ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ S e r i a : E n e r g e t y k a z . ' 56
________ 1976 Nr k o l . 474
S t e f a n P o s t r z e d n i k
I n s t y t u t T e c h n i k i C i e p l n e j
PRZEPŁYW CIEPŁA PRZEZ PRZEGRODĄ O KSZTAŁCIE NAROŻA PROSTEGO* 1
S t r e s z o z e n i e . Dla u kł a d u o g e o m e t r i i n a r o ż a p r o s t e g o o k r e ś l o n o c h a r a k t e r y s t y c z n e s t r u m i e n i e c i e p ł a w o p a r c i u o wyznaczone w c z e s -
• n i e j p o l e t e m p e r a t u r y w u k ł a d z i e . R o z wi ą z a n i e uzys kano pr z y z a s t o sowani u metod a n a l i t y o z n y o h .
Y/ a ż n l e i s z e o z n a o z e n i a
a 1
b 1 — wymiary g e o me t r y c z n e u k ł a d u 9
- umowne p odobs z ar y*
N A
B
q - s t r u m i e ń o i e p ł a ,
T — t e m p e r a t u r a w danym m i e j s o u ukła du»
x . - w s p ó ł r z ę d n e g e o m e t r y o z n e , y
cę - w s p ó ł o z y n n l k w n ik a n ia o i e p ł a »
% - w s p ó ł c z y n n i k p r z e w o d z e n ia o i e p ł a , 9 — zredukowana t e m p e r a t u r a ,
( B i ) - l l o z b a B i o t a ,
l _ zred ukow ane w s p ó ł r z ę d n e .
x ) Praoa wykonana przy w s p ó łp r a o y z d o o . dr h a b . i n ż . T . Besem
60 S t e f a n P o s t r z e d n i k
1. Wprowadzenie
W różnor odnych, u k ł a d a o h n i e i z o t e r m i s z n y c h p o l e t e m p e r a t u r y o r a z p r z e pływ o i e p ł a tam w y s t ę p u j ą c y o d g r y wa j ą I s t o t n ą r o l ę . W pr aoy t e j p r z e d s t a wiono r o z w i ą z a n i a odpowi edni ego z a g a d n i e n i a br ze gowe go, d o t yoz ą c e go pol a t e m p e r a t u r y w u k ł a d z i e o g e o m e t r i i nar oż a p r o s t e g o . Na r y s . 1 p r z e d s t a w i o no sohemat a n a l i z o w a n e g o u k ł a d u z z a z na c z e ni e m podstawowyoh w i e l k o ś c i geo
me t r y c z n y c h i t e r m i c z n y o h .
Rys . 1 . Układ na r oż a p r o s t e g o (A)
Uzyskane r o z w i ą z a n i e d ot yc z y s t a n u u s t a l o n e g o w dwuwymiarowym u k ł a d z i e w s p ó ł r zę d n y c h g e o me t r yoz nyoh. Po wykonaniu odpowi edni ch o p e r a c j i matema
t y c z n y c h o k r e ś l o n o n a s t ę p n i e p o l e s t r u m i e n i o i e p ł a w u k ł a d z i e o r a z makro- s t r u m i e n i e p r z e z u s t a l o n e p o wi e r z c h n i e k o n t r o l n e .
