Fizyka sieci złożonych

(1)

Dr hab. Agata Fronczak, prof. PW

Fizyka sieci złożonych

Wykład z Sieci: 5 października 2017

Zakład Fizyki Układów Złożonych

(2)

Co oznacza termin „układ złożony”

(complex system, complexity)

Main Entry: ¹complex Function: noun

Etymology: Late Latin complexus totality, from Latin, embrace, from complecti

Date: 1643

1 : a whole made up of complicated or interrelated parts

A popular paradigm: Simple systems display complex behavior

(proste układy mają często bardzo złożone/skomplikowane zachowanie)

• nonlinear systems

 chaos

 fractals

3 Body Problem

Earth( ) Jupiter ( ) Sun ( )

(3)

Dwa przykłady

Sieci złożone i fizyka

(4)

Przykład pierwszy:

Sieci dystrybucyjne

Układy złożone i fizyka

(5)

Skalowanie

allometryczne

(6)

Przykład drugi:

Sieć handlu światowego

Układy złożone i fizyka

(7)

Globalization puzzle

in the gravity law of trade

Piotr Fronczak, Agata Fronczak, and Mariusz Karpiarz

Division of Complex Systems

Faculty of Physics, Warsaw University of Technology

(8)

Globalization

(9)

Jan Tinbergen Enrico Fermi

Paul Ehrenfest Ralph Kronig

Gravity Model of Trade

Samuel Goldsmit

(10)

 ij

j i

ij

r

Q G Q

T 

trade volume

distance

GDP

Gravity Model of Trade

(11)

 ij

j i

ij

r

Q G Q

T 

trade volume

distance

GDP

- the role of distance grows in time

- trade-related costs decrease over time

- importance of the distance should decrease - the missing globalization puzzle

The Six Major Puzzles in International Macroeconomics NBER Macroeconomics Annual 2000, Volume 15

Ben S. Bernanke and Kenneth Rogoff, MIT PRess

Gravity Model of Trade

(12)

• continuously changing composition of trade

• dispersion of economic mass across countries

• new quantities (e.g. multilateral resistance)

• …

complexity of the model increases

Gravity Model of Trade

(13)

…we examine 1467 distance effects estimated in 103 papers...

A.-C. Disdier, K. Head.

Review of Economics and Statistics, 90(1): 37-48, 2008.

M.R. Agostino, F. Aiello, P. Cardamone, TRADEAG, VI EU FP, working paper

(14)

Hypothesis:

dimension of the space

 ij

j i

ij r

Q G Q

T 

2 ij

j i

ij r

M G M

F 

(15)

Fractal dimension of ITN

(16)

16

Measuring fractal dimension

Box-counting method

∙ cover the object by boxes of size ∊

< ∊ >

∙ count non-empty boxes

∙ repeat for many ∊

(17)

17

< ∊ ^>

Measuring fractal dimension

Box-counting method

(18)

18

∙ consider the number N of non-empty boxes as a function of ∊

Measuring fractal dimension

Box-counting method

(19)

Area ~ GDP

Fractal dimension of ITN

(20)

0.1 1 10 100 1000 10

100 1000

10000 1950

1975 2000

N()



1950 1960 1970 1980 1990 2000

0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7



year

1950 1960 1970 1980 1990 2000

0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7



year

Fractal dimension of ITN

(21)

Fizyka sieci złożonych

Układy złożone i fizyka

(22)

Sieci rzeczywiste: sieci regularne, przypadkowe czy może coś innego ? Przykłady i własności rzeczywistych sieci złożonych

Kryształy są przykładami sieci regularnych

Czy sieci społeczne są regularne?

Zdecydowanie NIE !

Węzły: ludzie Połączenia:

relacje przyjaźni, pokrewieństwa, znajomości w pracy, w szkole etc.

Społeczność fizyków polskich 

(23)

Przykłady sieci rzeczywistych: World-Wide-Web (WWW)

http://www.pw.edu.pl

Struktura sieci WWW w domenie www.if.pw.edu.pl Mapa Internetu http://www.caida.org/

Przykłady i własności rzeczywistych sieci złożonych

(24)

Przykłady sieci rzeczywistych – sieć WWW

(25)

Sieć zależności pokarmowych Węzły:

gatunki Połączenia:

relacje pokarmowe

Sieć transakcji między bankami

Węzły:

banki

Połączenia:

pożyczki, kredyty

Sieci genetyczne: zależności między genami Węzły:

geny

Połączenia:

relacje regulacyjne aktywacji / dezaktywacji

(26)

Własności sieci rzeczywistych:

w większości sieci rzeczywistych rozkład stopni węzłów (tzn. prawdopodobieństwo, że węzeł ma określoną liczbę najbliższych sąsiadów) jest dany prawem potęgowym

Sieć autostrad w USA

Krzywa „dzwonowata”

liczba połączeń k

liczba węzłów o kpołączeniach

Większość węzłów ma tę samą liczbę połączeń. Brak silnie usieciowionych węzłów

Sieć połączeń lotniczych w USA

Rozkład potęgowy

liczba węzłów o kpołączeniach

Ogromna liczba węzłów słabo usieciowionych.

W sieci są obecne tzw. huby”.

liczba połączeń k



 Ak



k P ( )

(27)

Świat jest mały !

Własności sieci rzeczywistych

• sieci rzeczywiste są „bezskalowe”

• sieci rzeczywiste są rzadkie

• sieci rzeczywiste są silnie „zgronowane”

• sieci rzeczywiste są „małymi światami”

N k 

1 C



 Ak

k P( )

N l 

Prof. Michał Kleiber Obecnie: Prezes PAN

2001-2005: Minister Nauki i Informatyzacji Prof. Janusz Hołyst

Wydział Fizyki PW

Staś Fronczak Mój synek

(28)

Społeczeństwo

Węzły: ludzie

Połączenia: relacje przyjaźni, pokrewieństwa, znajomości w pracy (na uczelni) etc.

Milgram (1967): paradygmat „sześciu stopni separacji”

(29)

Sieci małych światów

„Small-world” networks

Pierwszy eksperyment socjometryczny badający strukturę sieci społecznej wykonany w latach sześćdziesiątych w USA (Milgram & Travers).

Adresat - makler giełdowy pracujący w Bostonie;

Nadawcy- ok. 100 osób z Bostonu + ok.

100 maklerów giełdowych z Omaha (Nebraska) + ok. 100 osób z Omaha (Nebraska);

Wyniki badań- ok. 20% listów dotarło do celu; średnia droga jaką pokonał każdy z listów l ~ 6.5

(30)

[1] Travers & Milgram „ An experimental study of the small world problem”

(Sociometry, 1969)

[2] Kirby & Sahre „Six degrees of Monica”

(New York Times, February 21, 1998) [3] Watts & Strogatz, „ Collective dynamics

of ‘small-world’ networks”

(Nature vol.393, page 440, 1998)

[4] Newman et al. „Mean-field solution for the small-world network model”

(Phys. Rev. Lett. 84, 2000, p.3201 )

Sieci małych światów

„Small-world” networks

(31)

http://www.caida.org/

Sieć WWW: World Wide Web metodyka badań

800 million documents (S. Lawrence, 1999)

ROBOT: collects all URL’s found in a

document and follows

them recursively

(32)

Bezskalowy rozkład stopni wierzchołków

Własności sieci rzeczywistych

(33)

Internet

(Faloutsos, Faloutsos and Faloutsos, 1999) Węzły: komputery / rutery/

systemy autonomiczne

Połączenia: fizyczne połączenia

(34)

Sieć aktorów filmowych

Węzły: aktorzy

Połączenia: jeśli aktorzy byli w obsadzie tego samego filmu

N = 212 250

k = 28.78

P(k) ~k ^-

Days of Thunder (1990) Far and Away (1992) Eyes Wide Shut (1999)

=2.3

(35)

Science Citation Index

( = 3) (S. Redner, 1998)

P(k) ~k ^-

1736 PRL papers (1988)

2212 25

Witten-Sander PRL 1981

Węzły: artykuły

Połączenia: cytowania

(36)

Mapa Współpracy Naukowej:

naukowcy zajmujący się sieciami złożonymi

(37)

Sieci zależności pokarmowych (food webs)

R.J. Williams, N.D. Martinez Nature (2000)

Węzły: gatunki

Połączenia: relacje drapieżnik - ofiara

(38)

Rys. Rozkład liczby partnerów seksualnych dla kobiet i mężczyzn w Szwecji (18-74)

a) w ciągu ostatnich 12 miesięcy α(k)=2.54, α(m)=2.31 b) w ciągu całego życia α(k)=2.1, α(m)=1.6.

