:

• Poj ˛ecia podstawowe

⇒ punkt materialny, układ odniesienia, układ współrz ˛ednych

⇒ tor, pr ˛edko´s´c, przyspieszenie

• Ruch jednostajny, ruch jednostajnie przyspieszony

• Ruch harmoniczny i ruch po okr ˛egu

• Efekt Dopplera

Poj ˛ecia podstawowe

Punkt materialny

Ciało, którego rozmiary mo˙zna w danym zagadnieniu zaniedba´c.

Zazwyczaj przyjmujemy, ´ze punkt materialny powinien by´c dostatecznie mały.

Nie jest to jednak konieczne !

Przykład: “wózek” na torze powietrznym.

Wa˙zne jest, ˙zeby ciało nie miało dodatkowych “stopni swobody”

(np. obroty , drgania własne, stany wzbudzone)

Poło˙zenie punktu materialnego całkowicie okre´sla jego “stan”.

⇒ poj ˛ecie punktu materialnego umo˙zliwia prosty opis wielu sytuacji fizycznych.

Naogół przyjmujemy, ˙ze punkt materialny obdarzony jest mas ˛a.

Poj ˛ecia podstawowe

Ruch

Zmiana poło˙zenia ciała wzgl ˛edem wybranego układu odniesienia.

Układ odniesienia

Ciało, które wybieramy jako “punkt odniesienia”.

Najcz ˛e´sciej jest nim Ziemia...

Układ odniesienia mo˙zna te˙z zdefiniowa´c okre´slaj ˛ac jego poło˙zenie (lub ruch) wzgl ˛edem wybranego ciała lub grupy ciał.

Przykład:

• układ ´srodka masy zderzaj ˛acych si ˛e cz ˛astek

• układ zwi ˛azany ze ´srodkiem Galaktyki

Poj ˛ecia podstawowe

Układ współrz ˛ednych

Słu˙zy do okre´slenia poło˙zenia ciała w danym układzie odniesienia Poło˙zenie mo˙zemy zapisa´c na wiele

ró˙znych sposobów:

• układ współrz ˛ednych kartezja ´nskich:

~

r = x ·~i_x + y ·~i_y + z ·~i_z

≡ (x, y, z)

• układ współrz ˛ednych biegunowych:

~r = (r, Θ, φ)

• układ współrz ˛ednych walcowych:

~

r = (l, φ, z)

r

l i

i i

P Z

z

Θ

X

Y

x

φ y

x

y z

Poj ˛ecia podstawowe

Tor ruchu

Opisuje zmian ˛e poło˙zenia ciała w czasie W ogólnym przypadku -

posta´c parametryczna toru:

x = x(t) y = y(t) z = z(t)

~

r = (x(t), y(t), z(t)) = ~r(t)

Wektor poło˙zenia ciała ~r (wszystkie jego współrz ˛edne) wyra˙zamy jako funkcje czasu.

Z

P

r(t)

X

Y

Poj ˛ecia podstawowe

Tor ruchu

W szczególnych przypadkach mo˙zliwe jest odwrócenie jednej z zale˙zno´sci:

t = F (x)

czas wyra˙zamy jako funkcj ˛e współrz ˛ednej

⇒ posta´c uwikłana toru:

y = y(F (x)) = y(x) z = z(x)

~r = (x, y(x), z(x))

Funkcje

W fizyce bardzo cz ˛esto staramy si ˛e opisa´c zale˙zno´sci pomi ˛edzy ró˙znymi wielko´sciami w postaci funkcyjnej.

Naogół do oznaczenia funkcji u˙zywamy symbolu odpowiadaj ˛acego danej wielko´sci fizycznej, np.:

droga - s, wysoko´s´c - h, pr ˛edko´s´c - v

Posta´c funkcyjna zale˙zy jednak od wyboru argumentu funkcji !

