Drgania toru kolejowego wywołane ruchem pojazdów

X III K O N FE R E N C JA NAUKO W A

„ PO JA ZD Y SZY N O W E ‘98”

ZN POLITECH NIK I ŚLĄSKIEJ 1998 Seria: TRA N SPO RT z.31, nr kol. 1392

Zbigniew CIC H O C K I

DRGANIA TORU KOLEJOWEGO WYWOŁANE RUCHEM POJAZDÓW

Streszczenie. W artykule przedstawiono m etodę w yznaczania przemieszczeń toru w yw ołanych przejazdem pociągu. M etoda pozwala uwzględnić nieliniowość charakte­

rystyki podłoża poprzez zastąpienie składnika nieliniowego dodatkowym ruchomym ob­

ciążeniem ciągłym. Przedstaw iono przykłady badań symulacyjnych wykonanych z wyko­

rzystaniem odpow iednich program ów kom puterowych.

VIBRATIONS OF THE RAILWAY TRACK CA U SE D BY ROLLING VEHICLES

Summary. T he paper presents an analyses o f a dynamic system com posed o f a track and a train running along it. Some results o f the numerical analysis o f dimensionless di­

splacem ents o f the track are shown in the paper.

1 W STĘP

C echą podstaw ow ą transportu szynowego jest gwarancja niezawodnego i regularnego przew ozu znacznych mas tow arów z dużymi prędkościami. Zapew nienie tej cechy wymaga budow y niezaw odnych i trwałych dróg kolejowych. Drogi te narażone są na znaczne obciąże­

nia pochodzące od przejeżdżających pociągów. Liczne zarządy kolejowe prow adzą od lat ba­

dania, których celem jest poznanie zjawisk towarzyszących w spółpracy pojazdów szynowych z torem. S pośród stosowanych metod badawczych bardzo w ażną rolę odgrywają metody teore­

tyczne, które w przeciwieństwie do niebezpiecznych badań poligonowych prowadzonych na liniach kolejow ych na rzeczywistych obiektach umożliwiają przeanalizowanie wpływu więk­

szej liczby czynników i są dużo tańsze. W artykule przedstaw iono m etodę wyznaczania sił w zajem nego oddziaływ ania toru i jadącego po nim pociągu. M etoda ta o tyle zasługuje na uwagę, że znajduje potw ierdzenie w wynikach badań uzyskanych na rzeczywistych liniach kolejowych.

2. M O D E LO W A N IE TORU K O LEJO W EGO

W dotychczas spotykanych opracow aniach dotyczących w spółpracy układu pojazd szyno­

wy - to r spotyka się zasadniczo trzy sposoby m odelow ania toru:

a) m odele dyskretne, b) m odele ciągłe.

c) m odele dyskretno - ciągłe.

Przykłady:

R ys. !. D y sk re tn y m o d e l to m Fig. I. D is c re t m o d e l o f tra c k

Rys. 1 przedstaw ia dyskretny model toru o dw óch stopniach swobody. Do opisu m odelu należy podać następujące parametry:

inj - zredukow ana m asa szyny [kg], m\ - m asa podkładu [kg],

c

,,2

bpi - w spółczynnik tłum ienia podsypki [Ns/m].

Model m atem atyczny tego układu je st układem równań różniczkow ych liniow ych o stałych w spółczynnikach. W m odelu przyjm uje się, że wszystkie elementy podatne są liniowe. W rzeczyw istości charakterystyki poszczególnych elem entów są silnie nieliniow e.

W m odelu przedstaw ionym na rys. 2 mamy do czynienia z układem jednow arstw ow ym posiadającym oprócz w łaściw ości sprężystych także tłum iące. W m odelu tym szynę reprezen­

tuje belka B ernoullego-E ulera lub Tim oshenki, a podkładki podszynowe, podkłady, podsypka, podłoże traktow ane są ja k o w arstw a sprężysto-tłum iąca. Podłoże takie często nazyw ane je st podłożem W inklera z tłum ieniem .

D rgania toru kolejow ego 59

Rys. 2. C ią g ły m o d e l to ru Fig. 2. C o n tin o u s m o d e l o f tra c k

0 ? L-— r.-Ł

^ ' la d >

b

^

X,

• / / / / /a

" 7

' 2 \ sztywna baio

Rys. 3. D y sk r e tn o -c ią g ly m o d e l to ru Fig. 3. D is c r c tc -c o n tin o u s m o d e l o f tra c k

W pow yższym m odelu to r został potraktow any jako belka podparta w sposób dyskretny.

Belka m odelująca szynę w tym modelu może być belką Bernoullego-Eulera lub Timoshenki.

M odel Tim oshenki, uw zględniający bezw ładność obrotow ą przekroju oraz wpływ naprężeń stycznych, jest modelem ogólniejszym, co może być istotne w przypadku zwiększania prędko­

ści jazdy pociągów . P odtorze w raz z pozostałymi elementami nawierzchni kolejowej jest ukła­

dem dyskretnym utw orzonym przez skupione elementy sprężysto - tłum iące połączone rów no­

legle (ośrodek Kelvina - Yoighta).

3. M E T O D A A N ALIZY

W ram ach badań symulacyjnych wpływu param etrów toru na jego zachow anie podczas różnych przejazdów pojazdów szynowych opracow ano odpow iednie program y komputerowe.

W artykule przedstaw iono przykład wykorzystania tych programów.

D o analizy przyjęto, podobnie ja k w pracy [1], układ mechaniczny, który m ożna traktow ać w szczególności ja k o model toru i jadącego po nim pociągu. Jest to ciągły układ dynamiczny, w którym po prostoliniowej nieskończenie długiej belce o modelu Timoshenki porusza się ze stałą prędkością niezm ienne w czasie obciążenie - rys. [4],

R uchome obciążenie p v=pv(rt, t) v

nieliniowe podłoże z reakcjam i: po

R ys. 4. M o d e l fiz y c z n y p rz y ję ty d o b a d a ń sy m u la cy jn y c h

F ig . 4 M o d e l o f p h y s ic a l sy ste m a ss u m e d in th e c o m p u te r sim u la tio n

Z godnie z [ 1] ruch belki w układzie ruchomym O x\z (związanym z ruchom ym obciąże­

niem) opisuje rów nanie różniczkow e zwyczajne czw artego rzędu, które w form ie operatoro­

wej przedstaw ia się następująco:

F[m(x)]+ /[« (* )] = £ „ [a.(x )] (1)

W rów naniu tym / r[w(x)] jest składnikiem liniowym, a /[ //( * ) ] składnikiem nieliniowym rów nania, przy czym.

F[;/(.v)] = (t/'4' + e 2u"' + e2u " + e tu ' + eQu) • D. (2)

/ [ » ( * ) ] = \ b j Ą [»(*)]+/>,/?„■ [//(*)]+Aj>0*[i/(x)]j-.D . (3)

£ „ [# .(* )] = hj K W + b j \ . (x) + A0a,(x)J D . (4)

D = (

2-V,2)(

2-Y! 2).

P orów nując w yrażenia (3) i (4) możemy zapisać:

/ [ « ( * ) ] = S , {a I [ « ( * ) ] } . ( 5 )

Jeżeli w prow adzim y zatem pom ocniczą funkcję:

A . W = - /a' ["(*)]. (6)

to w yrażenie (5) przyjm ie postać:

/ [ « ( * ) ] = - * , [ ? « ( * ) ] ■ (7) W staw iając (6 ) do ( 1) otrzymujemy:

/•!«(*)] - £ , [ & . ( * ) ] = a po przekształceniu

/-[//(jr)] = £,,[/>,.(*) + A „ ( x ) ] . ( 8)

Drgania toru kolejow ego 61

P atrząc na w yrażenie (7) możemy powiedzieć, że wpływ składnika nieliniowego w równaniu ( 1) belki m ożem y uwzględnić, wprow adzając dodatkow e ruchom e obciążenie ciągłe p va( x ) , w w yniku czego otrzymujemy równanie różniczkow e (8) Rów nanie to jest równaniem nieliniowym ze względu na u (x) , ponieważ zgodnie z wyrażeniem (6 ) funkcja v{x) występuje ogólnie nieliniowo w /t,.„(*). Wyznaczając funkcję n(x) posługujemy się me­

todą kolejnych przybliżeń:

1° Zakładam y, że pierwszym przybliżeniem rozwiązania równania różniczkow ego nieli­

niowego ( 8) jest rozw iązanie jego przybliżenia liniowego u0{x) , czyli:

^ t" o (* )] = £,[& (*)]■ (9) 2° Po wyznaczeniu funkcji j/0(x) przechodzimy do równania nieliniowego (8), w którym za funkcję p va(x) na podstawie (6 ) podstawiamy:

P«,i(x) = - P ć [ “ o W ] 0 °)

W rezultacie otrzym ujemy rów nanie różniczkow e liniowe zastępujące (w pierwszym przy­

bliżeniu) rów nanie nieliniowe (8):

^ [ «iM ] = S , [a W + A „iW ] (11) R ozw iązując to równanie wyznaczamy kolejne przybliżenie funkcji i/(x) , czyli u ,(x ). N a­

stępnie, podobnie jak za pierwszym razem, korzystając z (6 ) możemy wyznaczyć kolejne przybliżenie funkcji p„a( x ) :

= -A>ó["i W ] (12)

Pozw ala to, podobnie jak w poprzednim kroku, wyznaczyć kolejne przybliżenie funkcji

"(x ) :

f [;/; (x)] = £,[/}„(*) + / 7 „ , W ] . (13)

W ten sposób m ożem y w yznaczać dalsze wyrazy ciągu kolejnych przybliżeń u3, .uk , u k^

funkcji ii( x ) .

Obliczenia zm ierzające do wyznaczenia funkcji i/(x) m ożna uprościć korzystając z następujących zależności:

= * , ( & + £ . , )

= « , ( & )

Po odjęciu ich stronam i i wprow adzeniu oznaczenia A u, = ;/, - u0 otrzymujemy:

oraz podobnie w następnym przybliżeniu

F(A/' J =

gdzie Ai/k = uk — u„ . W rezultacie obliczanie funkcji ?/„(*) pochodzącej od obciążenia p v{x) w ykonyw ane jest tylko jeden raz.

Za pom ocą odpow iedniego kryterium sprawdzamy, czy różnica pomiędzy kolejnymi przy­

bliżeniami funkcji u{x) , tzn. (;/*,, - uk) jest dostatecznie mała. Pojawiające się w ciągu kolej­

nych przybliżeń funkcji n{x) wyrażenia p vo[ (x ) , p m2 ( r ) ... p vat (x) możemy traktow ać jako dodatkow e ruchom e obciążenia. W ten sposób rzeczywisty układ nieliniowy możemy zastąpić układem liniowym, w którym oprócz obciążeń rzeczywistych działają obciążenia dodatkowe.

W przypadku zbieżności ciągu ut (x) ten zastępczy układ liniowy pod wpływem obciążeń rze­

czywistych (działających na układ nieliniowy) i ostatniego z ciągu obliczanych obciążeń do­

datkow ych zachow uje się tak sam o jak układ nieliniowy. D odatkow e obciążenia, które m oże­

my rów nież nazw ać obliczeniowymi, przybierają postać obciążeń ciągłych o dowolnych zwy­

kle kształtach.

Poniżej przedstaw iono przykłady kształtów obciążeń dodatkowych, jakie m ożna spotkać przy analizie przypadku prostych obciążeń toru dla pierw szego przybliżenia, czyli p va] ( x ) .

Przyjęto, że zew nętrzne obciążenie reakcyjne siłowe p 0 jako zależne od przemieszczeń w yw ołanych drganiam i toru w yraża się następującym wzorem:

P o = c r w + b r — + p'0 ,dw

gdzie:

w - ugięcie toru,

c p - stała sprężystości składow ej liniowej charakterystyki podłoża odniesiona do jednostki długości toru,

bp - s ta ła tłum ienia składowej liniowej charakterystyki podłoża odniesiona do jednostki długości toru,

p'a - oznacza składnik nieliniowy.

Po w prow adzeniu nowych, bezwymiarowych zmiennych u i x otrzym ujemy w zór na bez­

w ym iarow e obciążenie reakcyjne siłowe p 0 :

Po = '• + ( - - b V ) n ' + p'0 [»(*)]

O bciążenie to ma dw a składniki:

Po = Po. + Pou gdzie:

p 0e - sprężysta bezw ym iarow a reakcja podłoża, p ad - tłum iąca bezw ym iarow a reakcja podłoża.

P odobnie składnik nieliniowy p'0 m ożna rozłożyć następująco:

PÓ = P'„ + Pj„

gdzie:

p en - składnik sprężysty nieliniowy, p dn - składnik tłum iący nieliniowy.

Ł ącząc pow yższe zależności otrzymujemy:

Po. = » + P.„

Poj = ( - 2 b v ) u ' + p dn N a rysunkach 5 - 8 przyjęto następujące oznaczenia:

peB [u] <=> p 0. , pdB [u'] o p od,

pdB [u ']/(2 bm a vd) - bezw ym iarow a charakterystyka tłumienia podłoża w przybliżeniu od­

pow iadająca charakterystyce tarcia suchego,

paeB[x] - dodatkow e ruchom e obciążenie obliczeniowe w pierwszym przybliżeniu, pochodzą­

ce od nieliniowej charakterystyki sprężystości,

padB [x] - dodatkow e ruchom e obciążenie obliczeniowe w pierwszym przybliżeniu, pochodzą­

ce od nieliniowej charakterystyki tłumienia,

paB [x] = paeB[x] + padB[x] <=> p,.al(x) - pierwsze przybliżenie dodatkow ych ruchomych obciążeń ciągłych (obliczeniowych).

D rgania toru kolejowego 63

- u [ x ] - U’ W

R ys. 5. B e z w y m ia ro w e u g ię c ie to ru u(x) i je g o p o c h o d n a u '(x)

Fig. 5. D im e n sio n le s s tra c k d e fle c tio n u(x) a n d its d iffe re n tia l c o e ffic ie n t u ’(x)

pe B [ uJ p a e B [ x ]

- 1 5 0 - 1 0 0 - 5 0 0 50 100 150 - 0 . 2 - 0 . 1 0 0 . 1 C.2

R ys. 6. N ie lin io w a sp rę ż y s to ś ć i o d p o w ia d a ją c e je j d o d a tk o w e ru c h o m e o b c ią że n ie Fig. 6 . N o n lin e a r e la stic ity a n d re la te d m o v in g load

p d B [ u ']/ (2 baa vd) p a d B [ x j

0.4 0 . 2

0 0.2 0.4

-0.5 0.5 ^{- 2 0 0 - 1 0 0 100 20 0}

R ys. 7. C h a ra k te r y s ty k a tłu m ie n ia i o d p o w ia d a ją c e j e j d o d a tk o w e o b c ią że n ie Fig. 7. C h a ra c te ris tic o f a tte n u a tio n an d re la te d m o v in g load

p a B [x ]

R ys. 8 .S u m a ry c z n e , d o d a tk o w e , ru c h o m e o b c ią że n ia F ig . 8. T o ta l a d d itio n a l m o v in g lo a d

Sposób analitycznego uwzględnienia obciążeń ciągłych o dowolnym kształcie, opisany w pracy [2 ], polega na wykorzystaniu teorii funkcji sklejanych i przybliżaniu tych obciążeń funkcjami sklejanymi do stopnia 3 włącznie. To przybliżenie uzyskuje się przez podział prze­

działu, w którym w ystępuje obciążenie ( x aq ,x bq^ , na lą segm entów o różnych zazwyczaj dłu­

gościach Funkcję sklejaną w przedziale ( x aq, x bc^ opisuje wzór:

A . W = Z • : W ' (14)

w którym i = 0,1,2,3.

W yrażenie x ,(x ) przyjmuje w artość 0.5 w punktach x = x; i x = x l+1, w artość 1 w przedziale (x l ,x,.ł | ) oraz 0 poza tym przedziałem. Funkcja ta ma na celu „wycięcie” z wie­

lom ianu interesującego nas segmentu. W ykres tej funkcji przedstawia rys. 9.

R ys. 9. W y k re s fu n k c ji X, ( x ) F ig . 9. G ra p h o f fu c c tio n X, ( x )

W zór (14) przedstaw ia sumę przylegających do siebie segm entów, z których każdy jest opi­

sany przez inny wielomian stopnia s w jego wnętrzu. Poza wnętrzem segmentu wielomian ten jest w yzerow any za pom ocą funkcji T , ( x ) Na końcach segmentu pom nożony jest przez 0,5.

Sytuację tę przedstaw ia następujący rysunek.

D rgania torn kolejow ego 65

R ys. 10. W y k re s fu n k c ji sk le ja n e j s to p n ia i w p r

7

7

F ig. 10. G ra p h o f s p lin e fu c c tio n o f i d e g re e in sec lio n ( x aq, Xbq )

T aka funkcja sklejana (3 stopnia) musi być klasy C2, tzn. jest ciągła ze sw oją pierwszą i dru­

g ą pochodną. N akłada to na współczynniki q h ze w zoru (3) pewne ograniczenia.

O -

w \ l \ l y y M \ I

R ys. 11. F r a g m e n t o b c ią ż e n ia to ru o p is a n y je d n y m s e g m e n te m fu n k c ji sk lejan e j F ig. 11. F r a g m e n t o f tra c k lo a d c irc u m s c r ib e d by o n e s e g m e n t o f s p lin e fu n c tio n

W pierwszej kolejności poszukujem y rozwiązania od jednego segmentu funkcji sklejanej.

R ozw iązanie dla całego przedziału jest superpozycją rozwiązań od poszczególnych segmen­

tów. Dla jednego segm entu mamy:

P ,(X) = P J X) T(X) ’ w którym p vo = £ q k (x - x a ) \

k=0

Rozw iązaniem ogólnym równania:

fH x ) ] = £ ,[£ ■ (* )] . od jed n eg o segm entu jest funkcja:

«(*) = ho S ^ (*) + h^ [ ' ] (*) = (*) ■

Za pom ocą program u M A TH EM A TIC A i szeregu dodatkowych przekształceń dochodzim y do w zoru końcow ego odnoszącego się do jednego segmentu. W zór ten przedstaw iam y w na­

stępującej formie:

cJon ■ <1\n - “7

2

R ozw iązanie belki polega na superpozycji rozwiązań od poszczególnych segm entów funkcji sklejanej.

R ezultat tej superpozycji dla obciążenia złożonego ze wszystkich / segm entów przedsta­

wia poniższy wzór:

4. P R ZY K ŁA D R O ZW IĄ ZA N IA

Poniższy przykład jest ilustracją zastosow ania opisanej metody do poszukiw ania ugięć toru w yw ołanych ruchom ym i obciążeniami: siłami skupionymi i obciążeniami ciągłymi o dowolnym kształcie. N a wykresie poszczególne krzyw e oznaczają:

a) obciążenie opisane funkcją sklejaną stopnia 0 , b) obciążenie opisane funkcją sklejaną stopnia 1, c) obciążenie opisane funkcją sklejaną stopnia 2 , d) obciążenie opisane funkcją sklejaną stopnia 3, e) bezw ym iarow e ugięcie toru.

<7o,v^H ) 0 c ~ x b ) + q ^ h { 2, ( x - x 4) +

+2q2Nh [ ~3) ( x - x b) +

erhNh[~i]

+

n

+6qw h ^ k]( x - x hq)

Drgania toru kolejow ego 67

ca

Rys. 12. B e z w y m ia ro w e u g ię c ie to ru w y w o ła n e z esp o łe m ru c h o m y c h o b c ią że ń Fig. 12. D im e n s io n le s s d is p la c e m e n ts o f tra c k c a u se d b y c o m p le x m o v in g loads

5. U W A G I K O Ń C O W E

O pisano m etodę pozw alającą na wyznaczanie ugięcia toru. w przypadku liniowym , podda­

nego działaniu ruchom ych obciążeń ciągłych o dowolnym kształcie. Jednocześnie pokazano, że układ nieliniow y m ożna rozpatryw ać jako układ liniowy, w którym składnik nieliniowy zastępują dodatkow e ruchom e obciążenia o dow olnych zazwyczaj kształtach. U zyskano tym samym skuteczną m etodę um ożliwiającą badanie zachowania układu pojazd szynowy - tor z uw zględnieniem nieliniow ości podłoża. Opracowanie możliwej do zastosow ania w praktyce metody badania w pływ u nieliniowej charakterystyki podłoża na zachowanie się toru w yw oła­

ne przejazdam i szybkich pojazdów szynowych umożliwia między innymi określanie kryte­

riów bezpieczeństw a ruchu oraz prognozow anie degradacji toru i taboru.

L ITER A TU R A

1. G rzyb A.: Podstaw y teoretyczne analizy nieliniow ego układu dynam icznego pojazd-tor.

D ynam ika pojazdów szynowych i optym alizacja ich podukładów. Zeszyty N aukow e Poli­

techniki K rakow skiej, Zeszyt nr 10, Kraków 1996, s. 47-60.

2. Cichocki Z „ G rzyb A.: Analiza drgań belki Timoshenki przy ruchom ych obciążeniach ciągłych o dow olnym kształcie. Polskie Towarzystwo Symulacji Kom puterowej, Instytut A utom atyzacji System ów Dowodzenia WAT, Instytut Podstawowych Problem ów Techniki PAN. Instytut Inform atyki Politechniki Białostockiej. Sym ulacja w Badaniach i Rozwoju.

Jelenia G óra 1997 (w druku).

Recenzent: Dr hab.inż. Andrzej Chudzikiew icz Profesor Politechniki W arszawskiej

A b s tra c t

The paper presents an analyses o f a dynam ic system com posed o f a track and a train run­

ning along it. D escribed m ethod o f com putation o f the track deform ation perm its to take into account nonlinear characteristic o f foundation by replacem ent the nonlinear com ponent by additional distributed load. Some results o f the num erical analysis o f dim ensionless displace­

m ents o f the track are show n in the paper (fig. 12).