~fOUVE~1ENTS ONDULArfOIRES DE LA MER

N° 2.

~fOUVE~1ENTS ONDULArfOIRES DE LA MER

EN PROFONDEUR

CONSTANTE OU DÉCROISSA TE. _,

FORME LIMITE DE LA HO LE LOR DE SON DÉFERLEME T.

APPLICATIO A.U DIGUES ~IARITI IES,

par M. MI-OHE,

Directeur technique de Entrep. ri.ses de Œranà-s Travaux Hyélrauliques, docteu1· ès s~iences.

1

~ -po lL PRÉ iu IRE.

L étude des effort auxqu 1 ~ ont oumi · l ouvrag man une amène à rech r ·her le mécanhn d . mouvern nt. le la mer tout d'abord au large où il ont leur -0rigine, afü d'en d gag r 1 1 i uén' ·ale , pui à l'approche de

côte · OlL il ubi ·ent d modification fonction cle condition locale , ou s'amorti ent par le pro e ... u du déferle ment.

Dan cet EXPOSÉ P.RÉLUIINAIItE : .

Nous confronteron dans l ordre ci-de u , le faits avec le théorie en cours, nous en indiquerons. quelque poînts faible et le améliorations ou compléments que nous entendons y apporter comme con titu nt le but de cette étude;

Nou préci eron et ju tifieron le choix de méthodes de calcul et d'ap- proximation adoptée . En e::ffe\ i le qu lques solutions exactes déjà trouvées ont un intérêt évident, ne erait-ce que pour a seoir sur un terrain plu olide les solutions approchées, elle conduisent, en général, à des calcul trop com- plexe pour être utilisable couramment;

Nou récapituleron les olutions rigoureu es collllue et les principales études parues antérieurement sur _ les sujets traités dans cette note (1). '

(1) La rédaction de cet article re1Q.onle au début de 1939.

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Notre ÉTUDE PROPREMENT DITE sera divisée en trois pp,rties classées selon l'ordre énoncé plus haut :

I. Nous déterminerons la f orm,e générale des m.owvem,ents ondulatoires p,ério- diques et cylindriques calculés itnif ormhnent au, deuxièrne ordre d approximation et, en pai1iculier, des houles et clapot· is en, profondeur con tante ou illiniitéel

· exprimé~ au moyen de variables de Lagrange et d'Euler. Les houle considérées pourront comporter un chnmp de toui·b.llons peu intense mais ... inon, variant de façon arbitraire avec la profondem·.

· Nou montrerons l intérêt, en particulier pour le calcul des digues vertical.es, de co1111 lément ain i apporté aux théorie courante ·

II. r ous établirou pom le cl'apoti.s ( .. olution born6e) et la hoiûe ( olution non bornée sur la rive) les formules

donnant, au premier ordre d'approximation, le niou1:ements ondiûatoires cylindrique d'une m . a se d eau indéfinie de pro- .fondeur régulih-em,ent décrois ante_ , i hmgle du fond e t faible, ces olution~

comportent des formes asymptotiques très m.aniabl qui permettent l'étude aisée de mouvements et une confrontation atisfai ante avec les donnée xpé- rimentale ;

III. ou recher heron · la/ orme lim·ite, pr~::; ùc la crête de toute le houle 1·otationi:ielle -0u non, m· le point de déferler; nous calculerou en · uite le·

caractéri tique principale des houles déferlante en profondeur onstante exprimée en fonction cle leur longueur relative et constatcron le bon accord numérique entre le valeurs ·b:ouvées, et celle découlant d"ob ervations fort nombreu e~ . Enfin, pour répondi·e à une sugge tion de M. l'In ·pecteur général de ^ROUVILLE nou étudierons les loi et modalités de la croi ~ ance des vite es aux abords de la rive et détermineron le eus trè restreint dan lequel les doc- trine du üot de fond de Comaglia ont compatibles avec no di ver calculs basés, nous le préci ~ on sur la prise en compte d toutes les équations de l'hy- dt,·odynaniique d'un fluide parfait et inconipre sible.

1 ° N . .\ISS.ANCE ET AMORTI EUENT DE LA HOULE.

Les m.ouvernents ondulato~res sont, en général, rotationnel · (1).

L'agitation de ia met créée par- le vent, c résout assez vite en un mouvement qui, en première appro:\.imntion> peut être regardé comme un . ystèmc unique d'ondulations sensiblement cylindriques, se propageant à vites e constante da.ns la cLrection du vent. Le profù des vagues est légèrement dissymétrique, le versant sous le vent étant un peu plus incliné que l'autre. De plus, surtout par vent violent, il se produit im courant d'entraînement de la masse d'eau, spé- cialement sensible dan · le couche superfi.cieUes.

La perturbation ainsi créée se propage ordinairement après l',in-êt du vent ou hors de sa zone d'action; elle se modifie peu à peu selon des lois encore peu connue , mai., qui parai sent comporter un amoindrissement progressif de l'ampJitude, indépendamment de l'influence des ré ista.nces passives. De

(1) On sait qu'on appelle rotationnei, toiirbill.on ou rotation, 1no1{Cmw en ·un point,

le vecteur mesurant la vitesse nogulalre de rotation de 1'é1ément fluide infiniment

petit entourant le point çonsldéré. Cette vitesse angulaire est nulle et le mouvement

wroeationnel 5ll lea vitesses dérivent d'un potentiel.

)10UVEMENTS OM1)ULATOII\E!I DE LA MER, 27

toutés façons, les petites irrégularités s'amortissent d abord par suite des frottements et le mouvement ré ~ltant, valable sur un certain parcours, est une onde progressive i,nple appelée houle à longueur d'onde et vitesse régu- Hèrea, à profil ,symétrique et san courant d'entraînement très notable de particules.

·L'énergie de cette hotùe me uré par unité de · ~urface horizontale, dépend uniquement du carré de a hauteur . : Ja cli. sipat:on graduelle de cette énergie.

par suite des ré istance pa. ives a donc comme conséquence une diminution progressive d amplitude. mai celle-ci e t fort lente (1).

Une houle paraît êtr d autant plu longue et haute que le vent qui l'a engendtéc l'a accompaanée . ur un plus longue· di tance. Elle aurait une cam- brure d autant plus ne entu qu 1 vent e t plu violent. On a ba é lI1' ce observation des formule érupil'iques dont la eule ambition est cle fournir de.

point de rep re prudents pour ] · carnctéri tique maxima de houle dan de.

condition hydrographique déterminée. (2) mai , en réalité, on ait peu de de cho. e du mécani me c1 p1·odu tion t d' voluiion d vague=1. Cependant 1e frottem nt joue cërtainem nt un rôle· il e t à leur origine du fait de l'action du vent et pré~id , au moin. en partie à leur modification . on action est nccPntnée Jor .. que Ja houl . e rapprochant de la rhe 1 . frottement sur le fond apparai. ent · elle e t d terminant quand l'éner!rie de vague~ e d:s ipe bru-

talement en tourbillon 1or du d Jerlement. Néanrooin ce dernier ca mi à part, on peut valablement 1' .·périence la confirmé faire abc:traction de· la visco ité de l'eau pour étudirr le mouvement. ondulatoire et le équation.

clas =q ue. de 1 h)·drod)'llamiqne uffueJ'.lt poui· donner une repré entation sati - faisante d phénomr·ne. Yalab ¹ pC"ndant une temp. a . ez ·long ou forme de

mouvem nt. 1> riodif!ue. t ylindriqne « tangent » aux mouvement~ r' l à 1 inlltant con~id ré. Non f r n clone. e -clu. iv ment , age de ce équations par la uit.e. Pnr ontre. on peut -pr voh que fos cara"ctPri. tjque du mollvement prodttit doiv nt conserver la. trace c1C" l'act:on antérirure du :frottem nt qui e manjfe fora. pour un fluide parfait par un clinm p rl" fo111·billonc: dr di. tribntion varia.hl . ar lat rmi. (' foitinlf', le Hnt a pu agir d façon di er ~ la 'rotation un <:hemlnement

r1;~l tnnrf'. f\8. lv .

