1: Zadanie1.2 Korzystajc z geometrycznej interpretacji wartoci bezwzgldnej, rozwiza nie- rwnoci: a)jx;2j&lt

25  Download (0)

Pełen tekst

(1)

Zadanie1.1

Zaznaczy na prostej zbiory tych punktw x, ktre speniaj ponisze warunki:

a)jx;1j=2 b)jx+1j=;1 c)jx;3j< 2 d)jx+2j> 1 e)jx;3j2 f)j2x+1j< 5 g)j2x+3j2 h)j2;4xj> 1:

Zadanie1.2

Korzystajc z geometrycznej interpretacji wartoci bezwzgldnej, rozwiza nie- rwnoci:

a)jx;2j< 3 b)j2x+4j6 c)jx;5jjx+2j d)jx;1jjx+2j:

Zadanie1.3

Rozwiza rwnania i nierwnoci:

a)jx;2j+jxj=j2x;7j b)jx;1j;2jxj+x+7=0 c) 3jx;1j;j2x;1j= 1:

d) 1

jxj < 2 e) x+2jxj1 f) jxj

jx;2j > 1.

Zadanie1.4

Napisa wzr funkcji liniowej, ktrej wykres:

(a) przechodzi przez punkty A(21) B(1;1),

(b) przechodzi przez punkt A(10) i tworzy z osi Ox kt 30, (c) przechodzi przez punkt A(10) i tworzy z osi Oy kt 30.

Zadanie1.5

Narysowa wykresy funkcji:

a) f(x) = 3;2x b) f(x) =j3;2xj c) f(x) = 3;2jxj d) f(x) =jx;2j+jx+2j e) f(x) = 2;3jx;3j f) f(x) =jj2x+1j;2j g) f(x) =px2+6x+9 h) f(x) = 2x;px2;6x+9. i) f(x) =jx;2j;px2;6x+9.

Zadanie1.6

Sprowadzi nastpujce wyraenia do prostszej postaci, zakadajc, e xy przyj- muj wartoci, dla ktrych dane wyraenie jest okrelone:

a) x;y

3

px;p3y b) 1;x

1;px c) x;4

px;2

Zadanie1.7

Wykona dziaania:

a) 8xx;9x3+ 3xx+3x2; 2;6x

(1;3x)2 b) 3

p1+x+

p1;x: 3

p1;x2+1

Zadanie1.8

Znale ten wyraz rozwinicia dwumianu



px+ 2x



12, w ktrym nie wystpuje x.

(2)

Znale wyrazy rozwinicia dwumianu p53+p7224, ktre s liczbami natural- nymi.

Zadanie1.10

Wykorzystujc wzr Newtona obliczy:

a)

n 0



+

n 1



+

n 2



++

 n n;1



+

n n



b)

n 0



2n+

n 1



2n;1+

n 2



2n;2++

 n n;1



2+

n n



c)

n 0



;

n 1



+

n 2



;+

 n n;1



+(;1)n

n n



d)

n 0



2n;

n 1



2n;1+

n 2



2n;2;+(;1)n;1

 n n;1



2+(;1)n

n n



:

Zadanie1.11

Znale trjmian kwadratowy y = ax2+bx+c , wiedzc, e do jego wykresu naley punkt A(30) i e dla x=1 przyjmuje on warto maksymaln rwn 12.

Zadanie1.12

Dla jakiej wartoci parametru m kade z rwna:

(i) mx2;3x+m = 0 ,

(ii) (4m+1)x2;(4m;1)x+m;1 = 0 , (iii) x2+mx;m2;m;2 = 0

ma:a) tylko jedno rozwizanie,

b) dwa rozwizania rnych znakw, c) dwa rozwizania dodatnie,

d) dwa rozwizania, ktre s sinusem i kosinusem tego samego kta?

