Matematyka Deska Galtona, albo fasolki uczace

Deska Galtona, albo fasolki uczące

dwumianu Newtona

Spróbujemy poniżej wyobrazić i przyswoić sobie trudne pojęcia mate-matyczne, jak symbol Newtona, poprzez eksperymenty – najpierw myślowe, później praktyczne.

Eksperyment myślowy

Na początek wyobraźmy sobie stojącą pionowo deskę z trzema rzędami gwoździ, czterema pojemnikami na dole, oraz kulką (fasolką), trzymaną na samej górze, jak na obrazku.

Co się stanie z kulką, gdy ją puścimy? Uderzy w pierwszy gwóźdź, i bę-dzie musiała skręcić, wybierając losowo jeden z kierunków, na przykład może przesunąć się w lewo.

Następnie jeszcze dwukrotnie będzie uderzać i wybierać kierunek, na przykład tym razem dwukrotnie skręcić w prawo, lądując w odpowiedniej przegródce.

trzy razy skręcić w lewo.

Ile jest możliwych różnych tras dla kulki? Mamy trzy rzędy gwoździ, czyli trzykrotnie musimy dokonać wyboru jednej z dwóch możliwości, za-tem mamy do czynienia z wariacją z powtórzeniami, więc dokładnie 23= 8 możliwych sytuacji. Gdy założymy na chwilę, że wrzucamy osiem kulek, i każda z nich – już nie losowo! – wybierze dokładnie inną trasę, niż po-zostałe, otrzymamy taką sytuację, w której w przegródkach leżeć będzie kolejno jedna, trzy, trzy i jedna kulka.

Czy domyślacie się, dlaczego tak będzie? Dla ułatwienia powtórzmy eks-peryment dla deski z czterema rzędami gwoździ i pięcioma przegródkami. Potrzebujemy łącznie 24 = 16 kulek, i jeżeli każda wybierze dokładnie inną drogę, niż pozostałe, otrzymamy sytuację, w której w przegródkach leżeć będzie kolejno jedna, cztery, sześć, cztery i jedna kulka.

Dlaczego tak się dzieje? Prześledźmy losy kulek, które trafiają do drugiej przegródki od lewej. Żeby kulka tam wpadła, na cztery możliwe wybory kie-runku musi trzy razy wybrać lewo, i raz prawo; jej kolejne wybory mogą więc wyglądać tak: lewo, lewo, lewo, prawo – w skrócie LLLP – lub LLPL, lub LPLL, lub PLLL. Można powiedzieć, że wybieramy z czterech skrętów jeden szczególny – w prawo – więc liczba takich sytuacji jest liczbą kombinacji bez powtórzeń jednego elementu z czterech, czyli 4₁

= _1!3!4! = 4. Widać już, że liczbę kulek w poszczególnych przegródkach można wyznaczyć za pomocą symbolu Newtona, i będzie ona równa kolejno 4₀

= 1, 4₁
= 4, 4₂
= 6, 4 3
= 4 i 4₄
= 1.

Kontynuując nasz eksperyment myślowy, możemy udowodnić kilka wła-sności symbolu Newtona za pomocą naszej deski i kulek. Ponieważ kulka spadając nie odróżnia lewej strony od prawej, liczba sytuacji, w której przy n rzędach k-krotnie skręcamy w lewo (i tym samym n − k-krotnie w prawo) musi być równa liczbie sytuacji, w której przy n rzędach k-krotnie skręcamy w prawo (i tym samym n − k-krotnie w lewo), zatem dla każdego n ­ 0, 0 ¬ k ¬ n mamy n k ! = n n − k ! .

Prześledźmy następnie proces dokładania kolejnego rzędu gwoździ. Liczba przegródek zwiększy się o jedną, przy czym każda przegródka w nowym rzędzie – nie licząc skrajnych – będzie umiejscowiona dokładnie w połowie pomiędzy dwiema przegródkami we wcześniejszym rzędzie, czyli będzie do niej mogła trafić, po odpowiednim wyborze kierunku skrętu, każda kulka z tych dwóch wyższych przegródek, i żadna inna. Po dodatkowym przemy-śleniu widzimy, że przegródka poniżej przechowuje te kulki, które skręciły w prawo dokładnie tyle razy, co prawa przegródka powyżej, i o jeden raz wię-cej w prawo, niż lewa powyżej, zatem ostatecznie możemy wywnioskować,

n 0 ! + n 1 ! + . . . + n n ! = 2n, lub inaczej n X k=0 n k ! = 2n.

Na koniec spróbujmy powiązać naszą deskę z wzorem dwumianowym Newtona. Zastanówmy się, ile wynosi wartość sumy liczb L i P podniesio-nej do czwartej potęgi, (L + P )4_{. Po rozpisaniu tego wyrażenia nietrudno}

zauważyć, że wymnażając każdy wyraz z każdym otrzymujemy (L + P )4 = (L + P )(L + P )(L + P )(L + P )

= LLLL + LLLP + LLP L + LLP P +LP LL + LP LP + LP P L + LP P P +P LLL + P LLP + P LP L + P LP P +P P LL + P P LP + P P P L + P P P P.

Pamiętając o przemienności mnożenia, możemy pogrupować wyrazy w gru-py zawierające LLLL = L4, LLLP = L3P1, LLP P = L2P2, LP P P = L1P3 i P P P P = P4. Ile będzie wyrazów w każdej grupie? Dokładnie tyle samo, ile kulek w odpowiednich przegródkach w czterorzędowej desce, utoż-samiając symbol L ze skrętem w lewo, i P ze skrętem w lewo. Tym samym otrzymujemy wzór na czwartą potęgę sumy

(L + P )4 = L4+ 4L3P1+ 6L2P2+ 4L1P3+ P4,

i w przypadku ogólnym wyprowadzenie twierdzenia dwumianowego Newto-na w postaci (L + P )n= n X k=0 n k ! Ln−kPk.

Eksperyment praktyczny

Czas na eksperyment praktyczny – skonstruujcie opisaną powyżej de-skę, z odpowiednio rozłożonymi (równomiernie) gwoździami i przegródkami, oraz przeprowadźcie wielokrotnie eksperyment z wrzucaniem kulki, zapisu-jąc wyniki; możecie również użyć wielu jednakowych kulek i obejrzeć re-zultat końcowy. Ponieważ w przyrodzie nic nie jest doskonałe, nie możemy spodziewać się, że po wrzuceniu dokładnie 2n kulek każda wybierze całko-wicie inną trasę, niż poprzednie. Tym samym zamiast wyznaczać liczbę kul w poszczególnych przegródkach przy doskonałym rozkładzie wyborów skrę-tów, możemy jedynie wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że kulka trafi do tej czy innej przegródki. Oznaczmy skręt danej kulki w prawo jako sukces, a w lewo jako porażkę; prawdopodobieństwo obu z tych pojedynczych wy-ników jest równe 1₂. Mamy zatem do czynienia ze schematem Bernoulliego, i prawdopodobieństwo trafienia ostatecznie do k-tej przegródki (numerując je od lewej strony od zera do n) wynosić będzie

P (K = k) = n k

! · 1

2n.

Wzór ten łączy poczynione powyżej obserwacje dotyczące liczby możliwych wyborów tras dla kulek i łącznej liczby różnych tras, ale w postaci syn-tetycznej nie jest zbyt przyjazny. Przetestujmy go w praktyce, obserwując wiele powtórzeń eksperymentu z wrzucaniem kulki. Efekt może na przykład wyglądać tak, jak poniżej1.

Każdy może samodzielnie policzyć, że wyrazy odpowiedniego rozwinię-cia dwumianowego (odpowiedniego wiersza trójkąta Pascala) są równe 1,

1

Galtona.

2

Źródło: Michael Bulmer, Francis Galton: Pioneer of Heredity and Biometry, JHU Press, 2003, za: Wikipedia.org.