W przypadku opisu toru:

y(t) i y(x) to dwie ró˙zne funkcje !

cho´c opisuj ˛a t ˛a sam ˛a wielko´s´c fizyczn ˛a

Poj ˛ecia podstawowe

Pr ˛edko´s´c ´srednia

W odst ˛epie czasu:

∆t₁₂ = t₂ − t₁

punkt materialny przemie´scił si ˛e o:

∆~r₁₂ = ~r₂ − ~r₁ = ~r(t₂) − ~r(t₁)

Pr ˛edko´s´c ´sredni ˛a definiujemy jako

V~₁₂^(±r) = ∆~r₁₂

∆t₁₂

r ∆r₁₂ Z

1

t V

t

1

2

2

r

X

Y

Poj ˛ecia podstawowe

Pr ˛edko´s´c chwilowa

Praktycznie ka˙zdy pomiar pr ˛edko´sci musi trwa´c sko ´nczony okres czasu.

Prawie zawsze mierzymy wi ˛ec pr ˛edko´s´c ´sredni ˛a.

Poj ˛ecie pr ˛edko´sci chwilowej wprowadzamy jako graniczn ˛a warto´s´c pr ˛edko´sci ´sredniej dla niesko ´nczenie krótkiego czasu pomiaru, ∆t → 0 :

~v = lim

∆t→0

∆~r

∆t

Matematycznie odpowiada to definicji pochodnej:

~v = d~r

dt = ˙~r = dx

dt ·~i_x + dy

dt ·~i_y + dz

dt ·~i_z = v_x ·~i_x + v_y ·~i_y + v_z ·~i_z Pochodna wektora ≡ wektor pochodnych składowych tego wektora

Warto±¢ prdko± i: v = |~v| =

q

v_x² + v_y² + v_z²

Poj ˛ecia podstawowe

Pr ˛edko´s´c chwilowa

r

V ∆ t 0

P

Wektor pr ˛edko´sci chwilowej jest styczny do toru

Przyspieszenie ´srednie

W odst ˛epie czasu: ∆t₁₂ = t₂ − t₁ pr ˛edko´s´c zmienia si ˛e o:

∆~V₁₂ = ~V₂ − ~V₁ = ~V (t₂) − ~V (t₁)

Przyspieszenie ´srednie: ~a^(±r)₁₂ = ∆~V₁₂

∆t₁₂

r t₂

t₁ V₁

r2

V₂

V₁

∆V₁₂

1

a

Poj ˛ecia podstawowe

Przyspieszenie chwilowe

Podobnie jak w przypadku pr ˛edko´sci - graniczna warto´s´c dla niesko ´nczenie krótkiego pomiaru:

~a = lim

∆t→0

∆~V

∆t = d~V

dt = V~˙

Przyspieszenie chwilowe jest pochodn ˛a po czasie pr ˛edko´sci chwilowej:

~a = d~V

dt = dV_x

dt ·~i_x + dV_y

dt ·~i_y + dV_z dt ·~i_z

= a_x ·~i_x + a_y ·~i_y + a_z ·~i_z Opisuje “tempo” zmian pr ˛edko´sci...

r

a

∆t 0

V ∆t 0

a

P

Klasyfikacja ruchów

Ze wzgl ˛edu na tor wybrane przypadki szczególne

• prostoliniowy, odbywaj ˛acy si ˛e wzdłu˙z lini prostej

Zawsze mo˙zemy tak wybra´c układ współrz ˛ednych aby

y(t) = z(t) = 0 ⇒ ~r(t) = ~i_x · x(t)

• płaski, odbywaj ˛acy si ˛e w ustalonej płaszczy´znie

z(t) = 0 ⇒ ~r(t) = ~i_x · x(t) + ~i_y · y(t)

• po okr ˛egu

Ze wzgl ˛edu na przyspieszenie

• jednostajny ⇒ warto´s´c pr ˛edko´sci pozostaje stała: |~V | = const

• jednostajnie przyspieszony ⇒ przyspieszenie jest stałe: ~a = const

Ruch jednostajny prostoliniowy

Najprostszy przypadek ruchu:

• Jednostajny: |~V | = const

• Prostoliniowy: ^V_V^~ = const

o ⇔ ~a = 0

Przyjmuj ˛ac, ˙ze ruch odbywa si ˛e wzdłu˙z osi X:

V = dx

dt = ^onst

⇒ x = x₀ + V · (t − t₀) x₀ = x(t₀)

t₀ t

∆ V

x

Poło˙zenie (przebyta droga) jest liniow ˛a funkcj ˛a czasu.

