1 Zbiory i funkcje

(1)

1 Zbiory i funkcje

Prolog-zale˙zno´sci funkcyjne w naukach przyrodniczych

Rozwój algebry i analiza matematycznej w 16 i 17 wieku:

-opis zjawisk takich jak:

• ruch jednostajnie przy´spieszony;

Droga s, jak ˛a przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wie˙zy po czasie t:

s = gt² 2 , gdzie g = 9,81_s^m2;

• eliptyczne trajektorie ruch planet;

(2)

• opis zale˙zno´sci wychylenia wahadła od czasu przy małym k ˛acie

wychylenia- wykorzysuj ˛ac funkcje trygonometryczne- sinus lub cosinus.

Czy mo˙zna metody matematyczne z równym powodzeniem zastosowa´c do opisu np. zale˙zno´sci pomi˛edzy temperatur ˛a ciała a pulsem u zdrowych

ludzi?

(3)

Przykład.

W zbiorze normtemp.dat zapisano wyniki 130 pomiarów temperatury i pulsu u zdrowych osób. Dane te s ˛a przedstawione graficznie na wykresie ("wykresie rozproszenia tych danych"). Do tej chmury punktów

"dopasowano" prost ˛a

puls = −166.2847 + 2.4432 × temp - wg. zasady najmiejszych kwadratów.

Czy uzasadniony wniosek o istotno´sci (statystycznej) tej zale˙zno´sci funkcyjnej?

(4)

● ●

●

●●

●

●●

●

●●

●

●●

●

●●

●

●●

●

●●

●

●●

●

●●

●

●●

●

●●

●

●●

●

●●

●

●●

●

97 98 99 100

60657075808590

temp

puls

4

(5)

1.1 Program wykładu

1.1.1 Tematyka wykładów 1. Elementy analizy

-poj˛ecie funkcji; poj˛ecie ci ˛agu; ci ˛agło´s´c funkcji; pochodna funkcji; całka oznaczona z funkcji przedziałami ci ˛agłej; całka nieoznaczona; twierdzenie Newtona-Leibniza; zastosowania twierdzenia Newtona-Leibniza w fizyce;

całka niewła´sciwa i definicja dystrybuanty rozkładu normalnego.

2. Elementy statystyki

-poj˛ecie zmiennej losowej; rozkład zmiennej losowej; zmienne losowe dyskretne; zmienne losowe typu ci ˛agłego; warto´s´c oczekiwana i wariancja zmiennej losowej; poj˛ecie populacji; losowa próba prosta; estymacja

parametrów w rozkładzie normalnym; testowanie hipotez- porównanie

´sredniej z "norm ˛a", porówanie ´srednich 2 populacji normalnych; analiza regresji.

(6)

3. Funkcje wielu zmiennych

-pochodna cz ˛astkowa, pochodna kierunkowa, całka wielokrotna, układy równa´n liniowych, poj˛ecie macierzy.

1.1.2 Polecana literatura

Ksi ˛a˙zka D. i M. Zakrzewskich [4] zawiera przyst˛epny wykład poj˛e´c:

funkcji, ci ˛agu, pochodnej. W cz˛e´sci "Elementy statystyki" b˛ed˛e nawi ˛azywał do sposobu wykładu zaprezentowanego w ksi ˛a˙zce T. Bednarskiego [1]. Jako lektur˛e uzupełniaj ˛ac ˛a mo˙zna poleci´c podr˛ecznik A. Łomnickiego [2].

Podczas wykładów b˛ed ˛a prezentowane obliczenia i wykresy wykonane w

´srodowisku R. Odpowiednie oprogramowanie jest dost˛epne pod adresem [3].

(7)

1.1.3 Kolokwia i zaliczenie

Ocena z zaliczenia b˛edzie wystawiona w oparciu o:

- punkty z kolokwiów (60 procent);

- punkty za aktywno´s´c i "wej´sciówki" (20 procent).

- prace zaliczeniowe (20 procent).

Literatura

[1] Bednarski, T. Elementy matematyki w naukach ekonomicznych.

Oficyna ekonomiczna. Kraków 2004.

[2] Łomnicki, A. Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników. PWN.

Wraszawa 2003.

(8)

[3] The R Project for Statistical Computing. Strona WWW http://www.r-project.org/

[4] Zakrzewscy, D. i M. Repetytorium z matematyki. Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa 2000.

(9)

2 Zbiory liczbowe

N = {1, 2, . . .}- zbiór liczb naturalnych;

Z = {. . . , −2, −2, 0, 1, 2, . . .}- zbiór liczb całkowitych;

Q- zbiór liczb wymiernych:

Q = np

q : p ∈ Z, q ∈ N o

; R- zbiór liczb rzeczywistych.

Przykłady Liczby rzeczywiste, które nie s ˛a wymierne: √

2,√

3, . . .. Dla dowolnej liczby wymiernej s liczba rzeczywista √

2 + s nie jest jest wymierna.

(10)

Definicja 1 Przedziałem otwartym (a, b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniaj ˛acych podwójn ˛a nierówno´s´c a < x < b:

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.

Definicja 2 Zbiór

[a, b] = {x ∈ R : a ¬ x ¬ b}.

nazywamy przedziałem domkni˛etym.

Definicja 3 Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu x₀ ∈ R nazywamy zbiór O(x₀, r) = (x₀ − r, x₀ + r).

Zbiór O(x0, ε) nazywany jest cz˛esto "epsilonowym otoczeniem punktu x₀".

Definicja 4 S ˛asiedztwem o promieniu r > 0 punktu x₀ ∈ R nazywamy zbiór

S(x₀, r) = (x₀ − r, x₀) ∪ (x₀, x₀ + r).

(11)

2.1 Pewne u˙zyteczne to˙zsamo´sci

2.1.1 Pot˛egi sumy

Dla dowolnych a, b ∈ R spełnione s ˛a równo´sci:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (a + b)ⁿ =

n

X

k=0

n k

a^n−kb^k, gdzie n k

= n!

k!(n − k)!.

Uwaga. Ostatnia to˙zsamo´s´c (wzór Newtona) mo˙ze by´c zapisana bez u˙zycia symbolu sumy "Σ" w nast˛epuj ˛acy sposób:

(a + b)ⁿ = n 0

aⁿb⁰ + . . . + n k

a^n−kb^k + . . . + n n

a⁰bⁿ. (1) Bardzo przyst˛epnie wzór Newtona (1) jest wyja´sniony w §23.5 ksi ˛a˙zki

(12)

Zakrzewskich [1]. Informacje nt. symbolu sumy mo˙zna znale´z´c w Dodatku w [?].

2.1.2 Suma pot˛eg n pocz ˛atkowych liczb naturalnych

1 + 2 + . . . + n = n(n + 1)

2 ,

1² + 2² + . . . + n² = n(n + 1)(2n + 1)

6 ,

1³ + 2³ + . . . + n³ = n²(n + 1)²

4 .

dla sum 4-tych, 5-tych itd. poteg n pocz ˛atkowych liczb naturalnych mo˙zna znale´z´c analogiczne to˙zsamo´sci –por. stron˛e WWW [?].

(13)

3 Funkcje

3.1 Podstawowe poj˛ecia

Definicja 5 (funkcji) Funkcj ˛a okre´slon ˛a na zbiorze X ⊂ R o warto´sciach w zbiorze Y ⊂ R nazywamy przyporz ˛adkowanie ka˙zdemu elementowi

x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y . Funkcj˛e tak ˛a oznaczamy f : X → Y . Warto´s´c funkcji f w punkcie x oznaczamy przez f (x).

Definicja 6 (dziedziny i przeciwdziedziny) Niech f : X → Y . Wtedy zbiór X nazywamy dziedzin ˛a funcji f i oznaczamy przez D_f, a zbiór Y nazywamy zbiorem warto´sci funkcji f i oznaczamy przez W_f. Je˙zeli dany jest tylko wzór okre´slaj ˛acy funkcj˛e, to zbiór tych elementów z R, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedzin ˛a naturaln ˛a funkcji.

Definicja 7 (równo´sci funkcji) Mówimy, ˙ze dwie funkcje s ˛a sobie równe, je´sli:

(14)

(i) ich dziedziny s ˛a sobie równe;

(ii) dla wszystkich elementów (wspólnej) dziedziny przybieraj ˛a równe warto´sci.

Przykłady. (i) funkcje f (x) = 1 + x, g(x) = ^1−x_1−x² nie s ˛a sobie równe- poniewa˙z ich dziedziny naturalne Df i Dg nie s ˛a sobie równe.

(ii) funkcje f (x) = x² i g(x) =

√

x⁴ s ˛a sobie równe.

Definicja 8 (wykresu funkcji) Wykresem funkcji f : X → Y nazywamy zbiór par uporz ˛adkowanych (x, f (x)) utworzony dla wszystkich x ∈ X.

Przykład. Dla funkcji f : [−1, 1] → R okre´slonej wzorem f (x) = √

1 − x² wykresem jest "górna połówka okr˛egu" o ´srodku w pocz ˛atku układu współrz˛ednych i o promieniu 1 (por. Rys. 2).

(15)

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

0.00.20.40.60.81.0

x

sqrt(1 − x^2)

15

(16)

3.2 Definicje podstawowych funkcji elementarnych

W ksi ˛a˙zce Zakrzewskich [1] mo˙zna znale´z´c definicje podstawowych funkcji elementarnych:

• funkcji liniowej (§2.3),

• wielomianu (§4.1),

• pot˛egi (§6.1),

• funkcji wykładniczej i wielomianowej, (§6.1),

• funkcji trygonometrycznych (§7.1).

(17)

Do podstawowych funkcji elementarnych zaliczamy tak˙ze funkcje cyklometryczne (arc sin, arc cos, itd.).

3.3 Własno´sci funkcji

Definicja 9 (funkcji parzystej) Funkcja f : X → Y jest parzysta, je´sli

^

x∈X

(−x ∈ X oraz f (−x) = f (x)).

Interpretacja geometryczna: funkcja jest parzysta, gdy o´s Oy jest osi ˛a symetrii jej wykresu.

Definicja 10 (funkcji nieparzystej) Funkcja f : X → Y jest nieparzysta, je´sli

^

x∈X

(−x ∈ X oraz f (−x) = −f (x)).

(18)

Interpretacja graficzna: funkcja jest nieparzysta, je´sli pocz ˛atek układu wspołrz˛ednych jest ´srodkiem symetrii jej wykresu.

Przykłady Funkcje f₁(x) = cos x, f₂(x) = cos x + x² s ˛a parzyste; funkcje f₃(x) = sin x, f₄(x) = 2x³ s ˛a nieparzyste.

Definicja 11 (funkcji okresowej) Funkcja f : X → R jest okresowa, je´sli _

T >0

^

x∈X

(x ± T ∈ X oraz f (x + T ) = f (x)).

Liczb˛e T nazywamy okresem funkcji f . Je˙zeli istnieje najmniejszy okres funkcji f , to nazywamy go okresem podstawowym.

Przykład. Funkcje trygonometryczne sinus i kosinus s ˛a funkcjami okresowymi. Ich okres podstawowy jest równy 2π (por. Wykres 3).

(19)

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1.0−0.50.00.51.0

x sin

cos

19

(20)

Definicja 12 Zbiór A ⊂ R b˛edziemy nazywa´c:

(i) ograniczonym z dołu, je´sli istnieje dla niego ograniczenie dolne, tj. je´sli _

m∈R

^

x∈A

m ¬ x.

(ii) ograniczonym z góry, je´sli istnieje dla niego ograniczenie górne, tj. je´sli _

M ∈R

^

x∈A

M x.

(iii) ograniczonym, je´sli jest ograniczony z góry i z dołu

Definicja 13 (funkcji ograniczonej) Funkcja f jest na zbiorze A ⊂ D_f: (i) ograniczona z dołu, je´sli jej zbiór warto´sci jest ograniczony z dołu:

_

m∈R

^

x∈A

m ¬ f (x);

(ii) ograniczona z góry, je´sli jej zbiór warto´sci jest ograniczony z góry;

(iii) ograniczona, je´sli jest zarówno ograniczona z dołu jak i z góry.

(21)

Przykłady. (i) Funkcja f (x) = _x¹ na zbiorze (0, ∞) jest ograniczona z dołu, ale nie jest ograniczona z góry;

(ii) funkcja g(x) = x² jest ograniczona na zbiorze [1, 2].

Definicja 14 (funkcji rosn ˛acej) Funkcja f jest rosn ˛aca na zbiorze A ⊂ D_f, je´sli

^

x₁,x₂∈A

[(x₁ < x₂) =⇒ (f (x₁) < f (x₂))]

Definicja 15 (funkcji malej ˛acej) Funkcja f jest malej ˛aca na zbiorze A ⊂ D_f, je´sli

^

x₁,x₂∈A

[(x₁ < x₂) =⇒ (f (x₁) > f (x₂))]

Przykłady (i) Funkcja f (x) = x² jest rosn ˛aca na [0, ∞);

(ii) funkcja g(x) = _1+2x¹ 2 jest malej ˛aca.

(22)

Definicja 16 (funkcji niemalej ˛acej) Funkcja f jest niemalej ˛aca na zbiorze A ⊂ D_f, je´sli

^

x₁,x₂∈A

[(x₁ < x₂) =⇒ (f (x₁) ¬ f (x₂))]

Definicja 17 (funkcji nierosn ˛acej) Funkcja f jest nierosn ˛aca na zbiorze A ⊂ D_f, je´sli

^

x₁,x₂∈A

[(x₁ < x₂) =⇒ (f (x₁) f (x₂))].

Przykłady (i) Funkcja stała f to˙zsamo´sciowo równa 3, tj. f (x) ≡ 3 na R, jest funkcj ˛a zarówno niemalej ˛ac ˛a jak i nierosn ˛ac ˛a;

(ii) funkcja g(x) = √

x² − x jest niemalej ˛aca na R;

(iii) funkcja g jest nierosn ˛aca na [0, ∞).

(23)

Definicja 18 (funkcji monotonicznej) Funkcja f jest monotoniczna na zbiorze A ⊂ D_f, je´sli jest nierosn ˛aca lub niemalej ˛aca na tym zbiorze;

funkcj˛e f nazywamy ´sci´sle monotoniczn ˛a, je´sli jest malej ˛aca lub rosn ˛aca na tym zbiorze.

(24)

Zło˙zenie funkcji

Definicja 19 Niech X, Y, Y₁, Z b˛ed ˛a podzbiorami R, Y¹ ⊂ Y oraz niech f : X → Y , g : Y₁ → Z. Zło˙zeniem funkcji g i f nazywamy funkcj˛e

(g ◦ f ) : X → Z okre´slon ˛a wzorem:

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) dla x ∈ R.

(25)

Przykłady. (i) Dla f (x) = 2x + 1 i g(x) = 2x (dziedziny D_f i Dg s ˛a równe R) zło˙zenie g ◦ f b˛edzie równe funkcji h(x) = 4x + 2, D^h = R.

(ii) funkcja h(x) = sin(x²) mo˙ze by´c wyra˙zona jako zło˙zenie funkcji f (x) = x² i g(x) = sin(x) :

h(x) = (g ◦ f )(x), D_h = R;

(iii) zło˙zenie h(x) = g ◦ f (x) funkcji g(x) = log₂(x), gdzie dziedzina D_g jest równa zbiorowi liczb dodatnich i f (x) = 2^x, Df = R, jest równa

funkcji identyczno´sciowej:

h(x) = (g ◦ f )(x) = x, D_h = R.

Uwaga Funkcja g(x) = log₂(x) jest funkcj ˛a odwrotn ˛a do funkcji

f (x) = 2^x. Krótkie omówienie tego faktu mo˙zna znale´z´c w [1] str. 116 i 117.

(26)

Funkcje elementarne

Definicja 20 Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje:

(i) stałe, pot˛egowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, cyklometryczne;

(ii) wszystkie funkcje które mo˙zna otrzymać z funkcji wymienionych w (i) za pomoc ˛a skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji zło˙zenia (wielomiany funkcji wymierne)

Przykłady. (i) Funkcja f (x) = x^{cos x} + _1−x^1+x jest funkcj ˛a elementarn ˛a.

(ii) funkcja | · | zdefiniowana przez

|x| =







x, x 0,

−x x < 0,

jest funkcj ˛a elementarn ˛a – jest zło˙zeniem h = g ◦ f funkcji f (x) = x² oraz g(x) = √

x.

(27)

Obliczanie warto´sci funkcji elementarnych i rysowanie ich wykresów przy u˙zyciu pakietu R

Pakiet statystyczny R:

• kalkulator graficzny lub zestaw tablic statystycznych

• mo˙ze słu˙zy´c do obliczania funkcji elementarnych

• oraz do szkicowania przebiegu tych funkcji

(28)

Obliczanie warto´sci funkcji elementarnych w R-rze

• Pot˛eg˛e zapisujemy przy pomocy symbolu "^"

• wielomiany zapisujemy przy pomocy symboli ” + ”, ” − ” oraz symbolu

"^"

• Pierwiastek obliczamy przy pomocy funkcji sqrt().

Przykład warto´s´c funkcji f (x) = x³ − √

x + 1 dla x = 1,2 mo˙zna obliczy´c wydaj ˛ac polecenie:

>x=1.2; xˆ3-sqrt(x)+1 <Enter>

(29)

Funkcje trygonometryczne

Warto´sci funkcji trygonometrycznych sinus, kosinus i tangens: procedury:

sin(), cos() i tan().

Funkcje cyklometryczne arkus sinus, arkus kosinus i arkus tangens:

procedury asin(), acos() i atan().

Przykład. Warto´s´c funkcji f (x) = sin(x) + cos(cos(x)) dla x = 1 mo˙zna obliczy´c nast˛epuj ˛aco:

>x=1; sin(x)+cos(cos(x))

Wykresy wy˙zej omawianych funkcji elementarnych mo˙zna wy´swietli´c na

(30)

ekranie monitora, a nast˛epnie zapisa´c do pliku odpowiedniego typu lub wydrukowa´c, korzystaj ˛ac z procedury curve(), nale˙z ˛acej do pakietu R.

Przykład. Chcemy narysowa´c wykres funkcji

f (x) = cos (x²) + 4, D_f = (−2, 2).

W tym celu nale˙zy wyda´c polecenie "ze znaku zach˛ety >" w systemie R:

>curve(cos(xˆ2)+4,-2,2)

Rezultat jest przedstawiony na rys. 4.

Mówi ˛ac nie do ko´nca ´sci´sle, rys. 1 przedstawia wykres funkcji f (x) = cos (x²) + 4 na odcinku [−2, 2].

(31)

−2 −1 0 1 2

3.03.54.04.55.0

x

cos(x^2) + 4

Rysunek 4: Wykres funkcji f (x) = cos (x²) + 4

(32)

Funkcje "trudne"

Funkcja curve - u˙zytecznym narz˛edziem do szkicowania wykresów funkcji, które s ˛a dostatecznie "gładkie"

Np. szkicowanie wykresu funkcji f (x) = sin(1/x) na odcinku [0, 1] przy uzyciu procedury curve:

>curve(sin(1/x),0,1)

(33)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−1.0−0.50.00.51.0

x

sin(1/x)

33

(34)

da mizerny wynik. Lepsze wyniki osi ˛agniemy wydaj ˛ac polecenie:

>curve(sin(1/x),0,1,n=10001)

Pewne funkcje nieelementarne

Funkcja E : R → Z przyporz ˛adkowuj ˛aca liczbie rzeczywistej x jej cz˛e´s´c całkowit ˛a:

(35)

E(x) =











...

−2, dla −2 ¬ x < −1,

−1, dla −1 ¬ x < 0, 0, dla 0 ¬ x < 1, 1, dla 1 ¬ x < 2, 2, dla 2 ¬ x < 3,

... nie jest elementarna.

Innym przykładem funkcji nieelementarnej jest tzw. funkcja Dirichleta:

Definicja 21 Funkcj ˛a Dirichleta nazywamy funkcj˛e D : R → {0, 1}

(36)

okre´slon ˛a wzorem:

D(x) =







1, x ∈ Q, 0, x /∈ Q.

Literatura

[1] Zakrzewscy, D. i M. Repetytorium z matematyki. Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa 2000.