Matematyka - metamatematyka — filozofia matematyki

Anna Lemańska

Matematyka - metamatematyka —

filozofia matematyki

Studia Philosophiae Christianae 28/2, 231-239

S tu d ia P h ilo so p h ia e C h ristian ae A T K 28(1992)2 A N N A L E M A Ń SK A M A TE M A TY K A — M ETA M A TEM A TY K A — FIL O ZO FIA M A TE M A TY K I

1. W stęp. 2. M etam atem atyk a. 3. P rzedm iot i m etod a filo zo fii m a te ­ m a ty k i,

1. W STĘP

R ozw ój nauik szczegółow ych zm usza do przep row ad zan ia coraz w n i­ k liw s z y c h analiz m etod, jak im i p osłu gu ją się nau k ow cy. B ada s ię r ó w ­ n ie ż teorie i p ojęcia w y stę p u ją c e w naukach. Te zagad n ien ia stają się p rzed m io tem badania m eto d o lo g ii i filo zo fii p oszczególn ych n auk i to zarów no przyrodniczych, jak i h u m a n isty czn y ch . Obie te d y scy p lin y filo zo ficzn e ro zw ijają się i d oskonalą sw o je m etod y badań.

W śród n auk szczegółow ych sp ecjaln e m ie jsc e zajm u je m atem atyk a. W yróżnia się ona m etod ą i przed m iotem sw o ich badań. C elem a r ty ­ k u łu jest próba o k reślen ia p rzed m iotu filo zo fii m a tem a ty k i oraz m etod j e j b u d ow ania i u p raw ian ia. Jak się w yd aje, zad an ie to n ie m oże być rozw iązan e p rzez p rzen iesien ie na teren filo z o fii m a tem a ty k i ro zw ią ­ zań z zakresu filo z o fii in n y ch d y scy p lin n au k ow ych . D zieje się tak d la teg o , gd yż sp ecyfik a m a tem a ty k i pow oduje, że m ięd zy m etod ologią i filo zo fią m a te m a ty k i a sam ą m atem a ty k ą zachodzą in n e relacje, niż m a to m iejsce w o d n iesien iu do pozostałych d y scy p lin n au k ow ych . P rob lem k om p lik u je jeszcze rozw ój w X X w . m eta m a tem a ty k i oraz m e ta io g ik i i z ty m zw ią za n e próby ograniczania p rob lem ów filo z o ­ fic z n y c h m a te m a ty k i d o tych , k tó re dadzą się ro zw ią za ć w m eta m a te- m a ty c e . W a rty k u le zostan ie w zw iązk u z tym zaproponow ana p ew n a lin ia dem arkacyjna m ięd zy m etaim atem atyką a filo zo fią m atem atyk i.

M ożna o g ó ln ie określić, iż m atem a ty k a w sp ó łczesn a bada sy stem y o b iek tó w m a tem a ty czn y ch oraz r ela c je i fu n k cje m ięd zy ty m i o b ie k ­ tam i. O becnie b ad an ia sam ych relacji i fu n k cji sta ły się p ierw szo ­ p la n o w e, ta k iż p rzedm ioty, m ięd zy k tórym i te rela c je czy fu n k cje zachodzą, zeszły n a p la n dalszy, czy w ogóle m ogą zostać p o m in ięte. •Stąd m ó w i się często, iż p rzedm iotem m a tem a ty k i są struktury m a te ­ m atyczn e. W ty m m iejscu n ie będę się zajm ow ać stw ierd zen iem , czy ta k ie sp ojrzen ie na m a tem a ty k ę u jm u je w a d ek w a tn y sposób jej istotę, n ie to b ow iem jest celem n in iejszeg o artykułu. Sam przedm iot b ad a­ n ia n ie sta n o w i jeszcze o szczególn ym m iejscu m atem atyk i. To, co w yróżn ia m a tem a ty k ę i logik ę spośród in n y ch nauk, to m etoda aiksjo- m aty czn o -d ed u k cy jn a . M etoda ta, jaik w iadom o, polega na u z y sk iw a ­ n iu z p rzy jęty ch a k sjo m a tó w in n y ch w ła sn o śc i b ad an ych ob iek tów p r z y p om ocy rozu m ow ań ded u k cyjn ych . W ak sjom atach zaw arte są p o d sta w o w e w ła sn o ści danej struktury. M etoda a k sjo m a ty czn o -d ed u k - c y jn a sta n o w i p o d sta w ę do jeszcze in n ego spojrzenia na m atem atyk ę, a m ia n o w icie jako na szereg teorii ak sjom atyczn ych , dla których

asp ek t p rzed m iotow y (a w ię c „natura” b ad an ych o b iek tów ) n ie m a w ięk szeg o z n a c z e n ia ..

M atem atyk a w ię c stw a rza awój w ła sn y , sp ecy ficzn y ob szar badań m eta teo rety czn y ch . N a początk u X X w . postaw ion o szereg p y ta ń do­ tyczą cy ch m etod y m atem atyk i. K on ieczn a stała się reflek sja nad sp e­ cy ficzn y m p ozn an iem i p rzed m iotem m a t e m a ty k i1.