Przepł yw c i e p ł a p r z e z p r z e g r o d ę . . . 61
2 . Zas t os owana metoda r o z w i ą z a n i a
S t a c j o n a r n e p o l e t e m p e r a t u r y , bez. wewnęt r z nych ź r ó d e ł c i e p ł a w u k ł a d z i e , o p i s a n e j e s t r o z w i ą z a n i em r ó wn a n i a r óż n i c z k o we g o L a p l a c e * a pr zy u - w z g l ę d n i e n l u odpowi e dni c h warunków br zegowyoh. Ze względu na z ł oż ony k s z t a ł t geomet r ycz ny o b s z a r u z a s t os owa no metodę p o l e g a j ą c ą na t y m, że dzi e- l ą o go na dwa p o d o b s z a r y A 1 B ( r y s . 1 ) , z n a j d u j e s i ę n a j p i e r w r o z w i ą z a n i a c z ę ś c i owe w p o s z o z e g ó l n y o h p o d o b s z a r ao h u k ł a d u . Ro z wi ą z a n i a t e , po wy
k o r z y s t a n i u p r z y n a l e ż n y o h do danego p odobs z a r u z e wn ę t r z n y o h warunków brze- gowyoh, wyznaozone s ą z d o k ł a d n o ś o l ą do pewnyoh zespołów s t a ł y o h . S t a ł e t e wyznaoza s i ę n a s t ę p n i e w o p a r o i u o dodatkowe war unki br zegowe IV r o d z a j u , w y n i k a j ą c e z " z s z y wa n i a " r o z w i ą z a ń na g r a n l c a o h p odobs z a r ów. S t a n o wi ą J e : r ówność t e m p e r a t u r o r a z r ówność s t r u m i e n i o i e p ł a [ i ] wzdł uż g r a n i c y p o d z i a ł u ( p = b , 0 $ < a ), W r o z w i ą z a n i u w y k o r z y s t a n y z o s t a ł o r t o g o na l ny z b i ó r f u n k o j i w ł a s n y o h . Otrzymany w t e n sposób podwój ni e n i e s k o ń c z o ny u k ł a d a l g e b r a i o z n y o h równań l l n i o wy o h z o s t a ł n a s t ę p n i e r o z w i ą z a n y meto
dą o d wr a c a n i a m a c i e r z y . Do k o n k r e t n y o h o b l i c z e ń b i e r z e s i ę o c z y w i ś c i e s k o ń c z o n ą i l o ś ć wyrazów ma o l e r z y .
3 . W t e l k o ś o l zredukowane
Dla u p r o s z c z e n i a z a p i s u o r a z l e p s z e j o r g a n i z a c j i o b l i c z e ń wprowadzono podane n i ż e j w i e l k o ś c i zredukowane ( r y s . 2 J :
- w s p ó ł r z ę d n e 1 p a r a m e t r y geomet r yozne
(1 )
- t e m p e r a t u r y
( 2 )
0 < 8 k < 1 f o < & B « 1
62 S t e f a n P o s t r z e d n l k
- l i c z b y ( B i )
( Bi)., =
I«* * ( B i )# c^t 0 -t i od o
^ U 1 .• ( B i ) , = L
1
( 3 )
( B i ) ,
tc2 C
— r r * ( B i ) ,
o
~ x r
— s t r u m i e n i e c i e p ł a
i 'w . i
1 =
( 4 )
P o na dt o u wz g l ę d n i o n o r ó ż n e p r z e wo d n o ś c i m a t e r i a ł u w c z ę ś o i A i B, co wy
r a ż a s t o s u n e k (
4 . S f or muł owa ni e z a g a d n i e n i a
Szukane p o l e t e m p e r a t u r y d l a n a r o ż a p r o s t e g o s t a n o w i r o z w i ą z a n i e n a s t ę p u j ą c e g o z a g a d n i e n i a brze gowe go:
- d l a p o d o b s z a r u A
a ) r ó wn a n i e r ó ż n i o z k o w e :
b ) wa r u n k i br zegowe z e w n ę t r z n e :
9 0 ,
P r z epł yw o l e p ł a p r z e z p r z e g r o d ę . « . __________________________________________ §3.
H
9 0
“ a ?
9 0
- ( B l ) 1 @k , d l a £ = O, b < y < H ( 6 )
9 ?
- d l a p o d o b s z a r u B
a ) r ó w n a n i e r óż n l o z k o we
A = - ( B i ) 2 (0 A- 1 ) d l a £ » a , b 4 S ( 7 ) /
0 d l a 0 < a , p » H ( 8 )
9 2 - ® „ ( £ , p )
& £ 2 d p
b ) w a r u n k i brzegowe z e w n ę t r z n e :
9 0 = i B l ) ! , ® B , d l a £ = 0 , C < p ^ b
( 9 )
( 1 0 )
& fi) g,
= O , d l a s - 1, O < p < b ( 1 1 )
- ^ • 2 = ( Bi ) * 0 n , d l a O « ś < 1 , V = O (12)
3 p 1 B r
pi (u)
- ^ 2 . = - ( B D * ( (Ś>B- 1 )» d l a a < ¿ < 1 * p - b ( 1 3 )
Dodatkowe w a r u n k i brzegowe IV r o d z a j u na g r a n i o y podobszarów z a p i s u j e s i ę
a ) • ®Ał Ś , p ) = 0 B( Ś , p ) , d l a O < i « a , p = b ( 1 4 )
9 0 a c __
,
b ) i ( _ i L ) = , d l a O < a , p = b ( 1 5 )
dr; a P
Równania ( 1 4 ) i ( 1 5 ) o d g r y wa j ą w ł a ś n i e główną r o l ę w p r o o e s i e " z s z y wa n i a "
r o z w i ą z a ń p odobs z a r ów.
