Analiza zbioru Pareto w przestrzeni kryterialnej

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOMATYKA z.100

______1990 Nr kol.1082

Ignacy Kaliszewski

Instytut Badań Systemowych. PAN

ANALIZA ZBIORU PARETO W PRZESTRZENI KRYTERIALNEJ1

Streszczenie. Przedmiotem prezentacji są metody rozwiązywania zadań optymalizacji wektorowej, oparte na technikach separowania elementów zbiorów za pomocą stożków wypukłych. Przedstawimy także oryginalne idee oraz wyniki teoretyczne związane z tymi metodami.

Dzięki przedstawionym wynikom możliwe Jest wykorzystanie technik separacji nie tylko do generowania rozwiązań efektywnych , lecz również do analizy odporności rozwiązań efektywnych. analizy wrażliwości rozwiązań efektywnych względem zaburzeń struktury dominacji oraz do aproksymacji zbioru Pareto.

1 ■ Wstęp

Rozpatrywać będziemy następujące zadanie optymalizacji wektorowej:

CZOP5 Vmax fix')

x e XQ .

gdzie / Jest funkcją wektorową odwzorowującą przestrzeń X w fc-wymiarową przestrzeń rzeczywistą, zwaną przestrzenia, kryterialna, Club przestrzenia, ocen), k > 2, a Vmax oznacza operator wyznaczenia wszystkich rozwiązań efektywnych ze zbioru rozwiązań dopuszczalnych XQ . Niech Z - < y « R*|

V = fCx) , x e XQ > . Element y , y e Z , nazywamy efektywnym. , Jeżeli z faktu, że y > y^ , i = 1 k , wynika y = y . Podzbiór elementów efektywnych zbioru Z nazywamy zbiorem. Pareto. Każde rozwiązanie x e Xq takie, że y = fix) , Jest elementem efektywnym nazywamy rozwiązaniem efektywnym. Dla uproszczenia notacji, wszędzie tam,gdzie to będzie możliwe^

będziemy pisać y zamiast fix) i operować elementami zbioru Z zamiast rozwiązaniami dopuszczalnymi, t J . elementami zbioru X^ . W pracy zakładać będziemy również dcmkniętość zbioru Z oraz istnienie elementu y *, y* c R^, takiego , że Z c <y*> - intCR^J . Przez e* oznaczać będziemy wektor wierszowy fc-wymiarowy złożony z samych Jedynek.

Praca została wykonana w ramach RP.1.02 "Teoria sterowania i optymali­

zacja ciągłych układów dynamicznych i procesów dyskretnych" temat 4 .5

"Wybrane metody rozwiązywania zadań programowania dyskretnego".

92 I . K a l i s z e w s k i

2. Rozwiązania istotnie efektywne

Definicja 2.1 CGeoffrion C196S3J. Element y , y e 2 nazywamy ii/iaAciwie e/eitlywnym-! jeżeli Jest on efektywny oraz istnieje skończona liczba H > 0 taka, że dla każdego i zachodzi

< H

dla pewnego ./ takiego, że y^. - y > O, o ile tylko y e 2 V, " V, > O.

Każde rozwiązanie xeXQ takie, że y = /Cx5 jest elementem właściwie efektywnym, nazywamy rozwiązaniem włodctwi© e/ekstywnym. W praktyce elementy nie będące właściwie efektywnymi są uważane za anomalie i zwykle są pomijane przy wyznaczaniu skończonych podzbiorów ¿reprezentantów! zbioru elementów efektywnych.

Definicja 2.1 daje możliwość ilościowego scharakteryzowania elementóv

¿rozwiązań! właściwie efektywnych. Problem ten rozpatrzymy w rozdziale czwartym niniejszej pracy. Wykorzystamy tam następującą, równoważną definicję właściwej efektywności. Zauważmy, że z warunku domkniętości zbioru 2 wynika, iż liczba W spełniająca Definicję 2.1 należy do przedziału OiQ , +oo! , gdzie Jest pewną liczbą nieujemną.

D aflnlcja 2.2 ¿Kaliszewski ¿1988!!. Element y , y e 2 , nazywamy ¿Stolnie a/efctywrtym,Jeżeli Jest efektywny oraz istnieje skończona liczba HQ> 0 taka, że

y . — y .

= max max _ min_ —^--- —

ye2 i;y - y > O j-.y . - y , > O y - y

*• 1 J J J J

h = 0 Jeżeli nie istnieje żaden element zbioru 2 dla którego y. - y. > O dla pewnego i .

3. generowanie rozwiązań właściwie- efaktywnych

Metody generowania rozwiązań efektywnych oparte na technikach

Analiza z b io r u P a re to w przestrzeni kryterialncj 93

separowania elementów zbiorów za pomocą stożków wypukłych są obszernie opisane w literaturze i od lat stosowane w praktyce Czob. BowmanCl 973), Di nkeibach,Iserman Cl973 }, Wi erzbi ck i Cl977,1980,1986}, C h o o ,Atk i ns Cl983}, Steuer,ChooCl983}, Sawaragi i in. Cl9 8 3 Kai iszewski Cl986,1987,1987b}, SteuerCl9865, Jahn Cl986}}. Istota tych metod sprowadza się do sprawdzenia

— ^

w v/ybranym elemencie y zbioru Z warunku C<y> + R + } n Z = -Cy> Cw przypadku generowania rozwiązań efektywnych} bądź warunku C<y> + ¿:CR^}} D Z = <ył Cw przypadku generowania rozwiązań właściwie efektywnych}, gdzie

jest pewnym stożkiem takim, że R^ c intC^CR+'}} Cporównaj także rozdział 5}. Metody te mają postać zadań programowania matematycznego. Ze względów technicznych w praktyce posługujemy się niemal wyłącznie metodami generowania rozwiązań właściwie efektywnych. Elementem różnicującym te metody Jest dobór stożka cC.R*} Czob. Kaliszewski Cl986}, gdzie przedstawiono szczegółowo zależności pomiędzy postacią stożka cCR+ ^ a h postacią zadania programowania matematycznego}. Przy pewnym szczególnym doborze stożka s otrzymujemy następujące twierdzenie.

Twierdzenie 3.1 CKal i szewski Cl 988). Element y , y e Z jest właściwie efektywny wtedy i tylko wtedy gdy istnieje X c A = < X e R X | X. > O ,

/ Ł

K

E X . = 1 > i p > 0 takie, że y jest rozwiązaniem następującego zadania i=l 1

pr ogr amowani a

mi n i max \ .iCy* - y . }] + pe^Cy - y } } . C3.1}

y«Z ' i Ł Ł

Dla każdego y e Z właściwie efektywnego istnieje X e A taki, że y rozwiązuje powyższy problem jednoznacznie dla pewnego dodatniego p spełniającego zależność H _ < CXp} 1 Dla każdego y e Z będącego

-1 rozwiązaniem problemu C3.i} zachodzi Mq < Cl + Ck - i}p}p

Słabsza wersja tego twierdzenia została, udowodniona w pracy Choo, Atkins Cl983} Czob. również Kaiiszewski C1987a}}. To co wyróżnia powyższe twierdzenie spośród twierdzeń tego samego typu znanych z literatury; to oszacowania na wartość M^ . Podobny rezultat z postacią zadania

94 I . K a i i s z e w s k i

min max tt.Cy - y . 3 + pe Cy - y33 uzyskano w pracy Kaliszewski Cl 985 3.

yeZ i 1 1 1

4. Odporność rozwiązań efektywnych

Pojęcie odporności rozwiązań efektywnych wprowadzimy w oparciu o pojęcie rozwiązań istotnie efektywnych.

Definicja 4.1 CKaliszewski C 1 S 8 8 ) E l e m e n t y , y e Z nazywamy istotnie e/eMćywnymjJeżeli Jest on efektywny oraz istnieje skończona liczba SQ > 0 taka, że

° ysZ £;y - y > O j;y - y > O y - y

L Ł J J J J

5O = 0 , Jeżeli nie istnieje żaden element zbioru Z ;dla którego y. - y. > 0 dla pewnego i.

Każde rozwiązanie x, x e XQ . takie, że /Cx3 jest elementem istotnie efektywnym j nazywamy rozwiązaniem istotnie e/ehtyionyrri. Rozwiązania CelementyJ istotnie efektywne są właściwie efektywne, ale nie odwrotnie.

Przypadkiem szczególnym Jest przypadek k = 2 - każde rozwiązanie Celementl właściwie efektywne Cw2S[4ciwie efektywny! Jest w tym przypadku istotnie efektywne.

Rozwiązania istotnie efektywne nazywamy również rozwiązaniami odpornymi. Motywacją do wprowadzenia pojęcia odporności rozwiązać efektywnych Jest następujące rozumowanie. Załóżmy, że zadanie ZOP modeluje pewien problem podejmowania decyzji. Wtedy XQ Jest zbiorem decyzji efektywnych, zbiór rozwiązań efektywnych jest zbiorem decyzji efektywnych.

/ jest wektorową oceną decyzji. Załóżmy również, że x Jest pewną decyzją efektywną. Pojecie odporności pozwala nam ocenió skutki odejścia od podjętej Cwynegocjowanej3 decyzji x do dowolnej innej decyzji ze zbioru XQ . Jeżeli x nie Jest rozwiązaniem o d p o r n y m ; to dla dowolnego 6 > O istnieje taka para indeksów i,j, i w j, oraz decyzja x « taka. że współczynnik wymiany

/ . Cx3 - / . Cx3 _l______ _____

/ ,Cx3 - / .Cx3

J J

Analiza zbioru Pareto w przestrzeni kryterlalnej 95

gdzie / £Cx3 - / £Cx3 > O . /^.Cx) - /jCxJ > O , Jest większy niż 6 . Jeżeli x jest rozwiązaniem odpornym, to istnieje <5 > 0 takie, że wszystkie współczynniki wymiany są mniejsze bądź równe <5 . Jeżeli 6 Jest małą liczbą, to skutki odejścia od decyzji x mogą byó ocenione Jako niewielkie [bezpieczne 3. Zwróćmy uwagę, że odporność rozwiązania Jest definiowana względem całego zbioru XQ ; Jest więc ona pojęciem globalnym.

Następujące dwa twierdzenia dostarczają nam technicznych środków do Identyfikowania rozwiązań istotnie efektywnych. Niech J bedzie zbiorem par indeksów Ci,j'3 takich, że i,j = 1 M, i * J , i < j.

Twlerdzonie 4.1. CKaliszewski C198833. Element y , y c Z , Jest Istotnie efektywny oraz Sq < Cl + p3Cp3 wtedy i tylko wtedy, gdy jest on efektywny oraz istnieje dodatnia liczba p taka, że dla wszystkich y , y e Z , i wszystkich Ci,j3 e J spełnione są następująco nierówności:

1 < max _■ \ U l + - y,.3 + pCy* - y. 31,

yeZCy,i 5 iJ 1 1 J J

i < max _ ^ , v cci + p ^ y * - y,-3 + p cy £ - y.-^i,

yeZCy.jJ J J i i

gdzie’. X. = [Cl + p3Cy* - ys 3 + p C y £ - y £^- 1 - y* Jest elementem

R* takim, że Z c <y*ł - intCR^ł , Z Cy, 13 = < y e Z | y £ > y £ > .

Twierdzenie 4.2. Jeżeli y , y e Z , Jest rozwiązaniem efektywnym oraz P - p Jest największą dodatnią liczbą taką, że dla wszystkich y . y « Z , i dla wszystkich Ci,j’3 <s J spełnione są następujące nierówności:

1 < max _ A CCI + p3Cy* - y 3 + pCy* - y.33,

yeZCy.il 1 jf J

i 5 max _ + p5Cy” - y 3 + pCy* - y 33.

yeZCy.jJ J J 1 1

gdzie \ , oraz ZCy,l3 są zdefiniowane jak w Twierdzeniu 4.1, to y jest elementem istotnie efektywnym oraz 5q = Cl + p3Cp3 1 .

96 I .Kaliszewski

5. Wrażliwość rozwiązań właściwie efektywnych względem zaburzeń struktury domi nac.1 i

Funkcja / ustala w zadaniu optymalizacji wektorowej pewną strukturę dominacji. W przypadku ogólnym strukturę dominacji definiuje się poprzez

— k *•

pewien zbiór D : mówimy, że element y przestrzeni li dominuje element y, jeżeli y - y e D . Elementy efektywne względem danej struktury dominacji są to elementy niezdominowane. W zadaniu optymalizacji wektorowej struktura dominacji zadana jest za pomocą stożka R* - i y e R*| y > O > .

W niniejszym rozdziale stawiamy sobie za cel podanie odpowiedzi na następujące pytanie: dane jest rozwiązanie właściwie efektywne x , x € X^|

jakie zaburzenia funkcji / są dopuszczalne» to znaczy nie naruszają statusu efektywności tego rozwiązania?

Aby to osiągnąć,rozważymy najpierw?Jakie zaburzenia struktury dominacji danej stożkiem R+ są dopuszczalne dla elementu y = /Cx), to znaczy nie naruszają statusu efektywności tego elementu. Zakładać będziemy, że zaburzenia struktury dominacji danej stożkiem są również stożkami wypukłymi. Zauważmy, że każde zaburzenie AC , gdzie AC jest stożkiem w ^ , takie, że AC c R1^ }Jest dopuszczalne dla każdego elementu efektywnego y , y € Z.

Przypomnimy równoważne podanym wcześniej defi n i e j o m f 1 ecz ogólniejsze definicje efektywności i właściwej efektywności. Niech będzie dany pewien stożek AC ustalający strukturę dominacji w R Ca więc i w X). Element y . y e Z Jest K-efektywny) Jeżeli CCy> + AC) n Z = <y> . Element y , y e Z , Jest K-wTcLściwie efektywny} Jeżeli Jest AC-efektywny oraz istnieje wypukły stożek K£ taki, że AC c intCAC^) oraz element y jest AC^-efektywny, tj.

CCy> + AC^) n Z = -Cył . Ta ostatnia definicja pochodzi od Heniga Czob.

Heni g Cl982a, b ).

Z powyższej definicji oraz z założenia o domknlętości zbioru Z wynika, że dla każdego elementu właściwie efektywnego y , y e Z , istnieje

-V. _ ^ "W —

maksymalne zaburzenie Cwypukły stożek) ACCy) taki, że c intCACCy)) Poniżej przedstawiamy metodę aproksymacji stożka ACCy) zaproponowaną w pracy Kaliszewski Cl989).

Załóżmy, że dla pewnego X oraz p za pomocą Twierdzenia 3.1. został wyznaczony właściwie efektywny element y , y € Z . Oznacza to, że w y spełniony jest warunek CCy> + AC^) O Z - <y> , gdzie AC^ ma postać

< y € R^ j y^. + pe^y > O , i = i,.. . ,k ł . Oczywiście, AC^, o AC^ ; Jeżeli

Analiza zbioru Pareto w przestrzeni kryterlalnej 97

p ’ > p .Zatem lm większa wartość parametru p Cprzy nie zmienionym \3, dla którego y rozwiązuje zadanie C3.15, tym lepsza aproksymacja K Cy3 . Można sformułować zatem zadanie poszukiwania maksymalnej wartości parametru p j dla którego y jest rozwiązaniem zadania C3.15 Czob.

Kaliszewski ClS883X Satysfakcjonujące wartości p mogą być znalezione np.

metodą bisekcji.

Załóżmy, żo dla pewnego efektywnego y, y e Z, znamy dopuszczalne zaburzenie K . Rozważmy zadanie optymalizacji wektorowej CZOW3, w którym funkcja celu / została zastąpiona inną funkcją /* . X -* R* .

Lemat S. 1. Warunkiem wystarczającym na to , aby rozwiązanie efektywne x - / Cy3 było efektywne względem / ’ ,Jest spełnienie nierówności;

i?£/£Cx3 < / £Cx3 + pe*/ Cx3 , dla i = 1 ...fc , x e X . C5.1 3 gdzie X = < x e X | / £ Cx3 - / £Cx3 + pe*C/Cx3 - /Cx33 > 0 , i = 1 ... k > .

= C/£Cxl + pe*/Cx33C/iCx33_1

Dowód. Oznaczmy T = < x e X | / £ Cx3 - / £ Cx3 > 0 , i = 1.... ,k > . Poniewąż x jest rozwiązaniem efektywnym względom /, natomiast Jest dopuszczalnym zaburzeniem y , zachodzi C{y> + n Z = iy> lub, co równoważne, X r\ XQ . Aby x było efektywne względem / ’(musi zachodzić T n XQ = <x> . Warunek ten jest spełniony, Jeżeli X z> T . Powyższa inkluzja Jest speł ni ona, J eżel i / £Cx3 - / £ Cx3 + pe*C/Cx3 - /Cx33 > /?£C/’Cxl - /¿Cx33 , dla i =* 1 ... k, x e X, lub inaczej, / £Cx3 + po*/ Cx3 > i?£/ ’Cx3, dla i “ i At , x e X . ■

Jeżeli funkcje / i / ' s ą dodatnio Jednorodne, to warunek C5.1) redukuje się do

/'Cx3 < / £Cx3 + peH/Cx3 . x « A , i = i At, C5. 31

* - At

gdzie A = i X e X | E C/.Cx3'- /.Cx3 + po C/Cx3 - /Cx331 = 1 > .

£=1 1

Warunek CS. 1 J można sprawdzić stosunkowo prosto obliczając dla każdego i

max C/£Cx3 - C/£ Cx3 + pe*/Cx333 CS.33 xeX

lub max C/'. Cx3 - C / . Cx3 + poK/Cx.333 . CS. 43

X«A Ł 1

98 I . K al i szew ski

Zaletą przedstawionej metody jest Jej ogólność. Zwróćmy uwagę, ±e mia ogólności metody uzyskujemy podobny efekt jak np. przy wyspecjalizowane metodzie dla wielokryteri alnych zadań programowania liniowego podanej t pracy Despande,ZiontsCl979) - po określeniu dopuszczalnego zaburzenia t postaci stożka K^ zbiór Xq nie odgrywa żadnej roli w analizie wrażliwość, wybranego r ozwiązania efektywnego Cpor. także Gal , Leber ling Cl 9B11 Gal , Wolf C1986,1988). W spostrzeżeniu tym zawarta Jest zasadnicza róźnici pomiędzy bezpośrednim sprawdzeniem f czy dane rozwiązanie pozostaji efektywne po zmianie funkcji / a proponowanym powyżej podejściem.

6. Aproksymacja zbioru Pareto w przestrzeni krvterialnej

Istnieje szereg metod dla aproksymacji zbioru Pareto w dwukryterialnyd zadaniach optymalizacji wektorowej Ctj. dla k = 2), w których zbiór jest wypukły Czob. Solanki,CohenC1989)). Uogólnieniem tych meta jest algorytm kanapkowy Csandwich. algori thm.') dla aproksymacji wartość;

wypukłej funkcji skalarnej Jednej zmiennej podany w Bur kard i in. Cl 987 oraz Fruhwirth i in. Cl988) wraz z oszacowaniem szybkości ich zbieżności Jak dotąd ; nie istnieją algorytmy dla aproksymacji zbioru Pareto >

przypadku ogólnym. Poniżej przedstawiamy ideę takiego algorytt wykorzystującego techniki omawiane w pracy.

Załóżmy, że k = 2 , /Cx) Jest funkcją ciągłą, XQ zbiorem nieskończony i spójnym. Wówczas zbiór Pareto Jest krzywą. Każde rozwiązanie efektywne zadania optymalizacji wektorowej w oparciu o Twierdzenie 3.1 wyznacza w t

— 2 2

zbiór elementów /Cx) + K^ , gdzie K^ = < y € R | + pe y > 0 i = >. Oczywiście, ponieważ x jest rozwiązaniem efektywny C/Cx) + K^) n Z = / Cx) . Zatem zbiór /Cx) + wyznacza pewną stożkom aproksymację zbioru Z. Suma takich zbiorów pochodzących od różnyć rozwiązań efektywnych jest także aproksymacją; Im więcej znamy rozwiązr efektywnychftym lepsza aproksymacja.

W celu poprawienia aproksymacji możemy, podobnie jak w poprzedni:

rozdziale, postawić zadanie poszukiwania maksymalnej wartości p^dla ktćr*

C/Cx) + K^) n Z = /Cx) .

Jeżeli krzywa Pareto jest pewną funkcją wklęsłą f to powyższy sches*

prowadzi do aproksymacji gorszych niż wspomniane wyżej wyspecjalizować metody dla przypadku wypukłego Z. Natomiast gdy krzywa Pareto Jest funkcj ściśle wypukłą, to schemat ten jest jedynym możliwym do zastosowani*

Analiza zbioru Pareto w przestrzeni kryterialnej 95

Jeżeli nie zachodzi żaden z powyższych przypadków, to dla uzyskania efektywności aproksymacji powyższy schemat wymaga pewnych modyfikacji;

Jednak i w tym przypadku aproksymacja stożkami odgrywa zasadniczą rolę.

LITERATURA

Bowman V.J. Jr. , On the relationship of the Tchebycheff norm and the efficient frontier of multipie-criteria objectives. Multiple Criteria Decision Making, H.Thirez and S. Zionts Ceds5, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 130, Springer Verlag, 1976.

Burkard R. E. , Hamacher H. W. , Rothe G. , Approximation of convex functions and Applications in mathemathical programming. Report 89-1987, Institut für Mathematik, Technische Universität Graz, 1987.

Choo E. U. , Atkins D. R. , Proper efficiency in nonconvex programming.

Mathematics of Operations Research, vol 8, 1983, 467-470.

Deshpande D. V. , Zionts S., Sensitivity analysis in multiple objective linear programming: changes in the objective function matrix. Working Paper no 399 Cl9795, State University of New York, USA.

Dinkelbach W. , Iserman H. , On decision making under- multiple criteria and under incomplete information. J.L. Cochrane, M. Zeleny Ceds}, Multiple criteria decision making. University of South Carolina, Columbia, 1973, 302-312.

Fruhwirth B. , Burkard R. E. , Rote G. , Approximation of convex curves with applications to the bicriterial minimum cost flow problem. Report no 119, Institut für Mathematik, Technische Universität Graz, 1988.

Gal T. , Leber ling H. , Relaxation analysis in linear vector valued maximization. European Journal of Operations Research, vol ß, 1981, 274-282.

Gal T. , Wolf K. , Stability in vector optimization - a survey. European Journal of Operations Research, vol 25, 1986, 169-182.

Gal T. , Wolf K. , The impact of variations of the domination structure on the efficient solutions in a decision problem under several criteria.

Paper presented at IX-th International Conference on MCDM Methods, Manchester, England, August, 1988.

Geoffrion A.M. , Proper efficiency and the theory of vector maximization.

Journal of Mathematical Analysis and its Applications, vol' 22, 1968, pp 618-630.

100

pp 387-407.

Henig M. I . , A cone separation theorem. JOTA, vol 36, 1983, 451-455.