(39)

Rozkład stopni wierzchołków P(k)

Rozkład wielkości kredytów

międzybankowych

Rynek transakcji międzybankowych w Austrii

(40)

Co to wszystko ma wspólnego z fizyką ?

Co to jest fizyka ?

Fizyka ... filozofia natury, opis i przewidywanie zjawisk

(41)

Dlaczego potęgowe rozkłady stopni wierzchołków są ważne ? Dlaczego o takich rozkładach mówi się, że są

bezskalowe, samopodobne ?

Sieć autostrad Sieć połączeń lotniczych

(42)

W pobliżu punktu krytycznego układy stają się samopodobne:

•

w przestrzeni rzeczywistej – tzn. są fraktalami

•

w funkcji odległości od punktu krytycznego są opisane prawami potęgowymi

Zjawiska krytyczne

- hipoteza skalowania, metoda grupy renormalizacji

(43)

Metoda grupy renormalizacyjnej w zastosowaniu do modelu Isinga na sieci kwadratowej

Rysunek przedstawia metodę renormalizacji przestrzeni wykorzystaną na następnych rysunkach:

1) sieć kwadratową obrazującą pierwotną konfigurację spinów a dzieli się na komórki renormalizacyjne zawierające x²=9 spinów s_i^a

2) konfigurację b otrzymuje się w ten sposób, że każdą komórkę renormalizacyjną zastępuje się jednym zrenormalizowanym spinem.

3) postępując według powyższych wskazówek można wykonywać kolejne renormalizacje.

(44)

Samopodobieństwo układu spinów Isinga na sieci kwadratowej

W punkcie krytycznym układ jest SAMOPODOBNY

we wszystkich skalach obserwacji.

Nie zmienia swoich własności

podczas renormalizacji

(45)

Większość sieci rzeczywistych jest samopodobna (rozkład stopni wierzchołków jest niezmienniczy z uwagi na procedurę renormalizacyjną)

Sieci posiadają dobrze określony wymiar fraktalny !

(46)

Wymiar pudełkowy

sieci rzeczywistych

(47)

(48)

Aplikacyjne aspekty nauki o sieciach złożonych Dlaczego ważna jest struktura sieci złożonych ?

2. Netwars

 Jak walczyć z grupami przestępczymi ?

(gangi młodzieżowe, dealerzy narkotyków, organizacje terrorystyczne) 1. Zagadnienie odporności sieci

 Czy Internet jest odporny na przypadkowe błędy węzłów / połączeń i celowe ataki hakerów ?

(sieci metaboliczne, sieci zależności pokarmowych itd.)

3. Epidemiologia

 Czy struktura sieci społecznych ma wpływ na rozprzestrzenianie się chorób zakaźnych ?

 Czy struktura Internetu i sieci e-mail’owych ułatwia rozprzestrzenianie się wirusów komputerowych ? (worms, SASSER)

PERKOLACJA

(49)

Perkolacja w klasycznych grafach przypadkowych

(50)

ODPORNOŚĆ SIECI

R.Albert, H. Yeong, A-L.Barabasi

Error and attack tolerance of complex networks NATURE vol. 406, p378

Atak na sieć – usunięcie

(zablokowanie) najważniejszych (najlepiej usieciowionych węzłów) Przypadkowy błąd węzła / krawędzi – losowy węzeł / krawędź ulega

zablokowaniu (awarii itp.)

W Internecie stale jest zablokowanych ok.

5% routerów.

Duży komponent (S~N) Sieć prawie spójna.

Duży komponent (S<<N) Sieć niespójna.

(51)

(52)

NETWARS

Sieci rzeczywiste – Struktura gangu młodzieżowego

(53)

NETWARS

Sieci rzeczywiste – Sieć dealerów narkotykowych

(54)

V.E. Krebs

Mapping Networks of Terrorist Cells Connections 24(3): 43-52

Analiza sieci 19 terrorystów, którzy

wzięli udział w zamach na World

Trade Center we wrześniu 2001 r.

(55)

Trusted Prior Contacts Network połączenia między terrorystami zostały ustanowione na podstawie tzw. podstawowych kontaktów – np.

znajomości szkolne, wspólnie odbyty kurs pilotażu.

Charakterystyki sieci:

1) Sieć wyjątkowo rzadka;

2) Rozmiar N=19

3) Średnia droga l=4.75

4) Współczynnik gronowania C=0.4

Przemówienie Osamy bin Ladena

... Those who were trained to fly didn’t

know the others. One group of people

did not know the other group ...

(56)

Meeting ties - połączenia koordynacji projektem – spotkanie w Las Vegas na tydzień przed zamachem.

W spotkaniu wzięli udział

przedstawiciele wszystkich czterech komórek terrorystycznych

(57)

Najbliższe Otoczenie Terrorystów zaopatrzenie / pieniądze / informacja W tej strukturze Mahomed Atta ujawnia się jako rzeczywisty lider terrorystów.

Widoczne jest także silnie sklastrowana terrorystyczna komórka pracująca w Hamburgu (Niemcy), z której wywodził się M.Atta

Wnioski

1) Ukryte / przestępcze sieci nie zachowują się jak zwykłe sieci społeczne.

2) Dążenie do minimalizacja kontaktów utrudnia identyfikację prawdziwych połączeń.

3) W sieci takiej istnieją silne powiązania, które przez długi czas mogą pozostawać w spoczynku (np. przeszłe zobowiązania, znajomości szkolne itd).

(58)

Spinowe metody detekcji modułów (gron, grup)

w sieciach

(59)

EPIDEMIOLOGIA

Sieci rzeczywiste – Internet – wirus Code Red Worm

(60)

Aplikacyjne aspekty nauki o sieciach złożonych Dlaczego ważna jest struktura sieci złożonych ?

Przykłady:

1. Szum 1/f

2. Lawiny śniegu, trzęsienia ziemi 3. Pożary lasów

4. Plamy na słońcu

5. Masowe wymieranie gatunków 6. Gra „life”

Dynamika układu spontanicznie prowadzi układ do stanu krytycznego.

Samoorganizująca się krytyczność SOC

(61)

Dynamika układu spontanicznie prowadzi układ do stanu krytycznego.

b a

t t

P

s s

P



~ ) (

Sandpile model: model sterty piachu

(62)

• Ryzyko systemowe, system rezerw - systemic risk

• Zakażenie systemu finansowego – contagion

• Kryzysy finansowe – financial crises

Utrata płynności ( bankructwo) jednego (kilku ) banków

Kryzys systemu finansowego Wielka Depresja 1931-32;

Kryzys Azjatycki 1999;

Efekt domino

Rynek transakcji międzybankowych

(63)

ryzyko systemowe wielkie wymierania

? Meteoryt ? Wielkie zlodowacenie ? Katastrofa ekologiczna (metan) ? SOC ?

Sieci zależności pokarmowych

(64)

(65)

Klasyczne grafy przypadkowe: przykład sieci statycznej (równowagowej)

Podstawowe modele sieci złożonych

Paul Erdös (1913-1996) Procedura konstrukcyjna

 Liczba wierzchołków jest stała N,

 Każda para węzłów jest połączona krawędzią z prawdopodobieństwem p

Model demokratyczny - zupełnie losowy

p=0 p=0.1

p=0.5 p=1

Rozkład stopni wierzchołków

 )

1 ! ) 1

( ¹

k e p k

k p k N

P

k k k

k N



 

 



 



 

(66)

A.-L. Barabasi (1967)

Sieci ewoluujące BA: przykład sieci rosnącej (nierównowagowej)

3

2

)

( k

k m P 

Rozkład stopni wierzchołków Procedura konstrukcyjna

 Liczba wierzchołków nie jest stała, ale zmienia się w czasie – sieć rośnie

 Nowe węzły nie są przyłączane do istniejącej już sieci losowo. Prawdopodobieństwo, że nowy węzeł dołączy się do starego węzła zależy liniowo od stopnia tego węzła - reguła preferencyjnego dołączania.

„Bogaty staje się jeszcze bardziej bogatszy”

(67)

Preferencyjne dołączenie,

a idea kopiowania węzłów

(68)

Sieci o zadanym Hamiltonianie – statystyczna zbiorowość sieci (ansamble sieci)

Procedura konstrukcyjna jest losowa, tzn. można utworzyć różne sieci.

Są różne prawdopodobieństwa realizacji poszczególnych sieci.

(69)