M. S t e f a n P o s t r z e d n l k
C h a r a k t e r y s t y o z n e s t r u m i e n i e o i e p ł a w u k ł a d z i e z a z na c z one z o s t a ł y r y s . 3 , a o b l i o z a ć J e n a l e ż y według p o n i ż s z y o h f o r m u ł :
* 9 ® . ( ^ n ) » *
Q ■ l — £ ~ d » = ( B i ) . \ ® A > , V ) , d o
1 i / / - o 1 S ‘ / 4 ‘ °
, ■ ' - 4 ' J w ?" 4 ^ - , b i 1 ' ( ^ ’ r * c i •
ii
Q*0
a
q: A.
* Q .
<v q ;
\
5 T
f ‘H _ L j
Q*0
q :
R y s . 3 . S t r u m i e n i e o i e p ł a w u k ł a d z i e
51 * | - ( B 1 ) 1 ^ |
( 1 6 )
( 1 7 )
( 1 8 )
( 1 9 )
Przepł yw o l e p ł a p r z e z p r z e g r o d ę .
będąoe r ówna ni a mi b i l a n s u e n e r g i i odpowi edni oh podobszarów i c a ł e g o u k ł a du mogą u ł a t w i ć o b l i c z e n i e n i e k t ó r y c h w i e l k o ś c i l u b t e ż s t a n o w i ć k r y t e r i u m s p r a w d z a j ą c e d o k ł a d n o ś ć o b l i o z e ń . Na t e j p o d s t a w i e , pr zyj muj ąor do
k ł a d n o ś ć wyniku np. 1%, można b y ł o u s t a l i ć n i e z b ę d n ą i l o ś ć wyrazów s z e r e gu.
5. Ro z wi ą z a n i e problemu br zegowego
Celem wy z n a c z e n i a f u n k o j i 0 ^ , p ) , ( ¡» r p ) w y k o r z y s t u j e s i ę wpierw metodę F o u r i e r a r o z d z i e l e n i a zmiennych do podanego u k ł a d u równań r ó ż n i c z k o wy c h . J e s t t o r z e c z z n a n a , k l a s y o z n a 1 d l a t e g o k o l e j n e k r o k i po
s t . powania w u j ę o l u t e j pr aoy n i e muszą być p r z e d s t a w i o n e . Aby j e d n a k z a g a d n i e n i e mogło być r o z w i ą z a n e do k o ń c a , i s t o t n ą r z e o z ą j e s t odpowi edni e s k o n s t r u o w a n i e p o s t a o l p o s z o z e g ó l n y c h wyrazów szeregów będąoych r o z w i ą za ni e m. Chodz i mi anowi oi e o o r t o g o n a l l z a o j ę f u n k o j i w o k r e ś l o n y c h p r z e - d z l a ł a o h z m i e n n o ś c i . Każde t e g o t y p u z a g a d n i e n i e br zegowe j e s t problemem samym w s o b i e i wymaga i p d y w i d u a l n e g o o r y g i n a l n e g o p o d e j ś c i a [i] .
W przypadku p r z e g r o d y o k s z t a ł o i e na r oż a p r o s t e g o n a l e ż y zauważyć, że z uwagi na war unek ( 1 4 ) f u n k c j e w s z e r e g u d l a » p ) muszą być o r t o g o n a l n e w o b s z a r z e 0 ^ Ś < t z n .
S t e f a n P o s t r z e d n i k
z a ś d l a f u n k o j i ® B ( Ś , p ) o r t o g o n a l n e w p r z e d z i a l e 0 < 1, t z n .
