Tarcza kwadratowa obciążona wewnątrz jej obszaru

Z E S Z YT Y N A U KO WE POLI TE CH N IK I ŚLĄSKIEJ Seria: BUDOW NI CT W O 2

F ELI K S A ND ER M AN N

T AR CZ A K W A D R A T O W A O B C I Ą ŻO NA W E W N Ą T R Z JEJ OBSZA RU

1. Uwagi w s tę p ne

Tarcze obciążone w z dł uż brzegów by ł y p r ze d mi ot em badań wielu prac teore­

tycznych. I ch .obliczenie p r z ep r ow ad za się p r z y z a st osowaniu znanych metod teorii sprężystości. N at om i as t nie zostały do tej p o r y opracowane ogólne , s p os ob y oblicz an ia tarcz o bc iążonych zarówno w e w n ąt r z ich obszarów jak i w z d ł u ż brzegów.

R o z w i ą z a n i a d la k i l k u p rz yp ad k ów tego typu *tarcz zostały przytoczone w p r a c y [

1

łącznie n a brzegach.

W p r a c y [z] został p o d a n y w a r i a c y j n y sposób oblicz an i a tarcz p r o s t o k ą t - , n y c h dla szcze gó l ny ch p r zy p ad kó w obciąż e ni a siłami skupionymi w ewn ą tr z ich obszarów. Praca [3] p r ze ds ta w ia sposób oblic za ni a tarczy obciążonej d o w o l ­ n ie w z d ł u ż brzegów oraz dodatkowo w e w n ąt r z jej obszaru pojedynczą siłą

skupioną. Ob li c ze ni e to p rz ep r o w a d z a się pr z ez n a łożenie odpowiedniego roa- w i ą z a n i a wa ri ac y j n e g o uzyskanego w p ra cy [2] oraz rozwi ąz a ni a r óż ni c ow eg o

tarc zy obciążonej w y łą c z n i e n a brzegu.

P odane w pr z yt o c z o n y c h prac ac h sposo b y oblic za n ia tarcz dla r ó w n o c z e ś ­ n ie w y s t ę p u j ą c y c h o bciążeń we wn ę t r z n y c h i b r ze go w yc h m a j ą tę niedogodność,

że w y m a g a j ą n a k ł a d a n i a n a siebie r o z w ią za ń uz ys k an yc h różnymi metodami, co u t r u dn i a m.in. ocenę w ie lk o ś c i błędów ob arczających w yp adkowe rozwiązanie.

N a innej drodze otrzymano rozwiązanie kwadratowej belki-ściany o b c ią żo ­ nej w e w n ą t r z jej obsza ru siłą skupioną, p o dane w p r a c y [4]. Stan n a p r ę ż e ­ n i a w tej belc e- ś ci an ie określono p r z y za s to sowaniu m e to dy różnic sko ńc zo ­ n ych, uważając tarczę kw ad ra t o w ą za z ł o żo ną z d wóch tarcz prostokątnych, p o ł ą c z o n y c h ze sobą w m i e js cu w ys tę p o w a n i a w e wn ęt r zn eg o obciążenia.

W n i n i e j s z y m artykule p o d a j e się sposób obliczania tarczy kwadratowej d la w e wn ę tr zn eg o obciąż en i a p r z y zastosowaniu ogólnego r o związania różn ic o ­ w e g o tarczy kwadratowej, po d an eg o dla dowolnego obciążenia b rz eg ow e go w p r a c y [ i j .

W p r z y p a d k u d y sp on o wa ni a ogól ny m roz wi ąz an i em dla tarczy prostokątnej s posób ten może znaleźć również zastosowanie prz y oblic z an iu tarcz p ro s to ­ k ą t n yc h dla o b c i ą że ń wewnętrznych.

4 Feliks Andermann

2. Tok po s tę p o w a n i a

Załóżmy, że p o s z u k i w a n y jest stan n a p r ę ż e n i a dla t a r c z y kwadratowej p o ­ k azanej n a rys. 1. W y p a d k o w ą w e we nę t r z n e g o obciążenia oz naczymy przez P.Ob­

ciążenie działaj ą ce n a tarczę r o z k ł a d a m y n a dwa składowe obcią że ni a zgod­

nie z rys. 2. Tarcza I może być o bl iczona p r z y u ż y c i u tablic zawartych w p r a c y [1], p o n i e w a ż jest podd an a d z i a ł a ni u w ył ą cznie sił b r z e g o w y ch .R o zw ią ­ zania dla t arczy II p os zu k i w a ć b ę d z i e m y w n a s t ę p u j ą c y sposób.

R oz pa t r z y m y tarczę p r o s t o k ą t n ą III złoż on ą z d wóch tarcz kw ad r atowych (rys. 3a). Styczne siły stykowe gw ar a ntujące ciągłość tarczy prostokątnej w p r z e k r o j u stykowym (rys. 3b) określa się za p o m o c ą równań sposobu skła­

da n ia tarcz p o danego w p ra c y [ i ] . fo ich w y z n a c z e n i u stan n ap r ęż e n i a w skła­

d ow yc h t arczach k w a d r at ow yc h może być o k r e śl o ny p r z y zast os ow a ni u tablic p r a c y [1], dzięki temu że tarcze te są obciążone wy ł ąc zn ie n a brzegach.

Stan n a p r ę ż e n i a w tar cz a ch s kł a do wy ch określa s ta n n a p r ę ż e n i a w tarczy pro­

stokątnej III.

W na st ęp n ej fazie o b l i cz e ń w y d z i e l a m y z tarc zy III obszar k wa dr a t o w y u- s y t u ow an y w sto s un ku do w ew nę t r z n e g o o b ci ą że ni a jak w prz y pa dk u tarczy II z r y s . 2 (rys. 4a). N a b rzegi tego w y c i n k a d z i ał aj ą znane z r o zw ią za n ia tar­

c z y III n a p r ę ż e n i a 6 y oraz T ( r y s .4 b) . N a stan n a p r ę ż e n i a t arczy IV z rys.

4b o kr eś l o n y n a po d stawie r oz wi ą za ni a tarc z y III-, n a k ł a d a m y obecnie ¿tan n a p r ę ż e n i a t a r cz y kwadratowej V pokazanej n a rys. 5. Obciąż e ni e brzegów tej tarc zy st a no wi ą odwrócone n a p r ę ż e n i a b r zegowe 5 1 T tarczy IV oraz brze- gowe si ły P w ys tę p u j ą c e w tarc zy II. Sta n n a p r ę ż e n i a d la tarczy V można r ó w ni e ż określić p r z y u ż y c i u tablic p r z y [i]. Supe r po zy cj a stanów n a p r ę ż e ­ n i a tarcz IV i V prow ad zi do stanu n a p r ę ż e n i a w ta rczy II.

Opis an a droga oblicza ni a t a rczy kwadratowej obciążonej w e w ną t rz jej ob­

szaru s pr owadza się zatem do s to so wa n ia ogólnego r o zw ią za n ia tarcz y k w a d r a ­ towej dla o bciążeń brzegowych.

3. Pr zykład kwadratowej be lk i- ś c i a n y obciążonej w e w n ę t r z n a siłą skupiona P o s z u k u j e m y rozwi ą za ni a d la kwadratowej b e l k i- ś ci an y pokazanej n a r y s .6.

Sk ładowe obciąże n ia I i II uwi do c zn io no n a rys. 7. Dla tarcz y I podano na r y s . 8 w yk re s n a p r ę ż e ń w p r z e k r o j u p o ł o w i ą c y m długość tarczy. Wartość tych n a p r ę ż e ń obliczono p r z y u ż y c i u tablic p r a c y [i] .

Obecnie s z uk am y r o zw ią z an ia dla tarczy pr os t okątnej pokazanej n a r y s . 9.

D l a dolnej kwadratowej ta rczy składowej (rys. 10) obl ic za m y poziome prze­

m i e s z c z e n i a pun kt ów br z eg o w y c h 0 do IV, p r z y w y k o r z y s t a n i u tabl.33 pracyfl].

u Q = (-0,13462 + 0,25 V) ^ ,

Uj = 0~O,13818 + 0,25 V ) » (1)

Tarcza k wa dr a t o w a o b c i ąż on a w e w n ą t r z jej obs za r u 5

Ujj = (-0,14896 + 0,25 V ) , (1)

U j I T = (-0,16081 + 0,25 V) ,

U ir = (-0,14512 + 0 , 2 5 V ) ^ •

Uwzględn ia ją c w i e l k o ś c i (1) w r ó wn an i a c h spos ob u skł a da ni a tarcz (3-5) p rzytoczonych w p r a c y [1] oraz p rz yj m uj ąc n o r m al ne siły. st y ko we równe zeru otrzymuje się n a s t ę p u j ą c e w a r t o ś c i st yc zn y ch sił s t y k ow yc h (rys. 11)

X Q = 0 , 0 8 7 6 8 P - 0 , 26 6 97 V P,

X 1 = - 0 , 1 7 44 9 P +0, 51 57 9 V P,

X 2 = 0,18 82 9 P -0,5 53 76 V P (2)

X ? = - 0 , 1 4 8 2 0 P +0,5 00 0 8 V P,

X 4 = 0,24392 P - 0,56892 V P.

Z tarc zy pros to ką tn e j (rys. 9) w y d z i e l a m y k w a d r a t o w y obszar p o k a z a n y na rys. 12, p o d d a n y dz ia ł a n i u b r z e g o w y c h n a p r ę ż e ń oraz T . Wykr e s na p rę ż e ń G x dla tego obs za ru u z y s k u j e się n a p od stawie r o z w i ą z a n i a kw ad ra t o w y c h tarcz s k ła do w yc h z rys. 11.

Tarcza k w a d r a t o w a ob ci ą ż o n a zgodnie z rys. 13 może być ob li cz o na za po­

m oc ą tablic p r a c y [1J . Sup er po nu j ąc u z y s k a n y dla niej w y kr es n a p r ę ż e ń 6 X z w yk resami 6 X o k re ś lo ny mi dl a w y c i n k a k w a d r at ow eg o z rys. 12 oraz dla tar­

czy I z rys. 8, o t rz y m a m y o st a te c z n y w yk r es n a p r ę ż e ń €>x dla tarczy z rys .6 w postaci pokazanej n a rys. 14.

Przyjmując w a r t o ś ć w = g , otrzymuje się dla s k r a j ny c h punk tó w p i o n o w e ­ go pr ze k ro ju środko w eg o b el ki - ś c i a n y

c l = - ° . °9 9 I s = - 0. 9 9 I r ,

(3)

V w P P

° x =

°’272

2*72

W p r a c y [4] uzyskano d la tych samy ch punk tó w iden ty cz ni e obciążonej beł- ki-ściany, p r z y za st o sowaniu si atki r óżnicowej o 36 oczk ac h

g x =

~1»01

6l

^2'56

6 F eliks An d ermaim

W a r t o ś c i (3) otrzymane dla siatki różnicowej o 100 oczk a ch s ą oczywiś­

cie obarczone mn ie j s z y m i błędami.

P os łu g u j ą c się m e t o d ą ek s tr ap ol a cj i ([5] atr. 151) o bl ic zy m y d o k ł a dn ą wńrtość n ap r ę ż e n i a S w p un kt a c h V" i V.

Zakładamy, że w i e l k o ś ć b ł ę d u jest pr o po r c j o n a l n a do k w a d ra tu długości k r o k u różnicowego. W s p ó ł c z y n n i k pro po rc jo n al no śc i o zn ac zy m y przez k.

D l a siat e k o 36 i 100 oczk ac h b ł ę d y w y n i o s ą odpowiednio

= k (|) ,

2 (5)

e 2 = k (yjj) .

D o k ł a d n ą w a r t o ś ć n a p r ę ż e n i a 6 X mo żn a zatem w y r a zi ć nastę p uj ąc o

v w

< d o k ł " 2 '56 h + k »

(

)

ff^dokł3 2*72 Ir + k •

Z r ó w n a ń (6) obl ic z ym y

k = 5 ^ ’ *

(7) O B1 F

x ,dokł 3 2 '81 T I •

Anal og i cz ni e ot rz y ma my

< d o k ł = 0.<®.ii • taj

P or ów n an ie w a r t o ś c i (3) z (7) i (8) w s k a zu je n a to, że w a r t o śc i n a p r ę ­ żeń u zyskane dla siatki różnicowej zastosowanej w p ra cy £l] o dz na c z a j ą się du żą dokładnością.

W sposób p o d a n y n a przykł a dz ie tarczy z rys. 6 określono rozwiązania dla w s z y s t k i c h tarcz po ka za n y c h n a rys. 15. Rozwi ą za ni e tarczy I otrzymano ja­

ko sumę r o z w ią za ń uz y sk a n y c h dla tarcz z rys. 12 i 13.

S up er ponując rozwi ą za ni e tarc zy z rys. 8 z rozwiąz an i am i tarcz z r y s . 15 m o ż n a w y z n ac zy ć stany n a p r ę ż e n i a w b e lk ac h - ś c i a n a c h dla w e wn ę tr zn eg o obcią- żenią skupionego w p u n kt a ch p r z e k r o j u środkowego, o dl egłych od siebie o H •

Tarcza k w a d r a t o w a o b c i ą ż o n a w e w n ą t r z jej obsz ar u 7

4. Przykład k w ad ra to w ej ś c i a n y obclażone.1 r ó w no m ie rn ie w z d ł u ż p io no w eg o przekro.iu środk o we go

W p r a c y [1J p o da ne zosta ło r o z wi ąz an i e ś ciany o bciążonej w p i o n o w y m jize- kroju ś r o d k o w y m r ó w n o m i e r n i e r o z ł o ż o n ą s i ł ą p i o n o w ą o intensy w no śc i p (rys.

16).

Uzyskano Je p r z ez n a ł o ż e n i e r o z w i ą z a n i a śc is ł eg o ta rczy n i eo g ra ni cz o ne j na rozwiązanie r óż n i c o w e t a r c z y obciążonej n a b r z e g a c h ([1] str. 110).

Chcąc ot rz y ma ć r o z w i ą z a n i e p r z y za st os o w a n i u sposo b u po d an e g o w n i n i e j ­ szym artykule, d o k o n u j e m y r o z k ł a d u ob ci ą ż e n i a śc iany z rys. 16 n a obciąże­

n i a składowe w g rys. 17, zastęp uj ąc p r z y tym obcią że ni e ciągłe , p siłami skupionymi w w ę z ł a c h si atki ró żn ic o we j ( p A oraz 0,5 p A ) . T a rc zę I z rys.

17 można obl ic zy ć za p o m o c ą tablic p r a c y [i] , zaś tarczę II p r z y użyciu ros- wiązań s k ła do wy c h p o d a n y c h n a rys. 15.

H a drodze s u p e r p o z y c j i o d p o w i e d n i c h w y k r e s ó w 6 X o t r z ym a my dla ta rczy z rys. 16 w yk re s 6 X z usk ok am i , p o k a z a n y n a rys. 18 (dla V = g ) . O s t a t e c z n y wykres u w z g l ę d n i a j ą c y c i ą g ł oś ć o bc ią ż e n i a p uzy sk u je się poł ow i ąc w y s t ę p u ­

jące uskoki. W y k r e s ten p r a k t y c z n i e n ie z al eż y od przyjętej w a r t o ś c i w s p ó ł ­ czynnika P o i s s o n a V .

Dla p o r ó w n a n i a p o d a n o w n a w i a s a c h w a r t o ś c i n a p r ę ż e ń o t rz ymane n a p o d s t a ­ wie rozw ią za n ia u z y s k a n e g o w p r a c y [ i ] . W i d o c z n a Jest d o b r a zgodność obu rozwiązań.

5. Przykład k w ad ra to w ej b e l k l - ś c i a n y obciążonej równ o mi er ni e w połowie w y ­ sokości

Obliczenie b e l k i - ś c i a n y d l a dz i ał a j ą c e g o n a d owolnej wy so k o ś c i , w e w n ą t r z jej obszaru, p i o n o we g o o bc i ąż e n i a r ów no m i e r n e g o może b yć p r z e p ro wa d zo ne w sposób p o d a ny tutaj d l a o b c i ą ż e n i a w p o ł ow i e w y s o k o ś c i b el ki (rys. 19).

Po do ko naniu r o z k ł a d u o b c i ą ż e n i a n a s kładowe ob ci ą ż e n i a zgodnie z rys.

20, rozpatruje się ta rczę p r o s t o k ą t n ą złoż on ą z d w ó c h tarcz kwadratowych, obciążoną w g rys. 21. N o r m a l n e obciąże n ie p i o n o w y c h b r z eg ów tej t arczy zo­

stało tak dobrane, b y p o m i ę d z y kw ad r a t o w y m i tarczami s kładowymi n ie w y s t ę ­ powały siły stykowe. W w y o d r ę b n i o n y m k w a d r a t o w y m w y c i n k u rozpatr yw a ne j tar­

czy prostokątnej (rys. 22) n i e w y s t ą p i ą na p r ę ż e n i a styczne. W górnej poł o­

w ie wyc in ka n a p r ę ż e n i a n o r m a l n e p r z y j m u j ą wa r t oś ci

6 X = 0,5 V f, 6 y = 0,5 f, (9)

zaś w dolnej n a p r ę ż e n i a te z m i e n i a j ą jedynie znak.

N ak ła d a j ą c n a stan n a p r ę ż e n i a kw ad ra t o w e g o w y c i n k a z rys. 22, sta n n a ­ p r ę ż en ia kwad ra to we j t a rc zy z rys. 23, obciążonej w y ł ą cz ni e na brzegach, otrzymuje się sta n n a p r ę ż e n i a d la t a r cz y II z rys. 20.

O s t a t e c z n y w y k r e s n a p r ę ż e ń 6 X dla t a r cz y z rys. 19 ma po stać p o k a za n ą n a rys. 24.

8 Feliks A nd ermann

L IT ER A TU RA

[1] An de rm a nn F.: Tarcze prostokątne. Ob li c z e n i a statyczne. A rk a dy W a r s z a ­ w a . 1 966.

[2] Shake r El -Behairy: Der Spannungsz us t an d von R ec ht e c k s c h e i b e n mit im In­

n er en angre if en d en Ei nz elkräften. Pr ac a doktorska. TH K ar lsruhe 1966.

[3] Shaker E l- Behairy: S pa nnungszustand w an da r t i g e r T räger mit im Inneren a ng re i f e n d e n Einzelkräften. B et o n u.Stahlbe to n ba u, n r 10/1968.

[4] Dług a cz M.I.: M ietod sietok w smieszannoj zadacze tieorii uprugosti.

N a u k ow a dumka. K ij ew 1964.

Chi- T eh Wang: P r ik ła d na ja tieorija u p r u g os ti (tłumaczenie z a n g i e l s k i e ­ go). Gos. Izdat. fiz.-mat.liter. M o s k w a 1959.

Streszczenie

W p r a c y p r z ed s ta wi on o sposób u m o ż l i w i a j ą c y o bliczenie t arczy obciążonej siłami d z ia łającymi w e w ną tr z jej obszaru, pr z y zast os o wa ni u ogólnego r o z ­ w i ą z a n i a tej tarcz y d la obciążeń brzegowych.

O m ó w i o n y sposób z il u strowano przyk ła d am i rozwiązań.

KBAJJPATHAH BAJIKA-CTEHA HArPMKEHHAfl B CBOEM OBJIAGTM

P e 3 n m e

B p a ö o T e n p e a c T a B J i e H c n o c o ö p a c u e T a ö a J i K H —c t e u u H a r p y a c e H H o f i b CBoeił o ö - jiacTM n p n M c n o J i L3 0B a H z w o Ó n e B O p e m e H z a s t o K ÖaJiKM— c t e H H jiJia ó e p e r o B o r o H a ­ r p y x e H H a .

O n H c a H b i ö c n o c o ö n p o M J i i o c T p i i p o B a H o n p n u e p a u i i p e m e H n a „

SQUARE WA1L- BE AM S W I T H IN TERIOR L OADINGS

S u m m ar y

In the p ap er is g iven a method, w h i c h allows to solve the p r ob l em of a w a l l - b e a m w it h I n terior loadings b y means of a general solu ti on of the w a l l - b e a m w i t h edge loadings.

The method is illustrated b y some examples.