Drogi przebyte w równych odcinkach czasu s ˛a sobie równe.

Ruch prostoliniowy

Zale˙zno´s´c drogi od pr ˛edko´sci

Przypadek ogólny: znamy pr ˛edko´s´c V (t)

czy mo˙zemy wyznaczy´c zale˙zno´s´c poło˙zenia od czasu ?

Mo˙zemy sumowa´c przesuni ˛ecia dx po krótkich przedziałach czasu dt.

Przesuni ˛ecie ciała w czasie ∆t = t − t₀:

∆x = ^X

dt

dx = ^X

dt

V dt

Przechodz ˛ac do granicy dt → 0:

∆x =

Zt

t₀

V dt

całka oznaczona

t

∆ x t V

dt dx

Interpretacja graficzna: pole pod krzyw ˛a

Ruch jednostajnie przyspieszony

Jednostajnie przyspieszony: ~a = const

~a = d~V

dt ⇒ d~V = ~a dt

⇒ V = ~~ V₀ +

Zt

t₀

~a dt

V = ~~ V₀ + ~a · (t − t₀) V~₀ = ~V (t₀)

Prostoliniowy

Ruch jest prostoliniowy: ^V_V^~ = const ⇔ V || ~a~ = const

Przyspieszenie musi mie´c kierunek zgodny z kierunkiem pr ˛edko´sci

Ruch jednostajnie przyspieszony

Prostoliniowy (⇒ jednowymiarowy) Pr ˛edko´s´c jest liniow ˛a funkcj ˛a czasu:

V = V₀ +

Zt

t₀

a dt = V₀ + a · (t − t₀)

Poło˙zenie jest kwadratow ˛a funkcj ˛a czasu:

x = x₀ +

Zt

t₀

V dt = x₀ +

Zt

t₀

[V₀ + a · (t − t₀)] dt

= x₀ + V₀ · (t − t₀) + 1

2 a · (t − t₀)²

= x₀ + 1

2(V + V₀) · (t − t₀)

t₀ t

∆V a

t₀ t

∆x V

Ruch jednostajnie przyspieszony

Przyjmijmy, ˙ze w chwili t₀ = 0 ciało spoczywa: V₀ = V (t₀) = 0.

Mierzymy drog ˛e jak ˛a ciało przebywa w równych przedziałach czasu:

∆t_n = t_n − t_n−1 = ∆t

⇒ t_n = n · ∆t Przebyta droga:

x(t) = 1

2 a · t²

∆x_n = x(t_n) − x(t_n−1) = 1

2 a · ^t²_n − t²_n−1^

= 1

2 a · ∆t^{2 }n² − (n − 1)^2 = 1

2 a · ∆t² · (2n − 1)

Drogi w kolejnych odcinkach czasu maj ˛a si ˛e do siebie jak kolejne liczby nieparzyste:

x₁ : x₂ : x₃ : ... = 1 : 3 : 5 : 7 : ...

Ruch jednostajnie przyspieszony

W ogólnym przypadku ruch jednostajnie przyspieszony nie jest prostoliniowy.

V~ = V~₀ +~a · (t − t₀)

~

r = ~r₀ + V~₀ · (t − t₀) + 1

2 ~a · (t − t₀)² Ruch b ˛edzie si ˛e odbywał w płaszczy´znie przechodz ˛acej przez ~r₀ i wyznaczonej przez kierunki wektorów V~₀ i ~a.