Zadanie1.13

Okreli ilo rozwiza rwnania w zalenoci od parametru m:

a)jx2;x;6j= m b) j3x2;1j+2x;m = 0 c)jx2+2x;3j=m+1:

Lista 2.

Zadanie2.1

a) Wyznaczy wspczynniki a i b wielomianu W(x) = x4;3x3+x2+ax+b tak, aby przy dzieleniu go przez wielomian Q(x) = x2;2x+2 reszta bya rwna: 01x.

b) Nie wykonujc dzielenia, wyznaczy reszt z dzielenia:

(i) wielomianu W(x) = 2x2001;3x117+5x+2 przez wielomian Q(x) = x2;1

(ii) wielomianu W(x) = 2x21;32x11;8x;2 przez wielomian Q(x) = x2;x;2:

(3)

Zadanie2.2

Rozwiza rwnania i nierwnoci:

a) x4;1=0 b) x3;2x2+2x;1=0 c) 9x4;10x2+1=0 d) x4;12x2+32 < 0 e) x4;12x2+360 f)jx4;1j< 3x2+3.

Zadanie2.3

Rozwiza rwnania i nierwnoci:

a) x+p10x+6=9 b)p2x+1+px;3=2px c) 2

x+px2;x = 1 d) x < 1x e) px;6;p10;x1 f) x <px2+x;2.x

Zadanie2.4

Naszkicowa wykresy funkcji:

a) f(x)=2;3x b) f(x)=2;3jxj c) f(x)=j2;3xj d) f(x)=2;3x;1.

Zadanie2.5

Rozwiza rwnania i nierwnoci:

a) x;34 = 18 b) x;32 =

p2

4 e) x;1x;2 f) x2x;2.

Zadanie2.6

Rozwiza rwnania i nierwnoci:

a) 23x7x;2= 4x+1 b) 8x+18x;227x= 0 c) (q2;p3)x+(q2+p3)x= 4.

d) 22x+4;4x> 15 e) 0 < 3x2;x;6 1 f) 12x;1 > 1 1;2x;1:

Zadanie2.7

Obliczy:

a) log2p21

8 b) log9tg 3 c) log23log34log127128 d) 22logp23.

Zadanie2.8

Nie korzystajc z tablic logarytmw,uporzdkowa wedug wielkoci podane liczby:

log36 log48 log35.

Zadanie2.9

Sporzdzi wykresy funkcji:

a) f(x) = log(x;3) b) f(x) = 2;log(x;3) c) f(x) =jlog(x;3);2j

Zadanie2.10

Rozwiza rwnania i nierwnoci:

a) logpx;5+logp2x+3+1 = log30 b) log4(log2x)+log2(log4x) = 2 c) log x 1 < 2 d) log (log (x 5)) > 0

(4)

Zadanie3.1

Wyznaczy okres podstawowy funkcji:

f(x) = sinx3 f(x) = sinx f(x) = cos2x3 f(x) = tgx3 f(x) = sinx f(x) = ctgx3:

Zadanie3.2

Narysowa wykresy i okreli zbir wartoci funkcji:

a) f(x) = cos (x+3) b) f(x) = sin2x c) f(x) = 2sin x2;1 d) f(x)=sinjxj e) f(x)=jsinx+cos xj f) f(x)=jsinxj+jcosxj g) f(x)=sinx;jsinxj.

Zadanie3.3

Obliczy bez uycia tablic:

a) sin12cos 18+sin18cos12 b) (sin15+sin 75)(cos 75;cos 15)

Zadanie3.4

Udowodni tosamoci:

a) sin2x;tg x=cos2xtgx b) 4sin4x+sin22x=4sin2x c) cosx+ctg xctg x =1+sinx d) 1

1+tg xtg2x =cos 2x:

Zadanie3.5

Rozwiza rwnania:

a) 2cos2(x)=3cos(x)+2 b) ctg3(x)=ctg(x) c) 2p3sin2(x)=cosx d) sin(x)+p3cos(x)=p3 e) sin(x)+p3cos(x)=0 f)p3sin(x);cos(x)=2.