TN~i~~,,1~ ^{ftT,-··=· nv.o,o3L- &}

^{pour de l'ra11 à}

p !'

1 0 .

p = d ns:tté, g = nccélérntion de la pE'~nnteur, µ = o ffirient de vl co fté d Pol- um . L = <leml-1 ngn ur cl'on 1e n c·m. (voir A. BOUT.A. ·oRR, H11dtauliq11t> r,é,i~- . mle). On en Mrlutt, pnr x mplr. qn'uu houl l1 100 m tr doit par ourtr 5!) 000 f l . u I n;zueur.

lt 5.flO km. nnrnt d . . ublr un réduction d bm1teur Il 1 p. 100 seul m nt. J,n formul montr qu 1 " hnrmonlq11e. on tltunnt le pPrtur atl n de la houle et de ton.g-nPt1r. d'ond . · plu. ftllhlE'" cl! pnrnl . nt plu~ rnplcl ment n ne Ials.c:ant sub 1 ·tet, npr un <'ertnln 1mrconr , qu l'ondulation prlriclpale. Ain. l, une honlP. rle 10 mètre , ur ln cll tance cl-d "' n~. n con. rve plu. que 4 p. 100 d son nmplltude prlmlll, ; 11 a pratlqu mPnt disparu.

(2) On connntt ~n formule de l'In~t\nleur nn~al~

oN (traduite dnn le . •

,IF .

tôme métrique) : hn utenr , mnxlnnnn d , la houl n m tr = · - ₃ - où F t le fetch >

en kllomètre .• c'elt-à-dlre l'étendue d mer llbre en nvnnt de ln côte con. ldérée et dans la dlre~lon donné . F ne doit pas êtr prl upérteur à 1.000 ou 1.500.

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MÉMOIRES ET DOCUMENTS.

moyenne en chnque point sera la ré' ultante de l'ensemble des efforts tangentiels ayant agi antérieurement.

On sait, d'après un théorème de Lagrange, que, lor qu un liquide primit:- vement au repo~ et dénué de vi cosité est mi en mouvement pa.r des force dérivant d un potentiel, le mouvement produit e~ irrotationnel. Les forces en jeu, l~e anteur inon le vent, dépendant d un potentiel, on admet souvent que les mouvemE>nt ondulato;rcs dérivent d un potentiel des vitesses.

Comme nous lavons expo é ci-des_ u , cette conclusion est trop sommaire Par contre on pourra appliquer aux mouvement c •lindriques «tangents», la théorie des tourbillons de fluides pal'f&,its et affirmer que le • rotationncl, consi- déré comme donné à 1 in tant initial et en général variable avec la pru:ticule envisagée sera indépendant du temp~.

On doit à M"'• DUBREIL-J AOOTIN (1) ~ preuve 1·igoureuse de l'existence de houles périodique d'amplitude finie compatibles avec un cliamp de tour- billons dont la distribution peut varier de façon sem:.··iblement arbitraire aivec la profondeur. Cette propoMition fait apparaître comme bien plus nombreu es

qu on n aurait pu l'imaginer le . olution pbs ible du probl me de mouve- ments onduliitoire . Néamn.oin le champ rotationnel qu on peut suppo er adjo~t à chaque olution e t certainement peu inten e en réalité et toutes le

olution~ diff Preront as ez peu le une de autre~ et de~ solutions simples déjà.

connue . Il n en subi te pa moins qu'il faut s'il y a lieu fail'e entrer en ligne de compte les mouvement rotationnels.

2° ONDES STATIONNAIRES :

CLAPOTIS PROPRE?tffiNT DIT ET CLAPOTIS PARTIELS.

Les mouvements ondufatoire" le plus génfa,aux peuvent être considérés comme une combinai on de hoti.le élémentaire . On boTnera cette étude aux mouvements ondulatoires cylindriques auxquel on peut ramener au moin approximativement les principaux phénomèn~ ob ervé (2).

Le clapoti '.. produit par l interférence de deux onde prncrres iYes simples, de même carMtérist:que et de directions oppo ée~ dont ln hauteur e t double de celle de onde- générahice e t l plu imple de ce mouvements compo és.

Il con iste en une série d onde stationnaires dont le creux et le crête 'élè- vent et s'abai ent veTticalement et périodiquement en interchanl!eant ..

Le dapotis e pToduit lorsque la houle e réfléchit complètement aur une côte accore et a ;::ez li ;:e ou un ouvra(Te tr incliné (angle de 90° à 45° avec ' l'horizontale) . , inon et de toute façons à quelq~e di tance de l'obqtacle, la boule réfléchie est d'amplitude moindr q11e Finciclente et le phénomène résul- tant est un état intermédiaire pouvant v.arier de façon continue entre le clapotis et la houle. Nou l appellerons clapotù; part:ez. H peut 'analyser comme résul- tant de la superpo ition d'11n clapoti proprement dit et du complément de mou- vement progre if pl'Ovenant de la houle incidente. H s'ensuit ai ément qu'il consiste en une série d'intume cences de hauteu1· périodiquement va1-iable se pro-

(1) Voir remarqn , pnges 3 ~t 39.

(2) N'éanmoin., on e. clut aln i, ,pa~ xemplP, ·1e ondes de ga11,frage créée par d ux jeu."\: ae houle se croisant ous an angle différent de rc et produites en avant d'une jetée verticale frappée obllquemeot par ln houle.

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~OUVEMENTS ONDULATOIRES DE L.\ MER, • ₂₉

pageant vers la' rive à une vites.se variable mais égal,e, en moyenne, à la oéZérité de la houle incidente. Le hauteurs dé .toute le ondulations varient synchroni- quement de la somme à la différence de hauteurs de deux houles génératrices ou vice JVersa lorsque le ommet de chacune des ondulations e déplace d un quart de longueur d'onde ver la rh e. Lor que la différence d'amplitu~e de deux onde· génératrice e t très faible, la vite e de propagation des intum~ - cence (vite~ e purement apparent ) e t trè irrégulière; chaque ondulation

'abai e à peu p1·' verti alement à J)arlir du maximum, pui sa crête semble e déplacer tr' rapidement ver la rive en p ant par un minimum à peu près nul·

elle e oul ve en uite à peu pr v rtical ment pour con tituer l'intume cence uivante à une demi-onde de di tance. la limite on obtient le clapoti propr - ment dit. Par contre, lor gue l éner!tl d la houle réfléchie se di ipe au fur et à m . ure qu'on éloign d la paroi réflé hi ante, la variation périodique de hau- teur de intume cenc diminu la· vit e de d placement des crêtes s unifor- mi et pour finir la houle incidente ub • i te eule.