Mo˙zemy wybra´c układ współrz ˛ednych tak aby:

~i_x ⊥ ~a ^oraz ~i_y || ~a

⇒ ruch jednostajny (X) ⊕ ruch jednostajnie przyspieszony (Y) ⊕ spoczynek (Z):

a_x = 0 a_y = a a_z = 0

V_x = V_x,0 = const V_y = V_y,0 + a t V_z = 0

x = x₀ + V_x,0 · (t − t₀)

y = y₀ + V_y,0 · (t − t₀) + 1

2 a · (t − t₀)² z = 0

Ruch jednostajnie przyspieszony

Ruch w polu grawitacyjnym

Ruch ciala w jednorodnym polu grawitacyjnym:

~a = ~g = (0, −g, 0)

(wygodny wybór układu współrz ˛ednych)

Pole grawitacyjne Ziemi mo˙zemy przyj ˛a´c za jednorodne, je´sli badamy ruch na odległo´sciach |∆~r| ≪ R_Z

Rodzaje ruchu:

• spadek swobodny: V₀ = 0 (ruch prostoliniowy)

• rzut pionowy: θ = ±π/2 (ruch prostoliniowy)

• rzut poziomy: θ = 0

• rzut uko´sny: θ 6= 0, π/2, ...

y

x h

V⁰ Θ g

Ruch jednostajnie przyspieszony

Spadek swobodny

y

x

g

Poło˙zenie zale˙zy kwadratowo od czasu:

y = h − g

2 · t^{2 zakªadaj¡ :} y(0) = h, V_y(0) = 0

Ruch jednostajnie przyspieszony

Spadek swobodny

Wyniki “domowych” pomiarów:

t [s]

y [m]

g = 9.7 ± 0.7 m/s²

-0.6 -0.4 -0.2 0

0 0.1 0.2 0.3

Ruch jednostajnie przyspieszony

Ruch w polu grawitacyjnym

Niezale˙zno´s´c ruchów: t0 = 0, x0 = 0, y0 = h

x = V_x,0 · t = V₀ cos θ · t

⇒ ruch w poziomie zale˙zy tylko od V_x,0 y = h + V_y,0 · t − g

2 · t²

= h + V₀ sin θ · t − g

2 · t²

⇒ ruch w pionie zale˙zy tylko od V_y,0

y

x V₀

h

l Θ

Rzut poziomy θ = 0 ⇒ V_y,0 ⇒ czas spadania nie zale˙zy od V₀: t =

r2h g

Dwa ciała o tym samym V_x,0⁽¹⁾ = V_x,0⁽²⁾ ⇒ taki sam ruch w poziomie: x⁽¹⁾(t) = x⁽²⁾(t)

Ruch jednostajnie przyspieszony

Ruch w polu grawitacyjnym

y

x V₀

h

l Θ

Tor w rzucie uko´snym: ⇒ y = h + x · tan θ − x² · g

2V₀² cos² θ ⇒ parabola

Zasi ˛eg dla h=0 ⇒ l = V₀²

g sin(2θ) ⇒ najwi ˛ekszy zasi ˛eg dla θ = π

4 (45^◦)

Ruch harmoniczny

Szczególny przykład ruchu drgaj ˛acego:

x = A · sin(ωt + φ)

Parametry

• amplituda A

• cz ˛esto´s´c kołowa ω okres drga ´n T = 2π

ω

• faza pocz ˛atkowa φ

t x

1 2

-1 -0.5 0 0.5 1

Pr ˛edko´s´c: V = dx

dt = ω A · cos(ωt + φ) Przyspieszenie: a = dV

dt = −ω² A · sin(ωt + φ) = −ω² · x

Ruch harmoniczny

Równanie oscylatora harmonicznego:

d²x

dt² = −ω² x ^{(ru h w jednym wymiarze)} d²~r

dt² = −ω² ~r ^{(posta¢ ogólna)}

Równanie oscylatora dobrze opisuje zachowanie bardzo wielu układów fizycznych:

• ci ˛e˙zarek na spr ˛e˙zynie

• wahadło matematyczne (dla małych wychyle ´n)

• kamerton, struna, itp...