Zadanie3.6

Rozwiza nierwnoci:

a)p3tg x;1 < 0 b) jcosx;12j< 1 c) sinx;p3cosx > 1 d)jsinxj>

p2

2 e) 1;tg2x

3 0 f) sinxjsinxj1 2.

Zadanie3.7

Obliczy:

a) arcsin



;

12



b) arcsin

p3

2 c) arccos



; p3

2

!

d) arccos sin 53 e) arctg; 1

p3 f) arctg;p3 g) sin(arcsin 1) h) sin(arccos 1) i) sin(arccos 0) j) arcsinsin 3 k) arccos



sin 173



l) arctgctg 3.

(5)

Zadanie3.8

Okreli dziedziny naturalne i zbiory wartoci podanych funkcji:

a) f(x) =psinx b) g(x) = 1

1 + cosx c) h(x) =p1 + cosx d) f(x) = x3;1

x;1 e) q(x) = (log3(1 +jxj)) f) q(x) = (log3(1;x));1.

Lista 4.

Zadanie4.1

Uzasadni, e:

(i) rodki bokw dowolnego czworokta s wierzchokami rwnolegoboku (ii) ze rodkowych trjkta mona utworzy trjkt.

Zadanie4.2

Sprawdzi, e punkty A(-2,1) B(-1,-4) C(2,-1) D(1,4) s wierzchokami rwnole- goboku. Znale wsprzdne punktu przecicia przektnych.

Zadanie4.3

Wektory;!a ;!b ;!c o dugoci 1 speniaj warunek ;!a +;!b +;!c =;!0 . Obliczy

;!a ;!b +;!b ;!c +;!a ;!c .

Zadanie4.4

Wektory;!a ;!b tworz kt23 orazj;!b j=j2;!aj. Dla jakiej staej c wektory;!a +c;!b oraz;!a ;;!b s prostopade.

Zadanie4.5

Wektory;!a ;!b s prostopade i maj dugo 1. Znale kt midzy wektorami

;!u = 6;!a + 4;!b i;!w = 2;!a + 10;!b .

Zadanie4.6

Znale kt midzy wektorami:

(i);!a = 2;2] oraz;!b = 33]

(ii);!a = ;43] oraz;!b = 13]

(iii);!c = 4;!a +;!b oraz;!d =;0:25;!a + 0:75;!b , gdzie;!a = ;42],;!b = 21].

Zadanie4.7

Dane s wektory;!a = 13] oraz;!b = ;21].Znale wektor ;!u prostopady do

;!a i taki, e;!b ;!u = 7.

(6)

Zadanie* 4.8

Znale rzut prostopady :

(i) wektora;!a = 23] na wektor;!b = 43]

(ii)wektora;!b na wektor ;!a .

Zadanie4.9

Obliczy pole rwnolegoboku wyznaczonego przez wektory ;!a = p31], ;!b =

;p31].

Zadanie* 4.10

Uzasadni, e rwnanie prostej prostopadej do wektora A ,B], gdzie A2+B2> 0 ma posta Ax + By + c = 0.

Zadanie* 4.11

Napisa rwnanie symetralnej odcinka AB, gdzie A(1,2), B(-1,3) oraz prostopadej do tej symetralnej przechodzcej przez punkt M(4,1).

Zadanie* 4.12

Dla jakich wartoci parametru a proste (3a+2)x+(1;4a)y +8 = 0 i (5a;2)x+

(a + 4)y;7 = 0 s (i) rwnolege (ii) prostopade.

Zadanie* 4.13

Wyznaczy kt midzy prostymi

2x + 5y;15 = 0 oraz;3x + 7y + 8 = 0.

Napisa rwnanie dwusiecznej kta midzy prostymi.

Zadanie4.14

Obliczy odlego punktu A(3,-5) od prostej 2x;3y + 2 = 0:

Zadanie* 4.15

Wyznaczy rwnanie stycznej do okrgu x2;6x+y2+8y = 0 przechodzcej przez punkt M(7,-1).

Zadanie* 4.16

Okrg o promieniu 2p2 jest styczny do prostych x;y = 3 oraz x + y = 5. Wy- znaczy wsprzdne rodka tego okrgu. Ile rozwiza ma zadanie ?.

(7)

Zadanie* 4.17

Okrg przechodzi przez punkt M(-3,1) i jest styczny do obu osi ukadu wsprzd- nych. Znale rwnanie okrgu.

Lista 5.

Zadanie5.1

Obliczy dugoci podanych wektorw:

a)~a= (3;412) b)~b=;p3;p52p2 c)~c= (%cos '%sin'h), gdzie %0 oraz 'h2R

d)~d= (%cos 'cos %sin'cos %sin), gdzie %0 oraz '2R.

Zadanie5.2

Wektory~a,~btworz dwa ssiednie boki trjkta. Wyrazi rodkowe tego trjkta przez wektory~a,~b.

Zadanie5.3

Znale wersor~u, ktry:

a) ley w paszczynie xOy i tworzy kt z dodatni czci osi Ox b) tworzy z dodatnimi czciami osi Ox, Oy, Oz odpowiednio kty , , c) tworzy jednakowe kty z wektorami~a= (03;4),~b= (860) i jest pooony

w paszczynie wyznaczonej przez te wektory.

Zadanie5.4

Obliczy iloczyny skalarne podanych par wektorw:

a)~a= (1;25) ~b= (3;10) b)~u= 3~i;2~k ~v=;~i+ 3~j+ 7~k

c*)~x=~p+ 2~q;~r,~y= 3~p;~q+ 2~r, gdzie~p,~q,~rs wersorami parami prostopadymi.

Zadanie5.5

Korzystajc z iloczynu skalarnego obliczy miary podanych ktw:

a) midzy wektorami~a= (;304)~b= (01;2)

b) midzy dwusiecznymi ktw utworzonych przez osie Ox, Oy oraz osie Oy, Oz ukadu Oxyz

c) midzy przektnymi rwnolegocianu rozpitego na wektorach ~u = (123),

~v= (;102), ~w= (315):

Zadanie5.6

Obliczy dugo rzutu prostoktnego wektora ~a = ;p2p3;p5 na wektor

~

b=;;p80p5.

(8)

Zadanie5.7

Obliczy iloczyny wektorowe podanych par wektorw:

a)~a= (;320) ~b= (15;2) b)~u= 2~i;3~k ~v=~i+~j;4~k

c*)~x = 2~p+~q+~r,~y = ~p+ 3~q+ 4~r, gdzie~p, ~q,~r s parami prostopadymi wersorami o orientacji zgodnej z orientacj ukadu wsprzdnych.

Zadanie5.8

Obliczy pola podanych powierzchni:

a) rwnolegobok rozpity na wektorach~a= (123),~b= (0;25) b) trjkt o wierzchokach A = (1;13), B = (02;3), C = (221) c) czworocian rozpity na wektorach~u,~v,w~.

Zadanie5.9

Trjkt ABC rozpity jest na wektorach;AB= (15! ;3),;AC= (! ;104): Obliczy

wysoko tego trjkta opuszczon z wierzchoka C:

Zadanie5.10

Obliczy iloczyny mieszane podanych trjek wektorw:

a)~a= (;321) ~b= (01;5)~c= (23;4) b)~u=~i+~j ~v= 2~i;3~j+~k w~ =;~i+ 2~j;5~k:

Zadanie5.11

Obliczy objtoci podanych wielocianw:

a) rwnolegocian rozpity na wektorach ~a = (001), ~b = (;123), ~c = (25;1)

b) czworocian o wierzchokach A = (111), B = (123), C = (23;1), D = (;135)

c*) rwnolegocian o przektnych~u,~v, ~w:

Lista 6.

Zadanie6.1

Sprawdzi, czy

a) wektory~a= (;13;5)~b= (1;11)~c= (4;20) s wsppaszczyznowe b) punkty P = (000), Q = (;123), R = (23;4), S = (2;15) s wsp-

paszczyznowe.

Zadanie6.2

Napisa rwnania oglne i parametryczne paszczyzn speniajcych podane wa- runki:

a) paszczyzna przechodzi przez punkt P = (1;20) i jest prostopada do wek- tora~n= (0;32)

(9)

b) paszczyzna przechodzi przez punkty P1 = (000), P2 = (123), P3 = (;1;35)

c) paszczyzna przechodzi przez punkty P1= (1;34), P2= (20;1) oraz jest prostopada do paszczyzny xOz

d) paszczyzna przechodzi przez punkt P = (1;13) oraz jest rwnolega do wektorw~a= (110),~b= (011)

e) paszczyzna przechodzi przez punkt P = (030) i jest rwnolega do paszczy- zny  : 3x;y + 2 = 0

f) paszczyzna przechodzi przez punkt P = (21;3) i jest prostopada do pasz- czyzn 1: x + y = 0, 2: y;z = 0:

Zadanie6.3

Napisa rwnania parametryczne i kierunkowe prostych speniajcych podane wa- runki:

a) prosta przechodzi przez punkt P = (;352) i jest rwnolega do wektora

~v= (2;13)

b) prosta przechodzi przez punkty P1= (106), P2= (;224)

c) prosta przechodzi przez punkt P = (0;23) i jest prostopada do paszczyzny

 : 3x;y + 2z;6 = 0

d) prosta przechodzi punkt P = (720) i jest prostopada o wektorw ~v1 = (20;3),~v2= (;120)

e) prosta jest dwusieczn kta ostrego utworzonego przez proste l1: x + 23 = y;4

;1 = z

5, l2: x + 21 = y;4

;5 = z f*) prosta jest dwusieczn kta ostrego utworzonego przez proste 3

l1: x;1

2 = y + 1

;1 = z;2

2 , l2: x + 64 = y;1

;3 = z + 29

;12 :

Zadanie6.4

Zbada, czy

a) punkty A = (123), B = (;1;20) nale do prostej l :

8

<

:

x = 1 + t

y = 2 + 2t

z = 3;t gdzie t2R b) prosta m : 2x + y;z + 3 = 0

x;2y + z;5 = 0 jest zawarta w paszczynie

 : 5y;3z + 13 = 0 c) punkty A = (015), B = (123) nale do paszczyzny

 :

8

<

:

x =;1 + s + t

y = 2 + 3s;t

z = 3;s + 2t gdzie st2R

(10)

d) proste l1 : x + 1

;2 = y;3

1 = z + 4

;8 , l2 : x1 = y;1

1 = z;2

2 maj punkt wsplny

e) prosta l :

8

<

:

x = t

y = 1 + 2t

z = 2 + 3t gdzie t2R jest rwnolega do paszczyzny

 : x + y;z + 3 = 0:

Zadanie6.5

Znale punkty przecicia:

a) prostych l1:

x + 2y;z + 4 = 0

y + z;3 = 0 l2:

2x;y;2z + 8 = 0

x + 2y + 2z;5 = 0 b) prostej l : x;1

0 = y + 2

3 = z;4

;1 i paszczyzny

 :

8

<

:

x = s + t

y = 1 + s + 2t

z = 3 + 2s + 4t gdzie st2R

c) paszczyzn 1: 3x+y + z + 1 = 0, 2: x+2z + 6 = 0, 3: 3y +2z = 0:

Zadanie6.6

Zbada, czy punkty P = (1;22) i Q = (;243) le po tej samej stronie podanych paszczyzn:

a)  : 2x + 3z;7 = 0 b)  : x;2y + 3z + 13 = 0:

Zadanie6.7

Obliczy odlego:

a) punktu P = (1;23) od paszczyzny  : x + y;3z + 5 = 0

b) paszczyzn rwnolegych 1: 2x + y;2z = 0, 2: 2x + y;2z;3 = 0 c) paszczyzn 1: x;2y + 2z + 5 = 0, 2: 3x;6y + 6z;3 = 0

d) punktu P = (01;1) od prostej l : x2 = y

;1 = z e) prostych rwnolegych l1: x;1 3

1 = y + 1 2 = z

;1, l2: x

;2 = y;1

;4 = z;3 2 f) prostych skonych l1: x = 0

y = 0 l2: x = 1

z = 1 g) prostych l1: x;9

4 =y;2

;3 = z

1, l2: x

;2 = y + 7

9 =z;2 2 h) prostej l :

8

<

:

x = 2 + t

y =;3 + 2t

z = 2;t gdzie t2R od paszczyzny  : 2x + y + 4z = 0:

(11)

Zadania

Zadanie7.1

Obliczy miar kta midzy:

a) prost l : x;3

2 = y;1

0 = z + 2

;3 i paszczyzn  : x;z = 0 b) paszczyznami 1: x;2y + 3z;5 = 0, 2: 2x + y;z + 3 = 0 c) prostymi l1:

8

<

:

x = 1;t

y =;2 + t

z = 3t gdzie t2R, l2:

8

<

:

x = 3;2t

y = 4;t

z = 1 + 3t gdzie t2R:

Zadanie7.2

Znale rzut prostoktny:

a) punktu P = (;320) na paszczyzn  : x + y + z = 0 b) punktu P = (;120) na prost l : x = y = z

c) prostej l : x;3

1 =y;5

2 = z + 1

0 na paszczyzn  : x + 3y;2z;6 = 0:

Zadanie7.3

Znale punkt symetryczny do punktu P = (23;1) wzgldem:

a) punktu S = (1;12) b) prostej l :

x + y = 0

y + z = 0

c) paszczyzny  : 2x;y + z;6 = 0:

Zadanie7.4

Znale rzut ukony w kierunku wektora~v= (23;1):

a) punktu O = (000) na paszczyzn  : x;2z + 8 = 0

b) prostej l : x;1 = y + 1 = z;2 na paszczyzn  : x;y + z;1 = 0:

Zadanie7.5

Obliczy objtoci i pola powierzchni bry ograniczonych podanymipaszczyznami:

a) x = 1, y =;1, z = 3, x + y + z = 5

b) x;y = 1, x;y = 5, x + 2z = 0, x + 2z = 3, z =;1, z = 4:

Zadanie7.6

Obliczy pole trjkta utworzonego przez proste:

l1:

8

<

:

x =;2 + 2t

y = 0

z = 4t l2:

8

<

:

x = 0

y = 3 + 3s

z =;4s l3:

8

<

:

x =;2p

y = 3;3p

z = 0 gdzie tsp2R:

(12)

Zadanie* 7.7

Niech A = (1;13), B = (025): Na prostej l : x;1

1 = y;4

2 = z;3

3 znale

punkt C taki, e pole trjkta ABC bdzie najmniejsze.

Zadanie7.8

Trzy stacje radiolokacyjne S1, S2, S3 umieszczone s w wierzchokach trjkta prostoktnego o przyprostoktnych l1= 300km, l2= 400km (rysunek). Pomiary odlegoci rakiety R od tych stacji day nastpujce wyniki d1 = 300km, d2 = 400km, d3= 400km. Obliczy, na jakiej wysokoci h leciaa rakieta.

