Podprzestrzenie niezmiennicze. Wektory wªasne, warto±ci wªasne
1. Znale¹¢ warto±ci wªasne i wektory wªasne podanych macierzy rzeczywistych
(a) 1 0 0 1 1 2 1 2 −1 , (b) 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 .
2. Wyznaczy¢ warto±ci wªasne i odpowiadaj¡ce im wektory wªasne przeksztaªcenia F : R2 → R2 okre±lonego wzorem
F (x, y) = (2x + y, 0) .
3. Wyznaczy¢ wektory wªasne i warto±ci wªasne przeksztaªcenia liniowego F, je»eli (a) F : R2
→ R2 i F (x, y) = − (y, −x) ,
(b) F : C2
→ C2 i F (z
1,z2) = (−z2, z1) .
4. Znale¹c baz¦ przestrzeni liniowej R3 zªo»on¡ z wektorów wªasnych przeksztaªcenia
T : R3 → R3 danego wzorem
T (x, y, z) = (5x− 3y + 2z, 6x − 4y + 4z, 4x − 4y + 5c) i wyznaczy¢ macierz przeksztaªcenia T w tej bazie.
5. Znale¹¢ baz¦ przestrzeni liniowej P2 zªo»on¡ z wektorów wªasnych przeksztaªcenia
T : P2 → P2 danego wzorem
T a + bx + cx2 = (−a + 2b) + (2a − 2c) x + (−2b + c) x2 i wyznaczy¢ macierz przeksztaªcenia T w tej bazie.
6. Dany jest endomorzm T (x, y, z) = (3x + z, 3y + z, x + y − 2z) przestrzeni lin-iowej R3 ze standardowym iloczynem skalarnym. Wykaza¢, »e przeksztaªcenie T
posiada symetryczn¡ macierz i wyznaczy¢ baz¦ ortonormaln¡ przestrzeni R3zªo»on¡
z wektorów wªasnych przeksztalcenia T.
7. Wyznaczy¢ baz¦ ortogonaln¡ przestrzeni P2 zªo»on¡ z wektorów wªasnych
przeksz-taªcenia T , o ile istnieje,
T a + bx + cx2 = (−a − 3b − 7c) + (3a + 5b + 7c) x − (3a + 3b + 5c) x2. Iloczyn skalarny jest tu zdeniowany wzorem: ha + bx + cx2, a0+ b0x + c0x2
i = aa0+ bb0+ cc0.
8. Niech T : P2 → P2 b¦dzie dane wzorem
T a + bx + cx2 = (8a − 2b + 2c) + (−2a + 5b + 4c) x − (2a + 4b + 5c) x2. Pokaza¢, »e T jest samosprz¦»one. Znale¹¢ baz¦ przestrzeni P2 zªo»on¡ z wektorów
wªasnych przeksztaªcenia T . Iloczyn skalarny jak w zadaniu 7.