Matematyka w XIX wieku. Wrocław, 4 maja 2016

(1)

Matematyka w XIX wieku

Wrocław, 4 maja 2016

Matematyka w XIX wieku

(2)

Jeszcze o wieku XVIII

Z jakimi działami matematyki kojarzą się następujące nazwiska?

J. d’Alembert (1717 - 1783)

J. Lagrange (1736 - 1813) G. Monge (1746 - 1818) P. S. Laplace (1749 - 1827) A. Legendre (1752 - 1833) J. B. Fourier (1768 - 1830) D. Poisson (1781 - 1840)

Matematyka w XIX wieku

(3)

Jeszcze o wieku XVIII

J. d’Alembert (1717 - 1783) J. Lagrange (1736 - 1813)

G. Monge (1746 - 1818) P. S. Laplace (1749 - 1827) A. Legendre (1752 - 1833) J. B. Fourier (1768 - 1830) D. Poisson (1781 - 1840)

Matematyka w XIX wieku

(4)

Jeszcze o wieku XVIII

J. d’Alembert (1717 - 1783) J. Lagrange (1736 - 1813) G. Monge (1746 - 1818)

P. S. Laplace (1749 - 1827) A. Legendre (1752 - 1833) J. B. Fourier (1768 - 1830) D. Poisson (1781 - 1840)

Matematyka w XIX wieku

(5)

Jeszcze o wieku XVIII

J. d’Alembert (1717 - 1783) J. Lagrange (1736 - 1813) G. Monge (1746 - 1818) P. S. Laplace (1749 - 1827)

A. Legendre (1752 - 1833) J. B. Fourier (1768 - 1830) D. Poisson (1781 - 1840)

Matematyka w XIX wieku

(6)

Jeszcze o wieku XVIII

J. d’Alembert (1717 - 1783) J. Lagrange (1736 - 1813) G. Monge (1746 - 1818) P. S. Laplace (1749 - 1827) A. Legendre (1752 - 1833)

J. B. Fourier (1768 - 1830) D. Poisson (1781 - 1840)

Matematyka w XIX wieku

(7)

Jeszcze o wieku XVIII

J. d’Alembert (1717 - 1783) J. Lagrange (1736 - 1813) G. Monge (1746 - 1818) P. S. Laplace (1749 - 1827) A. Legendre (1752 - 1833) J. B. Fourier (1768 - 1830)

D. Poisson (1781 - 1840)

Matematyka w XIX wieku

(8)

Jeszcze o wieku XVIII

J. d’Alembert (1717 - 1783) J. Lagrange (1736 - 1813) G. Monge (1746 - 1818) P. S. Laplace (1749 - 1827) A. Legendre (1752 - 1833) J. B. Fourier (1768 - 1830) D. Poisson (1781 - 1840)

Matematyka w XIX wieku

(9)

Nieco o wieku XIX

Bolyai - Łobaczewski - Gauss

Poncelet - von Staudt

Hamilton - Cayley - Sylvester - Grassman Galois - Abel

Dirichlet Dedekind Jacobi

Lambert - Hermite - Lindemann

Matematyka w XIX wieku

(10)

Nieco o wieku XIX

Bolyai - Łobaczewski - Gauss Poncelet - von Staudt

Matematyka w XIX wieku

(11)

Nieco o wieku XIX

Hamilton - Cayley - Sylvester - Grassman

Galois - Abel Dirichlet Dedekind Jacobi

Matematyka w XIX wieku

(12)

Nieco o wieku XIX

Matematyka w XIX wieku

(13)

Nieco o wieku XIX

Dirichlet

Dedekind Jacobi

Matematyka w XIX wieku

(14)

Nieco o wieku XIX

Dirichlet Dedekind

Jacobi

Matematyka w XIX wieku

(15)

Nieco o wieku XIX

Matematyka w XIX wieku

(16)

Nieco o wieku XIX

Matematyka w XIX wieku

(17)

Uniwersytet St. Andrews

Strona Uniwersytetu St. Andrews (Szkocja)

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/

jest dobrym źródłem wiadomości historycznych, biografii, itp.

Matematyka w XIX wieku

(18)

Z czym matematyka weszła w XIX wiek?

Wspaniały rozwój Analizy Matematycznej (w tym równania różniczkowe) — np. badanie stabilności systemu słonecznego.

Czym w owym czasie jest Algebra?

To peryferie matematyki:

Znano różne operacje na liczbach (w tym zespolonych) i na symbolach abstrakcyjnych.

Umiano rozwiązywać równania wielomianowe jednej zmiennej i wiadomo było (ok. roku 1820), że od stopnia 5 wzwyż wzory ogólne nie istnieją.

Potrafiono rozwiązywać układy równań liniowych. I właściwie niewiele więcej.

Matematyka w XIX wieku

(19)

Z czym matematyka weszła w XIX wiek?

Matematyka w XIX wieku

(20)

Z czym matematyka weszła w XIX wiek?

Matematyka w XIX wieku

(21)

Z czym matematyka weszła w XIX wiek?

Potrafiono rozwiązywać układy równań liniowych.