2. M E TA M A TE M A T Y K A

W zasad zie do X IX w ie k u m a tem a ty k a i logika r o zw ija ły się n ie ­ za leżn ie od siebie. D opiero w sw o ich pracach B oole p o tra k to w a ł fu n - ktory zd an iotw órcze jako działania w a lg e b r z e 2. D op row ad ziło to do rozw oju lo g ik i sym b oliczn ej i w łą czen ia jej w ob ręb m a tem a ty k i. L o ­ gik a dostarczyła n arzęd zi m a tem a ty k o m , a jed n ocześn ie sam a zaczęła w y k o rzy sty w a ć m atem atyk ę. P o ja w ien ie się a n ty n o m ii w teorii m n o ­ gości C antora zapoczątk ow ało z k o lei całą serię prób u p ra w o m o cn ie­ nia w ied zy m a tem a ty czn ej i oparcia m a tem a ty k i na n iew zru szo n y ch pod staw ach . Jedną z n ich b yła p ropozycja D. ffilb erta , aby sfo rm a li­ zow ać całą m atem atyk ę, a n a stęp n ie w y k a za ć, że ta k i system jest niesp rzeczn y. Program ffilb erta , chociaż w sw ej p ierw o tn ej w ersji n ie m oże być zrealizow an y, d oprow adził do u tw orzen ia n ow ego obszaru badań .m atem atyki, k tórego p rzed m iotem sta ły się języ k i i teorie sfo r­ m alizow an e. Sw ój program H ilb ert o k reślił jako teorię dow odu lu b m etam atem atyk ę.

O becnie przez m e ta m a tem a ty k ę rozu m ie się badania w ła sn o ści str u k ­ tu r i sy tem ó w ded u k cyjn ych , a tak że r e la c ji m ięd zy teoriam i sfo r­ m a lizo w a n y m i i ich m od elam i. W szczególn ości m eta m a tem a ty k a z a j­ m u je się p rob lem am i dotyczącym i n atu ry i k ry terió w p op raw n ości d o w o d ó w m a te m a ty c z n y c h 3. Tak w ięc p rzed m io tem m eta in a tem a ty k i są język i i teorie sform alizow an e, a m etod ą — m etod a d ed u k cyjn a.

1 W ed łu g S. K a m iń sk ieg o (P o ję c i e n a u k i i k la s y f i k a c j a nauk, L u ­ b lin 1981) „nauka jaw i s ię jako: język, p ozn an ie, p rzed m iot” (s. 19). „Z ty m ro zróżn ien iem jest z w ią za n y p od ział p ro b lem a ty k i filo zo ficzn ej, która dotyczy n au k i. M ożna b o w iem .rozpatryw ać zagad n ien ia ep iste- m o lo g iczn e zw iązan e z p ozn an iem n au k i, p y ta ć się o p o zy cję n a u k i w śró d in n y ch ty p ó w w ied zy , badać źródła i g ra n ice p ozn an ia n a u k o ­ w e g o oraz jaką r z eczy w isto ścią jest n a u k a ” (s. 22). „B adania ty p u fo r ­ m aln ego ob ejm u ją logik ę nauki, se m io ty k ę logiczną, m e to d o lo g ię nauk. N a to m ia st b ad an ia ty p u filo zo ficzn eg o k o n cen tru ją isię na n a u ce jako n a p e w n y m b ycie lufo .poznaniu, d la k tó reg o szuka się jego o sta te c z ­ n y ch racji i u w a ru n k o w a ń ” (s. 33). „F ilozofię n au k i m ożna rozu m ieć w zn aczen iu szerszym . Są to rozw ażan ia o Charakterze o g ó ln y m n a ­ leżą c y m do m etod ologii, teo rii p ozn an ia n au k ow ego, ontologid p rzed ­ m iotu n au k i, logik i język a n au k ow ego, teorii k u ltu ry . Z naczenie w ęższe to teoria n a u k i jako b ytu , teoria p ozn an ia n a u k o w eg o ” (s. 37). W ty m a rty k u le przez filo zo fię n a u k i b ęd ę rozum ieć to, co S. K a m iń sk i n a ­ zyw a filo zo fią n a u k i w zn aczen iu -szerszym.

2 P e w n e p od ob n e k o n cep cje fo rm u ło w a ł G. L eibniz.

3 L o g ik a form aln a. Z a r y s e n c y k l o p e d y c z n y z z a s t o s o w a n i e m do i n ­

f o r m a t y k i i li n g w i s t y k i , pod red. W. M arciszew sk iego, W arszaw a 1987,

Ze . w zg lęd u na tę m etod ę m e ta m a tem a ty k a jest nauką form alną, w której w y k o rzy stu je się logik ę oraz m atem atyk ę.

M etam atem atyk a d zieli się na syntaktyikę sy stem ó w d ed u k cyjn ych i na ich sem an tyk ę. O becnie zatarte są g ran ice m ięd zy logiką for­ m aln ą a syntaktyiką sy stem ó w ded u k cyjn ych , g d y ż na rachunek zdań czy p red yk atorów m ożna patrzeć jak na teorie sform alizow an e. J ed n o ­ cześn ie bez logik i form aln ej n ie b yłob y w ogóle m o żliw e badanie teo rii sform alizow an ych .

M etoda dedu k cyjn a i w y k o rzy sty w a n ie m a tem a ty k i p ow od u ją z k o ­ lei, iż m eta m a tem a ty k a jest u w a ż a n a , za jed en z działów m a tem a ty k i (podobnie jak logika form alna). W b adaniach sy n ta k ty ezn y ch stosu je się algeb rę (ina p rzykład algeb rę B oole’a, teorię krat), top ologię (na p rzyk ład teorię top ologiczn ych algeb r B o o le’a), teorię m nogości. S e ­ m an tyk a sy stem ó w d ed u k cyjn ych przerodziła się w rozbudow any, sa ­ m od zieln y dział m a tem a ty k i — w teorię m od eli, w której rów n ież w y k o rzy stu je się rozm aite w y n ik i u zysk an e w e w sp om n ian ych w y żej d ziałach m atem atyk i, zw łaszcza w teorii m nogości.