Równanie oscylatora harmonicznego jest przykładem równania ró˙zniczkowego.

Nasza wiedza nt. ruchu ciała przedstawiana jest cz ˛esto w postaci równan ró˙zniczkowych (równa ´n ruchu). Aby znale´z´c opis ruchu ciała trzeba te równania rozwi ˛aza´c.

Najcz ˛esciej s ˛a to równania typu: ~a = F (~x, ~v, t)

Ruch po okr ˛egu

Poło˙zenie ciała mo˙ze by´c opisane jedn ˛a zmienn ˛a:

• k ˛at w płaszczy´znie XY - φ

• długo´s´c łuku okr ˛egu - s = r · φ Pr ˛edko´s´c:

V = ds

dt = r dφ

dt = r ω

X Y

s r φ

V

pr ˛edko´s´c k ˛atowa ω = ^dφ_dt Przyspieszenie k ˛atowe: α = dω

dt = d²φ dt² Przyspieszenie: a_s = dV

dt = d²s

dt² = rα ⇐ przyspieszenie styczne: ~a_s k ~V Ruch jednostajny po okr ˛egu: α = 0 ⇒ ω = const ⇒ V = const ⇒ a_s = 0

ale V 6=~ const ⇒ ~a 6= 0 !?

Ruch po okr ˛egu

Ruch jednostajny po okr ˛egu mo˙zemy rozpatrywa´c jako zło˙zeniem dwóch niezale˙znych ruchów harmo- nicznych (ró˙znica faz ∆φ = ±^π₂):

x = r · cos(ω · t) = r · sin(ω · t + π 2) y = r · sin(ω · t)

X Y

s r φ

V

Składowe przyspieszenia (policzyli´smy ju˙z dla ruchu harmonicznego):

( a_x = −ω² · x

a_y = −ω² · y ⇒ ~a = −ω² · ~r ⇒ a_n = ω² · r = V ² r Przyspieszenie to jest nazywane przyspieszeniem do´srodkowym

lub przyspieszeniem normalnym (prostopadłym do kierunku ruchu).

Gdy ruch po okr ˛egu nie jest jednostajny pojawia si ˛e te˙z składowa styczna: ~a = ~a_n + ~a_s Ciekawostka:

Ruch harmoniczny mo˙zna przedstawi´c jako zło˙zenie dwóch ruchów po okr ˛egu...

Efekt Dopplera

W przypadku fal d´zwi ˛ekowych znamy z codziennego do´swiadczenia...

Je´sli ´zródło d´zwi ˛eku jest nieruchome wzgl ˛edem obserwatora, obserwator słyszy d´zwi ˛ek o niezmienionej cz ˛esto´sci.

V

Je´sli ´zródło d´zwi ˛eku porusza si ˛e wzgl ˛edem obserwatora, obserwator słyszy d´zwi ˛ek o wy˙zszej lub ni˙zszej cz ˛esto´sci

Efekt Dopplera

Ruchome ´zródło

´zródło d˙zwi ˛eku o cz ˛esto´sci f poruszaj ˛ace si ˛e z pr ˛edko´sci ˛a v wzgl ˛edem o´srodka w którym pr ˛edko´s´c d´zwi ˛eku wynosi c.