;

;

;

;

;



- 6



























 e

e

e

e

e

e r

r

r r r

r

x S

1 l1

S

3 d1

d

3 h R z

d2

l2

S

2 y

Zadanie7.9

W wierzchokach szecianu o krawdzi a = 10 umieszczone s punkty materialne o masach odpowiednio: m1= 1, m2= 2, m3= 3, m4= 4, m5= 5, m6= 6, m7= 7, m8= 8 (rysunek).

a) Okreli pooenie rodka masy tego ukadu

b) Obliczyc moment bezwadnoci podanego ukadu mas wzgldem osi Oz c) Obliczy moment bezwadnoci podanego ukadu mas wzgldem osi czcej

masy m3 i m7

;

;

;



- 6

O

;

;

;

;

;

;

r r

r r

r r

r

m2 r

x m3

m4 y m8 m7 m6

m1 m5 z

Ca

d) Obliczy si przycigania grawitacyjnego masy m8 przez ukad pozostaych siedmiu mas.

Zadanie7.10

Nad Wrocawiem przebiegaj dwa prostoliniowe korytarze powietrzne dla samolo- tw. Pierwszy z nich przebiega poziomo na wysokoci h1= 1000m ze wschodu na

(13)

zachd. Natomiast drugi przebiega z poudniowego-wschodu na pnocny-zachd i wznosi si pod ktem = 10 Samoloty poruszajce si tym korytarzem prze- latuj nad Wrocawiem na wysokoci h2= 3000m: Obliczy najmniejsz moliw

odlego midzy samolotami leccymi tymi korytarzami.

Lista 8.

Zadanie8.1

a) Zaproponowa opis, w formie macierzy zoonej z liczb cakowitych, pooenia

!gur w grze w szachy. W jaki sposb mona by sprawdzi, czy dana macierz odzwierciedla pozycj moliw do uzyskania w czasie gry?

b) Zaproponowa zapis, w postaci jednej macierzy, odlegoci drogowych i kolejo- wych w km midzy stolicami wszystkich wojewdztw w Polsce.

Zadanie8.2

Obliczy:

a) 2

0 4 5 ;1



; 1 ;1

3 ;2



b)

2

4

0 31 1 1 0

3

5+ 4

2

4

0 00 2 1 1

3

5 c)

1 5 3 2 ;3 1



 2

4

2 ;3 5

;1 4 ;2 3 ;1 1

3

5 d)

cos ;sin sin cos



cos ;sin 

e)

2

6

6

6

6

4

1 00 1 1 00 1 1 0

3

7

7

7

7

5



1 3 5 2 4 6



f)  1 2 3 4 5 

2

6

6

6

6

4

54 32 1

3

7

7

7

7

5

:

Zadanie8.3

Ukadajc odpowiednie ukady rwna rozwiza podane rwnania macierzowe i ukad rwna macierzowych:

a) X +

1 0 0 0 2 0



= 12



X;

0 0 2 0 4 0



b)

1 1 0 0 1 0



0 2 1 1 1 0



TX =

2 2 1 2



c)

1 1 2 0 1 1



X =

7 3 4 1



d)

3 1 0 1



X = X

4 ;1 3 0



e) X2= 1 1

0 ;1



f) X2= 0 0 0 0



g) X = XT 1 2

;2 ;3



(14)

h)

8

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

:

X + Y =

2

4

2 0 0 0 2 0 0 0 2

3

5 X;Y =

2

4

0 0 2 0 2 0 2 0 0

3

5 i)

8

>

>

<

>

>

:

X +

1 ;1

;1 3



Y =

1 0 0 1





3 1 1 1



X + Y =

2 1 1 1



:

Zadanie8.4

Obliczy kilka pocztkowych potg macierzy A nastpnie wysun hipotez o po- staci macierzy An, gdzie n2Ni uzasadni j za pomoc indukcji matematycznej, jeeli:

a) A =

1 1 0 1



b) A =

2 ;1 3 ;2



c) A =

cos sin

;sin cos



, gdzie 2R d) A =

chx shx shx chx



 gdzie x2R e) A =

2

4

0 0 1 0 1 0 1 0 0

3

5 f*) A =

2

4

a 1 0 0 a 1 0 0 a

3

5, gdzie a2R g*) A = aij], gdzie aij= 0 dla ij, ij = 12:::k:

Zadanie8.5

Korzystajc z wasnoci dziaa z macierzami oraz wasnoci operacji transpono- wania macierzy uzasadni podane tosamoci:

a) (ABC)T = CTBTAT, gdzie ABC s macierzami o wymiarach odpowiednio n m, m k, k l

b) (AB)2 = A22AB +B2, gdzie A i B s przemiennymi macierzami kwadra- towymi tych samych stopni.

