Wektory własne. Wartości własne

(1)

Podprzestrzenie niezmiennicze. Wektory wªasne, warto±ci wªasne

1. Znale¹¢ warto±ci wªasne i wektory wªasne podanych macierzy rzeczywistych

(a)   1 0 0 1 1 2 1 2 ₋₁  , (b)     1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4     .

2. Wyznaczy¢ warto±ci wªasne i odpowiadaj¡ce im wektory wªasne przeksztaªcenia F : R2 _{→ R}2 _{okre±lonego wzorem}

F (x, y) = (2x + y, 0) .

3. Wyznaczy¢ wektory wªasne i warto±ci wªasne przeksztaªcenia liniowego F, je»eli (a) F : R2

→ R2 _{i F (x, y) = − (y, −x) ,}

(b) F : C2

→ C2 _{i F (z}

1,z2) = (−z2, z1) .

4. Znale¹c baz¦ przestrzeni liniowej R3 _{zªo»on¡ z wektorów wªasnych przeksztaªcenia}

T : R3 _{→ R}3 danego wzorem

T (x, y, z) = (5x_{− 3y + 2z, 6x − 4y + 4z, 4x − 4y + 5c)} i wyznaczy¢ macierz przeksztaªcenia T w tej bazie.

5. Znale¹¢ baz¦ przestrzeni liniowej P2 zªo»on¡ z wektorów wªasnych przeksztaªcenia

T : P2 → P2 danego wzorem

T a + bx + cx2 = (−a + 2b) + (2a − 2c) x + (−2b + c) x2 i wyznaczy¢ macierz przeksztaªcenia T w tej bazie.

6. Dany jest endomorzm T (x, y, z) = (3x + z, 3y + z, x + y − 2z) przestrzeni lin-iowej R3 _{ze standardowym iloczynem skalarnym. Wykaza¢, »e przeksztaªcenie T}

posiada symetryczn¡ macierz i wyznaczy¢ baz¦ ortonormaln¡ przestrzeni R3_zªo»on¡

z wektorów wªasnych przeksztalcenia T.

7. Wyznaczy¢ baz¦ ortogonaln¡ przestrzeni P2 zªo»on¡ z wektorów wªasnych

przeksz-taªcenia T , o ile istnieje,

T a + bx + cx2 = (−a − 3b − 7c) + (3a + 5b + 7c) x − (3a + 3b + 5c) x2. Iloczyn skalarny jest tu zdeniowany wzorem: ha + bx + cx2_{, a}0_{+ b}0_{x + c}0_x2

i = aa0+ bb0+ cc0.

8. Niech T : P2 → P2 b¦dzie dane wzorem

T a + bx + cx2_{= (8a − 2b + 2c) + (−2a + 5b + 4c) x − (2a + 4b + 5c) x}2. Pokaza¢, »e T jest samosprz¦»one. Znale¹¢ baz¦ przestrzeni P2 zªo»on¡ z wektorów

wªasnych przeksztaªcenia T . Iloczyn skalarny jak w zadaniu 7.