Jahn J. , Mathematical Vector Optimization in Partially Ordered Linear Spaces, Peter Lang, Frankfurt am' Main, 1986.

Kaliszewski I., Characterization of properly efficient solutions by an augmented Tchebycheff norm. Bulletin of Polish Accademy of Sciences, Ser.

Technical Sciences 33, 1985, pp 415-420.

Kaliszewski I., Norm sealarization and proper efficiency in vector optirdzation. Foundations of Control Engineering, vol 11 , 1986.

Kaliszewski I. A modified weighted Tchebycheff metric for multiple objective programming. Computers and Operations Research, vol 14, 1987, 315-323.

Kaliszewski I. , Generating nested subsets of efficient solutions. Recent Advances and Historical Development of Vector Optimization. J.Jahn, W. Krabs, Ceds. } , Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems 294, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1987.

Kaliszewski I., Substantially efficient solutions of vector optimization problems. Systems Research Institute Technical Report ZPM5/88, Warszawa, 1988.

Steuer R. E. , Multiple Criteria Optimization: Theory, Computation and Application. John Wiley & Sons, New York, 1976.

Steuer R.E. , Choo E. U. , An interactive weighted Tchebycheff procedure for multiple objective programming. Mathematical Programming, vol 26, 1983, 326-344.

Sawaragi Y. , Nakayama H. , Tanino T. , Theory of Multiobject!ve Op timization. Academic Press, New York, 1985.

Solanki R. S. , Cohon J. L. , Approximating the noninferior set in linear biobjective programs usuig multiparametric decomposition. EJOR 41, 1989, 355-366.

Wierzbicki A. P. , Basic properties of scalarization functionals for multiobjective optimization. Mathematische Operationsforschung und Statistik, ser. Optimization, vol 8, 1977, 55-60.

Wierzbicki A.P., The use of reference objectives in multiobjective optimization. Multiple Criteria Decision Making; Theory and Applications, G.Fandel, T. Gal Ceds. 5 Springer Verlag, 1980, 468-486.

Wierzbicki A. P. , On the completeness and constructiveness of parametric characterizations to vector optimization problems. OR Spectrum, vol 8, 1986, 73-87.

Recenzent: Prof .dr h.inż.R.Sł owiński Wpiyn«=4o do Redakcji do 1990-04-30.

Analiza zbioru Pareto w przestrzeni kryterlalne.j 101

THE ANALYSIS OF THE PARETO SET IN THE CRITERIA SPACE

S u m m a r y

The method of solving vector optimization problems using techniques for separation of elements of sets by convex cones are presented together with original ideas and theoretical results related to those methods. With the help of the results the above techiques can bo used not only to generate the efficient solutions but also to the analyse the robustness of efficient solutions, to perform the sensitivity analysis of efficient solutions with respect to domination structure perturbations. and to approximations of the Pareto sets.

AH AM 3 MKMECTBA. IIAPETO B ttPOCTPAHCTEB OUEHOK

P e 3 K) m e

OrmcaHH MeTCfflH peuieHUH 3a.ua a BeKiopHofi o n T HMH3aunn, ocHOBSHHtie na n p H H m m s x cenapaiatK sjieMeHTOB MHoxecTB npw iiomoiuh BHnyK- uhx KoHycoB. KpoMe Toro npesciaBJieHu opurnHajibhhe Jiuen h Teopera- ueciuie pe3yjn>TaTK, KOTopHe ik>3bojihkt npmvieHHTB sth npHHumiu He tojib- ko juin reHepnpoBaHHH sdxpeKTHBHHX pemeHHii, ho TO&e ujih aHajoi3s ycTOË-*

TOBOCTH Sijd&eKTHBHHX peffleHHË , aH8JIH3a EyBCTBHTeJIBHOCTE 3$$eKTEBHHX peoieima no oTHomeiano k B03MymeHHHM CTpyKTyp u o M m m p o B a H i w a ujih an- npoKciifÆUHH MHoatecTBa Ilapeto.