N a badania m eta m a tem a ty czn e trzeba te ż p atrzeć w szerszym k o n ­ tek ście. Szczególną b ow iem rolę przy badaniu teorii sform alizow an ych i ich m od eli p e łn i teoria m nogości. D rugą cen traln ą teorią w m a te ­ m a ty ce w sp ó łczesn ej, k tó ra m a istotn e z n a c z e n ie 1 przy badaniu w ła s ­ n ości teorii sform alizow anych,, jest ary tm ety k a teo rety czn a . Obie te teorie, łą czn ie z m eta m a tem a ty k ą , są często ok reślan e jako p o d sta w y m atem atyk i. Z akresy b ad ań ty ch trzech w y m ien io n y ch teo rii w z a je m ­ n ie się przenikają: w teorii m nogości bada się w ła sn o ści m od eli teo rii sform alizow an ych , arytm etyk a teoretyczn a zajm u je się zarów no sfo r ­ m a lizo w a n y m i teoriam i arytm etyk i, jak i ich m odelam i. Trudno jest w ię c od d zielić zakres b adań, k tóre od n oszą się ty lk o d o teo rii .sform a­ lizo w a n ej od tych, k tóre dotyczą pojęcia zbioru czy liczb y n atu raln ej. S praw a jest .złożona m ięd zy in n y m i i z teg o w zg lęd u , iż teorię m od eli m ożna sform alizow ać w teo rii m nogości i trak tow ać w y n ik i w n iej u zysk an e jako tw ierd zen ia teoriom n ogościow e. Z tego w zg lęd u m a te ­ m a ty cy u ży w a ją zam ien n ie term in ów : m etam atem atyk a, logik a m a te ­ m atyczn a, p o d sta w y m atem atyk i. W arto też dodać, iż w ich pracach rzadko w y stę p u je term in m etam atem atyk a. P race z teg o zakresu z r e ­ g u ły są op a try w a n e ty tu łem : logik a m atem atyczn a. Teoria m o d eli jest trak tow an a jako osobna teoria m atem atyczn a. D zieje się tak i dlatego, że b ad an e są w n ie j bardzo sp ecjaln e w ła sn o ści m odeli. P od staw y m a tem a ty k i zaś to przede w szy stk im teoria m nogości łączn ie z b ad a­ n iam i nad m od elam i dla teo rii m nogości.

P ojęcia, k tóre są badane w m etaim atem atyce, m ożna p od zielić na d w ie grupy w zależności od tego, czy dotyczą sy n ta k ty k i teorii sfo r­ m alizow an ej czy sem an tyk i. N a jw a żn iejsze p ojęcia sy n ta k ty czn e to: (1) aksjom at, regu ły d ed ukcyjne, dow ód, k on sek w en cja , w y n ik a n ie, język sform alizow an y, m eta języ k , teoria sform alizow an a —■ są to p o ­ jęcia d otyczące stru k tu ry teo rii m a tem a ty czn ej; (2) n iesp rzeczn ość, a k sjom atyzow aln ość, n ieza leżn o ść ak sjom atów , zu p ełność, rozstrzygal- n ość — są to z k o le i .pojęcia odnoszące .się do m etod ologicznych w ła s ­ n ości teorii. P o d sta w o w y m i p ojęciam i sem an tyczn ym i są: sp ełn ian ie, p raw da, dziedzina teorii, m odel, in terp retacja, tau tologia, k ategorycz- ność. K ażd e z tych p o jęć d oczek ało się śc isłe j d efin icji sp ełn ia ją cej w y m o g i sta w ia n e d efin icjom m atem atyczn ym . M ogą w ię c być badane p rzy u życiu m etod m atem atyczno-logicz.nych. Co Więcej, m eta m a tem a ­ tyk a czy p oszczególn e jej części sa m e m ogą zostać sform alizow an e

.i trak tow an e tak, jak in n e teo rie m atem atyczn e. N ależy jed n ak к dać sobie sp raw ę z tego, że p e w n e problem y, k tóre zo sta ły p o sta w io n e w ram ach badania teorii m atem atyczn ych , p o dokonanym u ściślen iu , a n a stęp n ie form alizacji m o g ły zatracić część in tu icji, k tó re p o ja w iły się w p oczątk ow ej fa zie form u łow an ia danych zagadnień.

W m eta m a tem a ty ce u zysk an o szereg w y n ik ó w u k azu jących często zask ak u jące i n ieo cze k iw a n e w ła sn o ści teoriii sform alizow an ych . N a j­ w a żn iejsze z nich to tw ierd zen ia G odła o p ełn o ści i o nieziupełności, tw ierd zen ie o n ieu d o w a d n ia ln o ści n iesp rzeczn ości ary tm ety k i, tw ie r d z e ­ nie o dedukcji, lem at in terp o la cy jn y Graiga, tw ierd zen ie L indenbaum a, tw ierd zen ie o zw artości, tw ierd zen ie Tańskiego, tw ierd zen ie S k o lem a - L öw en h eim a. R ów n ież w ażn e zn aczen ie m ia ły p ra ce G entzena, H en - kin a, Churcha. T w ierd zen ia te u k azu ją ogran iczenia i m o żliw o ści fo r ­ m a liza cji teorii. Są w ię c w ażn e dla zrozu m ien ia isto ty m eto d y ak sjo- m a ty czn o -d ed u k cy jn ej.

W b ad an iach nad p od staw am i m a tem a ty k i rów n ież uzysk an o szereg in teresu ją cy ch w y n ik ó w . C zęść z n ich w y k o rzy stu je w is to tn y sposób w ła sn o ści teorii sform alizow an ych i ich m od eli. W arto w ty m k o n ­ tek ście w y m ien ić m etod ę b u d ow ania m o d eli poprzez k on stru k cję u itra - p o tęg i (m. in. w y k o rzy stu je się to w a n a lizie n iestan d ard ow ej), czy k orzystan ie z tw ierd zeń G odła przy badaniu teo rii m n o g o ś c i Z k o lei p race z zak resu p od staw m a tem a ty k i, k tóre dotyczą n a p rzyk ład fu n ­ k c ji rdkurencyjnych, m o d eli n iesta n d a rd o w y ch d la a ry tm ety k i, n ie ­ sp rzeczności i n ieza leżn o ści h ip otezy c o n ti n u u m i ak sjom atu w yboru sam e stw arzają n o w e pola badań dla m etam afem atyk i.

N a leży p od k reślić, że ta k rozum iana m etam atem atyk a, czy szerzej p o d sta w y m a tem a ty k i sta ły się in tegraln ą częścią m a tem a ty k i, bez k tó r e j ta d yscyp lin a n a u k o w a p raw d op od obn ie n ie m ogłab y się w d a l­

szym ciągu o w ocn ie rozw ijać. Jak już w sp om n iałam , w p od staw ach m a tem a ty k i k orzysta się z w y n ik ó w u zysk an ych w in n ych działach m a te m a ty k i. T w ierd zen ia m eta m a tem a ty ca n e są z k o lei sto so w a n e w szeregu d y scy p lin m a tem a ty czn y ch : algabTze, top ologii, an a lizie i t d .4. T rudno w yobrazić sobie dzisiaj te d ziały m a tem a ty k i bez teorii m n o ­ gości 5. M am y w ięc do czyn ien ia z n a stęp u ją cą sytu acją: zagadnienia .m etodologiczne m a tem a ty k i są badane w .samej m a tem atyce. M atem a­ ty k a w raz z logiką m atem a ty czn ą w y tw o rzy ła potrzeb n e narzędzia do badania sw oich w ła sn y ch podstaw , do zn a lezien ia o d p ow ied zi n a sze­ reg p rob lem ów m etod ologicznych. W arto podkreślić, że tak a sytu acja j e s t m o żliw a tylk o w n au k ach form aln ych . Żadna b ow iem z n a u k em p iryczn ych czy h u m a n isty czn y ch n ie jest w stan ie w y tw o r z y ć środ ­ k ó w do badania stru k tu ry sw oich w ła sn y ch teorii, p ojęć czy rozu ­ m o w a ń . P rob lem am i ty m i w tych przypadkach za jm u je się m eto d o ­ lo g ia b ąd ź filo zo fia danej d y scy p lin y n a u k o w ej.

4 Na p rzyk ład tw ierd zen ie o zw artości jest w y k o rzy sta n e w dow odzie tw ie r d z e n ia o istn ie n iu u p orząd k ow an ego ciała n iea rch im ed eso w eg o ‘elem en ta rn ie rów n ow ażn ego u p orząd k ow an em u ciału liczib r z e c z y w i­

stych.

5 W szczególn ości w d ow odach w ie lu tw ierd zeń z an alizy, to p o lo g ii czy algeb ry jest w y k o r z y sty w a n y ak sjom at w yboru. Co w ię c e j, m ożna pokazać, iż tych tw ierd zeń n ie da się ud ow od nić w teo rii bez teg o aksjom atu. T ak w ię c p rzy jęta teoria m n o g o ści m a w p ły w na -inne .teorie m a tem atyczn e.

Jak to już w y żej stw ierdzono, do m a tem a ty k i m ożna w łą czy ć b ad a­ n ia m etod ologiczne, k tóre zw y k le znajdują isię w ob szarze filo zo fii i m e to d o lo g ii danej d y scy p lin y n au k ow ej. N ie oznacza to jednak, iż filo zo fia m a tem a ty k i n ie jest potrzebna, gd yż została zastąpiona w y ­ łączn ie p rzez m eta m a tem a ty k ę. Poza ob szarem badań m eta m a tem a ty k i p o zo sta je b ow iem szereg problem ów , k tóre n ie m o g ą być ro zw ią zy ­ w a n e przy p om ocy m etod m atem atyczno-,logicznych. Z agadnienia te to przede w szy stk im k w e stie ep istem o lo g iczn e i on to lo g iczn e m a te ­ m atyk i. J est w ię c m iejsce na filo z o fię m atem atyk i.

P rob lem y, k tórym i zajm u je się filo zo fia m atem atyk i, m ożna ogóln ie p o d zielić na trzy grupy zagad n ień . Do p ierw szej n a leży zaliczyć k w e ­ stie p o w sta ją ce w m a tem a ty ce przy b a d a n iu jej pojęć. Z reg u ły p o d ­ s ta w o w e pojęcia m a tem a ty czn e k szta łto w a ły się przez d łu gi Okres czasu, fu n k cjo n o w a ły n a jp ierw w język u p o to c z n y m 6, zanim zastały sfo rm u ło w a n e ich ścisłe d efin icje czy zak resy rozum ienia. T rzeba też p am iętać, że »k od yfik ow an ie p o d sta w o w y ch teo rii m a tem a ty czn y ch w sy stem y d ed u k cy jn o -a k sjo m a ty czn e m iało m iejsce dopiero w X X w ie ­ ku. F ilo zo fia m a tem a ty k i za jm u je się w ięc an alizą ta k ich p ojęć jak: n iesk oń czon ość, ciągłość, granica, praw d op od obień stw o, k o n stru o w a l- ność, fu n k cja, liczba. W drugiej grupie zn a jd u ją się p roblem y p o w sta ­ ją ce w ted y, gd y n a m a tem a ty k ę czy jej p oszczególn e teorie p atrzy się z zew n ątrz jaiko n a p ew n ą całość. Są to przede w szy stk im k w estie, które m ają ścisły zw ią zek z zagad n ien iam i m etod ologiczn ym i m a te ­ m atyk i. W yłan iają się one g łó w n ie ,przy in terp reta cji tw ierd zeń m eta - m atem atyczn yoh . T ym i zagad n ien iam i są: p ra w d ziw o ść w m atem a ty ce, form alizacja i ak sjo m a ty zo w a ln o ść n iefo rm a ln y ch teo rii m a tem a ty cz­ nych, próby form alizacji n a szy ch in tu icji, prob lem an tyn om ii, stosunek m a tem a ty k i do lo g ik i, zak res sto so w a ln o ści m eto d y d ed u k cy jn o -a k sjo - m atyczn ej. T rzeba od razu zaznaczyć, że znaczna część w y m ien io n y ch tu zagad n ień jest badana w m etam atem aityce. Jed n ak że stosow an a tam m etod a p ozw ala tylk o na czę śc io w e ro zw ią zy w a n ie ty ch zagadnień. S zczeg ó ln ie w ażn e w tej g ru p ie są k w estie, k tóre p o w sta ją przy in te r ­ p reta cji w y n ik ó w u zysk an ych w m etam atem atyce. Istotna jest b ow iem próba O kreślenia zakresu m eto d y d ed u k cy jn o -a k sjo m a ty czn ej, a ty m sam ym isto ty m atem atyk i.. Ma to zw łaszcza zn a czen ie d zisiaj, gdy coraz p o w szech n iej k orzysta się w m a tem a ty ce z m aszyn cy frow ych .

W trzeciej gru p ie są zagad n ien ia ep istem o lo g iczn e i on tologiczn e m atem atyk i. N a jw a żn iejszy m p rob lem em ep istem o lo g iczn y m jest o c z y ­ w iśc ie k w estia p ozn aw an ia p rzed m io tó w m a tem a ty czn y ch i łączący się z n ią spór m ięd zy aprioryzm em a aposterioryzm em . W ty m obszarze badań zn ajd u ją się też próby od p ow ied zi na p y ta n ie o istn ien ie poza- m a tem a ty czn eg o k ryteriu m p raw d ziw ości tw ierd zeń m a te m a ty c z n y c h 7 i o p raw om ocn ości ak sjom atów . R ó w n ież zastosow an ia m a tem a ty k i

6 O becnie często w n o w o p o w sta ją c y c h teoriach m a tem a ty czn y ch p o jęcio m n a d a je się n a zw y w z ię te w p ra w d zie z język a potoczn ego, a le n ie m ające żadnego zw iązk u z n o w y m ic h rozu m ien iem w m a te m a ­ tyce, n a p rzyk ład ciało, p ierścień .

7 W danej teo rii m a tem a ty czn ej tw ierd zen ie jest praiw dziw e, jeżeli m a dow ód. M ożna zadać sobie p y ta n ie, czy istn ieją jeszcze ja k ieś in n e k ryteria p ra w d ziw o ści tw ierd zeń w y k ra cza ją ce poza te o r ie i o d w o łu ­ jące się do fa k tó w pozam atem atyczn ych .

w zb u d zają cały ' szereg k on trow ersji; z k tórych n a jw a żn iejsze to o k re­ ślen ie relacji m ięd zy m a tem a ty k ą a in n y m i n au k am i i w ią żą ce się z tym p ytan ie, czy istn ie je m a tem a ty k a sta so w a n a jako odrębna d y scy ­ plina, czy te ż m am y do czyn ien ia ty lk o z za sto so w a n ia m i m atem atyk i. Istotn ą k w estią jest rów n ież problem , czy m a tem a ty k ę się tw orzy, czy odk ryw a. N atom iast Zagadnienia on to lo g iezn e dotyczą przede w s z y s t­ k im isto ty i sposobu istn ien ia p rzed m io tó w m a tem a ty czn y ch oraz ich od n iesien ia do rzeczy w isto ści p ozam atem atyczn ej. W zw iązk u z ty m i p rob lem am i odżyw a też stary spór o unirwerisalia, zw łaszcza w k o n ­ tek ście k w e stii istn ien ia zbiorów ; a tak że k on trow ersje d otyczące n ie ­ skończoności. W arto w ty m m iejscu zau w ażyć, że ja k k o lw iek m ożna w y ró żn ić g ru p ę p rob lem ów o n to lo g iczn y ch m a tem a ty k i i od d zielić ją od k w e stii ep istem ologiczn ych , to z regu ły przy badaniu zagad n ień ep istem o lo g iczn y ch trzeba k orzystać ż w y n ik ó w z zakresu o n tologii i od w rotn ie.

R ozw iązan ia w sk a za n y ch p o w y żej k w e stii z zakresu filo z o fii m a te ­ m a ty k i p ozw alają o d p o w ied zieć na cen traln e zagad n ien ie, a m ia n o ­ w ic ie na p y ta n ie o isto tę m atem atyk i.

W obręb filo zo fii m a tem a ty k i jest rów n ież często w łączan a a k sjo ­ logia m atem atyk i, w ram ach której d ysk u to w a n e są zagad n ien ia d o ­ tyczące W artości poznania m a tem atyczn ego. R ozw aża się też p e w n e k w e stie estetyczn e.

T akie O kreślenie zakresu badań filo zo fii m a tem a ty k i św ia d czy o tym , że jest to (sam odzielna, odrębna d yscyp lin a filozoficzn a. W ym ien ion e p rob lem y n ie m ogą być b o w iem rozw iązan e w m eta m a tem a ty ce, se ­ m io ty ce czy m etod ologii. Jed n ocześn ie n ie w y sta rczy zastosow ać ty lk o rozw iązan ia z m eta fizy k i i teo rii p ozn an ia d o on tologiczn ych i e p is te ­ m ologiczn ych p rob lem ów m atem atyk i, gdyż te o sta tn ie m ają śc isły zw ią zek z teoriam i m a tem a ty czn y m i i pobieżna znajom ość m a tem a ty k i n ie w y sta rcza n ie ty lk o do ich rozw iązania, ale często n a w et do p o ­ praw n ego sfo rm u ło w a n ia . T rzeba w y ra źn ie podkreślić, że filo zo fia m a ­ tem a ty k i poprzez zakres zagadnień, k tórym i się zajm uje, od d ziela się zarów no od m e ta m a tem a ty k i i m etod ologii m atem atyk i, jak i od m e ta ­ fizy k i czy teorii poznania. N ie oznacza to jednak, b y n ie b yła p o ­ w ią za n a z ty m i dyscyp lin am i. P rześled źm y o b ecn ie te zależności.

C zęść p rob lem ów ro zp a try w a n y ch w m e ta m a tem a ty ce w y n ik n ęła przy bad an iu zagad n ień d otyczących n atu ry poznania m a tem a ty czn eg o i isto ty o b iek tó w m atem a ty czn y ch . W szczeg ó ln o ści program y fo rm a ­ lizm u, logicyzm u i intuicjcm izm u, które d oprow adziły do p ow stan ia i rozw oju m eta m a tem a ty k i, op ierały się na p e w n y c h założeniach o n to ­ logiczn ych i ep istem o lo g iczn y ch (zw łaszcza in tu icjon izm ). J ed n o cześn ie przy próbach ro zw ią zy w a n ia k w e stii ep istem o lo g iczn y ch i ontologicz« nych , m ogą być pom ocne w y n ik i u zysk an e w m etam atem atyce. N a p rzykład n iezu p ełn o ść tak ich .podstaw ow ych teo rii m a tem a ty czn y ch , jak arytm etyk a P eano i teoria m nogości, dostarcza argu m en tów za, bądź p rzeciw p ew n ym k on cep cjom z zakresu ontologii.

N iek tóre p rob lem y m etod ologiczn e p o ja w ia ją się zarów no w m e ta ­ m a tem a ty ce, jak i w filozofii, m atem atyk i. W .m etam atem atyce są on e ro zw ią zy w a n e przy pom ocy m etod y aksjom aityezno-dedukoyjnej. M e­ toda ta jednak n ie pozw ala, o czym już w sp om n iałam , na rozw iązan ie w szy stk ich k w estii, k tóre p o w sta ją przy bad an iu teg o typ u prob lem ów . N a p rzyk ład zagad n ien ie p ra w d ziw o ści tw ierd zeń m atem atyczn ych po­ ja w ia się w m eta m a tem a ty ce. Z ostała tu w y p racow an a d efin icja p ra w ­ dy (d efin icja T arskiego) i u d ow od nion o szereg tw ierd zeń d o tyczących

w ła sn o śc i itego p ojęcia. T rzeba jed n ak p a m ięta ć, ż e d efin icja T ańskiego u jm u je ty lk o część in tu icji, które w ią żem y z p o jęciem pfaw idy. Jest poza ty m osadzona w całym k o n tek ście -teorii m o d eli dla teo rii sfor­ m a lizo w a n y ch . P rzy jęcie d efin icji p raw d y T ańskiego n ie rozw iązu je

w ię c szereg u problem ów , k tóre dotyczą p ra w d ziw o ści tw ierd zeń m a te ­ m atyczn ych .

W arto dodać, iż m oże stać s ię . p rob lem em z a k la s y fik o w a n ie p e w ­ n y ch k w e stii i stw ierd zen ie, czy n ależą do m eta m a tem a ty k i czy do filo z o fii m atem atyk i. T w ierd zen ia m eta m a tem a ty czn e (na przykład tw ierd zen ia łim ita c y jn e ) m a ją też is-woją o k reślo n ą treść filozoficzn ą. P o w sta je tu jed n ak n ieb ezp ieczeń stw o ek stra p o lo w a n ia ty c h tw ierd zeń p oza m eta m a tem a ty k ę czy n a w e t filo z o fię m a te m a ty k i i w y ciągan ia z n ich zb y t daleko id ą cy ch w n iosk ów . P om ija isię to, że d otyczą on e ty lk o śc iśle o k reślo n y ch języ k ó w sform alizow an ych i teo rii fo rm u ło ­ w a n y ch w tych język ach lub m o d eli ta k ich t e o r i i 8.

Przy ro zw ią zy w a n iu filo zo ficzn y ch p rob lem ów m atem atyk i, zw łaszcza ty c h zaliczon ych do p ierw szej grupy, n ie m ożn a p o m ija ć w y n ik ó w u zy sk a n y ch w isamej m a tem a ty ce. M ogą o n e b o w iem św iad czyć na k orzyść p e w n y c h rozw iązań , jed n ocześn ie w jak im ś z a k resie e lim i­ n u jąc in n e. Zarazem trzeb a p od k reślić, że n ie m ożn a rozp atryw ać p ojęć m a tem a ty czn y ch i tw ierd zeń , m ó w ią cy ch o ich w ła sn o ścia ch , w o d erw a n iu od teo rii m a tem a ty czn ej, w k tórej dane p o ję c ie fu n k c jo ­ n u je. Sam a jednak teoria m atem atyczn a n ie m o że d ać n am rozw iązań z zakresu filo zo fii. K o n ieczn e sta je się w y k o r z y sta n ie m e ta fiz y k i ;i teo rii poznania. Trudno b o w iem p rzy stęp o w a ć do b ad an ia filo zo ficzn y ch p ro b lem ó w m a te m a ty k i bez chociażby zary so w a n ej ty lk o filozoficzn ej w iz ji otaczającej n as rzeczy w isto ści. Z ‘ d rugiej strony, p rzen iesien ie szczeg ó ło w y ch rozw iązań z Zakresu filo z o fii d o p rob lem ów z filo zo fii m a tem a ty k i b ez u w zg lęd n ien ia -specyfiki sa m ej m a tem a ty k i m o że do-, p row ad zić d o g ło szen ia pogląd ów , k tóre n ie b ęd ą u jm ow ać isto ty m a te m a ty k i w sp ó łczesn ej. W arto :też dodać, że p rzed m io ty m a tem a ty czn e m ożna p otrak tow ać jako od ręb n ą k la s ę o b iek tó w . T ak ie p o d ejście jest uzasad n ion e ty m , że m a tem a ty k a m a sw o ją w ła sn ą sp e c y fik ę -w yróż­ n ia ją cą ją sp ośród in n ych nauk, T ym 5 sam ym rozw iązan ia - dotyczące istn ien ia różnych o b iek tó w p rop on ow an e w sy ste m a c h m e ta fiz y c z n y c h n ie m u szą o d n osić się do p rzed m io tó w b ad an ych przez m atem atyk a.

F ilozofia- m a tem a ty k i, -jakkolw iek m oże b yć ; u w a ż a n a :.z a odręb n ą d y scy p lin ę filozoficzn ą: je s t p ow iązan a z jednej· istrany 'z- 'm a tem a ty k ą i m eta m a tem a ty k ą , a . z d ru giej za ś z m e ta fiz y k ą , i te o r ią , poznania.: R odzi się w ięc. p y ta n ie o m eto d ę u p raw ian ia filo zo fii m a tem a ty k i. ' N ie m oże to być, jak w m eta m a tem a ty ce, m eto d a a k sjo m a ty czn o -d ed u k - cyjna. P rzy p o m o cy tej m eto d y .zostałab y b o w ie m .stworzona ..p ew ń a teoria form aln a, która ' w gru n cie rzeczy m ó w iła b y bardzo· m ało , na: tem a t is to ty m a tem a ty k i. W filo z o fii m a tem a ty k i, pod ob n ie, ja k w . in« n y ch n au k a ch filo zo ficzn y ch , d ok o n u je się .refleksji'· k ry ty c a n o -w y ja ś- n iającej, -analizuje się pojęcia, korzysta, się, obok rozu m ow ań (deduk­ cy jn y ch , ró w n ież %■ -niededukcyjnych, a Więc ty lk o u p raw dopodabniac

jących głoszon e p o g lą d y . R ów n ież .sposób i zak res w yk orzystyw an ia- wymiików z- m a tem a ty k i i z filo zo fii w y m aga u śc iśle n ia i dok ład n ego z a ry so w a n ia , -Szczególnie w k w e stii w ykorzystania- w y n ik ó w , m a te m a ­ ty czn y ch trzeba p a m ięta ć, że żadna z teorii m a tem a ty czn y ch , ż a d n e 8 Por. A. L em ań sk a, T w i e r d z e n i e . S k o le m a ^ L ö w e n h e im a i jego. kęn*

-z tw ierd -zeń n ie m oże dostarc-zyć be-zp ośred n io ro-zw ią-zania d an ego p ro ­ blem u filo zo ficzn eg o m a t e m a ty k i9. J ed n o cześn ie (powiązania m ięd zy pojęciam i, sam a -budoiwa p oszczególn ych teo rii m a tem a ty czn y ch , w k tó ­ rych badane są in teresu ją ce mas p ojęcia, m a ją znaczący w p ły w na rozu m ien ie ich istoty. Jak się w y d a je, p rzy w y p ra co w a n iu m eto d y p o ­ zw a la ją cej n a w y k o rzy sty w a n ie w y n ik ó w я m a te m a ty k i w filo z o fii m a tem a ty k i m oże pom óc m etod a im p lik a cji ontologiczinych typ u re d u k ­ cy jn eg o stw orzona przez K. K łó s a k a 10. M etoda ta w p ra w d zie od n osi się do filo z o fii (przyrody, m oże b y ć jednak, z k o n ieczn y m i m o d y fik a ­ cjam i, zastosow an a d o b u d ow an ia filo zo fii m atem atyk i.

R eflek sja filozoficzn a -może od n osić się do p e w n y c h fa k tó w d o ty ­ czących m a tem a ty k i, p o szczeg ó ln y ch jej .teorii czy pojęć. F a k ty te n a ­ leży zin terp retow ać p rzy p om ocy zasad m eta fizy czn y ch 1-ufo ep istem o - logiezn ych . D la tak ich zin terp retow an ych fa k tó w m ożem y iszukać im p lik a cji o n to lo g iezn y ch ty p u red u k cyjn ego, k tó re b ęd ą w y ja ś n ia ły ich istotę, a ta k że p o d a w a ły ich p rzyczyn y.

P rzy p orów n an iu filo zo fii m a tem a ty k i z filo zo fia m i p oszczególn ych nau k p rzyrod n iczych n a su w a ją się d w ie zasad n icze różnice. P ierw sza jest n a stęp u jąca: część p rob lem ów m etod ologicznych, k tó re są tr a d y ­ c y jn ie ro zw ią zy w a n e w filo z o fii d an ej d y scy p lin y n a u k o w ej, w eszła w obręb m eta m a tem a ty k i, a ty-m sam ym p o zo sta je w p e w n y m za­ k resie poza filo zo fią m a tem a ty k i. C hodzi tu p rzed e w szy stk im o k w e ­ stie d o ty czą ce struktury teorii, -stosow anych rozu m ow ań dtp. D-ruga różnica od n osi -się rów n ież do zakresu filo zo fii m a tem a ty k i. K o n ieczn e sta ło się (bowiem w łą c z e n ie do filo z o fii -m atem atyki zagad n ień o n to ­ logiezn ych , k tó re w p rzyp ad k u fiz y k i czy b io lo g ii s ą ro z w ią z y w a n e zasad n iczo w filo z o fii -przyrody (n ieożyw ion ej lub o ży w io n ej), a -nie w filo zo fii fizy k i lu-b b io lo g iin . W p raw dzie w filo z o fii d an ej n a u k i przyrod n iczej m oże p o ja w ić się problem term in ó w teo rety czn y ch , to jednak -kw estie t e n ie d otyczą bezp ośred n io istn ien ia -i n atu ry p r z e d ­ m io tó w 'bada-nych przez fizy k a czy biologa. J ed n o cześn ie k w e s tii is tn ie ­ n ia i p o zn a w a n ia p rzed m io tó w m a tem a ty czn y ch n ie da isię sp row adzić tylk o d o zagadnienia term in ó w teo rety czn y ch , (gdyż p rzed m ioty m a te ­ m a ty czn e sta n o w ią -klasę o b ie k tó w różnych od fizyczn ych . Ta-kie s p o j­ rzen ie n a zakres filo z o fii m a tem a ty k i poz-wa-la jed n ocześn ie za sto so w a ć w n ie j m etod ę im p lik a c ji on tologieznych.

N-a zak oń czen ie w a rto u czy n ić n a stęp u ją cą uw agę. O tóż p rzegląd n a jw a żn iejszy ch sta n o w isk w filo zo fii m a t e m a ty k i12 w sk a zu je na w y ­ czerp y w a n ie się k la sy czn y ch (jak m ożn a b y ło b y je określić) rozw iązań. Obeen-ie staje się k o n ieczn e w y p ra co w a n ie n ow ych p ogląd ów -na is-totę

9 M ożna d o m a tem a ty k i o d n ieść p ogląd y K. Kłósaika d otyczące n a u k przyrodniczych, por. K. K łósak, Z teo rii i m e t o d o lo g i i filo zofii p r z y ­

ro d y, P oznań 1980, 13— 41.

10 Tamże,, 123— 160.

11 Por. Sz. W. Sla-ga, 'What th e P h il o s o p h y of B io lo g y Is an d Should

Be?, St. P h il. C hrist. 25 (1989)2, 155—-175. W a rty k u le została p rzed ­

sta w io n a koncep cja filo zo fii b iologii oraz rela cje m ięd zy biologią· teo-'- retyczmą, filo zo fią b io lo g ii oraz filo zo fią p rzyrod y o ży w io n ej (-biofilo- zofią). P rzed sta w io n e tu p o g lą d y m ożna o d n ieść d o filo z o fii in n ych n auk przyrodniczych.

12 G łó w n e k la sy czn e k ieru n k i w filo zo fii m a te m a ty k i to: p latonizm , em p iryzm , k o n w en cjo n a lłzm , in tu iejom zm , logieyzm , form alizm , k o n ­ stru k ty w izm .

m atem atyk i, u w zg lęd n ia ją cy ch w w ięk szy m stopniu rozw ój m a tem a ­ ty k i w sp ó łczesn ej, p o w sta w a n ie n o w y c h teorii, w y k o r z y sty w a n ie k o m ­ p u terów , zastosow an ia m a tem a ty k i w n o w y c h Obszarach w ied zy . Być. m oże, w zb u d ow an iu n o w ej k o n cep cji p om ocn a ok aże się m etoda im p lik a cji on to lo g iczn y ch ty p u 'redukcyjnego.

M A TH EM A TIC S — M ETA M A TH EM A TIC S — PH IL O SO PH Y OF M A TH EM A TIC S

S u m m a r y

The aim of th is pap er is to d iscuss d ifferen ces b e tw e e n th e p h ilo ­ sophy o f m a th em a tics and th e m etam ath em atics. M etam ath em atics is th e th eory w h ich d eals w ith form alized m a th em a tica l th eo ries. T h ese form alized th eo ries can b e th e su b ject o f m a th em a tica l in v e stig a tio n s u sin g m ore or ilesis ad van ced m a th em a tica l th eory and m eth od s. So m eta m a th em a tics is a branch of m ath em atics.

The m a in su b ject o f p h ilo so p h y o f m a th em a tics is th e investigation., o f o n to lo g ica l and ep istem o lo g ica l problem s. T hey are: h ow d o m a th e­ m a tica l ob jects e x is t and h ow can w e get to k n o w them . I think, th e m eth o d o f on to lo g ica l im p lica tio n s of th e red u ctiv e n a tu re {pro­ posed b y K. K łósak ) can be used in th e p h ilo so p h ica l in v estig a tio n s, con cern in g m ath em atics.