ZESZYTY NAUKOWE P O L IT E C H N IK I Ś LĄ S K IE J 1 9 9 0
Seria: AUTOMATYKA z.100 Nr kol.1082
Ryszard K l e m p o u s JerzY Kotowski
Instytut C y b er ne ty k i T e c h ni cz ne j Politechnika W r o c ł a w s k a
P R O J E K T O W A N I E SIECI T R A N S P O R T O W Y C H
S t r e s z c z e n i e . W p r a c y z o s t a n ą s f o r m u ł o w a n e i r o z w i ą z a n e d wa z a g a d n i e n i a d o t y c z ą c e p r o j e k t o w a n i a n i e l i n i o w y c h sieci tr ęn s po r- towych. O ba p r o b l e m y c h a r a k t e r y z u j e s i ę s k o m p l i k o w a n e p o s t a c i e funkcji celu. O p r a c o w a n i e a l g o r y t m ó w o pt y ma lizacji w y m a g a ł o w z w ie zk u z t y m o k r e ś l e n i a s p e c j a l n y c h pr ocedur s ł u ż ą c y c h d o w y z n a c z an i a g r a d i e n t u m i ni m a l i z o w a n e j funkcji ce lu o r a z do relak — sacji funkc ji k r y t e r i a l n e j .
1. Wstęp
W latac h 1 9 8 6 - 8 9 w r a m a c h realizacji t e m a t u ASO. 5 . 5 w c h o d z e c e g o w s k ł a d Programu R e s o r t o w e g o R P . 1 . 0 2 o p r a c o w a n o s z e r e g p r o g r a m ó w o bl ic z e n i o w y c h służących d o s ym ulacji r o z p ł y w ó w w n i e l i n i o w y c h s i e c i a c h transportowych^ t a kich jak sieci wodoci ą g o w e i gazociegowe. S t o s u n k o w o d u ż a un i we rs al n oś ć tych p r o g r a m ó w p o z w a l a na i c h w y k o r z y s t a n i e d o symulacji i a n a l i z y wielu typowych i n i e t y p o w y c h s y t u a c j i ^ j a k i e m o g ę w y s te pi ć w p r a k t y c e £1—83.
W pr ez en to w an ej p r a c y z o s t a n ę p r z e d s t a w i o n e d w a z a g a d n i e n i a z te g o o b szaru* d o t y c z e c e p r o j e k t o w a n i a n i e l i n i o w y c h sieci t r a n s p o r t o w y c h na p r z y k ładzie sieci r o z p r o w a d z a n i a wody. W o b u p r o b l e m a c h n a l e ż y dy sp on u je c o g r a niczone i l o ś c i e ś r o d k ó w i n w e s t y c y j n y c h z b u do w ać sieć p r z e s y ł o w e o n a j n i ż szym k o s zc ie eksploatacji. S y t u a c j a t e g o r o d z a j u m o ż e s i ę p o j aw ić p r z y b u dowie n o w e g o o k r ę g u p rz em y sł ow eg o * g d y z n a n e s ą l o k a l i z a c j e o d b i o r c ó w p r z e mysłowych, t o p o l o g i a sieci or az p r o g n o z o w a n e z a p o t r z e b o w a n i a odbiorców. N a leży okr eś li ć o p t y m a l n e ś r e d n i c e o d c i n k ó w r u r o c i ą g ó w ł ą c z ą c y c h ze s o b e p o szczególne e l e m e n t y systemu. S a m o z a d a n i e optymal iz ac j i p r a c y sieci jest w w obu p r z y p a d k a c h p r o b l e m e m statycznej optymalizacji. Różn i ca p o m i ę d z y nimi polegać b ę d z i e na tym, ż e z a d a n i e p i e r w s z e b ę d z i e s t a t y c z n y m z a d a n i e m o p t y malizacji n i el iniowej, a d r u g i e z a d a n i e m nieli ni o we j optymalizacji d y s k r e t nej. Ja ko k r y t e r i u m jakości i de nt y fikacji p r z y j ę t o wielkość strat energii elektrycznej n i ez b ęd ne j d o r ealizacji r o z p ł y w u w sieci s p e ł n i a j ą c e g o zn an e a priori p o t r z e b y odbiorców. W y z n a c z e n i e ty ch strat wymaga do k on an ia s y m u lacji r o z p ł y w u w sieci, c o ze w z g l ęd u na p o s ta ć s am e go mo delu mate ma t yc zn e-
*
Praca z o s t a ł a w y k o n a n a w r a m a c h R e s o r t o w e g o Prog ra mu Ba da ń Podst aw ow y ch PR. 1.0 2 "Teor ia s t e r o w a n i a i opty ma l iz ac ji c i ą g ł y c h u k ł a d ó w dynam ic zn y ch i p r o c e s ó w dyskretnych".