En prat:que l'ob ervatiou du ph 'nom 'ne ~ t compliquée par le fluctuation:- ince. ante de l onde incidente. ar exemple, apr le pas a

e d'un onde parti- culi 'rement forte on con.tat un PT dominance de l'onde réfléchie sur l'onde in idçnte uivante, ce qui e traduit par une ondulation de hauteur périodique- ment variable mblant 'éloigne1· de la paroi. Par contr , plu au large le intu- me. c nces r&mitante s'approchent pre~que toujours de la rive pour les raison expo. ée.

Malgré ces irrégularité~ inhérente aux pbénom ne naturels le clapotis pro- duit. par réflexion de la l1oule . ur une paroi fortement inclinée est bien con- forme, dan 1 en emble au~ pr vi ï_on th oriqu .

'nsi pour de fond de 11rofondenr en ib1ement con,,tante en avant d'un

digue v rtical , de nombreu eR oh rvation et de e ai y t'matiqu ~ ur mocl .le. réduit ont p rmi. d " rifler que 1 amplitud du clapoti. est effecti- v m nt doubl d c Ue d la houl g'n ratrice (1). 1 n e produit d écart y té- matique à cette loî et d a:lleur. pnr ex . quê . i le clapoti étant de trop

•fort cambnue. il paraît ~e bri. r partiellement l long de la muraiHe avec ou an f9rmation d gerbe v rticaleR. Lor. que l amplihld roît ce phénom ne s amorce avant que le condition th oriqu d apparition de point de rebrou -

ment des onde tationnair ne oi nt réa1i e ; il e t. lié vrai m labl ment à l exi tence de frottem nt l lona de la paroi (2) .

Certain ca.ractéri tique du clapoti liée à la tenue de digues verticale , telle la surélévation du niveau moyen l diagramme de p1'e ion etc .. mon- trent l'intér"t dune détermination trict de mouvement à la d uxi m approximation. Sur ce point. non compléteron le théories en cour . .

(1) Voir, en particulier, pour l nomhreuses observations fnlte à Al"' r.

molr .{1 1\f. 1'In~«snleur en ch f RENAUD, dnns 1 Annale. d~ Po11f.,i t

1935, IV t V: C<'lul rl :\[ J. L.rnn s, Ini:r(,nt ur des Pont t Chnu ' , dnn ci 11c

et lf1dustrie. éclltlon Trnvnux, tohr 19.'-J.~. t les e. aL nu Lnhorntolrt' d Lnu nnn ., pur , r. A. ,

Rul1etin tec7111iq110 d ln. S11i .. ~e Romand clu 7 cl c mhr 19::\.'l.

(2) Il e. 1 t . ur <' u,fet lmt> tMorl trop ,mmmnlr <'le Frn. er ( r.lr l traité de l . 'R. RouAs.<lF., Houle, Rides, Seielte et :ua1·f ', 1924. p. 9 ) lfali:i!lnt Jnterv nlr !n compr · lbl1lté de l'eau; les ré. ultnt. du cnlc-ul, pur meut qunlltntlfs ne snuralent d',nllleurs, prêter à vérlflcatlon prêclse. '

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3° PRODUOTION D'ONDES, STATIONNAmES

D. 'iN'S UNE 3.L\S!::IE D'EAU LIMITÉE OU !'fON DE "PROFONDEUR VARIAl3LE.

Il e t d'ob ervation .courante que le clapotisi ne ..se produit pas devant une paroi peu' inclinée (nettement moins de 45°), en particulier, sur une plage; au - contraire la houle s y bri e et déferle. Sous cette forme, l'ob"ervation e t incom- plète· il fâut préciser qu'il s'agit d ondulations d:e forte ca~brurc telle de lame de tempête ( cambrure de 1/2

5° à 1/15°). i l on -considère de houle suffisamment plate , donc, à vrai dfre, sans grand intérêt pour 1 îll't de l'ingé- nieur, la théorie' que nou établirons plus loin et l'expérience ont d,'acco·ri!J pour constater l'e:vistence d'oniles stationnaires même su , r les plages les plu.J.

plate . ·

Les masses d'eau de profondeur unüorme ou uniformément dé~roissante ne sont pa les eules admettant de~ systèmes d'onde tationnaire . En e limitant aux mouvement cylindr:ques de p_etite amplitude on peul prévoir, par appli- cation de la théorie des équation intégro-différentiell<' l exi tence de sy tèrne d'onde· stationnaires dans une ma ~e d'eau de ecli-0n droite limitée mai quel-

conq11 e {l) et sous certaines condition à préC'iser. pom tmC' rn asse d' ea11 illimi.tée du côté du large.

Cette théorie du fait de sa o-énéralité ne permettrait guère l obtention de formule _ aisément calculables; de plus, elle implique. . m· la l'ive la. possibilité de singularités non encore élucidées et conduisant, le ·cas échéant, à de mou-

vement. non bornés. ·

Quoiqu il en soit on est ainsi amené à prévoir, pour de masse liquide limitées de profil donn~ l'existence d'1tne .nmple infi , nité de systè-lne po sibles d'onde stationnaires comportant chae1tn en facteur un nornbre petit mai arbi~

traire, caracléri ant le. ur intensité (atnplituc/,e) et pouvant ·e , _ 'lt,perpo er en nombre q1telconque. On distingue ain~i les sy tème d'ondulation uninodale . binoda7es t1·inoda1es, etc., à -chacun desquels corre~ 11ona une distribution ae nœuds et cle erêt:es parfaitement déterminée.

Ce conclusioni:: générales ont été depui longtemp véri:fiées de marîi~re approximative pour une série de profil liquides ·imples. Pour UI! profil rectan- gulaire les longuem·s d'onde de chaque ondulation pour un sy tème d'oscilla- tions à n nœuds, sont con.s..tantes et valent -;; , 2! l étant la longueUl' du profil.

AIRY (2) et urtout CHRYSTAL en emp7xJyant un calcul approché, ont déter- miné la forme des. o. cillation~ tfltionnaire ponr cle-s profils parabolique, quar- tique limité par deux droite. d'jnc1inajson quelconque, etc. Leur méthocl uti- lisée fréquemment et généralement avec ~ucrè~, uppose ]es profondeurs et variations de vitesse .atsez faibles pour que le~ particules d'eau située ~ur unP vrrticale à l tat de repos le restent au cours dn mouvement.

(1) L'éountlon lntégro-différentlelle générale n été établle pa.r M. J'. HAD.uuno,

· &noltlon. d'e:,rlstence complété~ par M. BouLrc:AND, RuUetin de la Sociétd ma.t1lé- ma.ti'.que de fi'r<mce, 1912.

(2) Pide., a.nd Wave.~ (1845); voir te traité de M. H. BoUASSJ!I, Houle, etc., p. 146 et su! . v.

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MOUVEMENTS ONDULATOIRES DE LA MEi\, 31

Dan une étude parue dan le Annales des Ponts et Chaussées, 1937, III et IV, et conrernant les formes sü&eeptibles d'être util:sées pour les digues destinées à réfléchir la houlei, M. l'Ingénieur en chej GouRRET a démontré

• l'exi tence d'une quadruple infinité de paroi courbes permettant d'obtenir cette réflexion dans - une masse d'eau indéfinie du côté du large, de profondeur limitée ou non. H ré u

te du mode de calcul ut]i P CJ._ue chacune de ces parois ne peut réflPchir gùe de houles de Zongueu1· déf ermin _ ée. Cette re triction tombera vraLemblablement par la suite car il paraît probable qu une masse d'eau de profil sen iblement arbitraire mai. inimitée du côté du Jarge, est susceptible de réflé-ch:r l'érrulièrement de houleCl de lon, queur quelconque pourvu qu'elle.~

ne soient pas trop creuse (1). Quoiqu'il en oit c'e t bien ce qui e produit pour les ondes stationnaire~ e formant dansi une masse d'eAu indéfinie sur fond peu inc ¹ iné Hmitée ou non v r la r:ve par une paroi réfl~chi sante fixe de profondeur CJUC'lconque dont nouc:i donneron. la · théorie. Ce mnuvements de clapoti.c;, tout ont restant bornh et ré.rruliPr 'ltr Ta rive ou lP Tong de la fl{lroi, réfléchi~ ante, sont compatibles ^a1 ec 'lt11.P. lonqueur d'onde arbitraire de la houle incidente parfcu1nrité intére~::nntP l our la tenue de~ ouvrages de type vertical.

En ré, un é i1 y a HPu de noter que 11011,r.to·u.r:: les cas concrets d'onde:; .'ltation- naires étudiés à ce jour et en limitant. peut-être. la longueur d'onde dtt large à certaines valPur,ç; défe1·minées. il Prrir::te . . nu m/nimum 1me ' oltttion régu1ière

a1t bord donc ph11 iquement réali. able. tout AU moins pour le ca des petits mouvprnent . C'e fait 11011 paraît r7eu,ir être n"hc:olument général. Si, par contre.

s:m consid . re de, olu . tion non stationnaires. il y a, en général des singularités sur ~es bords· l'exemple le plu imple e t celui de la. houle abordant. une plage· .

4° RxT TENCE n O"'mF., PROGRE~SIVES

DANS UNE rER DE PROF NDEUR RF.OITLU,RF.~rEN'r DÉCROii&ANTE OU VARIA13LE.

TI n~ sembl ^{l')ll .} avoir étP efl'C'rtnP cl recne1·chP. tn~orique r;:ur la hou1e en profonnell'r -rm·iahlP d@pni J é11on f. nu thPm· me d'Airy exchvmt la r>o tdhilit~

d'oscillatio

harmonique prog-re~sive dans de telles condition (2). Cette conclnsion, hasèr sur d hvnoth . e f rop re tricti s n'e t ~ re ati fai ante .., po:u.r l~eSl)rit et lais?e dan l'ob. curit l'origine et le mécani me de 'houles pro- grec:i ivPs rl1Prnimmt nr un lAg-e et dont. la lon·eueur et In hauteur parai. sent var·Pr dr fnQon bien clrt€'rminé n11 fur et à ~,e urP de l'a-poroche du fond.

D'nitl nrc-" hi mi. P rn énll'ltion P-énhnl due • M. H D lt RD n exclut nulle- mPnt 1A po~c:ihi it P à€' so

ntion d ondr:- pro<Tre, . .Jye Qi l on veut bien envisag r dei! .~i11rni7nrith .i::ur 7e.'I borc1.,.

Compte tenu dP cette rrmRrqu . nou avon rec'hPrché et htenu. n profon- dem 11nifonnémP1Jt n.Pcrois~nnte. un olution narfaitement déterminée d houle périonione. sr rarcorclant n Ja 'houl du larg . mai n restant r>a bornée à l'oti- [!ine du profil. En nratiouè, cPtt irronqtfmce imnorte -peu. puisque, avant d arriw'r nu ri nrre, Jes onèt111t1tion ntteig'TlPnt l@ur hauteur .et forme limitE'a.

d~ferlent t 11e détruic:ent entièrement.

(1) nes

modèle réduit seraient lndlquéff po~r euclder ce point.

(2) Voir H. BoUASBE, Hottle 6to., p. 20.

J. 108. -~Jauvier,-Février 1044., 3

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32 UIWOIRES ET DOCUMENTS.

. 5° MournoATIONS SUDIE PAR LA HOULE ou T.E CLAPOTIS AUX APP.ttùCHES DE LA RIVE; RÉPARTITION INÉGALE DE L~É ERGIE.

Aux approche du rivnae la houle subit des transformations progressives dPpendant de la forme du fond. Celui-ci et souvent a sez régulier pour être a imilé en premi re approximation à un plan d inclinaison donnée. Les solution corre pondante pour le fluide parfait , dont nou effechlons plus loin le calcul doivent a1or traduire correctement les fait expérimentaux dans la limite du moi ~ où le frottement peuvent encore être négliaés.

L influence de rési tanc - pa ive devient de plu en plus importante lorsque

la. profondeur diminue· -néanmoins, à l'éche77e des phénomène naturels, le coefficient d extinction re te tr uetit. en orle que déferlement excepté et sauf action im orlante et inattendue de la turbulence, l'hydrodynamique das:

sique . doit permettre de contrô1er et interpréter ia plupart des :faits observé (1 . Par exemple, He uffit par uite de la diminution de longueurs d onde due à l aµµroc"I1e du fond, à e.."{J)liquer l alignement apµroximatif d une houle sur un rivage même incurvé ce qui permet de limiter les calculs au cas d'ondmation c~lindrique- parall le au rivacre.

Un fait prêtant à controverse est, -par contre la modification d'amplitude de )a houle lor qu' on approche de la _rive. Le obse>rvation-c: divergent passa- b ement. On pent ec::c::awr de le ré umer comme sni.t : Pour Je fond habi-

tue)c:: modér ' ment inc inés, 5 à 20° la houle ne change prntiquement pa de hauteur ou climinnc l 'f'èrement à partir du large. jusque prè. de la zone de défer- lement au début de laquelle elle augmente de nouveau en g néraL Devant de côtes plus accore et ·c:c::ps (rocheusec::). cette hauteur augmente · sur des p1a!!es CÀ-trA- mement p afei:: (::ab euc::ec::) . elle diminue tr nettement. Au noint d vue théorique

(fluid~ narfaitc::). on a ordinairement admis jusqu'ici. explicitemPnt ou non. uno CMJ..<:t>n:nti-On inth1rn7e ile l'foerqie de la houle lor on'on s'annroche ne la rive.

D'a·

AiTV Pt Ranline l'avant i,rouvé nonr des onnes nrom-essives se Mnla-

<:ant danc:: un <.'8na1 n.e -=Petion lentement variable. cette hvnoth .c;e narnH s'imnoser à remiPTP vue (2). _ iSanmoim. si l'on admPt ce prPmic::ses. AD ahontit ~ 1me

-

contradir-+iot1 a,PC 1P-= faite: obc::ervés ronramment. car l'~neririE' cl'une onn.1.1lation

p;;t nTonru4ionnP1 Pau carré ilP Pam1'1itnde et ~ la lonirue.nr d'onne t, romme cette dPTn.PTP d.irn~n P avPr fa nrofonoenr. Pam11l1fone ifm rnit cnn.c:tnm.m.P11,f m,nmrmter dan"

même:: conifitions c:i. ~mme le calcu11e montre. la difli:tination d'énerP.'Îe mp,..-u ~ nar e cOPffi('ipnt rl'Pmnction ~ néP-liP"enhle ne ^{cas de nla!TeR Prlr~-}

mPmPnt n ate:: P::t erCPntP) . Ponr arrivPr R l'intPrnriSh,tfon corrPM",('I rlPR fsiit , .J. . .rnn .... 11T1c: <='ln PTiloP c:nr e DPlf'rlPrnmt OP.~ lamP.<: ( TlnfllPR. V. 1937) . uno-p one

dPf

emPnt n'a Heu au'anr~q une PPrione pr naratoire de non- ror~atfon donc cle dem-urtfon interne il'énergie cinétique atteignant qnel-

" mnr TIit nn n'P<rt' ')')lnR vrnl niS('{'l'lc::ntrPmPTit 'f)Onr ies ei::Ants sur moo~le

~nJ • l'û>h,·llP Mnrsinte r'IP 1/!'ilt nnr PXPmnlP, 1'1nflnenrp rlPR rfSqfRtnncPR rmql'lfves lt nlfk par r,,J • ., = ^{:t ·t} N1r PllP pc;t mpq11r~P nnr ln vnlPur ,.m: . C'OPtflch>nt nrlfon: tr. dimJ>n,r on llnl'l:1lrP ,1~ Mmn1trn!Aon Dnns dP tPls ^e~snlR. l'nctlon

• , . t. nsi rP. dn fonil, jnn~nt 11n r~le b4>aucoup pln11 QTllDd.

V,

r , Il

J1MJ1• , -,f,, 1J, 278 1 Y.

/

IIOUVEMENTS ONDULATOIRES DE LA MER. 33

quefois ou m "me dépa ant exceptionnellement 50 p. 100. Cette conclusion serait inéluctable si l'énergie se conservait intégralement; or, ce n'est pas le cas et la conclu ion inverse d' Airy et Rankine n'est pas applicable au cas présent (1).

La théorie, exacte pour les petits mouvements, de la houle et du clapoti'B en profondeux réuuli rement décroissante, exposée plus loin, fait en effet res- sortir ia foi suivante :

L'énergie totale relative à la masse d'eau d'épai seur unité comprise entre une crête et un creux successifs et limitée par deux ~urfaces, par exemple verticales et atteignant le fond n/ est pas constante lorsqu'on considère au même instant ies différentes onduiations. Cette énergie décroît lorsqu'on se rapproche de la rive et, pour une plage peu inclinée, l'énergie en eau très peu profonde est raménée sen ~ïblement à la moitié de· celle en eau profonde.

Pour la houle le m me énoncé convient pour le énergies cinétique et poten- tielle d'ailleurs égales entre elle et à ia d rni-énerJ!Ïe totale. Si i'angle d'in- clinai on du fond croît, fa diminution d' nemie attéime pour s'annuler si le clapoti s établit contre 1me paroi verticale.

Cette loi d inéuale répartition de l'énergie p ut paraître de prime abord paradoxale mais à la ré-tle::\.'Îon, il n'y a aucun raison pour que l'énergie prisonni re des particul "' con tihumt à un moment donné une ondulation déterminée oit un con tante dan toute ]a ma::i::e. Cett propriété peut aussi se démontrer par une méthode "!ergétique générale applica le à une con:fign- ration quelconque du fond pourvu qu'elle soit compatible avec l'établissement . d'une hou]e périodique.

Les application de cette loi_ sont multiple .. Par e,·ernple dan~ une rade ouverte où l hauts fond ont s uL charg- d'amortir la houle le travail à effectuPr par les r i tan e pac: ive n ~era que la moitié de c ]ui auquel on pouvait attendre. De m "me, dan de e . ai ur mod le par fond incliné, le rapport des énerg'ie in tiqu calculé d npr 1 :- caractéri tique~ de ondes aux '})Oint de déf lement et de production de la houle pourra varier entre 1 et 0,50 an qu'on soit oblig d 1 attri uer dC's h Tfom ne de turbulence.

En relation a ec la iminution d n rgie. non . éta liron que )a hauteur des ondulation houle ou clapoti lor qn n s approche de la rive commence en général par décroftre lé.QPrement. Cette diminution e t urtout sen ibie sur des plage plate· (9 p. 100 environ -pour une phrn: incHnée 10°) : elle est plu f ai Me -pour de pente nett ment plu raide:;. Ln hauteur augment ensui té continu HP.ment. mai m._ défer_lem nt ( ou la bri ure du clapoti ) e produit, en général. avant la rive. C pr6vi ion théoTique -parai ent en bon accord avec l'expéri nce. Néanmoins. l)Our le pin~ extr mernent nlate . il faut déborder du çadres de l'hydrodynamique cla~ iQue l)our exptiquer. au moyen

~u coefficient d extinction ou par 1a turbul ne , . la diminution q11elquefoi très importante de i'amplitude de ½a houle lor que cette derni re chemine en direc- tion de la rive.

(1) C~ auteurs ont hnsé leurR <.'nkuls sur une mt.Stllod npprC'I hée. c ne dont

CmtvsTAL s·~t RPrvt fürns EIP!l rëcher h s !lllr le!'! ondes tntlonnntr . déqnnte en caR de fnlbl profon<1Pur, 11 n l'Pc;t pht. s'il c; ngtt 11 m'f)Rr r

ondulntlona prb d.e la rive et en eau profonde. •

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..

34

Du point de vue y tématique, nou seron ametié à considérer lor qu'on se rapproche de 3a rive, quatre z..ones sttccessives d· u coin liqU1'de douées de pro- priétés cinématiques différentes quant -aux phénomènes ondulatoires : ,l'eaw profonde li!llitée vers la rive par de" fonds égaux à la demi-longueur L de l'ondulation du large, l'eau assez profonde, l'eau peu profonde, limiJée vers

L

~e large par des fonds égaux à - , enfin, l'eau très peu prof onde comprenant

7T'

uniquement la demi-ondulation de rive. Pour les applications la zone de l'eau peu prof onde est la plus importante.

6° Fonms LillITES DE LA IrOULE ET DU CLAPOTIS.

Aux approche de la rive Ja cambrnre de la houle croît constamment ju qu'à une valeur limite pour laquelle l'ondulation se met n déferler. A cet in tant, la crête e t nettemE'nt angu7f.?'use et de létr re" mni:$e d eau commencent à.

s'ébouler sur !::On ver!:ant côté terre. Pius pr clu rivage, Je phPnomène de

de truction 'amplifie de ron en ux se forment et se hrisent de fnc;on sensi- blement continue jusqu' l'e;..-ti nction Mfinitive 011\'ent produite hrutalement p~r collision avec le re sac l)rovenant de ln lame p ·écédente. L'étude théorique des diverses pha!-es du Mfe1·lement œce!=siterait au préalable, Pobservntion dé-taillée du phénom ne. Ron intér t Aerait indéniRh e, mai non primordial.

Par contre fa recherche de l'onde RUT le point de drfrrlcr e!:t immécliatement acces. ible au calcul comme cas limite, et on étude intére se l'art de l ingénieur à pyr d'un titre :

Tout d'abord afin de déterminer ies cotes minima des fond permettant d'€viter pour. une houle de caractéri!;tiquc donnéell, le déferlement toujours dan,qereux pour la navigation et le ouvraaes maritimes de ~·pe vertical;

ensuite afin de pouvoir évaluer, pour une profoncfenr déterminée, l'ampli- tude et l'éner~ie de Ja ^houle déferlante d'une lon~ueur d'bnde donnée, en la considérant comme i'onêlulation la ulu' dangereuse pouvant atteindre un ouvra_ge et, comme telle, déterminante pour •sa tabilité. •

La théorie clasi.iriue de fa houle, dite théorie trochoïclale indique dans le cas d'une profondeur emiblement con~fante, 1r. condition pour lesonelle

• à ia limite, la trochoïc1e de la i::u,.fa<'P libre e tran forme en cvrloïde elliptique à point de rebrouissernent vertir:mx. Dès 1-on origine. cette théoriP e~t apparue comme donnant aes cambrure. bE'nucoup trop l!l'nndE'<1 et OP r,rofonc1eurs trop faibl e l)Our le déferlement de 1f)mf's cl nmplitnrl.e donnée. Par C'xemple en profondeur Hlimit e, Ja cambrure limite trouvée vaut l/1r = ^{0.32, alor que}

Jes plus forj;es eambrures rencontréAs ne parai~sent g,1ère dépa~ser 0.10 à 0.12. D'ailleurs l' bsesvahon montre que Je,s ~rofils de:~ lame d6f rlantes comportent un point an_quTeux et non une crêtP ai{l1.të. La théorie trochoi'àaJe introdujt de!l mouvements tourbnlonnaires · à notre point de vue ce ne serait pas un . empêchement si, dans le cas de la lame d6ferlante ^. <'t en surface le

rotationneZ ne croissait pas au delà de toute limite, impossibilité physique ma- nifeste.