Dla uproszczenia: krótkie impulsy wysyłane co ∆t = 1/f:

f

c v

c/f v/f

f’

c/f’

t₁ t₂ ^t1 - wysłanie pierwszego impulsu t₂ - wysłanie drugiego impulsu odległo´s´c mi ˛edzy impulsami:

c

f^′ = λ^′ = c

f + v f

ru h impulsu ru h ¹ródªa

Cz ˛esto´s´c d´zwi ˛eku i długo´s´c fali

mierzona przez obserwatora nieruchomego wzgl ˛edem o´srodka:

f^′ = f

1 + ^v_c λ^′ = λ



1 + v c



Efekt Dopplera

Ruchomy obserwator

obserwator porusza si ˛e z pr ˛edko´sci ˛a v wzgl ˛edem o´srodka i ´zródła d˙zwi ˛eku

t1

f c

f’

v

c/f’

c/f v/f’

t₂

aby dogoni´c obserwatora impuls musi pokona´c odległo´s´c

c

f^′ = c

f + v f^′

odlegªo±¢ ru h

po z¡tkowa obserwatora

Mierzona cz ˛esto´s´c:

f^′ = f



1 − v c



W klasycznym efekcie Dopplera zmiana cz ˛esto´sci zale˙zy nie tylko od wzgl ˛ednej pr ˛edko´sci ´zródła i obserwatora ale i ruchu wzgl ˛edem o´srodka.

Efekt Dopplera

Ruch o´srodka

Przyjmijmy, ˙ze ´zródło d´zwi ˛eku i obserwator s ˛a wzgl ˛edem siebie w spoczynku.

Niech ich pr ˛edko´s´c wzgl ˛edem o´srodka wynosi v

v v

f c

f’’ f’

L

Cz ˛esto´s´c mierzona przez obserwatora jest wynikiem zło˙zenia dwóch efektów Dopplera:

f^′′ = f^′



1 + v c



= f

1 + ^v_c ·



1 + v c



= f

Cz ˛esto´s´c si ˛e nie zmienia, ale zmienia si ˛e czas miedzy wysłaniem a rejestraj ˛a impulsu:

δt = t^′′_i − t_i = L

c + v = L

c · c

c + v = δt₀

1 + ^v ⇒ ^przesuni ie w fazie

Efekt Dopplera

Przypadek ogólny

Zarówno ´zródło jak i obserwator poruszaj ˛a si ˛e wzgl ˛edem o´srodka.

Je´sli znamy ruch ´zródła i obserwatora w układzie zwi ˛azanym z o´srodkiem:

~r(t) ⁱ ~r^′(t)

To mo˙zemy wyznaczy´c czas t^′ w jakim sygnał wyemitowany w chwili t dotrze do obserwatora.

Zadany jest on przez warunek:

r~^′(t^′) − ~r(t) = c (t^′ − t)

y c

x z

r’ r

v’ v

Je´sli równanie to mo˙zna jednoznacznie rozwi ˛aza´c to efekt Dopplera daje si ˛e wyrazi´c bardzo prost ˛a zale˙zno´sci ˛a:

f^′ f =

1

∆t^′

1 = ∆t

∆t^′ ⇒ f^′ = f · dt^′ dt

!₋₁

Efekt Dopplera

Przykład

Gło´snik wiruj ˛acy po okr ˛egu, w płaszczy´znie obserwatora

~x(t) = r cos ωt

~

y(t) = r sin ωt x^′ ≡ 0

y^′ ≡ −l

Droga sygnału wyemitowanego w czasie t:

d = c (t^′ − t) =

q

(l + r sin ωt)² + r² cos² ωt

⇒ t^′ = t + l c

s

1 + 2r

l sin ωt + r² l² Dla l ≫ r:

t^′ ≈ t + r

c sin ωt ⇒ f^′ ≈ f (1 − rω

c cos ωt)

l

r φ

d

y

x

c

Efekt Dopplera

Przykład

Gło´snik

nieruchomy

´zródło

obserwator

r=1m f=100Hz ω=0

t [s]

A/A 0

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.1 0.2

Efekt Dopplera

Przykład

Gło´snik wiruj ˛acy

´zródło

obserwator

r=1m f=100Hz ω=5*6.28s^-1

t [s]

A/A 0

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.1 0.2

Projekt Fizyka wobec wyzwa ´n XXI w.

współfinansowany ze ´srodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego