D e e l _ I . D e t e r m i n i s t i s c h e s i g n a a l a n a l y s e . S t o c h a s t i s c h e p r o c e s s e n D e e l _ I I . T i j d r e e k s a n a l y s e D e e l _ I I I . V o o r b e w e r k i n g v a n d a t a . I n l e i d i n g e n t o t - n i e t - l i n e a i r e s y s t e m e n - n i e t - s t a t i o n a i r e p r o c e s s e n - K a l m a n f i l t e r i n g - s y s t e e m i d e n t i f i c a t i e .
INHOUD DEEL I b l z . 1 . I n l e i d i n g .| 1 . 1 S t o c h a s t i s c h e t e c h n i e k e n , a l g e m e e n 1 1 . 2 T i j d r e e k s a n a l y s e ; e n k e l e d e f i n i t i e s en b e g r i p p e n 2 1 . 3 T i j d r e e k s a n a l y s e en s t a t i s t i e k : v e r s c h i l en o v e r e e n k o m s t . . 4 1 . 4 H e t e n s e m b l e g 1 . 5 Nogmaals s t a t i s t i e k v e r s u s t i j d r e e k s a n a l y s e 9 1 . 6 De k a r a k t e r i s a t i e v a n e e n u n i v a r i a a t s t o c h a s t i s c h p r o c e s . . 15 1 . 7 A f h a n k e l i j k h e i d e n v o o r s p e l l e n 1 . 8 De k a r a k t e r i s a t i e v a n e e n b i v a r i a a t s t o c h a s t i s c h p r o c e s . . . 17 1 . 9 T i j d r e e k s a n a l y s e , 21 1 . 1 0 T i j d r e e k s m o d e l l e n 2 2 1 . 1 1 U i t b r e i d i n g , _ _ 2 3 2- D e t e r m i n i s t i s c h e s i g n a a l a n a l y s e 24 2 . 1 I n l e i d i n g 2 4 2 . 2 K l a s s i f i k a t i e v a n d e t e r m i n i s t i s c h e d a t a 25 2 . 2 . 1 S i n u s v o r m i g e p e r i o d i e k e d a t a 25 2 . 2 . 2 C o m p l e x e p e r i o d i e k e d a t a , 2 6 2 . 2 . 3 B i j n a - p e r i o d i e k e d a t a 28 2 . 2 . 4 T r a n s i e n t s 29 2 . 3 F o u r i e r - a n a l y s e 2 i 2 . 3 . 1 I n l e i d i n g 2 1 2 . 3 . 1 . 1 De r o l v a n de F o u r i e r - a n a l y s e 3 1 2 . 3 . 1 . 2 E i n d i g e F o u r i e r r e e k s e n 3 2 2 . 3 . 1 . 3 F o u r i e r r e e k s e n 3 7 2 . 3 . 1 . 4 F o u r i e r i n t e g r a l e n 3 3 2 . 3 . 2 F o u r i e r t r a n s f o r m a t i e s e n h u n e i g e n s c h a p p e n 3 9 2 . 3 . 2 . 1 N e t t e f u n k t i e s 3 9 2 . 3 . 2 . 2 G e g e n e r a l i s e e r d e f u n k t i e s 4 2 2 . 3 . 2 . 3 F o u r i e r r e e k s e n a l s F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r -^^"^ 4 7 2 . 4 L i n e a i r e s y s t e m e n e n c o n v o l u t i e 4 9 2 . 4 . 1 L i n e a i r e d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n 4 9 2 . 4 . 2 S t a p - en i m p u l s f u n k t i e s 51 2 . 4 . 3 F r e q u e n t i e - r e s p o n s i e f u n k t i e s 5 3 2 . 4 . 4 R e s p o n s i e op e e n w i l l e k e u r i g i n g a n g s s i g n a a l 56 2 . 4 . 5 V o o r b e e l d e n cn
2 . 7 . 2 G e t i j a n a l y s e 87 2 . 7 . 3 D e t e r m i n i s t i s c h e g e t i j v o o r s p e l l i n g 89 3 . S t o c h a s t i s c h e p r o c e s s e n 95 3 . 1 I n l e i d i n g 95 3 . 2 B e s c h r i j v i n g v a n s t o c h a s t i s c h e p r o c e s s e n 96 3 . 2 . 1 A l g e m e n e b e s c h r i j v i n g 96 3 . 2 . 2 B e p e r k t e b e s c h r i j v i n g 97 3 . 2 . 3 G a u s s i s c h e p r o c e s s e n 98 3 . 2 . 4 S t a t i o n a i r e p r o c e s s e n 99 3 . 2 . 5 E r g o d i s c h e p r o c e s s e n 101 3 . 2 . 6 O v e r z i c h t s t o c h a s t i s c h e p r o c e s s e n 103 3 . 3 B a s i s k a r a k t e r i s t i e k e n v a n e e n u n i v a r i a a t s t o c h a s t i s c h p r o c e s 104 3 . 3 . 1 G e m i d d e l d e w a a r d e n en v a r i a n t i e s 104 3 . 3 . 2 K a n s d i c h t h e i d s f u n k t i e s 105 3 . 3 . 3 A u t o c o r r e l a t i e f u n k t i e s 108 3 . 3 . 4 S p e c t r a l e d i c h t h e i d s f u n k t i e s 114 3 . 4 B a s i s k a r a k t e r i s t i e k e n v a n e e n b i v a r i a a t p r o c e s 125 3 . 4 . 1 S i m u l t a n e k a n s d i c h t h e i d s f u n k t i e s 125 3 . 4 . 2 K r u i s c o r r e l a t i e f u n k t i e s 127 3 . 4 . 3 K r u i s s p e c t r a l e d i c h t h e i d s f u n k t i e s 130 3 . 5 F i l t e r e n v a n s t o c h a s t i s c h e p r o c e s s e n 135 3 . 5 . 1 L i n e a i r e t r a n s f o r m a t i e s v a n s t o c h a s t i s c h e p r o c e s s e n . 135 3 . 5 . 2 L i n e i a r e s y s t e m e n met é é n i n g a n g 137 3 . 5 . 3 E n k e l v o u d i g e c o h e r e n t i e f u n k t i e s 145 3 . 6 B e m o n s t e r e n v a n s t o c h a s t i s c h e p r o c e s s e n 150 3 . 7 E x t r e m a v a n s t o c h a s t i s c h e s i g n a l e n 152 3 . 7 . 1 I n l e i d i n g 152 3 . 7 . 2 S p e c t r a l e momenten 154 3 . 7 . 3 L e v e l - c r o s s i n g s 156 3 . 7 . 4 M a x i m a , t o p p e n e n e x t r e m a 158
S y m b o l e n l i j s t d e e l I I n d e z e s y m b o l e n l i j s t s t a a n de s y m b o l e n v e r m e l d d i e i n e e n g r o o t d e e l v a n d e e l I v o o r k o m e n . N i e t v e r m e l d z i j n de s y m b o l e n d i e a l l e e n i n v o o r b e e l d e n g e b r u i k t z i j n , e n d a a r t e r p l a a t s e z i j n g e d e f i n i e e r d , e v e n m i n a l s de s y m b o l e n u i t de p a r a g r a a f o v e r g e t i j a n a l y s e 5 o o k d i e w o r d e n t e r p l a a t s e g e d e f i n i e e r d e n e l d e r s n i e t g e b r u i k t . H e t z e l f d e g e l d t v o o r de v e l e s y m b o l e n u i t de p a r a g r a a f o v e r e x t r e m a , d i e e l d e r s n i e t g e b r u i k t w o r d e n . V o o r de b e l a n g r i j k s t e s y m b o l e n u i t d i e p a r a g r a a f z i j v e r w e z e n n a a r de d e f i n i t i e s c h e t s ( f i g u u r 3 . 2 1 , b l z . 153) . a ^ , F o u r i e r c o ë f f i c i ë n t b ^ , F o u r i e r c o ë f f i c i ë n t B f r e q u e n t i e b a n d b r e e d t e C x ( t , s ) n i e t - s t a t i o n a i r e a u t o c o v a r i a n t i e f u n k t i e C^ ( T ) a u t o c o v a r i a n t i e f u n k t i e C ^ y ( f ) c o i n c i d e n t - s p e c t r u m ( c o - s p e c t r u m ) C ^ y ( T ) k r U i S c o v a r i a n t i e f u n k t i e E { . . } v e r w a c h t i n g s w a a r d e v a n { . . } f f r e q u e n t i e f ^ N y q u i s t - f r e q u e n t i e f ( x ) k a n s d i c h t h e i d s f u n k t i e F „ ^ ( x , . . x „ ) s i m u l t a n e k a n s v e r d e l i n g v a n x., , . . x — 1 * • —n i n — j- —n G ( f ) g a i n - f u n k t i e G ^ ( f ) e e n z i j d i g s p e c t r u m G ^ y ( f ) e e n z i j d i g k r u i s s p e c t r u m h ( j ) , h ( t ) i m p u l s r e s p o n s f u n k t i e H ( f ) o v e r d r a c h t s f u n k t i e H ( f ) I g a i n f u n k t i e i ( f ) r i j i m p u l s f u n k t i e s l ( f ) F o u r i e r - g e t r a n s f o r m e e r d e v a n i ( t ) j , i n d e x k i n t e g e r K ( f ) c o h e r e n t i e f u n k t i e m g e m i d d e l d e x^aarde m ^ ( t ) g e m i d d e l d e w a a r d e - f u n k t i e
P ( x ) p ( x , y ) P ( x ) P ( x , y ) P { . . } P r o b [ . . ' q , ( t ) Q x y ( f ) R ^ ( T ) \ y ( ^ ) S ( t ) s ( t ) S i ( t ) Sr s ( f ) s . ( f ) Sm S ^ ( f ) S x ( f ) , S y ( f ) S x y ( f ) t T ^ x ' ' ^ x y u U ( t ) v a r { . . . } w ( t ) W ( f ) X { x - } x ( t ) k a n s d i c h t h e i d s f u n k t i e s i m u l t a n e k a n s d i c h t h e i d s f u n k t i e k a n s v e r d e l i n g s f u n k t i e s i m u l t a n e k a n s v e r d e l i n g s f u n k t i e k a n s d a t { . . } k a n s d a t v a r i a n t i e - f u n k t i e q u a d r a t u u r - s p e c t r u m ( q u a d - s p e c t r u m ) a m p l i t u d e a u t o c o r r e l a t i e f u n k t i e k r u i s c o r r e l a t i e f u n k t i e t i j d s a f h a n k e l i j k e v a r i a b e l e e i n d i g e F o u r i e r - r e e k s S ( t ) i ( t ) b e m o n s t e r d e w a a r d e v a n S ( t ) S ( t ) w ( t ) F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e v a n S ( t ) c o n v o l u t i e v a n S ( f ) e n l ( f ) c o m p l e x e F o u r i e r - c o ë f f i c i ë n t c o n v o l u t i e v a n S ( f ) en W ( f ) s p e c t r a k r u i s s p e c t r a t i j d v a r i a b e l e m e e t d u u r , i n d e x r u i m t e , p e r i o d e p e r i o d e E A t i i n t e g r a t i e - v a r i a b e l e e e n h e i d s s t a p f u n k t i e v a r i a n t i e v a n { . . . } d a t a v e n s t e r , w i t t e r u i s s p e c t r a a l v e n s t e r s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e s t o c h a s t i s c h p r o c e s t i j d s a f h a n k e l i j k e v a r i a b e l e
3 -X , -X ^ a m p l i t u d e X ( f ) F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e v a n x ( t ) Y s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e { ^ i } s t o c h a s t i s c h p r o c e s y ( t ) t i j d s a f h a n k e l i j k e v a r i a b e l e Y s t o c h a s t i s c h p r o c e s Y ( f ) F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e v a n y ( t ) z ( t ) t i j d s a f h a n k e l i j k e v a r i a b e l e B£ c o ë f f i c i ë n t Y x y ( f ) c o h e r e n t i e - f u n k t i e 6 ( t ) D i r a c - d e l t a - f u n k t i e A b e m o n s t e r i n g s i n t e r v a l e s t o o r t e r m 6 f a s e h o e k , t i j d v e r s c h u i v i n g ö ^ y C f ) a r g u m e n t v a n G ^ y ( f ) Ux g e m i d d e l d e w a a r d e p c o r r e l a t i e c o ë f f i c i ë n t P x ( 9 ) a u t o c o r r e l a t i e c o ë f f i c i ë n t Pjj.y ( 6 ) k r u i s c o r r e l a t i e c o ë f f i c i ë n t O s t a n d a a r d d e v i a t i e v a r i a n t i e T t i j d v e r s c h u i v i n g ( f ) ( f ) f a s e mean s q u a r e v a l u e (jü h o e k s n e l h e i d
1.3 T i j d r e e k s a n a l y s e e n s t a t i s t i e k : v e r s c h i l e n o v e r e e n k o m s t 1.4 H e t e n s e m b l e 1.5 N o g m a a l s s t a t i s t i e k v e r s u s t i j d r e e k s a n a l y s e 1.6 De k a r a k t e r i s a t i e v a n e e n u n i v a r i a a t s t o c h a s t i s c h p r o c e s 1.7 A f h a n k e l i j k h e i d en v o o r s p e l l e n 1.8 De k a r a k t e r i s a t i e v a n e e n b i v a r i a a t s t o c h a s t i s c h p r o c e s 1.9 T i j d r e e k s a n a l y s e 1.10 T i j d r e e k s m o d e l l e n 1.11 U i t b r e i d i n g e n
1 . I n l e i d i n g 1 . 1 S t o c h a s t i s c h e t e c h n i e k e n , a l g e m e e n H e t s t o c h a s t i s c h e k a r a k t e r v a n v e l e f y s i s c h e v e r s c h i j n s e l e n m a a k t d i k w i j l s b i j h e t b e s t u d e r e n v a n d e z e v e r s c h i j n s e l e n h e t g e b r u i k v a n s t o c h a s t i s c h e t e c h n i e k e n n o o d z a k e l i j k . W e l k e s t o c h a s t i s c h e t e c h n i e k e n h e t m e e s t g e ë i g e n d z i j n v o o r t o e p a s s i n g op e e n b e p a a l d e p r o b l e m a t i e k w o r d t i n s t e r k e m a t e b e p a a l d d o o r d e b e s c h i k b a r e i n f o r m a t i e o v e r de t e b e s t u d e r e n v e r s c h i j n s e l e n . I n h e t a l g e m e e n k u n n e n t w e e i n f o r m a t i e - b r o n n e n w o r d e n o n d e r s c h e i d e n . - k e n n i s o v e r de a c h t e r l i g g e n d e f y s i c a , v a a k n e e r g e l e g d i n e e n w i s k u n d i g e f o r m u l e r i n g , - w a a r n e m i n g e n v a n de v e r s c h i j n s e l e n , m e e s t a l r e s u l t e r e n d i n g e t a l l e n o f s i g n a l e n . Op g r o n d v a n h e t a l o f n i e t a a n w e z i g z i j n v a n a p r i o r i f y s i s c h e k e n n i s e n h e t a l o f n i e t o n d e r l i n g a f h a n k e l i j k z i j n v a n o p e e n v o l g e n d e w a a r n e m i n g e n k a n i n g r o t e l i j n e n v a s t g e s t e l d w o r d e n w e l k t y p e t e c h n i e k h e t b e s t g e b r u i k t k a n w o r d e n , z o a l s a a n g e g e v e n i n o n d e r s t a a n d e t a b e l . H i e r i n w o r d t o n d e r s c h e i d g e m a a k t t u s s e n - " k l a s s i e k e " s t a t i s t i e k , ( t o e t s i n g s e n s c h a t t i n g s t h e o r i e , c o r r e l a t i e r e k e n i n g , r e g r e s s i e -a n -a l y s e , v -a r i -a n t i e - -a n -a l y s e , e t c . ) - B a y e s - s t a t i s t i e k , ( B a y e s - s c h a t t i n g s t h e o r i e , s t a t i s t i s c h e b e s l i s s i n g s t h e o r i e ) - t i j d r e e k s a n a l y s e , ( s p e c t r a a l - a n a l y s e , o v e r d r a c h t s f u n k t i e s , t i j d r e e k s m . o d e l l e n , e t c . ) - s t o c h a s t i s c h e s y s t e e m t h e o r i e , ( K a l m a n - f i l t e r i n g , s y s t e e m - i d e n t i f i k a t i e , b e s t u r i n g s t h e o r i e , e t c . ) w a a r n e m i n g e n o n a f h a n k e l i j k a f h a n k e l i j k a prior i kenni s d) •r4 fi " k l a s s i e k e " s t a t i s t i e k t i j d r e e k s a n a l y s e a prior i kenni s we l B a y e s -s t a t i -s t i e k s t o c h a s t i s c h e s y s t e e m t h e o r i e " ) I n d i e n g e s p r o k e n w o r d t o v e r a f h a n k e l i j k h e i d , w o r d t s t e e d s s t o c h a s t i s c h e a f h a n k e l i j k h e i d b e d o e l d .
a f h a n k e l i j k e w a a r n e m i n g e n g e a n a l y s e e e r d k u n n e n w o r d e n , a l d a n n i e t g e b r u i k makend v a n a p r i o r i i n f o r m a t i e o v e r de a c h t e r l i g g e n d e f y s i c a . Om d e e l s a a n d e z e b e h o e f t e t e v o l d o e n i s d e z e k u r s u s o p g e z e t w a a r i n e n k e l e t e c h n i e k e n u i t de t i j d r e e k s a n a l y s e b e h a n d e l d z u l l e n w o r d e n . I n d e z e k u r s u s komen dus a l l e e n " b l a c k - b o x " t e c h n i e k e n a a n de o r d e . De meer g e a v a n c e e r d e s y s t e e m t h e o r e t i s c h e t e c h n i e k e n m e t h u n m o g e l i j k h e i d om a p r i o r i f y s i s c h e k e n n i s i n de a n a l y s e t e b e t r e k k e n z u l l e n s l e c h t s z e e r summier w o r d e n a a n g e r o e r d e n k u n n e n w e l l i c h t h e t o n d e r w e r p z i j n v a n e e n v e r v o l g k u r s u s . 1.2 T i j d r e e k s a n a l y s e : e n k e l e d e f i n i t i e s e n b e g r i p p e n Onder e e n t i j d r e e k s w o r d t e e n s i g n a a l , o f t i j d s f u n k t i e x ( t ) v e r s t a a n , d a t t o e v a l l i g e e i g e n s c h a p p e n b e z i t . I n d i e n e e n t i j d r e e k s o v e r e e n z e k e r e t i j d b e k e n d i s , i s h e t n i e t m o g e l i j k om de t o e k o m s t e r v a n e x a k t t e v o o r s p e l l e n , h e t g e e n b i j d e t e r m i n i s t i s c h e s i g n a l e n w e l h e t g e v a l i s . Een t i j d r e e k s k a n dus h o o g u i t w o r d e n b e s c h r e v e n i n t e r m e n v a n w a a r s c h i j n l i j k h e i d , t e r w i j l h e t g e d r a g v a n e e n d e t e r m i n i s t i s c h s i g n a a l e x a k t v o o r i e d e r e t i j d v a s t l i g t . T i j d r e e k s e n k u n n e n z o w e l k o n t i n u a l s d i s k r e e t z i j n . Een d i s k r e t e t i j d r e e k s k a n w o r d e n v e r k r e g e n d o o r h e t b e m o n s t e r e n v a n e e n k o n t i n u e t i j d r e e k s , d o c h k a n o o k o n t s t a a n a l s e e n f y s i s c h e g r o o t h e i d g e e n m o m e n t a n e , maar s l e c h t s g e a c c u m u l e e r d e w a a r d e n k e n t . V o o r b e e l d Z o w e l e e n b e m o n s t e r d g o l f h o o g t e s i g n a a l a l s e e n r i j d a g e l i j k s e n e e r s l a g -g e -g e v e n s v o r m t e e n d i s k r e t e t i j d r e e k s . H e t w o o r d " t i j d r e e k s " m o e t n i e t i n a l t e s t r i k t e z i n w o r d e n g e ï n t e r p r e t e e r d . H e t w o o r d " r e e k s " g e e f t aan d a t men t e maken h e e f t m e t e e n k o n t i n u e
f u n k t i e x ( t ) o f e e n d i s k r e t e r i j { x ^ } met e e n s p e c i f i e k e t i j d s o r d e n i n g . H e t w o o r d " t i j d " m o e t t e v e n s v r i j w o r d e n g e ï n t e r p r e t e e r d , a a n g e z i e n
V o o r b e e l d Een r e g i s t r a t i e v a n b e d d i n g v o r m e n i n de l e n g t e r i c h t i n g v a n de z a n d g o o t k a n w o r d e n b e s c h o u w d a l s een r i j d r e e k s , w a a r b i j t e e n p l a a t s k o ö r d i n a a t v o o r s t e l t . 1600 DISTRNCE (CM) 3000 F i g u u r 1.1 L e n g t e r e g i s t r a t i e s v a n b e d d i n g v o r m e n I n v e e l s i t u a t i e s w o r d t n i e t é é n t i j d r e e k s x ( t ) g e m e t e n , maar m e e r d e r e t i j d r e e k s e n s i m u l t a a n . Z i j x ( t ) de v e k t o r : ( t ) = { x ^ ( t ) x ^ C t ) } d a n h e e t x ( t ) een m u l t i v a r i a t e t i j d r e e k s . Een v o o r b e e l d v a n e e n t r i v a r i a t e t i j d r e e k s i s de v e k t o r b e s t a a n d e
k o m p o n e n t e n i s de v e k t o r b e s t e d e u i t de s t a m p - , s l i n g e r - e n domp-b e w e g i n g v a n e e n s c h i p , v a r e n d i n g o l v e n . Een m u l t i v a r i a t e t i j d r e e k s met n i e t - g e l i j k w a a r d i g e k o m p o n e n t e n t r e e d t op a l s Xj^ ( t ) . . . X j ^ ( t ) i n g a n g s s i g n a l e n z i j n v a n e e n f y s i s c h s y s t e e m , e n X | ^ + 1 ( t ) . . . x ^ ( t ) de k o r r e s p o n d e r e n d e u i t g a n g s s i g n a l e n . Deze k o m p o n e n t e n z i j n n i e t g e l i j k w a a r d i g omdat de i n g a n g s s i g n a l e n w e l de u i t g a n g s s i g n a l e n v e r o o r z a k e n , maar n i e t o m g e k e e r d . Een v o o r b e e l d v a n e e n b i v a r i a t e t i j d r e e k s m e t o n g e l i j k w a a r d i g e k o m p o n e n t e n i s de v e k t o r b e s t a a n d e u i t e e n g o l f s i g n a a l e n h e t d o o r d a t g o l f s i g n a a l v e r o o r z a a k t e k r a c h t s i g n a a l op e e n k o n s t r u k t i e . Soms i s de g r o o t h e i d x n i e t a l l e e n e e n f u n k t i e v a n é é n v a r i a b e l e t , maar v a n m e e r d e r e v a r i a b e l e n t ^ . . . t j ^ . I n d a t g e v a l h e e t x ( t ^ . . . t ^ ) e e n k - d i m e n s i o n a l e t i j d r e e k s . Een v o o r b e e l d v a n e e n v i e r d i m e n s i o n a l e t i j d r e e k s i s e e n m e t i n g v a n de h o r i z o n t a l e s n e l h e i d v a n e e n w a t e r d e e l t j e a l s f u n k t i e v a n de t i j d t e n l o k a t i e ( x , y , z ) . I n d e z e k u r s u s z a l a l l e e n a a n d a c h t w o r d e n g e s c h o n k e n a a n é é n d i m e n s i o n a l e u n i v a r i a t e e n é é n d i m e n s i o n a l e b i v a r i a t e t i j d r e e k s e n . U i t b r e i d i n g e n n a a r é é n d i m e n s i o n a l e m u l t i v a r i a t e t i j d r e e k s e n z i j n t e v i n d e n i n [1 , u i t b r e i d i n g e n n a a r m u l t i d i m e n s i o n a l e t i j d r e e k s e n i n [ 2 , 3 _ 1 . 3 T i j d r e e k s a n a l y s e en s t a t i s t i e k ; v e r s c h i l en o v e r e e n k o m s t H e t k o m s t d i k w i j l s v o o r d a t o n d e r z o e k e r s , d i e v e r t r o u w d z i j n m e t s t a t i s t i s c h e t e c h n i e k e n , d e z e t e c h n i e k e n t o e p a s s e n op b e m o n s t e r d e t i j d r e e k s e n , d a a r b i j e l k m o n s t e r a l s e e n a p a r t e w a a r n e m i n g o p v a t t e n d . Deze t o e p a s s i n g k a n l e i d e n t o t o n z i n n i g e r e s u l t a t e n . D i t w o r d t m e e s t a l v e r o o r z a a k t d o o r h e t f e i t d a t m o n s t e r s v a n e e n t i j d r e e k s i n z e k e r e m a t e o n d e r l i n g a f h a n k e l i j k z i j n , t e r w i j l s t a t i s t i s c h e t e c h n i e k e n a l l e e n t o e g e p a s t k u n n e n w o r d e n op o n d e r l i n g o n a f h a n k e l i j k e w a a r n e m i n g e n .
5 -H i e r m e e i s t e v e n s h e t m e e s t e s s e n t i ë l e v e r s c h i l t u s s e n de s t a t i s t i e k en t i j d r e e k s a n a l y s e a a n g e g e v e n : met b e h u l p v a n t i j d r e e k s a n a l y s e k u n n e n g e o r d e n d e w a a r n e m i n g e n m e t e e n z e k e r e o n d e r l i n g e a f h a n k e l i j k h e i d w e l g e a n a l y s e e r d w o r d e n , met s t a t i s t i s c h e t e c h n i e k e n v e e l a l n i e t . ; D a a r o n d e r l i n g e o n a f h a n k e l i j k h e i d i n f e i t e e e n s p e c i a a l g e v a l i s ' v a n o n d e r l i n g e a f h a n k e l i j k h e i d , k a n w i s k u n d i g e s t a t i s t i e k i n sommige g e v a l l e n g e z i e n w o r d e n a l s e e n s p e c i a a l g e v a l v a n t i j d r e e k s -a n -a l y s e . H e t i s d -a n o o k n i e t v e r w o n d e r l i j k d -a t t u s s e n b e i d e e e n \ z e k e r e m a t e v a n o v e r e e n k d m s t b e s t a a t . D i t b l i j k t d u i d e l i j k i n d i e n , g e t r a c h t w o r d t b e i d e v a k g e b i e d e n t e k a r a k t e r i s e r e n . Beschouw h e t v o l g e n d e v o o r b e e l d ( u i t S397 d e e l 1 ) . V e r o n d e r s t e l d a t men de b e s c h i k k i n g h e e f t o v e r een g r o t e p a r t i j g l o e i l a m p e n w a a r v a n men de l e v e n s d u u r w i l b e p a l e n . I n s t a t i s t i s c h e t e r m e n : e r i s s p r a k e v a n e e n p o p u l a t i e ( g r o t e g r o e p ) v a n e l e m e n t e n ( l a m p e n ) m e t e e n b e p a a l d k e n m e r k ( l e v e n s d u u r ) . De p o p u l a t i e k a n m e t b e t r e k k i n g t o t d i t k e n m e r k v o l l e d i g g e k a r a k t e r i s e e r d w o r d e n d o o r v a n a l l e l a m p e n de l e v e n s d u u r t e b e p a l e n . Een v e r v e l e n d e b i j k o m s t i g h e i d i s e c h t e r d a t d a n a l l e l a m p e n k a p o t z i j n . Men z a l z i c h dus om p r a k t i s c h e r e d e n e n m o e t e n b e p e r k e n t o t h e t b e p a l e n v a n de l e v e n s d u u r v a n e e n k l e i n a a n t a l l a m p e n u i t de p a r t i j en h o p e n d a t de v e r k r e g e n r e s u l t a t e n r e p r e s e n t a t i e f z i j n v o o r de g e h e l e p a r t i j . E r w o r d t dus e e n s t e e k p r o e f u i t de p o p u l a t i e genomen, w a a r n a op b a s i s v a n de v e r k r e g e n s t e e k p r o e f g e g e v e n s g e t r a c h t w o r d t i e t s t e z e g g e n o v e r de g e h e l e p o p u l a t i e ; de s t e e k p r o e f g e g e v e n s w o r d e n g e v o r m d d o o r de w a a r n e m i n g e n v a n h e t k e n m e r k ( d e l e v e n s d u u r ) v a n de e l e m e n t e n u i t de s t e e k p r o e f ( d e g e b r u i k t e l a m p e n ) . E r z i j n h i e r b i j dus d u i d e l i j k t w e e f a s e n t e o n d e r s c h e i d e n : a h e t nemen v a n e e n s t e e k p r o e f ( d u s h e t v e r z a m e l e n v a n w a a r n e m i n g e n ) b h e t op b a s i s v a n de v e r k r e g e n w a a r n e m i n g e n k o n k l u s i e s t r e k k e n o m t r e n t de g e h e l e p o p u l a t i e . Met de t w e e genoemde f a s e n k o r r e s p o n d e r e n t w e e v e r s c h i l l e n d e o n d e r d e l e n v a n de s t a t i s t i e k , t e w e t e n de b e s c h r i j v e n d e o f d e d u k t i e v e s t a t i s t i e k , e n de w i s k u n d i g e o f i n d u k t i e v e s t a t i s t i e k .
h e t k a r a k t e r i s e r e n v a n d i e r e e k s g e t a l l e n komen b e g r i p p e n a a n de o r d e a l s f r e q u e n t i e d i a g r a m , r e k e n k u n d i g g e m i d d e l d e e n z . Z o d r a de v e r k r e g e n w a a r n e m i n g e n w o r d e n o p g e v a t a l s e e n s t e e k p r o e f u i t e e n g r o t e r g e h e e l ( p o p u l a t i e ) en men de s t e e k p r o e f g e g e v e n s w i l g e b r u i k e n om de g e h e l e p o p u l a t i e t e k a r a k t e r i s e r e n ( d o o r b i j v o o r b e e l d e e n r e k e n k u n d i g g e m i d d e l d e t e b e s c h o u w e n a l s e e n s c h a t t e r v o o r e e n v e r w a c h t i n g s -w a a r d e ) b e t r e e d t men h e t g e b i e d v a n de -w i s k u n d i g e s t a t i s t i e k . D o o r d a t de g e v o l g t r e k k i n g e n u i t de s t e e k p r o e f g e g e v e n s ( " s t a t i s t i c a l i n f e r e n c e " ) n o o i t g e h e e l z e k e r k u n n e n e n z u l l e n z i j n , w o r d t i n de w i s k u n d i g e s t a t i s t i e k v e e l v u l d i g g e b r u i k gemaakt v a n de w a a r s c h i j n l i j k h e i d s r e k e n i n g om d e z e o n z e k e r h e i d t e k u n n e n k w a n t i f i c e r e n . H e t b o v e n s t a a n d e i s i n f i g u u r 1.2 i n g r o t e l i j n e n s c h e m a t i s c h s a m e n g e v a t . f^een t e r u g k o p p e l i n g n a a r de p o p u l a t i e t e r u g k o p p e l i n g n a a r de p o p u l a t i e w i s k u n d i g e s t a t i s t i e k A w a a r s c h i j n l i j k -h e i d s r e k e n i n g F i g u u r 1.2 K a r a k t e r i s e r i n g d e r S t a t i s t i e k
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-M ^ § l S t § l i 5 5 t i e _ t i j _ d r e e k s a n a l Y s e
I n h e t v o o r g a a n d e w e r d e n a l l e e l e m e n t e n u i t de p o p u l a t i e g e k a r a k t e r i s e e r d d o o r e e n s p e c i f i e k k e n m e r k , w a a r b i j a a n d i t k e n m e r k ( i n h e t v o o r b e e l d de l e v e n s d u u r ) e e n g e t a l w e r d t o e g e k e n d ( h e t a a n t a l b r a n d u r e n ) . I n v e e l g e v a l l e n e c h t e r i s e e n g e t a l n i e t v o l d o e n d e om e e n p o p u l a t i e -e l -e m -e n t t -e k -e n m -e r k -e n , maar z i j n h i -e r v o o r f u n k t i -e s v -e r -e i s t . D i t i s b i j v o o r b e e l d h e t g e v a l i n d i e n e l k p o p u l a t i e - e l e m e n t e e n s p e c i f i e k e r e g i s t r a t i e ( r e a l i s a t i e ) v a n e e n f y s i s c h v e r s c h i j n s e l v o o r s t e l t . Om h e t o n d e r l i g g e n d e f y s i s c h e p r o c e s v o l l e d i g v a s t t e l e g g e n z o u d e n i n p r i n c i p e a l l e m o g e l i j k e r e a l i s a t i e s v a n d a t p r o c e s g e m e t e n m o e t e n w o r d e n , h e t g e e n p r a k t i s c h g e z i e n o n m o g e l i j k i s . Men z a l z i c h dus w e e r m o e t e n b e p e r k e n t o t h e t m e t e n v a n e n k e l e r e a l i s a t i e s : e r w o r d t e e n s t e e k p r o e f u i t de p o p u l a t i e genomen. De s t e e k p r o e f g e g e v e n s b e s t a a n n u n i e t u i t g e t a l l e n , maar u i t f u n k t i e s . Op g r o n d v a n d e z e g e g e v e n s k a n v e r v o l g e n s g e t r a c h t w o r d e n i e t s t e z e g g e n o v e r de g e h e l e p o p u l a t i e . Ook n u z i j n w e e r t w e e f a s e n t e o n d e r s c h e i d e n : a h e t nemen v a n e e n s t e e k p r o e f b h e t op b a s i s v a n de v e r k r e g e n w a a r n e m i n g e n k o n k l u s i e s t r e k k e n o m t r e n t de g e h e l e p o p u l a t i e . < Met d e z e t w e e f a s e n k o r r e s p o n d e r e n t w e e v e r s c h i l l e n d e t e c h n i e k e n , t e w e t e n de d e t e r m i n i s t i s c h e s i g n a a l a n a l y s e e n de t i j d r e e k s a n a l y s e . De d e t e r m i n i s t i s c h e s i g n a a l a n a l y s e b e p e r k t z i c h t o t h e t k a r a k t e r i s e r e n v a n e e n o f m e e r d e r e s i g n a l e n . H i e r b i j w o r d e n d e z e s i g n a l e n o p g e v a t a l s z i j n d e p u u r d e t e r m i n i s t i s c h e n w o r d t g e e n e n k e l e r e l a t i e g e z o c h t m e t é é n o f a n d e r e p o p u l a t i e . B i j d e z e k a r a k t e r i s a t i e komen b e g r i p p e n a a n de o r d e a l s a m p l i t u d e s p e c t r u m , f a s e s p e c t r u m , v e r m o g e n s v e r d e l i n g e n z . ( z i e h o o f d s t u k 2 v a n d e e l l ) . Z o d r a de v e r k r e g e n w a a r n e m i n g e n w o r d e n o p g e v a t a l s e e n s t e e k p r o e f u i t e e n g r o t e r g e h e e l ( d e p o p u l a t i e ) e n men de s t e e k p r o e f g e g e v e n s w i l g e b r u i k e n om de g e h e l e p o p u l a t i e t e k a r a k t e r i s e r e n ( d o o r b i j v o o r b e e l d e e n v e r m o g e n s v e r d e l i n g t e b e s c h o u w e n a l s e e n s c h a t t e r v o o r e e n v a r i a n t i e -d i c h t h e i -d s s p e c t r u m ) , b e t r e e -d t men h e t g e b i e -d -d e r t i j -d r e e k s a n a l y s e . D o o r d a t de g e v o l g t r e k k i n g e n u i t de s t e e k p r o e f n o o i t g e h e e l z e k e r k u n n e n en z u l l e n z i j n , w o r d t i n de t i j d r e e k s a n a l y s e v e e l v u l d i g g e b r u i k g e m a a k t v a n de w a a r s c h i j n l i j k h e i d s r e k e n i n g e n de t h e o r i e d e r s t o c h a s t i s c h e p r o c e s s e n om d e z e o n z e k e r h e i d t e k u n n e n k w a n t i f i c e r e n .t e r u g k o p p e l i n g n a a r de p o p u l a t i e t i j d r e e k s -a n -a l y s e d e t e r m i n i s t i s c h e s i g n a a l a n a l y s e g e e n t e r u g k o p p e l i n g n a a r de p o p u l a t i e w a a r s c h i j n l i j k h e i d s -r e k e n i n g t h e o r i e d e r s t o c h a s t i s c h e p r o c e s s e n F i g u u r 1.3 K a r a k t e r i s e r i n g d e r t i j d r e e k s a n a l y s e 1.4 H e t e n s e m b l e I n de v o r i g e p a r a g r a a f i s d u i d e l i j k g e w o r d e n d a t de p o p u l a t i e i n h e t k a d e r v a n de t i j d r e e k s a n a l y s e g e k e n m e r k t w o r d t d o o r e e n v e r z a m e l i n g f u n k t i e s . D i t k u n n e n f u n k t i e s z i j n v a n de t i j d , p l a a t s , o f t i j d e n p l a a t s . E l k v a n d e z e f u n k t i e s h e e t een r e a l i s a t i e v a n h e t p r o c e s d a t d e z e f u n k t i e s g e n e r e e r t . De v e r z a m e l i n g v a n a l l e m o g e l i j k o p t r e d e n d e r e a l i s a t i e s h e e t h e t e n s e m b l e v a n h e t p r o c e s . H e t e n s e m b l e k e n m e r k t dus a l l e e l e m e n t e n u i t
9 -de p o p u l a t i e . Of e e n b e p a a l d e f u n k t i e ( o f k l a s s e v a n f u n k t i e s ) n u w e l o f n i e t t o t h e t t e b e s t u d e r e n e n s e m b l e b e h o o r t , w o r d t v o o r n a m e l i j k b e p a a l d d o o r de f y s i s c h e p r o b l e e m s t e l l i n g . D i t w o r d t n a d e r t o e g e l i c h t i n o n d e r s t a a n d e t e k s t .
The ensc/iitle. A i i observed time series .\-(0 is regarded as one realization of an inlinite er^semblc of functions v/hich might have been observed. The one or fe\\' time series to be analyzed are regarded as having been drawn at random f r o i n such an ensemble of functions in mAich the same v/ay that a sample of people is drawn at random f r o m a population to conduct a survey. In the same way that the sample has to be representative of the population which is to be described, i t usually serves as an aid to clear thinking ia time series work to v.'rite down at the start of an in\'estigaiion the exact nature of the ensemble or population f r o m which the obser\ ed time series is regarded as being a typical member. For example, suppose it was desired to measure wave licights by means of a transmitter attached to a buoy. I f the buoy is dropped at random into the sea, the observed time scries could be regarded as being one of the many series which might have been observed had the location of the buoy been slightly different. xVIore careful examination might show that this time series would be typical only i f attention were coi\fmed to a particular time of day or part of th.c year or particular region of the ocean. The more factors i)rought into the experiment, the wider becomes the en-semble of time series beir.g described, aad h.cnce the more care required in the interpretation of the results.
In many practical problems, one will bo interested in the way the properties of the time series vary when certain external coiiditions are \'aricd deliberately in an experimental 'Hesign. In otlier situations it will not be possible to exer-cise control over excenuil factors, for exampie, the inlluence of solar radiation on tlie statistical properties of atmospheric turbulence is not under control. Nevcitheless, t'le correlation of the statistical properties of the time series v/ith these uncontrollable factors may well be the most iniportant conclusion v/hich emerges f r o j u the analysis. The main purpose of this discussion is to show that what constitutes ih.e ensemble of possible time series iu any given situation is dictated by good seieni ihc judgment and not by purely statistical matters. 1.5 N o g m a a l s s t a t i s t i e k v e r s u s t i j d r e e k s a n a l y s e B i j h e t u i t v o e r e n v a n e e n u n i v a r i a a t s t a t i s t i s c h e x p e r i m e n t l e v e r t e l k e x p e r i m e n t é é n g e t a l o p . . Een u n i v a r i a a t " t i j d r e e k s e x p e r i m e n t " d a a r e n t e g e n r e s u l t e e r t i n e e n r i j g e t a l l e n , i e d e r g e t a l k o r r e s p o n d e r e n d m e t e e n m o n s t e r v a n e e n g e m e t e n s i g n a a l .
1 ^ 1 2 x j t ^ ) . . . . . . X , ( t j ^ ) M M x ^ ( t p • • • - ^ M ^ ^ ^ De v e r w a r r i n g w e l k e r e g e l m a t i g o p t r e e d t i s d a t de u i t k o m s t v a n é é n " t i j d r e e k s e x p e r i m e n t " w o r d t o p g e v a t a l s de v e r z a m e l i n g u i t k o m s t e n v a n e e n N - v o u d i g h e r h a a l d s t a t i s t i s c h e x p e r i m e n t , e n o o k a l s z o d a n i g w o r d t g e a n a l y s e e r d . D i t k a n t o t o n z i n n i g e r e s u l t a t e n l e i d e n , e n w e l om de v o l g e n d e r e d e n e n . B i j h e t N m a a l h e r h a l e n v a n e e n s t a t i s t i s c h e x p e r i m e n t w o r d e n N o n d e r l i n g o n a f h a n k e l i j k e t r e k k i n g e n g e d a a n u i t d e z e l f d e p o p u l a t i e . D i t r e s u l t e e r t i n e e n v e r z a m e l i n g i d e n t i e k v e r d e e l d e o n d e r l i n g o n a f h a n k e l i j k e s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n . De s t a t i s t i s c h e a n a l y s e i s d a n o o k h i e r o p g e b a s e e r d . D o o r de o n d e r l i n g e o n a f h a n k e l i j k h e i d h e e f t de v o l g o r d e w a a r i n de e x p e r i m e n t e n w o r d e n u i t g e v o e r d , g e e n e n k e l e i n v l o e d op de a n a l y s e r e s u l t a t e n . De N m o n s t e r s v a n e e n t i j d r e e k s h o e v e n e c h t e r i n h e t a l g e m e e n a a n g e e n v a n b e i d e v o o r w a a r d e n t e v o l d o e n : ze k u n n e n s t e r k g e c o r r e l e e r d z i j n en t e v e n s v e r s c h i l l e n d e v e r d e l i n g e n b e z i t t e n . De v o l g o r d e w a a r i n de m o n s t e r s w o r d e n v e r k r e g e n b e p a a l t d a n o o k s t e r k h e t a n a l y s e r e s u l t a a t . I n h e t v e r v o l g z a l d u i d e l i j k w o r d e n d a t a l l e e n de m o n s t e r s v a n s t a t i o n a i r e n o r m a a l v e r d e e l d e w i t t e r u i s m e t p u u r s t a t i s t i s c h e t e c h n i e k e n g e a n a l y s e e r d k u n n e n w o r d e n . V o o r b e e l d H e t e f f e k t v a n de o n d e r l i n g e a f h a n k e l i j k h e i d op de u i t k o m s t e n v a n e e n s t a t i s t i s c h e a n a l y s e b l i j k t u i t h e t v o l g e n d e . H e t i s b e k e n d d a t de v a r i a n t i e v a n h e t g e m i d d e l d e m v a n N i d e n t i e k v e r d e e l d e o n d e r l i n g o n a f h a n k e l i j k e s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n X j ^ . . . X j ^ , i e d e r m e t v a r i a n t i e a^, w o r d t g e g e v e n d o o r
11 ( 1 . 1 ) I n d i e n de v a r i a b e l e n x ^ . . . X j ^ o n d e r l i n g a f h a n k e l i j k z i j n d a n k a n w o r d e n a a n g e t o o n d d a t g e l d t ( 1 . 2 ) m e t N * h e t e f f e k t i e f a a n t a l o n a f h a n k e l i j k e w a a r n e m i n g e n . Deze N * i s a f h a n k e l i j k v a n de o n d e r l i n g e c o r r e l a t i e t u s s e n de w a a r n e m i n g e n e n v a n N .
Des t e s t e r k e r de c o r r e l a t i e , des t e k l e i n e r N * , e n des t e g r o t e r a ^ . V o o r e e n s p e c i a l e c o r r e l a t i e s t r u k t u u r , b e h o r e n d b i j e e n zogenaamd A R ( 1 ) - m o d e l ( d i t k o m t i n h o o f d s t u k 12 v a n d e e l I I a a n de o r d e ) i s N * a l s f u n k t i e v a n N g e s c h e t s t i n f i g u u r 1 . 4 . Deze r e l a t i e s z i j n v o o r de o p t i m a l i s a t i e v a n b e m o n s t e r i n g s f r e q u e n t i e s i n a l l e r l e i m e e t n e t t e n v a n g r o o t b e l a n g . H e t z a l i n t u ï t i e f d u i d e l i j k z i j n d a t n a a r m a t e e e n b e m o n s t e r i n g s i n t e r v a l A k l e i n e r w o r d t de o n d e r -l i n g e a f h a n k e -l i j k h e i d v a n de m o n s t e r s t o e n e e m t . T e v e n s i m p -l i c e e r t e e n v e r k l e i n i n g v a n A b i j e e n v a s t e m e e t d u u r T e e n t o e n a m e v a n h e t a a n t a l w a a r n e m i n g e n N , a a n g e z i e n N = T / A . , B e i d e e f f e k t e n k o m p e n s e r e n e l k a a r , h e t g e e n k a n r e s u l t e r e n i n e e n " v e r z a d i g i n g " v a n N * : e e n v e r d e r e v e r k l e i n i n g v a n h e t b e m o n s t e r i n g s -i n t e r v a l h e e f t d a n g e e n e n k e l e z -i n m e e r . I n f i g u u r 1.6 i s h e t v e r l o o p v a n N * a l s f u n k t i e v a n A g e t e k e n d v o o r de c h l o r i d e - k o n c e n t r a t i e z o a l s o v e r e e n p e r i o d e v a n n e g e n j a a r b i j L o b i t h g e m e t e n ( f i g u u r 1 . 5 ) . M e r k op d a t v o o r A < 10 w e k e n N * s t e e d s v e r d e r g a a t a f w i j k e n v a n N , e n op e e n z e e r l a a g n i v e a u b l i j f t . \fciorA = 1 week i s N = 468 t e r w i j l = 6 6 . H e t z o n d e r m e e r t o e p a s s e n v a n f o r m u l e ( 1 . 1 ) l e i d t dus t o t e e n v a r i a n t i e i n de g e m i d d e l d e c h l o r i d e - k o n c e n t r a t i e , w e l k e e e n f a k t o r z e v e n t e k l e i n i s l S a m e n v a t t e n d k a n w o r d e n g e s t e l d d a t i n de t i j d r e e k s a n a l y s e u i t k o m s t e n g e a n a l y s e e r d w o r d e n v a n r i j e n g e o r d e n d e o n d e r l i n g a f h a n k e l i j k e s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n x ( t j ^ ) , . . . x ( t j y [ ) , w e l k e i n h e t a l g e m e e n v e r s c h i l l e n d v e r d e e l d k u n n e n z i j n . D i t l e i d t t o t t w e e f u n d a m e n t e l e v r a g e n : a Hoe k a n e e n d e r g e l i j k e v e r z a m e l i n g s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n w o r d e n g e k a r a k t e r i s e e r d ?
Het e f f e c t i e f a a n t a l o n a f h a n k e l i j k e waarnemingen a l s f u n c t i e van h e t w e r k e l i j k e a a n t a l waarnemingen
AR( O-model BdG
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00'9g 00'8t7 00-0IT efa'bE 00'9i 0a'8 m' C 1+ at « ) «N Het e f f e c t i e f a a n t a l o n a f h a n k e l i j k e waarnemingen 3570 W Het e f f e c t i e f a a n t a l o n a f h a n k e l i j k e waarnemingen c h l o r i d e A 4 W A T E R L O O P K U N D I G L A B O R A T O R I U M LP F i g . 1 . 6
15 -b Hoe k u n n e n d e z e k a r a k t e r i s t i e k e n , op g r o n d v a n e e n -b e p e r k t a a n t a l r e a l i s a t i e s , zo g o e d m o g e l i j k w o r d e n g e s c h a t ? De e e r s t e v r a a g k a n w o r d e n b e a n t w o o r d met b e h u l p v a n de t h e o r i e d e r s t o c h a s t i s c h e p r o c e s s e n . H i e r o p w o r d t u i t g e b r e i d i n g e g a a n i n h o o f d s t u k 3 v a n d e e l I . H e t b e a n t w o o r d e n v a n de t w e e d e v r a a g i s de e s s e n t i e v a n de t i j d r e e k s -a n -a l y s e e n k o m t i n d e e l I I -a -a n de o r d e . 1.6 De k a r a k t e r i s a t i e v a n e e n u n i v a r i a a t s t o c h a s t i s c h p r o c e s Een s t o c h a s t i s c h p r o c e s i s p e r d e f i n i t i e e e n v e r z a m e l i n g g e ï n d i c e e r d e s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n , o f w e l e e n v e r z a m e l i n g s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n met e e n z e k e r e o r d e n i n g . De k a r a k t e r i s a t i e h i e r v a n i s , g e z i e n h e t b o v e n s t a a n d e , v a n b e l a n g i n h e t k a d e r v a n de t i j d r e e k s a n a l y s e . Om é é n s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e x v o l l e d i g t e k a r a k t e r i s e r e n d i e n t z i j n v e r d e l i n g s f u n k t i e b e k e n d t e z i j n . Een v e r z a m e l i n g s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n { x , . . x ^ } i s s l e c h t s d a n v o l l e d i g t e k a r a k t e r i s e r e n i n d i e n de s i m u l t a n e k a n s v e r d e l i n g v a n x ^ . . . x ^ b e k e n d i s , g e d e f i n i e e r d a l s ^ ( x i , . . , x ^ ) = P { x ^ « X , , 5 n < ' ^ ^ X j ^ , . . . X j ^ I n de w i s k u n d i g e s t a t i s t i e k z i j n x^ , . . , X n s t e e d s o n d e r l i n g o n a f h a n k e l i j k e i d e n t i e k v e r d e e l d e s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n m e t v e r d e l i n g s f u n k t i e F ^ ( x ) , z o d a t \ , ( x , , . . . , x , ) = { F ^ ( x ) } - ( 1 . 4 ) X i , . • • j X ^ I n d i t g e v a l i s dus s l e c h t s k e n n i s o m t r e n t é é n u n i v a r i a t e k a n s -v e r d e l i n g n o d i g om de g e h e l e -v e r z a m e l i n g { x ^ , . . . , 5 ^ ^ } t e k a r a k t e r i s e r e n . E c h t e r , i n d i e n x ^ , i = 1 . . . n b e m o n s t e r i n g e n z i j n v a n e e n r e a l i s a t i e v a n e e n s t o c h a s t i s c h p r o c e s , d a n z i j n ze i n h e t a l g e m e e n n o c h i d e n t i e k v e r d e e l d , n o c h o n d e r l i n g o n a f h a n k e l i j k . A l l e e n i n h e t z e e r s p e c i a l e g e v a l v a n e e n s t a t i o n a i r w i t t e r u i s p r o c e s i s h i e r a a n v o l d a a n .
momenten v a n de u n i v a r i a t e v e r d e l i n g e n v a n de a f z o n d e r l 3 i = 1 . . . n , e n h e t e e r s t e moment v a n de b i v a r i a t e k a n s v e r d e l i n g v a n x ^ e n x j i , j = 1 . . . n . D i t r e s u l t e e r t i n 00 i = 1 —00 1 i = 1 . n . n ( 1 . 5 ) E { x ^ X j } = ƒ ƒ ? n d F —00 —CO ^ i ' ^ j ( ^ , n ) i = i . . . n , j - 1 . n op g r o n d w a a r v a n de g e m i d d e l d e w a a r d e f u n k t i e , de v a r l a n t r e f u n k t r e e n de a u t o k o v a r i a n t i e i u n k t i e v a n h e t p r o c e s h e r e k e n d k u n n e n w o r d e n . D i t w o r d t v e r d e r b e h a n d e l d i n h o o f d s t u k 3 v a n d e e l I . 1.7 A f h a n k e l i j k h e i d e n v o o r s p e l l e n „ e t f e i t , d a t de s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n . . . K „ o n d e r l i n g a f h a h k e l i j k . i j n , m a a k t e e n z e k e r e mate v a n v o o r s p e l l i n g m o g e l i j k . D r t i s g e ï l l u s t r e e r d i n f i g u u r 1 . 7 . H i e r i n z i i n w a a r n e m i n g e n v a n x „ u i t g e z e t t e g e n „ a a r n e m r n g e n v a n ( f i g n u r . . 7 a ) , x „ . , ( « g u u r 1 .7 b ) en x „ . . ( f . g u u r 1 .7 c ) v o o r e e n h y p o t h e t i s c h p r o c e s . Xn n F i g u u r 1.7 E e n i l l u s t r a t i e v a n a u t o c o r r e l a t i e n - :
= 17 -D u i d e l i j k i s t e z i e n d a t voor d a t p r o c e s i n s t e r k e m a t e p o s i t i e f g e c o r r e l e e r d i s m e t x ^ - ^ , i n m i n d e r e m a t e n e g a t i e f g e c o r r e l e e r d i s met x ^ ^ ^ o n g e c o r r e l e e r d i s m e t x ^ „ j . D i t b e t e k e n t d a t k e n n i s v a n de u i t k o m s t e n v a n e n x ^ „ ^ e e n v o o r s p e l l i n g v a n x ^ m o g e l i j k m a a k t . De s t a t i s t i s c h e e i g e n -s c h a p p e n v a n d e z e v o o r -s p e l l i n g w o r d e n v o l l e d i g b e p a a l d d o o r de v o o r w a a r d e l i j k e k a n s v e r d e l i n g v a n x ^ , g e g e v e n de u i t k o m s t e n v a n -n-i ^'^ S n - 2 • A l l e momenten v a n d e z e v e r d e l i n g , e n dus o o k de g e m i d d e l d e w a a r d e e n v a r i a n t i e , z i j n f u n k t i e s v a n de u i t k o m s t e n x ^ e n x ^ . I n h e t a l g e m e e n g e l d t E { x ^ 1 5 n - i = x n - i , - - - - . x , = x ^ } = f ( x , . . . X n „ , ) ( 1 . 6 ) { 5 n I ^n-i = X n - i . - - - > 2 i = = •-^n-^^ ^ 1 - 7 ) V e r g e l i j k i n g ( 1 . 6 ) i s e e n r e g r e s s i e - v e r g e l i j k i n g en k a n d i e n e n t o t h e t v o o r s p e l l e n v a n x^^; v e r g e l i j k i n g ( 1 . 7 ) h e e t e e n s k e d a s t i c i t e i t s v e r g e l i j k i n g e n g e e f t e e n m a a t voor de b e t r o u w b a a r h e i d v a n de v o o r -s p e l l i n g ( 1 . 6 ) . Omdat x ^ w o r d t v o o r s p e l d u i t v o o r g a a n d e m o n s t e r s v a n h e t z e l f d e s t o c h a s t i s c h p r o c e s { x ^ } w o r d t ( 1 . 6 ) m e e s t a l e e n a u t o r e g r e s s i e -v e r g e l i j k i n g g e n o e m d . I n h o o f d s t u k 12 v a n d e e l I I w o r d e n o . a . de l i n e a i r e a u t o r e g r e s s i e v e p r o c e s s e n b e h a n d e l d . H i e r v o o r g e l d t n - i E { x ^ I x ^ „ , = x ^ . , , x , = X , } = E 3 £ x ^ _ ^ ( 1 . 8 ) De k o ë f f i c i ë n t e n i n ( 1 . 8 ) w o r d e n v o l l e d i g b e p a a l d d o o r de a u t o -c o r r e l a t i e f u n k t i e v a n { x ^ } . I n d e e l I I z a l h i e r o p n a d e r w o r d e n i n g e g a a n . De k a r a k t e r i s a t i e v a n e e n b i v a r i a a t s t o c h a s t i s c h p r o c e s D i a g r a m m e n a l s i n f i g u u r 1.7 z i j n b e k e n d u i t de s t a t i s t i e k , w a a r b i j
v e r d e l i n g F ( x , y ) . I n d i e n de u i t k o m s t v a n x i s g e g e v e n , k a n x » y , . . d o o r m i d d e l v a n de e n k e l v o u d i g e r e g r e s s i e v e r g e l i j k i n g E i ^ l x = x } = f ( x ) een v o o r s p e l l i n g w o r d e n g e d a a n v o o r de u i t k o m s t v a n 2 ' D i k w i j l s w o r d t een l i n e a i r m o d e l v o o r d e z e r e g r e s s i e v e r g e l i j k i n g aangenomen E { x | x = x } = a + Bx ( 1 - ^ a ) w a t k o r r e s p o n d e e r t met h e t l i n e a i r e m o d e l ( ^ I x = x ) = a + 3x + e met e e e n s t o o r t e r m . M e r k op d a t ( 1 . 9 a ) g e l d t v o o r de g e m i d d e l d e u i t k o m s t v a n v e e l e x p e r i m e n t e n w a a r b i j s t e e d s x = x , t e r w i j l ( 1 . 9 b ) de u i t k o m s t v a n é é n s p e c i f i e k e x p e r i m e n t m e t x = x b e s c h r i j f t . Voor de c o ë f f i c i ë n t g u i t ( 1 . 9 ) g e l d t (1 . 9 b ö v ( 1 . 1 0 ) m e t p de c o r r e l a t i e c o ë f f i c i ë n t t u s s e n x e n y , en r e s p , O de s p r e i d i n g i n x e n X I n de t i j d r e e k s a n a l y s e i s men n i e t g e ï n t e r e s s e e r d i n e e n r e l a t i e t u s s e n t w e e s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n x en y , maar t u s s e n t w e e s t o c h a s t i s c h e p r o c e s s e n { x ^ } e n { ^ i } -Om e e n d e r g e l i j k e r e l a t i e v o l l e d i g t e k a r a k t e r i s e r e n i s i n p r i n c i p e k e n n i s v e r e i s t v a n de s i m u l t a n e k a n s v e r d e l i n g F ( x , . . . X , y i . . . y „ ) . Op b a s i s h i e r v a n k u n n e n d a n w e e r v o o r s p e l l i n g e n g e d a a n w o r d e n v a n b i j v o o r b e e l d ^ n » g e g e v e n 5 i - • - X n e n Y i - • - Y n - i
19 -De h i e r b o v e n g e s c h e t s t e a l g e m e n e s i t u a t i e i s v e e l t e g e k o m p l i c e e r d v o o r p r a k t i s c h e d o e l e i n d e n . We b e p e r k e n ons d a n o o k t o t d i e s i t u a t i e s w a a r i n {xO f u n g e e r t a l s h e t i n g a n g s p r o c e s v a n e e n c a u s a a l l i n e a i r d y n a m i s c h t i j d s o n a f h a n k e l i j k s y s t e e m m e t { y ^ } a l s u i t g a n g s p r o c e s . I n d i t g e v a l i s e r een l i n e a i r e r e l a t i e t u s s e n { x ^ . - . x ^ } e n y n l ^ i " " n ' ^ 1 ' -^^n-i ( 1 . 1 1 ) ^ l x .X ( ^ n l ^ i - ' - ^ n ) V o o r d e r g e l i j k e s y s t e m e n v o e g t k e n n e l i j k de k e n n i s v a n de u i t k o m s t e n Y . - . - Y n - , g ^ e n n i e u w e i n f o r m a t i e t o e a a n de i n f o r m a t i e , v e r k r e g e n u i t de k e n n i s v a n de u i t k o m s t e n x ^ ^ - . - x ^ . T e v e n s g e l d t d a n n ( 1 . 1 2 ) E { ï n l x , - x ^ - - . x n = x n > = . ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ " ^ ^ D i t i s t e b e s c h o u w e n a l s e e n n - v o u d i g e r e g r e s s i e - v e r g e l i j k i n g . M e r k op d a t e r e e n d u i d e l i j k " g e h e u g e n e f f e k t " a a n w e z i g i s : a l l e w a a r d e n x „ . . . x ^ d r a g e n b i j t o t de v e r w a c h t i n g v a n Y n -De f u n k t i e h ( j ) i n ( 1 . 1 2 ) h e e t de i m p u U _ r e s p o n ^ ^ v a n h e t b e s c h o u w d e s y s t e e m . I n h e t g e v a l { x ( t ) } e n { ^ ( t ) } k o n t i n u e s t o c h a s t i s c h e p r o c e s s e n z i j n , g a a t ( 1 . 1 2 ) o v e r i n E { z ( t ) l x ( s ) = x ( s ) , O < s < t } = / h( T) x ( t- T ) d T ( 1 . 1 3 ) O Deze u i t d r u k k i n g m o e t a l s v o l g t w o r d e n g e ï n t e r p r e t e e r d . V e r o n d e r s t e l d a t e e n e x p e r i m e n t w o r d t g e d a a n w a a r b i j x ( t ) h e t i n g a n g s s i g n a a l i s v a n h e t s y s t e e m met i m p u l s r e s p o n s i e h( T ), e n w a a r b i j h e t u i t g a n g s s i g n a a l g e g e v e n w o r d t d o o r y ( t ) . Dan z a l , g e m i d d e l d o v e r z e e r v e e l e x p e r i m e n t e n , y ( t ) g e g e v e n w o r d e n d o o r ( 1 . 1 3 ) . i<) D i t w o r d t i n h o o f d s t u k 2 v a n d e e l I n a d e r g e d e f i n i e e r d ,
met w ( t ) w i t t e r u i s ( v e r g e l i j k d i t m e t 1 . 9 b ) . B i j b e k e n d e x ( t ) en h ( x ) ( d u s b e k e n d e s y s t e e m e i , , e t b e h u l p v a n ( 1 . 1 3 ) y ( t ) w o r d e n v o o r s p e l d . T e v e n s k a n op g r o n d v a n m e t i n g e n v a n x ( t ) e n y ( 1 t- ,Tan h ( t ) ( s y s t e e m i d e n t i f i c a t i e ) . w o r d e n g e m a a k t v a n t i a ; n i'^Y e n ( 1 . 1 4 ) maken k o n v o l u t i e i n t e g r a l e n x n ( 1 . 1 3 ) e n U -Daarom w o r d t i n h e t a l g e m e e n de v o l g e n d e p r o c e d D o o r h e t nemen v a n F o u r i e r t r a n s f o r m a t i e s m ( 1 • ^ ( f ) = H ( f ) . X ( f ) + W ( f ) , , , , a e z e o v e r g a n g v a n h e t t i j d s d o m e i n n a a r h e i s dus e e n s t r u k t u u r o n t s t a a n , w e l k e i d e n t i e k ( 1 - 9 b ) . , H e t o p l o s s e n v a n H ( f ) u i t ( 1 . 1 5 ) i s d a n o o k v o o r i e d e r e f r e q u e n t i e f o p l o s s e n v a n 3 u x t e< E r g e l d e n de v o l g e n d e a n a l o g i e ë n - . S t a t i s t i e k 3x + e T i j d r e e k s a n Y ( f ) = H ( f ) 1 ! H ( f ) h =
21 -D i t i s i n h e t a l g e m e e n e e n k o m p l e x e g r o o t h e i d e n h e e f t d u s e e n m o d u l u s i H ( f ) i e n een f a s e ( j ) ( f ) . De s p e c t r a S ^ ( f ) e n S ^ C f ) g e v e n de v a r i a n t i e s v a n de h a r m o n i s c h e k o m p o n e n t e n met f r e q u e n t i e f v a n x ( t ) en y ( t ) . H e t k r u i s s p e c t r u m S ^ y ( f ) i s een k o m p l e x e g r o o t h e i d , w a a r v a n de m o d u l u s b e s c h o u w d k a n w o r d e n a l s de c o v a r i a n t i e t u s s e n x ( t ) e n y ( t ) v o o r de f r e q u e n t i e f . S a m e n v a t t e n d g e l d t d u s d a t h e t o p l o s s e n v a n h e t m e e r v o u d i g r e g r e s s i e p r o b l e e m i n h e t t i j d s d o m e i n ( 1 . 1 4 ) d o o r m i d d e l v a n F o u r i e r t r a n s f o r m a t i e i s t e h e r l e i d e n t o t h e t o p l o s s e n v a n m e e r d e r e e n k e l v o u d i g e r e g r e s s i e p r o b l e m e n i n h e t f r e q u e n t i e d o m e i n , h e t g e e n u i t p r a k t i s c h o o g p u n t g r o t e v o o r d e l e n b i e d t . 