0 , n ? m
I
I F® ( I ) . F® ( §, ) d | = -»'O#
pr z y ozym o s t a t n i ą w ł a ś c i w o ś ć f u n k o j i t r z e b a w y k o r z y s t a ć z warunkami ( 1 5 ) i ( 13) ł ą c z n i e . S t o s u j ą c omówioną metodę r o z w i ą z a n i a z a g a d n i e n i a b r z e g o wego» zobr azowaną dodatkowo na r y s . 4» u z y s k a n o :
- d l a po d o b s z a r u A
) = k+e o « = i . + Ej ‘ p 5 3=1
* (B1>1 f
o o s ( y . S ) + - = — *• s i n ( y . S )
J V-ł O
--- re ir;---
o o s ( y . a ) + — — Ł s i n ( y1a )
3 j
( 2 3 )
g d z i e
ob [ y . (H- n )1 E , ( n ) - E. (b ) --- ,
i ( i oh [ y . ( H - b ) l
3 = 1* 2* 3* • • • ( 2 4 )
Przepł yw o l e p ł a p r z e z p r z e g r o d ę . . .
w _ B(1+A ) v _ - AB
* - A+B+Jb » Ło ~ A+B+A3 »
A = (Bi)., a , B = ( B i )2 a
- d l a p o d o b s z a r u B
' b ( * = f i ( 003
1=0
g d z i e :
f i ah [ « ( b - p )] s h ( ¿u. n ) F. ( « ) = F. (b ) <! ---pi 5 T ---- ^ --- + Ł ^ ~
1 ‘ 1 I s h ( ftjb ) [ ( B i ).,+ Ą J 3h [ Ą. b] s h *
i s O j 19 2 f ••*
W a r t o ś c i w ł a s n e ^ o r a z o b l i o z a ć n a l e ż y z n a a t ę p u j ą c y o h r ówna ń:
t g ( = (BI)^J » 1 = O, 1 , 2 , . . .
i r ( B 1 ^ n
[ ( Bi ) . , - v j t g i ^ a ) ] + ( B U 2 [1 + — ^ t g ( y^a = O
J = 1» 2 , 3» . . . »
k t ó r e g o r o z w i ą z a n i e zobr azowano na r y s . 5.
Po d wó j n i e n i e s k o ń c z o n y u k ł a d współozynnlków
Ej ( b ) f J = I», 2» 3# . . .
o r a z
F ^ ( b ) f i = Oj 2» . . .
(25 3
(26 3
( 2 7 )
( 2 8 )
r o z w i ą z a n i a wyznacza s i ę w o p a r c i u o w a r u n k i ( 1 4 ) i ( 15) » pr z y w y k o r z y s t a nl u w ł a ó o l w o ś c i f u n k c j i o r t o g o n a l n y o i i [i] w o d p o wi e d n i c h p r z e d z i a ł a o h
68 S t e f a n P o s t r z e d n l k
z m i e n n o ś c i . Uz y s k u j e s i ę wtedy n a s t ę p u j ą c y , p o d w ó j n i e n i e s końc z ony l e c z l i niowy u k ł a d równań a l ge b r a i o z n y c h .
1 . f f c Nk v m = £ e j ^ v m - ( B i f 2 £ V 3-1
+ ( B i ) 2 Ck
3=0
k = 2 f € • 4 ( 2 9 )
oo
2 * V3 E3 i M = E Ä3 i * i i =c
Aj4 F. Cb) - D.
3 = 1 . 2 . 3 , (30 )
Rys . 5. W a r t o ś o l wł a s n e r ówna ni a
Przepł yw c i e p ł a p r z e z p r z e g r o d ę . « 69
g d z i e :
Ą
f * ■ - « • 0,11 ‘ * i ’
e j = - Vj t h [ v 1 ( H- bl ]
Nk = 2 + 1 s l n (2
1 J s i n s i n [( Ą H l - a ) ]
3l , k = 2 | fti ' - Ą + ( ¿ ¿ ‘+ ‘ ą
A = 1 [<T. 1 ~ a c >i T.1<eln ^ H t B l ^ C o o a ty
■*»k 2 ( v 2 - ¿¿j^l [VjOOS (Vj8 ) +
[ ( y ^ + ^ ~ 8 l ° Ą W( 31 V 3lD
(31 1
(321
(331
(34 1
- 009
^ s in i y ^ a Y ]
K - * V a + < V h }
(351
c k - 9 ln [ > k (1- a >] (361
2a [vj + (3112j + VjSln(2 y^a 1 + 4 (BI^sln2(Vj8 1 [~2y^~ + 1]
' 3 4 JjVj cos ( V j 8 1 + ( B 1 1^ s i n (V jal]
( 371
D. =
( 311.