Uwaga.Mwimy, e macierzeAiBs przemienne, gdy speniaj warunekAB=BA:

c*) (A + I)n=

n 0



An+

n 1



An;1+

n 2



An;2+ ::: +

 n n;1



A +

n n



gdzie A i I s macierzami kwadratowymi tych samych stopni, przy czym I jestI

macierz jednostkow.

Zadanie8.6

Obliczy podane wyznaczniki drugiego i trzeciego stopnia:

a)









;3 2 8 ;5







 b)









sin cos 

 c)













1 1 1 1 2 3 1 3 6













d)













1 i 1 + i

;i 1 0 1;i 0 1













:

Zadanie8.7

Stosujc rozwinicie Laplace'a obliczy podane wyznaczniki. Wyznaczniki rozwi- n wzgldem wiersza lub kolumny z najwiksz liczb zer.

(15)

a)















3 ;2 0 5

;2 1 ;2 2 0 ;2 5 0 5 0 3 4















b)





















3 2 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 3 2 2 0 0 0 3





















c)





















2 7 ;1 3 2 0 0 1 0 1

;2 0 7 0 2

;3 ;2 4 5 3 1 0 0 0 1





















:

Zadanie8.8

Niech aibici2R, gdzie 1i3: Uzasadni rwno:













b1+ c1 c1+ a1 a1+ b1 b2+ c2 c2+ a2 a2+ b2 b3+ c3 c3+ a3 a3+ b3













= 2













a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3













:

Lista 9.

Zadanie9.1

Obliczy podane wyznaczniki wykorzystujc wystpujce w nich regularnoci:

a)

















1 2 3 4 4 3 2 1 5 6 7 8 8 7 6 5

















b)





















1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3 4 4 1 2 3 4 5





















c)

























1 1 1 3 3 3 0 1 1 3 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 3 1 0 0 0 3 3 1 1 0 3 3 3 1 1 1

























:

Zadanie* 9.2

Obliczy podane wyznaczniki stopnia n  2 wykorzystujc wystpujce w nich regularnoci:

a)























4 4 ::: 4 4 1 4 ::: 4 4 ... ... ... ... ...

1 1 ::: 4 4 1 1 ::: 1 4























b)























1 2 3 ::: n 2 2 3 ::: n 3 3 3 ::: n ... ... ... ... ...

n n n ::: n























c*)























1 1 1 ::: 1 1 2 22 ::: 2n;1 1 3 32 ::: 3n;1 ... ... ... ... ...

1 n n2 ::: nn;1























:

Zadanie9.3

Stosujc operacje elementarne na wierszach lub kolumnach podanych wyznaczni- kw (powodujce obnienie ich stopni) obliczy:

a)













1 ;1 0 2 3 5

;4 0 6













b)













;1 4 0 2 5 ;2

;3 0 3













c)

















4 2 1 1 1 ;1 0 2 3 0 1 3 2 2 0 3

















d)















1 0 1 ;1 2 1 ;1 2

;1 2 1 3

3 1 4 0















e)

















1 2 ;1 0 3 2 4 5 1 ;6

;1 ;2 3 0 ;2

;2 ;2 1 ;1 1

2 4 2 0 3

















f)

















2 7 ;1 3 2 0 2 1 3 1

;2 4 7 2 2

;3 ;2 4 5 3 1 2 0 1 1

















:

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :