ln1 r0, t t ln1 r0, s s 1 fs, t ts.

(1)

Wstpdomatematykifinansowej-7

S tru ktu ra te rm in ow a stó p pr oc en to w yc h (z ale no ci ”d ete rm in is ty cz ne ”)

NiechobligacjazerokuponowamawartonominalnMiterminwykupuprzezemitentaustalonynamomentT.Zakładanenaokresy0,s,0,torazs,trocznestopyzwrotu(zlokatwobligacje)oznaczmyodpowiednio:r0,s,r0,tterminowestopyoddzidomomentóws,t(”spotrates”)fs,tterminowestopyprzyszłe(odmomentus)(”forwardrates”).Wedługtzw.teoriioczekiwateoretycznawartoP0obligacji”dzi”(wmomencie0)orazwartociPs,Ptwprzyszłoci,(wmomentachs,t,gdzie0stT)zwizanesrównaniem1r0,t t1r0,s s1fs,t ts,czyli ln1r0,t tln1r0,s s1fs,t ts.

Terminowestopyspełniajwicrównanietln1r0,tsln1r0,stsln1fs,t,zatemrównowaneimstopycigłe:0,sln1r0,s0,tln1r0,ts,tln1fs,tspełniajrównanie:

t0,ts0,stss,t,czyli

tss,tt0,ts0,st0,t0,sts0,s,astds,tt 0,t0,sts 0,s.

(2)

Zakładajccigłofunkcjits,tiróniczkowalnofunkcjis0,s,orazprzyjmujczaznantzw.chwilowrocznstopcigłss,s(cigłarocznastopaprocentowanaokress,sds,ds0),poprzejciudogranicytsotrzymujemyrównanieróniczkowelinioweniejednorodnes,ss0,s0,s,(gdzieozn.:0,ss 0,s),któregorozwizaniemjestfunkcja0,s 1s0 s,d 1s0 sd

Rzeczywicie

s0,s0,s

s dds 1s0 s,d 1s0 s,d

s 1s 20 s,d 1s s,s

1s0 s,ds,s Stdizwyjciowegorównaniadlastóp”spot”i”forward”otrzymujemytes,t t0,ts0,stst 1t0 tds 1s0 sdts1tss td

tzn.rocznacigłastopa”forward”wokresies,tjestwartocirednirocznejchwilowejstopyprocentowejwtymokresie.Przykład

0,t0.10.04t0.05t 2

(3)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

0.20.40.60.81ts,t t0,ts0,sts0.1ts0.04t 2s 20.05t 3s 3ts0.10.04st0.05s 2t 2st

0.04 0.06 0.08 0.1

00.20.40.60.81 t 00.20.40.60.81 s

C za s trw an ia iw yp uk ło dla ob lig ac ji

Potraktujmywartoteoretycznwmomencie0obligacjiwypłacajcejdywidendyCC1,C2...,CNwmomentacht1,2,...,Njakofunkcjzakładanejstopyzwrotu(rentownoci)r,tzn.rozwamyfunkcj

rPrFC,r0n1 NCn1r n

Zauwamy,edPdr rn1 NnCn 11r n1oraz d 2Pdr 2 rn1 Nnn1Cn 11r n2 .

(4)

Miara(I-szegorzdu)wraliwociprocentowejzmianycenynazmianstopyzwrotu Dr dPP rd1r1r dPP rdr1r 1rP dPdr r

nazywanateczasemtrwaniaobligacji(Macaulay’sduration)danajestwzorem

Dr n1 NnCn 11rn

n1 NCn 11rn

InterpretacjaduracjiMamy Dr n1 NnCn 11r n

m1 NCm 11r m

n1 Nn Cn 11r n

m1 NCm 11rm

czyliduracjajestredniwaonmomentówwypłatydywidend(stdnazwa”redniczastrwania’);przyczymwagdlamomentutnjestudziałzdyskontowanejntejdywidendywsumiezdyskontowanychwszystkichdywidend.Oczywicie1DrN.Rozwamywartoteoretycznobligacjiwmomencietprzystopierentownocirjakowartowszystkichdywidendzobligacjiwmomenciet.Potraktujmyjjaksparametryzowanprzeztrodzinfunkcjizmiennejr(funkcjdwóchzmiennychr,t)

rPtrFC,rtn1 NCn1r tn

(5)

10 12 14 16 0.160.180.20.220.24r 0

1

2

3 t

t,rFC,rtPtr41r t131r t271r t3

Mamy:funkcjrP0rn1 NCn1r nmalejcorazfunkcjrPNrn1 NCn1r Nnrosnc.Zapytajmyomomentt0;N,wktórymwartociPtrs”odporne”nazmianystopyprocentowej,tzn.ot,przyktórym dPtdr r ddrn1 NCn1r tn0czyli:

n1 NCntn1r tn10.

Zpowyszejrównoci

t1r t1

n1 NCn1r n1r t1

n1 NCnn1r n

toznaczy

t n1 NCnn1r n

n1 NCn1r n Dr.

(6)

0.160.180.20.220.24r00.5

11.5

22.5

3 t

FC,rtPr,t41r t131r t271r t3const D0.2 1410.2 12310.2 2351410.2 1310.2 2510.21.947075209:

Tzw.zmodyfikowanyczastrwaniaobligacji(modifiedduration)Dmr 1dr dPP rdanyjestwzorem Dmr Dr1r 11r n1 NnCn 11rn

n1 NCn 11rn Miara(II-egorzdu)nazywanawypukłocizdefiniowanajestjako

Cr 1dr 2 d 2PP rn1 Nnn1Cn 11r n2

PoniewazewzoruTaylora(dowyrazurzduII-ego)PrPrrPr dPdr rr 12 d 2Pdr 2 rtozmodyfikowanyczastrwaniaiwypukłospoprostuczynnikamiodpowiadajcymipierwszejidrugiejpochodnejwprzyblieniufunkcjirPrzapomocwzoruTaylora:

PP rDmrr 12 Crr 2