I właściwie niewiele więcej.

Matematyka w XIX wieku

(22)

Z czym matematyka weszła w XIX wiek?

Potrafiono rozwiązywać układy równań liniowych.

I właściwie niewiele więcej.

Matematyka w XIX wieku

(23)

Carl Friedrich Gauss

Urodził się 30 kwietnia 1777 roku w Brunszwiku.

Żartobliwie mówił, że wcześniej umiał liczyć niż mówić.

W szkole był równie dobry w językach jak i w matematyce. Od 1795 „studiował w Getyndze” – matematyki nauczał tam Kaestner („najlepszy poeta ...”).

Od 30 marca 1796 notował po łacinie swoje rezulataty (146 wpisów, pierwszy o konstrukcji 17-kąta).

W czasie studiów w Getyndze dokonał wielu odkryć, lubił zwłaszcza teorię liczb (Matematyka jest królową nauka, a ...) Dokończył studia w Helmsted, tam poznał Pfaffa.

W 1807 zaproponowano mu posadę w Akademii Nauk w St. Petersburgu, za namową Olbersa odmówił.

Przyjął stanowisko dyrektora obserwatorium astronomicznego w Getyndze, bo to nie odrywało go od pracy.

Całe życie przebywał w Getyndze, w 1828 pojechał do Berlina na spotkanie naukowe, a w 1854 pojechał koleją (po otwarciu linii Getynga–Hanower).

Matematyka w XIX wieku

(24)

Carl Friedrich Gauss

W szkole był równie dobry w językach jak i w matematyce.

Od 1795 „studiował w Getyndze” – matematyki nauczał tam Kaestner („najlepszy poeta ...”).

Matematyka w XIX wieku

(25)

Carl Friedrich Gauss

Matematyka w XIX wieku

(26)

Carl Friedrich Gauss

Matematyka w XIX wieku

(27)

Carl Friedrich Gauss

W czasie studiów w Getyndze dokonał wielu odkryć, lubił zwłaszcza teorię liczb (Matematyka jest królową nauka, a ...)

Dokończył studia w Helmsted, tam poznał Pfaffa.

Matematyka w XIX wieku

(28)

Carl Friedrich Gauss

Matematyka w XIX wieku

(29)

Carl Friedrich Gauss

W 1807 zaproponowano mu posadę w Akademii Nauk w St.

Petersburgu, za namową Olbersa odmówił.

Matematyka w XIX wieku

(30)

Carl Friedrich Gauss

Matematyka w XIX wieku

(31)

Carl Friedrich Gauss

Matematyka w XIX wieku

(32)

Gauss

Pierwsze wyniki:

1796: Dowód konstuowalności cyrklem i linijką

siedemnastokąta foremnego (największe osiągnięcie geometrii od czasu Euklidesa)

1799: Pierwszy pełny dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry

1801: Disquisitiones Arithmeticae (Badania arytmetyczne) Theorema Aureum = prawo wzajemności reszt kwadratowych planetoida Ceres: odkrył ją 1 stycznia 1801 roku G. Piazzi; po obserwacji 9 stopni jej orbity planetoida schowała się za Słońce. Opublikowano kilka wyników obliczeń, kiedy i gdzie na niebie powinna się znów pojawić, w tym rezulatat Gaussa, znacznie różniący się od pozostałych. 7 grudnia 1801

zobaczono Ceres znowu i to dokładnie w miejscu wskazanym przez Gaussa. Gauss użył w tych rachunkach metody

najmniejszych kwadratów.

Matematyka w XIX wieku

(33)

Gauss

Pierwsze wyniki:

Matematyka w XIX wieku

(34)

Gauss

Pierwsze wyniki:

1801: Disquisitiones Arithmeticae (Badania arytmetyczne)

Theorema Aureum = prawo wzajemności reszt kwadratowych planetoida Ceres: odkrył ją 1 stycznia 1801 roku G. Piazzi; po obserwacji 9 stopni jej orbity planetoida schowała się za Słońce. Opublikowano kilka wyników obliczeń, kiedy i gdzie na niebie powinna się znów pojawić, w tym rezulatat Gaussa, znacznie różniący się od pozostałych. 7 grudnia 1801

Matematyka w XIX wieku

(35)

Gauss

Pierwsze wyniki:

1801: Disquisitiones Arithmeticae (Badania arytmetyczne) Theorema Aureum = prawo wzajemności reszt kwadratowych

planetoida Ceres: odkrył ją 1 stycznia 1801 roku G. Piazzi; po obserwacji 9 stopni jej orbity planetoida schowała się za Słońce. Opublikowano kilka wyników obliczeń, kiedy i gdzie na niebie powinna się znów pojawić, w tym rezulatat Gaussa, znacznie różniący się od pozostałych. 7 grudnia 1801

Matematyka w XIX wieku

(36)

Gauss

Pierwsze wyniki:

Matematyka w XIX wieku

(37)

Arytmetyka reszt modulo n

W Disquisitiones Gauss wprowadził bardzo użyteczny i sugestywny symbol kongruencji czyli przystawania według modułu n:

a ≡ b mod (n) ⇐⇒ n|(a − b).

Co czytamy: a przystaje do b modulo n, gdy n dzieli różnicę a − b.

Matematyka w XIX wieku

(38)

Arytmetyka reszt modulo n

Zbadawszy własności arytmetyki mod (n) Gauss zauważył, że Zn

(czyli Z modulo n) jest ciałem liczbowym wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą.

Zn jest zawsze pierścieniem liczbowym, aby taki pierścień był ciałem, nie może zawierać dzielników zera, np. w Z6 mamy 3 · 2 = 0 mod (6).

Zp pierwsze ciało liczbowe wprowadzone nie dla celów praktycznych (w przeciwieństwie do Q, R oraz C).

Matematyka w XIX wieku

(39)

Kongruencje kwadratowe

Problem istnienia rozwiązania kongruencji x² ≡ a mod (p) dla danej liczby pierwszej p jest stosunkowo łatwy do rozwiązania.

Równanie takie ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy (zakładamy tu, że a nie przystaje do 0 mod (p) oraz p > 2)

a^(p−1)/2≡ 1 (p)

Matematyka w XIX wieku

(40)

Kongruencje kwadratowe

Zamieńmy rolami a oraz p: ustalamy liczbę całkowitą a.

Dla których liczb pierwszych p kongruencja x²≡ a (p) ma rozwiązania?

Matematyka w XIX wieku

(41)

Prawo wzajemności reszt kwadratowych

Euler i Legendre sformułowali Prawo wzajemności reszt

kwadratowych, ale nie potrafili go udowodnić. Zrobił to dopiero w Disquisitiones Aritmeticae Gauss i nazwał Złotym Twierdzeniem (Theorema Aureum).

W Disquisitiones podał dwa różne dowody, a potem jeszcze 6 innych. Do tej pory podano sto kilkadziesiąt dowodów (często bardzo podobnych).

Matematyka w XIX wieku

(42)

Symbol Legendre’a

Dla liczb całkowitych a, p oznaczmy

a p

=

( 1, gdy a jest resztą kwadratową mod p,

−1, gdy a nie jest resztą kwadratową mod p.

Na przykład 2 jest resztą kwadratową mod 7, a 3 nie jest.

Rzeczywiście: 1², 2², 3², 4², 5² i 6² dają reszty mod (7) równe odpowiednio 1, 4, 2, 2, 4, 1. Zatem 1, 2 i 4 są resztami

kwadratowymi mod (7), a liczby 3, 5 i 6 nie są.

Matematyka w XIX wieku

(43)

Prawo wzajemności reszt kwadratowych

Theorem

Niech p i q będą nieparzystymi liczbami pierwszymi. Wówczas

p q

q p

= (−1)((p−1)/2)((q−1)/2).

Matematyka w XIX wieku

(44)

Prawo wzajemności reszt kwadratowych

W zależności od przystawania p i q

kongruencja x²≡ p (mod q) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy y² ≡ q (mod p) ma rozwiązanie

albo

kongruencja x²≡ p (mod q) nie ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja y²≡ q (mod p) nie ma rozwiązania.

Matematyka w XIX wieku

(45)

Gauss i astronomia

W roku 1809 ukazuje się dwutomowe dzieło Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium, w którym między innymi podany jest sposób obliczania torów ciał niebieskich.

Problem trzech ciał: Lagrange – medal Akademii Paryskiej za szczególne rozwiązanie. Ogólny przypadek do dziś otwarty.

Odkryty 23 września 1846, Neptun jest jedyną planetą odnalezioną na drodze przewidywań matematycznych, w miejsce obserwacji nieba. Niespodziewane zmiany w orbicie Urana doprowadziły astronomów do wniosku, że podlega ona perturbacjom nieznanej planety. Obliczenia przeprowadzili niezależnie Adams i Le Verierre.

Skąd hel wziął swą nazwę?

Matematyka w XIX wieku

(46)

Gauss i geometria nieeuklidesowa

Pomiary kątów trójkąta — próba stwierdzenia czy otaczający nas świat jest euklidesowy, czy hiperboliczny.

Matematyka w XIX wieku

(47)

Funkcja hipergeometryczna

W roku 1812 w pracy Disquisitiones generales circa seriem infinitam wprowadza ściśle pojęcie zbieżności szeregów i definiuje funkcję hipergeometyczną₂F₁:

2F1(a, b; c; x ) =

∞

X

n=0

(a)n(b)n

(c)_n xⁿ

n!,

gdzie (a)n= ^Γ(a+n)_Γ(a) = a(a + 1)...(a + n − 1) jest symbolem Pochhammera.

Funkcja ta spełnia tak zwane równanie hipergeometryczne x (1 − x )y⁰⁰(x ) + [c − (a + b + 1)x )]y⁰(x ) − ab y (x ) = 0.

Za pomocą funkcji hipergometrycznej można np. podać wzory na pierwiastki dowolnego wielomianu stopnia 5 (F. Klein 1877).

Matematyka w XIX wieku

(48)

Geometria różniczkowa

Wprowadza pojecie krzywizny (zwanej teraz krzywizną Gaussa) i dowodzi twierdzenia, które nazywa Theorema egregium

(Twierdzenie wyborne)

Jeśli jakąkolwiek powierzchnię w R³ izometrycznie odwzorujemy na inną, to krzywizna zostanie zachowana.

Dlatego np. połówki piłki nie da się rozpłaszczyć (bo kula ma niezerową krzywiznę, a płaszczyzna zerową).

Matematyka w XIX wieku

(49)

Rozmieszczenie Liczb Pierwszych

Niech π(x ) oznacza ilość liczb pierwszych, które nie przekraczają x . Badając tablice (ułożone samodzielnie) Gauss zauważył, że

π(x ) ∼ x ln x.

Gauss wprowadził funkcję Li (x ) =^R₂^x _{ln t}¹ dt i uważał, że daje ona lepsze przybliżenie π(x ) niż x / ln x .

W istocie π(x ) = Li (x ) + O(xe^−a

√ ln x).

Matematyka w XIX wieku

(50)

Elektryczność i magnetyzm

Rozwija teorię potencjału (matematyczną), a potem stosuje ją w fizyce.

W latach 1832-1841 wpółpracuje z fizykiem Weberem, budują magnetometr i badają pole magnetyczne Ziemi. Dziś jednostka pola magnetycznego to gauss. Gauss i Weber mają wspólny pomnik w Getyndze.

Budują razem telegraf magnetyczny (raczej jako ciekawostkę), przesyłają wiadomości na odległość 5000 stóp.

Matematyka w XIX wieku

(51)

Matematyka w XIX wieku

(52)

Cauchy i Weierstrass

Augustin Louis Cauchy (1798 - 1857)

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897)

Matematyka w XIX wieku

(53)

Bernhard Riemann (1826-1866)

Za życia Riemanna ukazały się cztery jego prace, a jednak wstrząsnął on matematyką.

Matematyka w XIX wieku

(54)

Bernhard Riemann (1826-1866)

Studia w Getyndze 1846-47, potem w Berlinie u Steinera,

Dirichleta, Jacobiego i Eisensteina. Tam Riemann rozwinął swoją teorię funkcji zespolonych. Przypomnijmy tw. Riemanna o odwzorowaniu: każdy jednospójny obszar na płaszczyźnie zespolonej jest konforemnie równoważny kołu jednostkowemu.

Matematyka w XIX wieku

(55)

Bernhard Riemann (1826-1866)

Studia w Getyndze 1846-47, potem w Berlinie u Steina, Dirichleta, Jacobiego i Eisensteina. Tam Riemann rozwinął swoją teorię funkcji zespolonych. Przypomnijmy tw. Riemanna o odwzorowaniu:

każdy jednospójny obszar na płaszczyźnie zespolonej jest konforemnie równoważny kołu jednostkowemu.

W roku 1849 powraca do Getyngi i pisze u Gaussa doktorat (w 1851).

Matematyka w XIX wieku

(56)

Bernhard Riemann (1826-1866)

Studia w Getyndze 1846-47, potem w Berlinie u Steina, Dirichleta, Jacobiego i Eisensteina. Tam Riemann rozwinął swoją teorię funkcji zespolonych. Przypomnijmy tw. Riemanna o odwzorowaniu:

każdy jednospójny obszar na płaszczyźnie zespolonej jest konforemnie równoważny kołu jednostkowemu.

W roku 1849 powraca do Getyngi i pisze u Gaussa doktorat (w 1851).

Szybko? Gdy w szkole średniej mógł pożyczać książki od dyrektora, przeczytał (i zrozumiał) w 6 dni 900 stron książki Legendre’a o teorii liczb.

http://www.emis.de/classics/Riemann/

Matematyka w XIX wieku

(57)

Bernhard Riemann (1826-1866)

W roku 1854 Riemann habilituje się, przygotowuje 3 wykłady: dwa z elektryczności, jeden z geometrii. Gauss wybiera (wbrew

oczekiwaniom Riemanna) ten trzeci.

10 czerwca 1854 Riemann wygłasza wykład O hipotezach leżących u podstaw geometrii ( ¨Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen).

Matematyka w XIX wieku

(58)

Bernhard Riemann (1826-1866)

W roku 1854 Riemann habilituje się, przygotowuje 3 wykłady: dwa z elektryczności, jeden z geometrii. Gauss wybiera (wbrew

oczekiwaniom Riemanna) ten trzeci.

10 czerwca 1854 Riemann wygłasza wykład O hipotezach leżących u podstaw geometrii ( ¨Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen).

Spośród obecnych na sali jedynie Gauss był w stanie ocenić wykład. Był zdumiony, wykład przeszedł jego najśmielsze oczekiwania, potem z wyjątkowym entuzjazmem opowiadał Weberowi o głębi pomysłów Riemanna.

Wykład zmienił sposób patrzenia na geometrię i zapoczątkował geometrię różniczkową, rozmaitości riemannowskie, itd. Otworzył też drogę teorii względności i kosmologii.

Matematyka w XIX wieku

(59)

Funkcja ζ Riemanna

Funkcja zeta (dzeta) Riemanna: dla Re s > 1 połóżmy ζ(s) =

∞

X

n=1

1 n^s. Ponieważ, jak wykazał Euler,

∞

X

n=1

1 n^s =

∞

Y

n=1

1 1 −_p¹s

n

,

więc funkcja ζ(s) ma wielkie znaczenie w teorii liczb.

Matematyka w XIX wieku

(60)

Zera funkcji ζ Riemanna

Przez przedłużenie analityczne Riemann rozszerzył funkcję ζ na wszystkie liczby zespolone różne od 1 (to przedłużenie nie jest już zadane szeregiem!). Łatwo znaleźć niektóre zera tej rozszerzonej funkcji: s = −2, −4, −6, .... Te zera zwane są zerami trywialnymi.

Matematyka w XIX wieku

(61)

Zera funkcji ζ Riemanna

Przez przedłużenie analityczne Riemann rozszerzył funkcję ζ na wszystkie liczby zespolone różne od 1 (to przedłużenie nie jest już zadane szeregiem!). Łatwo znaleźć niektóre zera tej rozszerzonej funkcji: s = −2, −4, −6, .... Te zera zwane są zerami trywialnymi.

Riemann w pracy O liczbie liczb pierwszych mniejszych od zadanej wielkości zauważył, że ζ ma nieskoczenie wiele nietrywialnych zer i wszystkie one mają cześci rzeczywiste zawarte w przedziale [0, 1].

Matematyka w XIX wieku

(62)

Wielka Hipoteza Riemanna

Wszystkie nietrywialne zera funkcji ζ leżą na prostej Re s = ¹₂.

Matematyka w XIX wieku

(63)

Wielka Hipoteza Riemanna

W roku 1896 J. Hadamard i de la Valle Poussin wykazali

(niezależnie), że na prostej Re s = 1 funkcja ζ nie ma zer, a stąd wynika już wspomniana hipoteza Gaussa:

π(x ) ∼ x ln x.

Wiele twierdzeń z teorii liczb zaczyna się od słów: jeśli Wielka Hipoteza Riemanna jest prawdą, to ...

Jeden z siedmiu Problemów Milenijnych to właśnie Wielka Hipoteza Riemanna.

Matematyka w XIX wieku

(64)

Matematyka w XIX wieku

(65)

Wielkie Twierdzenie Fermata

Dnia 1 marca 1847 G. Lam´e wygłosił w Paryskiej Akademii Nauk wykład, w którym ogłosił, że udowodnił WTF:

Dla n > 2 równanie

xⁿ+ yⁿ= zⁿ

nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.

Znano już dowody dla małych wykładników n, dowody dla n = 3, 4, 5, 7 opierały się na rozkładach, np.

x³+ y³= (x + y )(x²− xy + y²).

Matematyka w XIX wieku

(66)

Wielkie Twierdzenie Fermata

Lam´e szukał takiej liczby zespolonej r , która spełnia równanie rⁿ= 1 i daje dla nieparzystych n rozkład

xⁿ+ yⁿ= (x + y )(x + ry )(x + r²y ) . . . (x + rⁿ⁻¹y ).

Na przykład dla r = cos^2π_n + i sin^2π_n = e^{2πi /n} mamy Xⁿ− 1 = (X − 1)(X − r )(X − r²) . . . (X − rⁿ⁻¹).

Podstawiamy X = −x /y i mnożymy powyższą nierówność przez

−yⁿ, dostając pierwszą.

Matematyka w XIX wieku

(67)

Błąd Lam´ ego

Lam´e myślał, że jeśli

czynniki są względnie pierwsze oraz

ich iloczyn jest stopnia n, to z jednoznaczności rozkładu wynika, że

każdy z nich jest stopnia 1.

Zadanie zostaje sprowadzone do badania łatwych czynników! Liouville uważał, że to nie jest jasne.

I wtedy dostał list z Wrocławia, od Ernesta Eduarda Kummera.

W liście Kummer napisał, że w pracy sprzed 3 lat wykazał niejednoznaczość rozkładu w pewnych pierścieniach i wprowadził klasę „liczb idealnych” oraz pierścienie z jednoznacznością rozkładu.

Matematyka w XIX wieku

(68)

Błąd Lam´ ego

Matematyka w XIX wieku

(69)

Błąd Lam´ ego

Matematyka w XIX wieku

(70)

Błąd Lam´ ego

Zadanie zostaje sprowadzone do badania łatwych czynników!

Liouville uważał, że to nie jest jasne.

Matematyka w XIX wieku

(71)

Błąd Lam´ ego

Matematyka w XIX wieku

(72)

Błąd Lam´ ego

Matematyka w XIX wieku

(73)

Błąd Lam´ ego

Matematyka w XIX wieku

(74)

Pierścień Dedekinda

Już w szkole bada się liczby a + b√

2, gdzie a, b ∈ Q.

Można rozważać też liczby postaci a + b√

c, gdzie a, b, c należą do pewnego pierścienia liczbowego, na przykład do Z.

Dedekind zauważył, że w pierścieniu {n + m√

−5, n, m ∈ Z} nie ma jednoznaczości rozkładu:

2 · 3 = 6, (1 +√

−5)(1 −√

−5) = 6.

Matematyka w XIX wieku

(75)

Ernst Eduard Kummer

Fakt, że jednoznaczność rozkładu liczb całkowitych na czynniki w pierścieniu Z nie rozszerza się na inne pierścienie liczbowe

doprowadził Kummera do wprowadzenia „dzielników idealnych”.

Miało to fundamentalne znaczenie nie tylko dla prób dowodu WTF, ale stało się podstawą rozwoju algebry abstrakcyjnej.

Matematyka w XIX wieku

(76)

Ernst Eduard Kummer

Fakt, że jednoznacznośc rozkładu liczb całkowitych na czynniki w pierścieniu Z nie rozszerza się na inne pierścienie liczbowe

doprowadził Kummera do wprowadzenia „dzielników idealnych”.

Miało to fundamentalne znaczenie nie tylko dla prób dowodu WTF, ale stało się podstawą rozwoju algebry abstrakcyjnej.

I pomyśleć, że przez 10 lat był Kummer skromnym nauczycielem gimnazjum w Legnicy ...

Matematyka w XIX wieku

(77)

Matematyka w XIX wieku

(78)

Georg Cantor

Georg Cantor (1845 - 1918)

Najpierw zajmował się teorią liczb, a potem szeregami Fouriera. I dogłębnie zbadał problem: Na jak dużym zbiorze mogą być różne szeregi Fouriera, jeśli przedstawiają tę samą funkcję?

Inne sformułowanie: zbiór E ⊂ R jest zbiorem jednoznaczności, jeśli nie ma szeregu trygonometrycznego różnego tożsamościowo od zera, zbieżnego do zera poza E .

Oczywiście każdy zbiór przeliczalny jest zbiorem jednoznaczności, okazuje się, że pewne zbiory „inne” też, np. zbiór Cantora.

Matematyka w XIX wieku

(79)

Georg Cantor

Badając to Cantor odkrył różne rodzaje nieskończoności, zbiory mocy continuum, wyższe nieskończoności i sformułował hipotezę continuum. Rozstrzygnięcie tej hipotezy nastąpiło dopiero po 80 latach bardzo usilnych prób: P.J. Cohen 1964 r.

Jaki zbiór jest nieskończony? Definicja Dedekinda: zbiór X jest nieskończony, jeśli jest równoliczny ze swoim podzbiorem właściwym.

Dedekind przyjaźnił się z Cantorem, natomiast Kronecker bardzo ostro krytykował pomysły Cantora (co miało zły wpływ na stan psychiczny Cantora).

Matematyka w XIX wieku

(80)

Felix Klein

Felix Klein urodził się 25/4/1849 i cieczył z tego, że każda z tych liczb jest kwadratem: 5², 2², 43².

W 1872 w wieku 23(!) lat został profesorem w Erlangen

(Norymberga). Wygłosił wtedy słynny wykład, w trakcie którego sformułował „program erlangeński”.

Większość studentów matematyki słyszała o „butelce Kleina”:

http://en.wikipedia.org/wiki/Klein bottle

Zajmował się geometrią (nieeuklidesową), równaniami algebraicznymi, teorią funkcji i teorią grup. W teorii funkcji automorficznych rywalizował z Poincarem, ale w roku 1882 jego zdrowie nagle się załamało (depresja).

Redagował Mathematische Annalen zał. 1868 przez Clebscha i Neumanna, rywala Crelle’s Journal czyli Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik (powstałe w 1826, pierwsze czasopismo matematyczne, które nie było biuletynem akademii nauk).

Matematyka w XIX wieku

(81)

Butelka Kleina

Matematyka w XIX wieku

(82)

Grupy Liego

Sophus Lie (1842 - 1899), matematyk norweski

Grupa Liego to grupa ale także rozmaitość (podzbiór Rⁿ taki, że działanie grupowe xy i odwrotność x⁻¹ są gładkie czyli klasy C^∞ Przykłady: okrąg |z| = 1 na płaszczyźnie, grupy macierzowe np.

GL₂(R), SL2(R)

Matematyka w XIX wieku

(83)

Dwaj najwięksi matematycy końca XIX wieku

Jules Henri Poincar´e (1854 - 1912):

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Poincare.html Analysis situs, Les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Hipoteza Poincarego:

Każda zwarta i jednospójna rozmaitość trójwymiarowa bez brzegu jest homeomeorficzna ze sferą.

http://www.mimuw.edu.pl/delta/artykuly/artykuly roku/hipoteza.pdf Drugim był...

Matematyka w XIX wieku

(84)

David Hilbert 1864 – 1943

David Hilbert:

Urodził się, uczęszczał do gimnazjum i studiował w Królewcu.

W roku 1885 obronił doktorat Uber invariante Eigenschaften specieller binaren Formen, insbesondere der Kugelfunctionen. Promotorem był Lindemann (ten od przestępności liczby π). W latach 1886-1895 pracował w Królewcu (Privatdozent do 1892, profesor nadzwyczajny w 1893 i od 1893 profesor). W Królewcu poznał Hermana Minkowskiego i Adolfa Hurwitza.

w 1895 przenosi się do Getyngi, gdzie pracuje do końca życia. W 1902 dostaje propozycje przejścia do Berlina, wykorzystuje to do ustanowienia przez Uniwersytet nowego stanowiska profesora matematyki (dla Minkowskiego).

Matematyka w XIX wieku

(85)

David Hilbert 1864 – 1943

David Hilbert:

W roku 1885 obronił doktorat Uber invariante Eigenschaften specieller binaren Formen, insbesondere der Kugelfunctionen.

Promotorem był Lindemann (ten od przestępności liczby π).

W latach 1886-1895 pracował w Królewcu (Privatdozent do 1892, profesor nadzwyczajny w 1893 i od 1893 profesor). W Królewcu poznał Hermana Minkowskiego i Adolfa Hurwitza.

Matematyka w XIX wieku

(86)

David Hilbert 1864 – 1943

David Hilbert:

W latach 1886-1895 pracował w Królewcu (Privatdozent do 1892, profesor nadzwyczajny w 1893 i od 1893 profesor).

W Królewcu poznał Hermana Minkowskiego i Adolfa Hurwitza.

Matematyka w XIX wieku

(87)

David Hilbert 1864 – 1943

David Hilbert:

Matematyka w XIX wieku

(88)

David Hilbert 1864 – 1943

David Hilbert:

w 1895 przenosi się do Getyngi, gdzie pracuje do końca życia.

W 1902 dostaje propozycje przejścia do Berlina, wykorzystuje to do ustanowienia przez Uniwersytet nowego stanowiska profesora matematyki (dla Minkowskiego).

Matematyka w XIX wieku

(89)

David Hilbert 1864 – 1943

David Hilbert:

w 1895 przenosi się do Getyngi, gdzie pracuje do końca życia.

W 1902 dostaje propozycje przejścia do Berlina, wykorzystuje to do ustanowienia przez Uniwersytet nowego stanowiska profesora matematyki (dla Minkowskiego).

Matematyka w XIX wieku

(90)

Niezmienniki

Dane są dwa wielomiany tego samego stopnia (wielu zmiennych).

Kiedy jeden z nich może być przekształcony w drugi przez pewną zamianę zmiennych?

Dla klasy wielomianów równoważnych znaleźć ten, którego postać jest najprostsza.

Jakie wielkości związane z wielomianem pozostają niezmienne przy zamianie zmiennych?

Matematyka w XIX wieku

(91)

Niezmienniki

Formy kwadratowe dwóch zmiennych Q(x , y ) = ax²+ 2bxy + cy² i grupa przekształceń

˜

x = αx + βy , y = γx + δy .˜ Wtedy

Q(˜˜ x , ˜y ) = ˜Q(αx + βy , γx + δy ) = Q(x , y ), gdzie

Q(˜˜ x , ˜y ) = ˜a˜x²+ 2˜b˜x ˜y + ˜c ˜y². Jak łatwo obliczyć,

∆ = ac − b²= (αδ − βγ)²(˜a˜c − ˜b²) = (αδ − βγ)²∆,˜ więc ∆ jest niezmiennikiem.

Jeśli αδ − βγ = 1, to ∆ = ˜∆.

Matematyka w XIX wieku

(92)

Niezmienniki

Teorię zapoczatkowali Cayley i Sylvester (dla różnych grup przekształceń zmiennych).

Potem do głosu doszli Gordan i Clebsch – „królowie niezmienników”.

Wykazali miedzy innymi, w jaki sposób dla dwóch zmiennych konstruować niezmienniki z pewnych najprostszych wyrażeń (czyli z bazy w zbiorze niezmienników). Dowód polegał na bardzo zawiłych rachunkach.

Lindemann postawił przed Hilbertem problem niezmienników dla większej liczby zmiennych.

Clebsch Gordan.pdf (Mathematische Annalen, numer pierwszy, zeszyt pierwszy z 1869 roku)

Matematyka w XIX wieku

(93)

Twierdzenie o bazie

Hilbert zdał sobie sprawę, że dla wiekszej liczby zmiennych rachunki będą nie do wykonania i zmienił podejście, dowodząc Twiedzenia o bazie, które brzmi tak:

Dla każdej liczby zmiennych n, w zbiorze niezmienników istnieje skończony zbiór generatorów, za pomocą którego można wypisać wszystkie niezmienniki.

I wysłał artykuł do Mathematische Annalen, do Felixa Kleina w Getyndze.

Hilbert nie obliczył w sposób jawny żadnego niezmiennika, ale korzystając z prawa wyłączonego środka wykazał, że taki skończony zbiór generatorów musi istnieć.

Matematyka w XIX wieku

(94)

Reakcja specjalistów

Gordan podobno wykrzyknął:

Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie!

I zasugerował odrzucenie pracy z Mathematische Annalen. Ale Hilbert dowiedział się o tym od Hurwitza i napisał do Kleina list:

... I am not prepared to alter or delete anything, and regarding this paper, I say with all modesty, that this is my last word so long as no definite and irrefutable objection against my reasoning is raised.

Klein odpowiedział Hilbertowi: „I do not doubt that this is the most important work on general algebra that the Annalen has ever published.”

Matematyka w XIX wieku

(95)

Zahlbericht

Zahl = liczba, bericht = raport, sprawozdanie

Jeszcze w Królewcu Hilbert zaczął pracować nad Zahlbericht, dotyczącym algebraicznej teorii liczb. Ukończył pracę w 1897 roku, podsumowując wyniki Kummera, Kroneckera i Dedekinda

(włączając mnóstwo własnych). W ten sposób ukierunkował rozwój tej teorii na kilkadziesiąt lat.

Matematyka w XIX wieku

(96)

Podstawy Geometrii

Potem zajął się geometrią. Zaczął systematyczne badania aksjomatyki geometrii euklidesowej i podał zbiór 21 aksjomatów.

Zanalizował ich znaczenie, niezależność, zupełność, itd.

Była to najważniejsza praca w geometrii po Euklidesie i bardzo ważny krok na drodze do aksjomatyzacji całej matematyki.

Matematyka w XIX wieku

(97)

Matematyka w XIX wieku

(98)

Kongres w Paryżu w 1900 roku

Od 1896 roku co 4 lata odbywają siłę Międzynarodowe Kongresy Matematyków (International Congress of Mathematicians = ICM).

Pierwszy był w Zurichu, w 1983(!) w Warszawie odbył się ICM 82, kolejny ICM 2018 odbędzie się w Rio, 1-10 sierpnia 2018.

W roku 1900 (ostatnim w XIX wieku) ICM odbył się w Paryżu.

Hilbert wygłosił tam mały (nieplenarny) wykład, w którym przedstawił listę 23 problemów. Według niego to najważniejsze zagadnienia matematyczne, nad którymi należy pracować w XX wieku.

Matematyka w XIX wieku

(99)

Problemy Hilberta

http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert’s problems http://www.ams.org/notices/200007/fea-grattan.pdf Kto studiował w Getyndze?

http://en.wikipedia.org/wiki/University of Gottingen

Matematyka w XIX wieku

(100)

Przestrzeń Hilberta

Zimą 1900-1901 roku na seminarium w Getyndze E. Holmgren opowiadał o wynikach Erika Fredholma dotyczących równań całkowych typu x (s) −^R₀¹K (s, t) x (t) dt = f (s), 0 ¬ s ¬ 1.

W języku analizy funkcjonalnej x − Kx = f .

Alternatywa Fredholma (już w języku przestrzeni Hilberta):

Jeśli operator liniowy ciągły K : H → H jest zwarty, to albo

równanie niejednorodne u − Ku = f ma dla każdego f ∈ H dokładnie jedno rozwiązanie u ∈ H

albo

równanie jednorodne u − Ku = 0 ma niezerowe rozwiązanie u ∈ H.

Ta tematyka doprowadziła do badań operatorów (zwartych), określonych na przestrzeni Hilberta.

Matematyka w XIX wieku

(101)

Atmosfera w Getyndze

Nad wejściem do czytelni umieszczony był napis: Extra G¨ottingen non est vita.

Gdy Poincare miał przyjechać do Getyngi i zapowiedział wykład o równaniach całkowych, pewien matematyk zapytał: „On chce nam opowiadać o równaniach całkowych?”

Dlaczego przyjęto E. Landaua na stanowisko profesora w Getyndze?

Pocztówki z matematykami.

Matematyka w XIX wieku

(102)

Matematyka w XIX wieku

(103)

Matematyka w XIX wieku

(104)

Intuicjonizm, aksjomatyzacja matematyki, zupełność itd.

Hilbert uważał, że przy dobrze dobranych aksjomatach można o każdym zdaniu w danej teorii (np. w geometrii, teorii liczb, itd) powiedzieć, czy jest twierdzeniem, czy też nie.

Twierdzeniem nazywamy zdanie, które za pomoca reguł logiki można skończonym ciągiem wnioskowań wyprowadzić z aksjomatów.

Intuicjoniści (pod wodzą L. E. J. Brouwera) sprzeciwiali się metodom niekonstruktywnym, w szczególności użyciu pewnika wyboru.

A Emil du Bois Reymond (zoolog, brat matematyka) powiedział Ignoramus at ignorabimus,

sugerując ograniczone zdolności poznawcze człowieka.

Matematyka w XIX wieku

(105)

Wykład w Królewcu

23 stycznia 1930 roku Hilbert ukończył 68 lat i formalnie przeszedł na emeryturę.

W dniu 8 września 1930 wygłosił na Uniwersytecie w Królewcu słynną mowę.

HilbertRadio.pdf Zdjęcia z Getyngi.

Matematyka w XIX wieku

(106)

Grób Hilberta

Matematyka w XIX wieku

(107)

Ignorabimus?

17 listopada 1930 roku w Monatshefte f¨ur Mathematik und Physik ukazała sie praca Kurta G¨odla.