R. KI o m p o u s , J. Kotowski
go p r o c e s u 'r o z p ł y w u Je st s a m o w s o b i e z a d a n i e m d o ś ć s ko mp l ikowanym. Istot
n y m e l e m e n t e m p r a c y s y w t y m p r z y p a d k u p r o c e d u r y o b l i c z e n i o w e n i e z b ę d n e do p r z y ś p i e s z e n i a zbieżn o śc i i s k r ó c e n i a c z a s u obliczeń, t a k i e Jak w przypadku z a d a n i a p i e r w s z e g o p r o c e d u r a w y z n a c z a n i a g r a d i e n t u m i n i m a l i z o w a n e j funkcji c e l u l u b t eż m e t o d y relaksa cj i funkcji celu, w p r z y p a d k u z a d a n i a drugiego.
2. Model m a t e m a t y c z n y niel in i ow ej sieci tr an s portowej
Sieć w o d o c i ą g o w ą jest n i e l i n i o w y sieci y p r z e p ł y w o w y o p i s a n y następujycym u k ł a d e m równań:
A y *= cr Cl}
B x « O C2}
x = r.y2s g n y. + d. i -i , n C3}
V t Ł V V
Zależności Cl} i C2} s y f o r m a l n y m z a p i s e m I i II p r a w a Kirchhoffa. A jest m a c i e r z y incydencji* a B m a c i e r z y oczkowy. Wzór C3} o k r e ś l a zwi yz ek po
m i ę d z y s p a d k i e m c i ś n i e n i a w p o j e d y n c z y m ł u k u a s t r u m i e n i e m i jes t z n a n y pod n a z w y prawa Bernoulli ego. Wektor cr je st s -wymi ar o w y m w e k t o r e m p o t r z e b od
biorców, y jest w e k t o r e m przep ł yw ów , x w e k t o r e m s p a d k ó w ciśnień^ a r wekto
r e m oporności h y d r a u l i c z n y c h p o s z c z e g ó l n y c h łuków. Wektor d o s k ł a d o w y c h d.
Jest w e k t o r e m r ó żn ic g e o d e z y j n y c h wysokości p o ł o ż e n i a k o ń c a i p o c z y t k u ko
l e j n e g o o d c i n k a rurociygu.
R o z w i y z a n i e u k ł a d u r ó w n a ń Ci}- C3 } J e s t i d e n t y c z n e C23 z rozwiyzaniem n a s t ę p u j ą c e g o z a d a n i a o pt y ma l i z a c j i s t at yc zn e j b ez ograniczeń:
p c y ^ = — * 1,110
gdzie
P,Cy.} = y.x.= r.y3sg n y. i=l ,n
V l L I L L L
Wpro wa d za ją c o z n a c z e n i e
RCr,y} = diagir.jrsgn y^;i = 1 , n> C6D
można u k ł a d r ów n ań Ci}-*C3} z a p i s a ć w postaci
C75 C85
a f u n k c j e c e l u C4} w postaci A y - c r BRCr ,y3y “ O
C 4}
C5D
yTR C r , y } y min. c s j
P r o j e k t o w a n i e s i e c i .
1 2 9
Ró w no ważność p r o b l e m ó w C l } —C 3) i C9) m a b a r d z o i n t e r e s u j ą c ą I nt e rp r e t a c -
w związku z t y m n a t u r ę II p r a w a Kirchhoffa. W każdej sieci transportowej.
Jest rai ni mai n o en er g e t y c z n y w s e n s i e C9}.