(E+Eo 1 j s l n i y ^ a l - [ cos (y^a 1-lJ
_
j p o s i y ^ 1-1Ji Li___
vJ ~ÓóTTyJ aTT“
( B i l . r s l n ( y 1a 1 -ii + a s i n (y^a ij + - y 1 --- ---ę-J a o o s ( v . j a 1J ł-
+ < B i ^ s i n ł y j ś) (381
2 0 S t e f a n P o s t r z e d n i k
Ukł ad równań ( 2 9 ) , ( 3 0 ) można, po wykonaniu o b s z e r n y c h p r z e k s z t a ł c e ń i od
p o wi e d n i c h o p e r a c j i mat emat yoznyoh, s p r o wa d z i ć do u k ł a d u
oo
^ F^( b ) — Hjj. k — i , 2 , 3 , . . .
S ° k - j
z k t ó r e g o o b l i c z a s i ę
F^( b ) = ' y ^ = 0 , 1 , 2 , . . . , oo
k=1
a n a s t ę p n i e
! i M = ^ { £ A3 , i F i ( M " D d } ’ J
1 , 2, 3,
g d z i e
' l , k , d l a i ^ k
' i , k
?i , k - f k Nk * 319 1=k
( 3 9 )
(40 )
( 4 1 )
( 4 2 )
o r a z
&i ‘ k = 5 - ( B I >2 Bi f k ( 4 3 )
OO .
Hk - - ( B1) 2 Ck ( 4 4 ł
J=1 3
F u n k c j e ( 2 3 ) , ( 2 4 ) , (26 ) , ( 2 7 ) o r a z z e s p ó ł s t a ł y c h ( 4 0 ) , ( 4 1 ) o p i s u j ą J e d
n o z n a c z n i e p o l e t e m p e r a t u r y w u k ł a d z i e . W o p a r c i u o t o r o z w i ą z a n i e można o k r e ś l i ć b l i ż e j , podane równa ni a mi od ( 1 6 ) do ( 2 1 ) , odpowi edni e s t r u m i e n i e c i e p ł a . Po wykonaniu wskazanych o p e r a c j i matematycznyoh u z y s k u j e s i ę w z o r y :
/ ^ -i < ¿ 5 )
^ E . ( b ) s h (y.(H—b )j
Q1 = ( B i ) J ( E - E o ) ( H - b ) + 2 ^ - 7 --- (bH ~
J=1 o h [ v . j ( H - b ) ] [ a o s ( v . j a ) + L s i n ( v . j a ) ] v . j
Prz epł yw c i e p ł a p r z e z p r z e g r o d ę . . . 71
•' r V
Q1 = 1 7 ( B U i 2 _ , Fi ( b ) i o
oh( ^ b ) - 1 c h( b ) - 1~1
“ + i r r ź r n ~ 7 d C0S
s h 2 ( ^ b ) [{31 )*+ / ¿ J shł
(46 )
• ^ i JL
Q* =(T ^ (B
i Z i Fi ( b ^ 1=0s i n ¿4
sh ( f^b) [(3 1 )* + ^ l ]
q* = ( 3 l f ,* T siCl lĄ <'•‘-a >] 1
2 h » - ^ V b' --- 7 ^ ----
r f 1 th [v (H-b)]“j
Q2 ( B l ) 2 I(H-b 1 ( 1 - E ) — > _ , Ej ( M v---
L J=1 3 J
(47 )
( 4 8 )
( 4 9 )
Powyższe r o z w i ą z a n i e można w y k o r z y s t a ć r ó w n i e ż do r o z w i ą z a n i a podobnego z a g a d n i e n i a l e o z z n i e c o i nnymi warunkami brzegowymi ; n a l e ż y wówozas odpo
w i e d n i o przyjmować w a r t o ś c i l i o z b ( B i ) .
6 . Pr z y k ł a d o we pol a t e m p e r a t u r i s t r u m i e n i e o l e p ł a w u k ł a d z i e na r oż a pr o
s t e g o
Dla i l u s t r a c j i i s p r a w d z e n i a uzys kane go r o z w i ą z a n i a a n a l i t y c z n e g o wyko
nano s z e r e g o b l i c z e ń pr zy u ż y c i u odpowi edni ego programu na EMC. P r z y j ę t e dane o r a z uz y s k a n e wy n i k i z o s t a ł y p r z e d s t a w i o n e na k o l e j n y c h wy kr e s ac h - r y s . 6 , 7 , 8 , 9 , 10, 11, 12, 13.
f r o g r a m o b l i c z e n i o w y n a p i s a n y z o s t a ł w j ę z y k u SAKO, a same o b l i c z e n i a wykonano na EMC ZAM-41. O b l i c z e n i a wykonano z d o k ł a d n o ś c i ą co wyma
g a ł o u w z g l ę d n i e n i a o k oł o 15 wyrazów s z e r e g u .
72 S t e f a n P o s t r z e d n i k
' T Oys. 6 . P o l e t e r c p e r at u r y « u k i a d z i e
CA)
Rys . 7 . P ol e t e i a p e r a t u f y d z i e ( 3 )
1,0 t k u k l a - Q-0,0
(¿‘ 0.0 Q>1.17 IV 0.642 (V 0.528 V 0.642
Q.« 0.2505
& • 0,1140 QVQ6695
Qt* 02661 Q*,‘ Q7680 Öa= 00155
t
Ry s . 8 . P o l e t e m p e r a t u r y w u k i a d z i e (C)
Ryg. 9. P o l e t e m p e r a t u r y w u k l a d z l e CD)
Przepływ c i e p ł a p r z e z p r z e g r o d ę . . . ________________________
Z2
Rys . 11. P o l e t e m p e r a t u r y w u k ł a d z i e ( F i
S
Rvs . 10. P o l e t e m p e r a t u r y w u k ł a d z i e ( El
Q,= 0.0 Q> 0,2170 Q.‘* 0,0 Qt* 0.0818 Q'= 0,1352 Q»* 0,0818
Rys . 12. P o l e t e m p e r a t u r y w u k ł a d z i e (01
Rys . 13. P ol e t e m p e r a t u r y w u k ł a d z i e (Hi
Ul S t e f a n P o s t r z e d n i k
LITERATURA
M Bes T . , P o s t r z e d n i k S . - Przepł yw c i e p ł a w e l e m e n c i e k a t o d y e l e k t r o - l i z e r a A l , R e f . Symp. Wym. C i e p ł a , Wa r s za wa - J abł onna 1974.
[2] Cars l aw H . S . , J a e g e r J . C . - C o n d u s t l o n o f h e a t i n s o l i d s , Oxf or d 1959.
[3] M a d e j s k i J . - Ro z wi ą z a n i e r ówna ni a L a p l a o e ’a pr zy pewnych warunkach b r z e g o w y c h . . . , Ar o h . Mechan. S t osow. Tom I I I , 1951.
[4] Wandrasz J . - Opór c i e p l n y na r oż a s y m e t r y c z n e g o , Z e s z . Nauk. P o l . Ś l . E ne r g e t y k a z . 4 5 , 1972.
TEIDIOOEMEH B IIPHMOyTOJIbHOH REPErOPOHKE
P e 3 t> u e
B c ia T t e onpexeJieHO ÄByxuepHoe noae Tennepaiypti h TeiuioBue iiotokh b npa- MoyroJibHOä neperopo^Ke. Pememie npobaeMH nojiyveHo npa Honojib30BaHaa aHama- TaaeoKHX iieTOflOB.
HEAT TRANSFER THROUGH THE STRAIGHT CORNER DIVISION
S u m m a r y
I n t h e pa pe r t h e two - d i m e n s i o n a l t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n and t h e c h a r a c t e r i s t i c h e a t f l u x e s i n t h e s t r a i g h t c o r n e r d i v i s i o n have been de
t e r m i n e d . The s o l u t i o n by u s i n g t h e a n a l y t i c a l methods was g i v e n .