Oomme suite à leurs études sur 1a houle vrrotationnelle, le mathématicien

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MOUVEMENTS ONDULATOIRES DE LA MER. 35

ano'lais SToKEs•(l) et ses continuateurs ont recherçpé fa forme limite des lames, dub moins en profondeur in.finie, car, sinon, la convergence des séries utilisées, déjà fort lente, devienclrait totalement insuffisante (2). On trouve ainsi des cambrures limites compri-es entre 0.13 et 0.14. De· plus, STOKES a .. montré que la forme limite du profil d'une houle iITotationoelle (fig. 1) e compose de deux branches symétr_iques par rapport à la verticale et laissant entre elles un coin liquide de l!J0°. Ces résultats semblent en bon accord avec l'observation.

Le dernier et ab olument géu'ral corume nou le d'montrerons pour toutes les hriules progressiu~ simple , phy iquem,ent ' téalisabbes, donc rotationnelles ou non, en profondeur finie ou illimitée.

Cependant, le sens du rotationneD et son intensité influent sur la for- me limite. On ~ait que si le particules décrivent leurs trajectoires dans

Propagation

C

:,,/~ ^{- ~}

Fig.

Iloule irroln~ionnellc de STous.

Cn limite .

La courbure des delll branches en C est nulle. •

le sens des aiguille- d'une montre, ou en sens inverse, l'onde progressive se déplace de gauche à droite ou vice ver a. On dira, pour simplifier, que la f'Otar : ion· mo1Jenne des particules est de même sens ou de sens op posé à la propagar tion, suivant que le 1·otationn l a le même sen de rotation que les trajectoires ou non. Le premier ca~ e produira certainement pour une houle pous ée par vent violent et fr inée, en pied, sur le fond. Le econd est celui de la houle , tl'ochoïdale. C'e.:;t d ailleur ù. eau de ce ens de rotation, a sez inattendu, que

STOKES et d autrés ont- été amenés à étudier des ondes irrotationnelles.

Nous démontrerons que la courbure prè de la crête des deux branches ds la forme limite de la houle est proportionnelle au rotationnel et passe du signs positif au signe négatif suivant que ce 1'0tationnel est de même sens ou de sens opposé à ·la propagation. Par exemple, si la rotation moyenne est de même sens que la propagation, la courbure e t positive et les âeu.x branches tournent iêur CQncavité vers le haut; le profil de la crête a la forme d un accent cir- conflexe. Dans l hypoth' se contraire, la concavi é est tournée vers le bas. Dans le premier ca (fig. 2), la cambrure limite appà.l'aît comme nettement plus faible que dans le second (fig. 3).

Par conséquent, un 1'0tationnel de sens opposé à la propagation est un fao-

teur de stabilité pour la houle· la cambrur~ limite roît avec 1 inten ité du toùt- billon et on aperçoit la transformation continue qui conduit de la forme de la

• (!) Volr H. Bou E, Houle etc., p. 56 et sui . ·

.<-) Pour les formes llmit , 1 'sérl s utlll ·ées sont, dans l'hypothèse la plus favo-

rable., à leur llmlte de convergence; il n'est pas certain que cette dernière existe.

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36 MÉMOlllES ET DOCUMENTS.

' figure 3 à la forme trochoïda~e limite (fig. 4), d'ailleurs irréalisable en pratiquij, Voici quelques applications de cette Joi générale :

Le vent et la présence d un fond très rugueux favori~ent le déferlement avec des cambrufGs plus faibies (cas de la .fig. 2). .

A l'aval d'un orifice :légèrement noyé et. créant un courant violent en sur- face, il se produit habituellement un système d'ondes .sensiblement station- naires étonnamment cambrées. Or, dans le mouvement relatif que constitue le

Propagebon

C 0 Rotat1onnel

Fis,

Houle limilc à rôtutionncl de même sens que la propagaLion. La cour- bure est posiLive près de la crête el pro- portionnelle au rolalionncl.

A-opagatlon

C ^{Rota' ttonnel}

Fig. 3. - Houle limite ù rolationnel do sens oppo- ' à ln propagation. La courbure esl négative près do la crêlc el proportionnelle au rolation- oel.

courant, ceci représente des ondes progressives remontant vers i'amont dont le rotationnel est visiblement opposè à la propagation. Par contre, .le second isystème d ondes descendant ·1e courant et dont le rotationnel est en accord avec la propagation e t moins cambré.

La nature de la singularité en crête étant ainsi élucidée, nous déterminerons ensuite, en cas de profondeur constante le · cru:actéristique des houles limite~ en

Propagation

C Rotattonnel

J

Fig. 6. - Houle trochoïd ale limilc.

Le rotationoel esl infini 1,en C.

fonction de leur longueur relative, telle que l'amplitude, la urélévation du niveau moyen, la cambrure la vitesse de l eau ^a11 poi1!.t de d ~fer] ment, etc.

Comme on dispose, en ce domaine, de nombreuses ob~ervations, il sera ais~

de confronter la théorie et la réalité et de se rendre compte que le mode de calcul préconisé fournit des valeurs très généralement d'accord avec l'expé- rience.

Pour des ondes stationnaires, au contrai.re de la houle, rien ne s'oppose, au point de vue cinématique, à l'existence de formes lirnites à points de rebrous- sement verticaux, car les clapotis sont strictement ou sensiblement irrota-

tionnels. .,

•

MOUffllBl'CTS 0"1>UUT01US DB U. ll'EI\. '

D'après la théorie trochoïdale courantt;!, les cambrures limites, lors de l'appari- tion des crêtes aiguës, étant les mêmes pour la houle et le clapotis, ce dernier, d'amplitude double, briserait beaucoup plus fréquemment que la houle généra·

trlce. Or, l'observation constate, tout au plus, la concomitance des deux phéno-

~ènes. N ou vérifierons, à ce dernier suj~t, du point de vue théorique, que la _, cambrure du clapotis le plus creux résultant de l'interférence de deux houles limites sur le point de déferler, e t inférieure ou, pour des lames longues, à peine supérieure à celle amenant l'apparition de point de rebrou ement. Par consé- quent même ruins ces conditions extrêmes et auf circonstances spéciales, la bri- sure du clapotis - nou utiliserons ce terme pour dé igner les gerbes verticale _ s produite , de préférence au mot déferlement impliquant de projections sensi- olement horizontales - ne e réalio::era pa ou 'amorcera eulement. .

En fait, il ne e produjt guère de projections violentes dues au clapotis que par grand vent, ou le long de l-a paroi réfléchissante, près de laquelle Je mouve:o ment e t perturbé, ou encore, comme con équence de confi 1ration irrérnlières du fond, ou enfin, par suite de réflexions multiples, par exemple, près de quais formant un angle rentrant, aux points locali ~ où trois amplitudes de houles

s'ajoutent. . · ·

"/° CROIX DES MÉTHODES DE OALOUL.

. .

La recherche de solutions aux équations cla siques de l'hydrodynamique pour des mouvements ondulatoires fait intervenir t. rois ordres de considé- ra.tions :

a. La rigueur des formules ; b. La nature des mouvements;

o. Le choix des variables,

a. Rigwmr des formules.

On pe ut se propo er de at · faire en toute rigueur aux équations pour des ondulations d

amplituàe finie, comme on les ob crve en réaliM. On y est par- venu dan · quelqu ca a c de condition aux li.mit tr impl mais l'itn- portant appareil mathématique, en général nécessaire, ne permet pas de tirer tout le bénéfice de ce olutiom;.

On peut, dans ie but de rechercher dœ solutions va~able~ pour des condi- tions aux limites plus complexes utiliser des méthodes approchées en simpli- fiant les équations par des hypothèses accessoires, plausibles dan~ certains cas, mais qu'on ne aurait, auf ju tification

ét ndre à d'autr . ou avon vu un exemple du danger de cette méthode pour le calcul de la répartition de l'énergie dan un canal de section variable. (Page 33.)

Enfin on peut se limiter aux · petits mouvement ( en théorie, au~ mot1,- vement. infiniment petit ) et, d'ans cette hypothè e. ré.~oudre rigoureu ement les équat_ions. L'approximation n'interviendra qu'en e.::ti:apolant le résultats à des mouvements non plus néce sairement très petit~. C'est la méthode la plus couramment employée, car elle conduit à des formules ^ll!l ez simples et à des résultats sati faisants. pour les besoins courant . ous l adopteron en aénéral.

Pour ce fa.ire, on développe les expressions donnant les caractéristiques du

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•

38 MÉMOIRES ST DOCUI\JBNTS, •

phénomène en fonction des puissances d'un paramètre - 7,, infiniment petit avec la hauteur des ondulations, ₁ par exemple la o.emi-amplitude, et on arrête les développements aux termes en h,

On dit alors qu'on obtient le mouvement à la n° approximation ou au n° ordreJ, si toutes les éq'Uati'tms du mouvement, y compn:S les conditions aux li1nites, sont satisfaites identiquement jusqu'aux termes en h

inclus. Si )1, est suffi am.ment petit, l'approximation croît natu- rellement avec n, mais ce n'est plus nécessairement vrai si h dépasse . une certaine limite. Le développement complet en pui ... ances de h, la solution

«rigoureuse», peut fort bien diverger et l'approximation être de' plus en plus mauvaise au delà. d'une certaine puissance de h,, Néanmoins, nous verrons qu'on ootient une meilleure repré entation des phénomènes ondulatoires d'amplitude courante en calculant, au lieu de la première approximation, fréquemment uti- lisée, la seconde. Il ne semble pas, par contre, y , avoir grand intérêt à compliquer considérablement les formules par l'introduction d'approximations supérieu- res (1).

b. Nature des mouvements.

Pour les motifs indiqués précédemment, nous ne nous limiterons pas aux mouvements irrotationnels. Par contre, nous considérerons uniquement des solutions périodiques par 1·apport au temps, afin d'en bien dégager le nombre et les caractéristiques. Pour les petits mouvements du 1 °' ordre d approximation, ceci n'est paa une limitation, caries solutions non périodiques les plus généra.les résultent de la superposition de solutions périodiques. Par contre, à partir du 2

ordre, les conditions ne sont plus linéaires et ia superposition n'est plus per- mise.

(1) Voici quelques indlcations sommaires mr 1 état actuel de la théorie des mou-

?ements ondulatoires cylindriques :

1° Solution$ rigoureu-ses po1ir ondulations' d amplit1tde flnio. - Celles actuellement connues se rapportent aux cas des profondeurs illimitée ou constante; à part ln première, elles ne sont pas exprimables sous forme flnje,

a. Houle trochoiàale de Gerstner en profondeur. illimitée. - Le -trajectoires sont des cercles dont le rayon diminue comme une exponentielle avec la profon- deur. Il n'y a pt . de déplacement moyen rles partlcules. La vitesse de propa- gatfon, constante dan toute la mas e. croît âvec la longueur d'onde mai est indépendante de l'amplitude. La rotation moyenne des particules, du deuxième ordre en h, est de sens opposé à la propagation et diminue rapidement avec la

profondeur. ·

b. ^{Houle i1} ro(ationnelle en profonde11,r illimitée, aboutissement des recherches de

(Le1;i-Civita

Uat11emati.~che A1mate1i, 1925). - Les trajectoires en, 1- blement circulalréS se déplacent, avec le temps, dans Je sens de la propagation, avec une vite e du deuxième ordre en h et dlmifiuant rapidemen't avec la pro- fondeur. La vitesse de propagation, constante dan. toute la masse, croît avec ln longueur d'onde et un peµ avec l'amplJtude.

c. Houle irrotatiorn1elle en profo1ideur constante, extel)sion réalisée par ^ST'n.UIK (Mathematische Annalen, 1926) de la méthode précédente. - Les trajectoires sensiblement elliptiq_ues et réduites i't · un mouvement' c1e va-et-vient sur le food se déplacent, avec le temp , <Jan Je séns de la p\'opagatlon en surface, en sens inverse près du fond (drins l'hypothèse d'nn tran pol't moyen de masse nul).

d. Houle rotationnelle en profondeur con!ltante ou illimitée, le rotntlonnel étant

une !onction sensiblement arbitraire <le la profondeur, du premier ordre, ou

MOUVEMENTS ONDULATOIRES DE LA MER. 39

c. Choix des variables.

On utilise celles d'Euler, lor qu on détermine les vites es en fonction des coor- donnée actuelles des particules, celles de Lagi-)lnge, lorsqu'on défuµt la position actuelle de particule n fonction d leur po ition in\tiale -ou de Tepos.

N ou nou eniron , en gén6ral, de rnriable- de Lagrange pour le raisons exposées ci-après. Nous écrÎl'on tout foi' les formule donnant les so utions des mouv ment dan le .. d ux y t me· de variable . 'n vue de faciliter la lecture des développements qui. sui eut, nouo 1· pelleron , au préalable, quelques formu- les d hydraulique et le moae_d pa age du y tème de variables de Lagrange dans celui d'Euler.

Variables d'Euler. - En prenant pour axes x et y dans le plan vertical normal aux génératrices des ondulations le niveau horizontal de l'eau au repos et la verticale descendante, les composantes de la vitesse s'écrivent :

da; dy

(1) dt=u(x,y,t) dtT".'v(x,y,t) z et y étant les coordonnées actuelles des particules, t le temps.

· L'équation de continuité (incompressibilité de l'eau)

( 2) è): + ~; ^{= 0}

permet d'exprimer ies composantes de la vitesse au moyen de la .seule_t9nction de courant '1J X, ')', t).

(3)

{4)

è),f,

U = -

è)y"

è),f,

V = - - •

è).i;

Les équations '1, = c n t. ou ... fooct. de' t

d ordre upérieur en ^1L (Mm DunnEIL·J COTIN, Journai àe Mathém4tique , 1934) . ..:.. Cette étude englobe les précéd ut -. d montre en partlculler, l'e.xlstence, en.

profondeur finie, d'un m uvement un déplacèment mo ·en de particules que nous appellerons du type B u · lne q, g n rnli~ati n de celui de Gertner.

auf dan ce dernier. eu ( où cycloïdale llml~ de Ger tner av c points de rebrous ement en Ul'fuc ), on

pus d terminé e. n t ment le domaine de convergence des expre ions tr uvé qui uppo ent implement h assez petit. • 2° Pems mouvements. - Un grand nom re d'auteurs e sont llmlté à la,....Aéter- minatlon des petits mouvements en profondeur constante oti illimitée. Ces"' études,

~oussées ·quelquefois ^à la deuxi mti m>r xlmatiop. ou da vantnge, du moins en pro- fondeur llUmltée et pour les boules krotntlonnelle , mettent en jeu, oit les dépla- cements (variables de LAGRANGE), oit le vlt es ( arlable d'EullR). Citons : LAPLACE, LAORANGE,

ous., œ

B. nÉ

et FLAMANT (An11ales, l ) , L recherch , en nm de M erminer l'action d lapoti sur les digu& verticales, ont été entreprl e par ~ I. J'Ing ~nleur n chef BtNtzIT· (Annales V, 1923, profondeur adml · illlmit · ), 'AlliFLOU (.J.mwle rv, 19::! , profondeur finie) qul a calculé les mouvement au moyen ,·nrlnble de Ln"'rnn"' et partiell m.ent au l}euxlème ordre d'al'proximatlon, Go nny.~ ^(~1n11al Ill 19 5, calcul d'une appro- ximation analogue mals au moyen des varinbl d'Eolèr).

Pour des conditions aum limite plu-11 compl .,;es, on • · ~t contenté, ordinairement, de modes de calcul approch ( hry tlll, t .) . Giton., n anm ln , mme xemples de calculs exacts au preœl r ordre d'apprti.·Imntlon :

Fond incliné à 45° : "MICHE ^{(Sl'ience ot Inclu} trie, février 193.~, variables ode Lagrange); Gotra.RET (Annaie, Ill, 1 7, variables d'Eul r);

Parois courbes susceptibles de réfléchlr la houle : GomRET (Annales III et IV, 1987).

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1'0 HtMOll\ES ET DOCUMBi.TI,

donnent les lignes de courant, tangentes en chacun de leurs points, à un instant déterminé, à. la. vitesse. Le tourbillon vau~ :

(5)

tandis que pression p doit être calculée par l'intégration des équatîons généraiea du mouvement.

Pour des mouvements rotationnels, on utilise peu ce mode de résolution qui implique, en urface, une condition limite comple-xe. La suppre ion du champ de tourbillon pouvant e ju tifier approÀ'imativement par le théorème de Lagrange, on a fait presque toujours cette hypothèse supplémentaire lorsqu'on

/a utilisé les variables d'Euler. Les composante.s de la vitesse dépendent alors d un potentiel 'P (x, y, t) fonction conjuguée de V' et comme elle dans ce cas, harmonique (c est-à.-dire ll.rp = ^Il.If = ^o).

(§ )

^è)~

èlx '

V = - • è)~

?iy

L-es équations if, = ^{const. et rp} = const. ou fonction de t, constituent, à chaque instant, un système de courbes orthogonales.

La pre îon p s exprime par la formule tout intégrée :

(7) ^p _{-= g y - - -} è><p _-

[(?Jq; _-- )2 (c)~)2] _{+ - + fonct. de t .}

p <lt

i)y

l..t! problème revient à la recherche de la fonction 'P, assez malaisée, car 1111 condition à la surface libre (p = con t.) ne t pa linéaire. De plus, l'élément

essentiel du mouvement, le cheminement dans le temps des particules, leur trajectoire, n'est pas connu et nécessite l'intégration des équations différen- tielles (1) . Ces trajectoires sont distinctes des lignes de courant pour les mou- vements non permanents comme le sont, en général, les ondulations périodiques.

Ces faits et le peu d'aptitude de la méthode à s'étendre aux mouvements rotationnels nous ont fait · préférer l'utilisation, en premier lieu, des variables de Lagrange qui, au contraire de celles d'Euler, permettent la transformation aisée d'un type de variables dans l'autre et f ournissent directement l'équation des trajectoires.

Variables de Lagrange. - Il s agit de déterminer, au moyen des équations fondamentàle du mouvement (.formules 11 ci-après) non linéaires il est vrai, les coordonnée actuelle x et y de particule et ht pre ion p en fonction de, t

et, par exemple, q.es coordonné de repos x

y

c'est-à-dire d valenr des coordonnée~ actuelle~ lorsqu'on égale à zéro le param 'tre h défini ant l'ampli- tude des oscillations.

Les mouvements définis dans ce système de vaTiablea sont, en général, tourbil-

lonnaires; la condition de surface y est particulière~ent simple, puisqu'elle

revient à poser y

= 0 da.na l'équation p ==- const.

IIOUVDENTS ONDUU.TOII\ES D.I U. JRll. Id

On écrira, en mettant k en évidence et en admettant une approximation ' d'ordre quelconque :

(8)

x = Xo + ^hcpl + ^h2cp2 + ^hscps + ....

Y = Yo + ^h,t,1 + ^{h 2"12} + ^{h 3,l,3} + · · · ·

e p = 9Yo + ^hx.,1 + ^{h 2x.2} + ^h

+ · · · ·

i"i, if,

etc. étant des fonction de x

y

et t, ^p la densité, g l accélératio;n de la pesanteur. Les deux premières équations (8) définissent les trajectoires des particules en fonction de t. Les quantités (x-x

(JJ-y

sont lea -composantes du déplacement des particules.

Les composantes de la vitesse au point {x, y} s'obti~nnent en dérivant par raip~ort au temps :

u = z ^{= h dll + h2 d:i, + ... ..}

Ces quantités étant connue lor que z, y et p le· sont on peµt les transcrire ans difficulté dan la fonne d Eul r. Pour cela, on tire de (8) les valeurs .de x

et y

en fonction de x, y, t et h et le porte dan (9).

Le calcul s effectue par approximation u~ce'sives en ne conservant dans la ne approximation que les termes jusqu'à la puis ance n•, au plus, de la petite quantité h,. On prend comme valeurs de départ de x

et y

les và.leurs x et y, puis l'on pose d'aprè les relation (8) :

Y1 =y-h,t,i(.1;, J', t)

X1

et

repré entant la première approximation de x

et y

On obtiendrait la

• econde, puis la troiaième, pour x

par exemple, en limitant respectivement aux termes en h

et h

les développeID:ents des expre sions

· '2

=

h(p

(x

]p t)-h

({Jll:, J, L J ,_

... '

Si l'on désire se limiter, pour les vites~es, à fa n

approximation, on doit identifier x ...

t Ju-1à x

et Yo et porter ces valeurs da.na les équations (9) en ne conservant que ies termes jusqu en 7,,n,

Les solutions de ne approximation obtenues d(n~ le deux s t mes de ariable ne sont pas identiques, mais ne peuvent différer, au plus, que par des termes d ordre (n + ^1).

A la, deuxième approximation, par exemple, les vites es exprimées ous forme

d'Euler s'écrivent : ·

)

lL

= h dÇO.(x, 'Y1' t) + ^h2 clÇOlf ,y, t) ~

( 10) · dt . dt

..!!:'. h atp.(œ,y, t) + 12 ["<fJlv, ^{y, t) _}

t) ^i)~

(..t:,J, t) .,. { t) ~.( œ,.r,t) J

- è'lt l

't"l X,], i)@,z; - 't'l X,], è'lti)y

•

Cc)

École nationaie des P,Onts E:t chaussées