Opierając s i ę n a m e t o d a c h a n a l i z y w r a ż l i w o ś c if m o ż n a a n a l i z u j ą c p r o b l e m
pływów w p o s z c z e g ó l n y c h l u k a c h a i c h opornościami, n a p r z y k ł a d w postaci raa-
Zgodnie z CIO), c h c ą c w y z n a c z y ć j a k o b i a n p r z e k s z t a ł c e n i a y=yCr) j n a l e ż y d o konać symulacji sieci, t o z n a c z y r o z w i ą z a ć n a p r z y k ł a d p r o b l e m CS) d l a z a danych s k ł a d o w y c h w e k t o r a r, i u z y s k a n y wy ni k p o d s t a w i ć d o t e g o wzoru.
3. Analiza o g r a n i c z e ń t e c h n o l o g i c z n y c h z a d a n i a p r o j e k t o w a n i a sieci
W tej części p r a c y p r z e p r o w a d z o n a z o s t a n i e a n a l i z a własności z a d an i a projektowania j e d n e g o ł u k u sieci t ra n sp o r t o w e j n a p o t r z e b y t y t u ł o w e g o p r o b lemu pr o je k t o w a n i a całej sieci.
Powyższy p r o b l e m m o ż n a s f o r m u ł o w a ć w e r b a l n i e następująco: d a n y c h je st m typów s u r o w c a C t o z n a c z y n a ' p r z y k ł a d rur w p r z y p a d k u sieci wodocią go w ej ) o jednostkowej op o rn oś ci lin io we j i c e n i e o d p o w i e d n i o J*l,m. C e n a J e d nostkowa je s t s u m ą d w ó c h składników: c e n y z a k u p u i k o s z t u instalacji w terenie. N a l e ż y z b u d o w a ć d o b i e r a j ą c o d p o w i e d n i o długości d o s t ę p n y c h t y p ó w surowca odcinek linii pr ze sy ł o w e j o długości 1 , k o s z c i e ‘c a ł k o w i t y m n i e
o
miększym od k^ i o mi ni ma l ne j oporności. Model m a t e m a t y c z n y t e g o z a g a d n i e nia jest n a s t ę p u j ą c y m z a d a n i e m p r o g r a m o w a n i a liniowego:
Ję fizyczną. F u n k c j a c e l u C9) jes t b o w i e m s u m a r y c z n ą m o c ą traconą* w sieci na pokonanie op or no śc i Jej p o s z c z e g ó l n y c h elementów. P o w y ż s z a u w a g a o k r eś l a
której m o d e l e m m a t e m a t y c z n y m j e s t u k ł a d r ó w n a ń t y p u C l ) —C3)^ r o z p ł y w m e d i u m
C9!) lub u k ł a d r ó w n a ń C D - C 3 ) w y z n ac zy ć z w i ą z e k p o m i ę d z y warto śc ia mi p r ze -
§¿7 “ - g R C y ► y^>BtC B R C r , y3 B t3~*B. C1CD
mi n Cli)
przy ograniczeniach*
Cl 2) Cl 3)
z^ > O j=l,m, Cl 4)
fcdzie z. s ą zm ie n n y m i d e cy zy j ny mi o z n a cz aj ąc y mi długości k o l e j ny c h t y p ó w surowca. W r z e c z y w i s t y c h p r z y p a d k a c h m o ż n a tak p o nu m e r o w a ć zmienne, ż e spełnione b ę d ą n a s t ę p u j ą c e warunki:
R. K le r a p o u s , J . K o to w ski'
P i > P 2>...> P „
» < « < . , . < >e .
l Z- rn
C15}
. 0 6 }
T y p o m o m n i e j s z y c h j e d n o s t k o w y c h o p o r n o ś c i a c h l i n i o w y c h o d p o w i a d a ć bowiem powi nn y r u r y o w i ę k s zy c h ś r e d n i c a c h c h a r a k t e r y z u j ą c e s i ę z r e g u ł y również większymi cenami jednostkowymi. O m ó w i o n y p r z y p ad ek i l u s t r u j e rysunek la.
a}
Rys. 1. I l u s t r a c j a gr af i cz na r o z w i ą z a n i a o p t y m a l n e g o p r o b l e m u Cll}-C14}.
Ryc. 1. I l l u s t r a t i o n of the optimal. s o l u t i o n of t he p r o b l e m Cl ID-C14}.
D la p r o b l e m u Cll}-C14} p r a w d z i w e s ą n a s t ę p u j ą c e własności, k t ó r y c h dowód można p rz e p r o w a d z i ć op ie ra j ąc s ię na d o b r z e znanych, p o d s t a w o w y c h twierdze
niach z teorii p r o g r a m o w a n i a liniowego:
Własność 1
Co najwyżej d w i e s k ł a d o w e w e kt or a z p r z y j m u j ą w artości w i ę k s z e od zera v r oz w ią za ni u o p t y m a l n y m p r o b l e m u C l i } —C l 4 } . B
Dla danej wartości d o p u s z c z a l n y c h n a k ł a d ó w i n w e s t y c y j n y c h k maci er:
■ [ i ]
w r r-ł- 1 -J
C17}
w a r u n k i :
dl a pr o b i e m u C 1 1 } —C14} jeżeli s p e ł n i o n e s ą następujące
1 1 1
D . * X * *. > O 0 8 }
r J r r** i
Pr P ^ P
Pr oj ek t o w a n i e s i e o i .
131
x 1 < k < x 1 .H Cl 9}
r o o r-t-i o ■■
Warunek C l 9} gw a ra n t u j e b o w i e m nieuj em no ś ć s kł ad ow y ch r oz w ią za ni a b azowego
z = C z , z } = C * 1 -k , k ~x 1 } C20}
B r r + 1 91 — X r +1 o O o r o
r + i r
a warunek Ci 8} nieuj em no ś ć w sz ys t ki ch ce n d u al n y c h w - D /C it -x }. Waru- j rj r-ri r
nek C18} ma p r o s t ą in te r p r e t a c j ę graficzną. Do b a z y optymalnej należeć mogą tylko te k o l u m n y m a c i e r z y o gr a ni cz eń zbudowanej z w a r u nk ó w C12}~C13}, k t ó rym o dp ow i a d a j ą p u n k t y z r y su nk u la, d aj ąc e po p oł ąc ze n iu i ch odcinkami l i nii prostej f u nk cj ę wypukłą. P rz yk ł a d o w o z a t e m surowiec, które mu na t ym r y sunku o d p o w ia d a punkt Cx^,p^}; n i g d y n ie b ę d zi e w yk or z y s t a n y do realizacji zadania projektowania.
Podstawiając C20D do Cll}^ uzy sk uj e s ię od ra z u o p t y m a l n ą wartość funkcji celu dla ws zy s tk ic h k s p e łn i aj ąc yc h warunek C19D:
o
p x -p x p -p
fCk 3 = r r- L ± - L + - L U k . C213
Przykładowy p r z e b i e g funkcji został p r z e d s t a w i o n y na r y s un k u lb. Jak widać. fCk } jest f u n k c j ą m a l e j ą c ą i w y pu k łą o k r e ś l o n ą dla k >x 1 .
' o o 1 o
Niech r =fCk }. Dla r < p 1 ist n ie je funk c ja odwr ot n a do funkcji f. W
0 0 o m o
dalszej części p r a c y f u n k cj a ta b ęd zi e oz n ac za na przez g.
4- Model m a t e m a t y c z n y z a d an ia o p t y m a l n e g o projekto wa n ia sieci transportowej
Problem o p t y m a l n e g o p r oj e k t o w a n i a sieci przesyłowej poleg a na określ en i u przy znajomości topologii sieci oraz pr og n o z o w a n e g o rozk ł ad u potr ze b o d biorców o p t y m a l n y c h wartości oporności w sz ys tk i ch ł uk ów w sens ie k r y t e ri um mini mai no en e r g e t y c z n e g o C9} p r z y J e d n y m g l o b a l n y m o g r a ni cz en i u na nakłady inwestycyjne. Model m a t e m a t y c z n y tego zada ni a ma postać:
y TRC r , y} y * mi n A y = cr
r n Cr } < k .
Podstwcwe trudności z w i ą z a n e z r o z w i ą z a n i e m t a k ie g o zadan ia zwią za ne s ą z technikami w y z na cz an i a wartości x'unkcji celu. Dla da nych wartości wektora oporności r s C r ^ r ^ , . . . , r j n a l e ż y w tym cel u dokonać symulacji sieci, to znaczy roz w ią za ć p r o b l e m C 22} —C 23} i o t r z ym an e y=yCr} p od stawić d o C22}.
C22}
C23}
C 24}
1 3 2 R. K I e m p o u s , J . K o t o w s k i
Z ag ad n i e n i e to t ry w i a l i z u j e s i ę t yl ko w przypadku, g d y p r o j e k t o w a n a sieć ma s t r u k tu rę drzewiastą. Mac ie r z A jest w t e d y n i e o s o b l i w ą m a c i e r z ą kwadra-
sieci n ie z a l e ż y z a t e m w t y m p rz y p a d k u od sk ła d o w y c h wekt or a oporności r, a J e d y ni e o d p o t rz e b o d b i o r c ó w a. P r o b l e m C22J-C24!) mo żn a teraz z a pi sa ć w po
staci :
Op ie r aj ąc si ę na w ł as no ś c i a c h funkcji g^Cr^J om ów i o n y c h w r oz d zi al e 3 można, st osując techniki z na ne w teorii p r o g r a m o w a n i a liniowego, zapisać p r o b l e m C25D-C26D w postaci z a d an ia PL:
L i n e ar yz ac j a p r o b le mu C 2 5 D —C26J d o postaci C27} —C315 prowadzi d o dwu
k r o t ne go wzro s tu l i c z b y z m i e n n y c h d o 2n przez w p ro wa d z e n i e w e k to r a zmien
nych p o m oc n ic zy ch k * = C k , k , . . . , k 3. W p r o b l e m i e t y m p rzez 1=C1 ,1 , . . . , 1 5
i 2 n i 2 n
o z n a cz on o wektor długości p o s z c ze gó ln y ch J u k ó w pr ojektowanej sieci.
P r o b l e m C273-C313 można r oz wi ąz a ć za p o m o c ą a l g o ry m u o. złożoności wie
lomianowej. M a ks ym a l n a l i cz ba iteracji p r z e d s t a w i o n e g o poniżej postępowania Jest równa n*m:
A l g o r y t m 1
Krok 1 C de kl a r a c j a wartości zmiennych!)
P od stawić r,=p i., 1 = 1 . n, t.=m, i«l,n, k =k -£ n x 1 . . Jeżeli k <0 STOP.
t m v t o o v= i m 1 O
P r o b l e m n ie p o s i ad a r oz wi ą z a ń dopuszczalnych. W p r z e c i w n y m przypadku przejść do kr o ku 2.
Krok 2
Jeżeli k^=0 l u b m a x t^=l STOP. Z n a l e z i o n o r o z w i ą z a n i e o p t y m a l n e r., i=l,n.
p r z e c i w n y m p r z y p a d k u prze jś ć d o k ro k u 3.
tową, c o p o zw al a pr z ek s z t a ł c i ć C233 d o postaci y ^ A ^ c r . R o z p ł y w m e d i u m w
mi n C253
C263
C273
C28J
C29J i =1 , n , J =1 , m-1
p 1. < r . < • p 1. i =*1 , n
m v t i v C30J
k. > O v i»i,n. C313
Pr oj ek towani e s i ec i . 133
Krok 3
O b lic z y ć O - max O., g d z i e
u v
i . >i
9. = y 3. i---- — — --. C323
Podstawić k=m±nCk ,0 1 0, k =k -k'» t =t -1 oraz
o u u o o u u
r = r --- i--- ^-- 1 k. C332>
u u X — X u
t - 1 t .
I ■ V
Przejść d o k ro ku 2. Q
Postulowana wcześniej zł oż on o ść o b l i c z e n i o w a a l g o r yt m u 1 w y n ik a z p o s t a ci drugiej części s t op u w k ro ku 2 oraz z Taktu, że w k r ok u 3 z m ie nn a t^ m o że zmieniać s w o j ą war t oś ć co najwyżej m-1 razy. O p i s a n e p o s t ę p o w a n i e poleg a na rozpoczęciu o b l ic ze ń od n a j g o r s z e g o ro zw i ą z a n i a dopuszczalnego, o ile takie istnieje, i jego z a c h ł a n n y m poprawianiu. O b l i c z e n i a k o ń c z ą się, g d y ograniczenie g l o b a l n e C26!) s t a j e się aktywne, l u b g d y o ka że się, co a l t e r natywnie m oż na s pr aw dz i ć już w kr ok u 1, że t a k i m n i g d y n ie jest. Moż li we jest również o p r a c o w a n i e t a k ie g o algorytmu, w k t ó r y m ob li c z e n i a r oz po c zy na się od ro z wi ą z a n i a r^=p^l^, -i-l,n, i pog ar s za się j e n a s t ę p n i e o dp o wi e d n i o tak długo, dopóki ni e natrafi s i ę na r o z w i ą z a n i e dopuszczalne.
Analiza czynności d o k o n y w a n y c h w k ro ku 3 p o z w a l a zauw aż y ć dodatkowo, że w optymalnym r o z w i ą z a n i u p r o bl em u C25D-C26D c o najwyżej j od en łuk sieci zostanie z b u d o w a n y z d wó c h r o d z a j ó w surowca.
W przypadku, w k t ó r y m p r o j e k t o w a n a sieć n ie ma s t r u k t u r y d r z e w i a s t e j } można zauważyć, Ż e p r o b l e m C22D-C24!) daj e s i ę zapis ać następująco:
hC r } ► min C342)
przy og r an i c z e n i a c h C283-C31!), g d z i e wartości funkcji hCrD =pCyCrD!) , jak już wspomniano, m u s z ą być w y z n a c z a n e t e c h n i k ą symulacji. M o ż n a jednak fo r ma ln ie zróżniczkować tę‘ f u n k c j ę ; o tr zy m u j ą c jej gradient, w postaci:
W - [I?]’ %
■Jakobian pr z ek s z t a ł c e n i a y=yCrD w y ra ża się w z o r e m CIO!), a gr adient funkcji zewnętrznej pCy!) z g o d ni e z C9D jest r ó w n y 3RCr,yDy. P r o bl em C343 z li n io wy - foi ograniczeniami C28!)-C31D można z a t e m r oz wiązać na prz y kł ad w o p a r c i u o Postępowanie o p a r te na idei m e t o d y R o s e n a .
Proces po s zu k i w a n i a o p t i m u m można na w s t ę p n y m e ta pi e p rz y śpieszyć na podstawie naturalnej modyfikacji a l g o r yt m u 1. P o s t ę p o w a n i e o p a r t e na tej
R. K lem p ous, J. Kotowski
idei z o s ta ł o opis an e w p rz ed s t a w i o n y m poniżej al go r yt mi e 2.
A l g o ry tm 2
Kr ok 1 Cdak l ar ac ja wartości zmiennych}
Fodstawić r.=p X. , i»l ,n, t.=ra, 1=1 ,n, k =k -Z,r' x 1,. Jeżeli k < 0 STOP.
v m v t o o v=l in i O
P r ob le m ni e posi ad a ro zw ią za ń dopuszczalnych. W p r z e c i w n y m przypadku p rzejść do kr ok u 2.
Krok 2
Jeżeli m ax t . =1 STOP. Z n a l e z i o n o r o zw ią za n ie o p t y m a l n e r.=p 1. , i=l,n. Je- i
Żeli k =0 przejść do kroku 4. W p r z e c i w n y m p r z y pa dk u prze jś ć do k r ok u 3.
° J
Krok 3
Wyznaczyć zgc>dnie z C35} dla bie żą cy c h wartości wekto ra r. Obliczyć 6 =max 0 , g d z i e 0 Jest o k r e śl o ne w z o r e m C32J. Po ds tawić k =minCk ,G 1 },
u t 1 1 i o u u
c
k =k ~ k , t =t -i oraz C33J. Przejść do kroku 2.
o o U ii
Krok 4
Rozwiązać p r o bl em C34J p r z y o g r a n ic ze ni a ch C28J-C31J na przykład metoda. Ro- sena przyjmując b i eż ąc e s k ł a d ow e wektora r j a k o punkt startowy. a
Poprawność postę po w an ia o p i s a ne go w al g or y t m i e 2 w yn i ka z monotoniczńoś- ci funkcji h Cr}. Można b owiem pokazać» że Vr > 0 gr adient tej funkcji C35D ma wszystkie skła do we więks ze od zera.
5. Zadanie p ro j ek towania sieci transportowej w wersji dyskretnej
W p r zy padku sieci transportowej o s tr u kt ur ze drzewiastej. Jak wspomniano w r oz d ziale 4, w r oz wi ą za ni u op t ym a l n y m zada n ia p r oj ek t o w a n i a Jej elementów może pojawić się co najwyżej Jeden łuk z b u d o w a n y z dwóch' t y p ó w surowca.
Jeżeli proj e kt ow an a sieć nie speł ni a tego warunku, to liczba ł u k ó w zbudowa
nych z dwóch t y p ó w sur ow ca może w e k s t r e m a l n y m p r z y p ad ku być równa n. Dla wykazania prawdziwości tego fakt-u w y s t a r c z y r o zważyć za ga d n i e n i e projekto
wania sieci składającej s ię z d wóch węzłów, d o s t a w c y i odbiorcy, oraz n równ o le gł yc h ł uk ów o identycznej długości. O p t y m a l n e w s e n s i e C34} rozwia' z anie r
M
takiego prob le m u ma n as tę p u j ą c e własności:Projektowanie sieci.
135
Własność 3
Dla każdego n>i zachodzi r ^ =r ^ , i , J = i ,n, i^j-jj
Dowód wynika z symetrii ograniczeń» wypukłości z b i o r u roz wi ą za ń d o p u s z c z a l nych oraz z a n a l i z y w p r z y p a d k u pr oj ek t o w a n i a sieci w o d o ci ą go wy ch cen k a talogowych do st ę p n y c h t y p ó w surowca.. I l oc zy n x.p. rośnie szyb ko Jako f u n kcja śr ed ni cy rury, z n a c z n i e szybciej niż to jest wymagane, a b y był s p e ł niony warunek C18D. Z a n a l i z y tych d anych w y n ik a również
Własncść 4
Niech HCnD b ę d zi e o p t y m a l n ą w a r t o ś c i ą funkcji C34D dla z a d a ni a o p i s a n e g o we własności 3. W t e d y min HCnD =HC 1 D . Q
n > O
To, że w ter en i e można c z ę s t o spotk a ć p od w ó j n e l ub p o t ró jn e nitki r u r o c i ą gów, wiąże się z u w z g l ę d n i e n i e m innyc h kryteriów, taki ch jak p r a w d o p o d o bieństwo poprawnej pracy, koszt awarii l u b też po p ro st u z b r a k i e m na r ynku rur o o dp ow i e d n i o dużej średnicy.
Powyższe ro z wa ża ni a p r o w a d z ą do wniosku, żo nie jest p usta klasa zadań optymalizacji typu C223-C24D, w k t ó ry ch d o d a t k o w o przynajmniej na n i ektóre zmienne n a r zu ca s i ę warunki t y pu dyskret.ności , k on kr e t n i e takie, że dla określonego p od zb i o r u i n d e k s ó w IoCl,2,. . . , n> o d p o w i a d a j ą c e i m oporności r.
ncgą być w yb ie r a n e tylko ze z b i o r u <p.i^, J =1 , m > . P r o b l e m C22)-C24D s taje się w takim p r zy p a d k u n i e l i n i o w y m z a d a n i e m op tymalizacji statycznej m i e s z a nej.
Zadanie tego typu można roz w ią za ć za p o mo cy a l g o r y t m ó w he ur ys t yc zn yc h badających o t o c z e n i e r o zw ią z a n i a prob le m u ciągłej optymalizacji lub z, pomocy a l g o r y t m ó w d o k ł a d n y c h o p a rt yc h na idei m e t o d y p o d zi a łu i ograniczeń.
W tym przypadku p o d s t a w o w y sche m at m e t o d y p o d z ia ł u i o gr an i c z e ń jest s z c z e gólnie w y g od ny z e wzg l ęd u na obe c no ść o g r a n i c z e ń l o k a l ny ch typu C 305. W c e-
*u przyśpieszenia ob l ic z e ń m oż na stosować p r o c e d u r y relaksacji funkcji celu oparte na o p i s a n y c h wcześniej mo żl iw o ś c i a c h n u m e r y c z n e g o w yz na cz a ni a g r a dientu funkcji C 3 4 X
6. Zakończenie
Wyniki o p i s a n e w p r a c y s ą o b e c n i e oprogramowywane. Z a g a d n i e n i u temu poś- vlęcono s ą m i ę d z y innymi t em at y dw óc h prac d y p l o m o w y c h p r ow ad z o n y c h na W y dziale Elektroniki Politechniki Wrocławskiej pod k i e r u n k i e m a u t o r ó w opra co - var.ia. Pr ze w i d u j e się p r z e d s t a w i e n i e bardziej s z c z e g ó ł o w y c h r e z u l t a t ó w teo-- retycznych : w y n i k ó w t e st ó w num er yc z ny ch w t r a kc ie Konferencji.
136 R. K lem p ous, J . Kotowsk LI T ER A T U R A
Cl] Klem po u s R. » Kotowski J. , Ku liszewski M. : S e n s i t i v i t y of Simulation Pr oblems in Water D i s t r i b u t i o n Network, P ro ce e d i n g s of th e European Co ngress on Simulation, P r a g u e September 1987, V o lu m e A.
C2] K l empous R. , Kotowski J. , N i k o d e m J. , Olesiak M. , Uł as i e w i ę z J. : Some Models for Water Di st r i b u t i o n Systems, Journal of Co mputational and A p pl ie d Mathematics, 1988, v o l .21.
C 33 Kl empous R. , N i k o d e m J. , Uł as i e w i c z J. : S i m u l a t i o n Model of High Pr ea s su re Gas P i p e l i n e Networks, S y s t e m An alysis an d S i m u l a t i o n 1988, I: T h e o r y and Fundations, P r oc ee d in gs of Interna t io na l Symposium, Ber
lin, GDR, September 12-16, 1988.
[ 4] K lempous R. , Kordecki H. , N i k o d e m J. : A d a p t a t i o n of t he Cross Method for the Dynamic F l o w S i m u l a t i o n in the Gas Networks, P r o c e e d i n g s of the C o n f e r e n c e on the P r a c t i c e and T h e o r y of O pe r at i o n s Management, AFCET, Paris, France, 13 -1 5 December 1989.
[53 Kotowski J. , Kuliszewski M. : Z a g a d n i e n i a i dentyfikacji parametrycznej w ni e li n i o w y c h siec ia ch transportowych, V K r a j o w a K o n f e r e n c j a .Naukowo- Te c hn i c z n a "Za s to so wa n ie K o m p u t e r ó w w Przemyśle", Szczecin, wrzesień.
1987.
[ 63 Kotowski J. , S z l a c hc ic E. : S t r u c t u r e i d e n t i f i c a t i o n p r o b l e m in water distrib u ti on , network wi t h d e f ic it state, M i ę d z y n a r o d o w a Konferencja I F A C * 9 0 TALLIN, ZSRR.
[7] Szl ac h ci c E. : Bicriterial O p t i m i z a t i o n of S t r u c t u r e of C o m p l e x Net
work, S y s t e m A nalysis and S i mu l a t i o n 1988, I: T h e o r y a n d Fundations, Procee di n gs of In ternational Symposium, Berlin, GDR.
[8] S z la ch ci c E. : M et od a p o s z u k i w a n i a optymalnej s t r u k t u r y niezawodnościo
wej d la sieci złożonych, A r c h i w u m Automatyki i Telemec h an ik i, Zeszyt 3/1989.
Recenzent: Prof .dr h.inż.J.Cyklis W p ł y n ę ł o do Redakcji do 1990-04-30.
OPTIMAL DESIGN O F THE T R A N S P O R T N E T W O R K S
S u m m a r y
In the paper t w o problems of optimal design of the nonlinear transport n e t w o r k will he presented. He goal fuctions in each of t h e m are so complicated that the specjal a pp ro a c h for the determination of gradient and special attend for relaxation of the criterion function had to be developed.
n P O E K T K P O m OIITMMAJTLKHX TPAHCIIOPTHHX n y T E H
P e 3 b m e
B p a d o i e n p e a c T a B ^ e H u 4Be n p o d n e M U onTHs©Jn.Horo rcpoeK^
1'HpOBaHHH H&JTHHeilHH-X Tp aH CH O p T H H X HeIIeft C O CJIOXHOfi IieJleBOft (JyHKIIHeft.
i U H ajrropHTMa o n T H ^ E H H 3 a n i m <5hjih noOTOTOBJieHH cooroeTCTByBiuHe npoiie- n y p a r p a r a e H T a neJiesoft $ y H K U K H c Hcnojn>30BaHneM M eT on a peJiHKcaiiHH.