1.9 T i j d r e e k s a n a l y s e I n de v o o r g a a n d e p a r a g r a f e n i s g l o b a a l b e h a n d e l d hoe s t o c h a s t i s c h e p r o c e s s e n g e k a r a k t e r i s e e r d k u n n e n w o r d e n . De genoemde k a r a k t e r i s t i g r o o t h e d e n ( z o a l s g e m i d d e l d e w a a r d e , v a r i a n t i e , c o r r e l a t i e f u n k t i e , s p e c t r u m e n z . ) z i j n e c h t e r a l l e e n e x a k t t e b e r e k e n e n i n d i e n de v e r z a m e l i n g v a n a l l e m o g e l i j k e r e a l i s a t i e s , d u s h e t h e l e e n s e m b l e , b e k e n d i s . E c h t e r , i n de p r a k t i j k k e n t men m e e s t a l n i e t h e t g e h e l e e n s e m b l e , maar s l e c h t s é é n r e a l i s a t i e , e n d a n n o g v a a k o v e r b e p e r k t e d u u r . H e t i s d u i d e l i j k d a t op g r o n d v a n d e z e i n f o r m a t i e h o o g u i t e e n s c h a t t i n g g e m a a k t k a n w o r d e n v a n de k a r a k t e r i s t i e k e g r o o t h e d e n v a n e e n s t o c h a s t i s c h p r o c e s . H e t d o e l v a n de t i j d r e e k s a n a l y s e i s om a a n t e g e v e n a hoe s c h a t t e r s v a n de k a r a k t e r i s t i e k e g r o o t h e d e n k u n n e n w o r d e n v e r k r e g e n , e n b w a t de s t a t i s t i s c h e e i g e n s c h a p p e n v a n de s c h a t t e r s z i j n . a d . a I n d e z e k u r s u s z u l l e n i n h o o f d z a a k s c h a t t e r s w o r d e n b e h a n d e l d v a n e n k e l e k a r a k t e r i s t i e k e n v a n s t a t i o n a i r e , e r g o d i s c h e p r o c e s s e n . H i e r o n d e r v a l l e n o n d e r m e e r - g e m i d d e l d e w a a r d e n e n v a r i a n t i e s
a d . b V a n a l l e t e b e h a n d e l e n s c h a t t e r s z a l w o r d e n a a n g e g e v e n - h u n s y s t e m a t i s c h e f o u t ( v i a de b i a s ) - h u n t o e v a l l i g e f o u t ( v i a de v a r i a n t i e ) I n d i e n m o g e l i j k z a l de b i j b e h o r e n d e k a n s v e r d e l i n g w o r d e n g e p r e s e n t e e r d . Deze o n d e r w e r p e n komen i n d e e l I I v a n de k u r s u s u i t v o e r i g a a n de 1.10 T i j d r e e k s m o d e l l e n H e t p r o b l e e m , waarmee men b i n n e n de t i j d r e e k s a n a l y s e d i k w i j l s w o r d t g e c o n f r o n t e e r d , i s d a t v e e l p a r a m e t e r s m o e t e n w o r d e n g e s c h a t op b a s i s v a n w e i n i g g e g e v e n s . De b e t r o u w b a a r h e i d v a n de g e s c h a t t e p a r a m e t e r s i s d a n v e e l a l l a a g . Om d e z e b e t r o u w b a a r h e i d t e v e r h o g e n k u n n e n i n p r i n c i p e t w e e w e g e n w o r d e n b e w a n d e l d - v e r g r o t i n g v a n h e t a a n t a l g e g e v e n s ; - v e r k l e i n i n g v a n h e t a a n t a l t e s c h a t t e n v a r i a b e l e n . De e e r s t e m o g e l i j k h e i d s t u i t d i k w i j l s op p r a k t i s c h e b e z w a r e n . De t w e e d e m o g e l i j k h e i d d a a r e n t e g e n k a n w o r d e n g e r e a l i s e e r d d o o r t e v e r o n d e r s t e l l e n d a t - de t i j d r e e k s k a n w o r d e n b e s c h r e v e n d o o r e e n s i m p e l m o d e l m e t s l e c h t s e e n k l e i n a a n t a l m o d e l p a r a m e t e r s , e n d a t - a l l e o o r s p r o n k e l i j k t e s c h a t t e n p a r a m e t e r s v o l l e d i g w o r d e n b e p a a l d d o o r h e t v e e l k l e i n e r e a a n t a l m o d e l p a r a m e t e r s . D o o r h u n g e r i n g e a a n t a l k u n n e n de m o d e l p a r a m e t e r s v e e l n a u w k e u r i g e r w o r d e n g e s c h a t d a n de o o r s p r o n k e l i j k e p a r a m e t e r s . T e v e n s k u n n e n de g e h a n t e e r d e m o d e l l e n w o r d e n g e b r u i k t v o o r e e n v o o r s p e l l i n g v a n h e t v e r l o o p v a n de t i j d r e e k s i n de t o e k o m s t . W e l k e t i j d r e e k s m o d e l l e n b e s t a a n , h o e ze g e b r u i k t k u n n e n w o r d e n en op w e l k e w i j z e de m o d e l p a r a m e t e r s k u n n e n w o r d e n g e s c h a t , z i j n
= 23 -o n d e r w e r p e n v a n h -o -o f d s t u k 12 u i t d e e l I I . 1.11 U i t b r e i d i n g e n T o t s l o t v a n de k u r s u s z a l summier e n i g e a a n d a c h t w o r d e n g e s c h o n k e n a a n - de i n v l o e d v a n n i e t - l i n e a i r e s y s t e m e n - de k a r a k t e r i s a t i e v a n n i e t - s t a t i o n a i r e p r o c e s s e n - h e t g e b r u i k v a n a p r i o r i k e n n i s b i j h e t s c h a t t e n v a n k a r a k t e r i s t i e k e g r o o t h e d e n ( K a l m a n - f i l t e r i n g , s y s t e e m i d e n t i f i c a t
W i l e y , New Y o r k , 1 9 7 0 , Wong, E . S t o c h a s t i c p r o c e s s e s i n i n f o r m a t i o n and d y n a m i c a l s y s t e m s M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1 9 7 1 . S p i t z e r , F . I n t r o d u c t i o n aux p r o c e s s u s de M a r k o v a p a r a m e t r e s d a n s I n : L e c t u r e n o t e s i n m a t h e m a t i c s , v o l . 390 S p r i n g e r , 1 9 7 4 .
2 . D e t e r m i n i s t i s c h e s i g n a a l a n a l y s e 2 . 1 I n l e i d i n g 2 . 2 K l a s s i f i k a t i e v a n d e t e r m i n i s t i s c h e d a t a 2 . 2 . 1 S i n u s v o r m i g e p e r i o d i e k e d a t a 2 . 2 . 2 C o m p l e x e p e r i o d i e k e d a t a 2 . 2 . 3 B i j n a - p e r i o d i e k e d a t a 2 . 2 . 4 T r a n s i e n t s 2 . 3 F o u r i e r - a n a l y s e 2 . 3 . 1 I n l e i d i n g 2 . 3 . 1 . 1 De r o l v a n de F o u r i e r - a n a l y s e 2 . 3 . 1 . 2 E i n d i g e F o u r i e r r e e k s e n 2 . 3 . 1 . 3 F o u r i e r r e e k s e n 2 . 3 . 1 . 4 F o u r i e r i n t e g r a l e n 2 . 3 . 2 F o u r i e r t r a n s f o r m a t i e s e n h u n e i g e n s c h a p p e n 2 . 3 . 2 . 1 N e t t e f u n k t i e s 2 . 3 . 2 . 2 G e g e n e r a l i s e e r d e f u n k t i e s 2 . 3 . 2 . 3 F o u r i e r r e e k s e n a l s F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e n 2 . 4 L i n e a i r e s y s t e m e n en c o n v o l u t i e 2 . 4 . 1 L i n e a i r e d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n 2 . 4 . 2 S t a p - en i m p u l s f u n k t i e s 2 . 4 . 3 F r e q u e n t i e - r e s p o n s i e f u n k t i e s 2 . 4 . 4 R e s p o n s i e op e e n w i l l e k e u r i g i n g a n g s s i g n a a l 2 . 4 . 5 V o o r b e e l d e n 2 . 5 I n v l o e d e i n d i g e r e g i s t r a t i e - l e n g t e 2 . 6 I n v l o e d b e m o n s t e r i n g : h e t v o u w e f f e k t 2 . 6 . 1 I n l e i d i n g 2 . 6 . 2 T h e o r i e 2 . 7 G e t i j a n a l y s e e n v o o r s p e l l i n g 2 . 7 . 1 I n l e i d i n g 2 . 7 . 2 G e t i j a n a l y s e 2 . 7 . 3 D e t e r m i n i s t i s c h e g e t i j v o o r s p e l l i n g
24 -2 . 1 I n l e i d i n g A l s e s s e n t i ë l e v o o r b e r e i d i n g op de u i t e i n d e l i j k e t i j d r e e k s a n a l y s e w o r d t i n d i t h o o f d s t u k de d e t e r m i n i s t i s c h e s i g n a a l a n a l y s e b e h a n d e l d . D a a r t o e w o r d t e e r s t i n p a r a g r a a f 2 . 2 . e e n r u w e k l a s s i f i c a t i e v a n d e t e r m i n i s t i s c h e d a t a g e g e v e n . B i j d e z e k l a s s i f i c a t i e w o r d t a l e n i g s z i n s g e b r u i k gemaakt v a n de F o u r i e r a n a l y s e , w e l k e i n p a r a g r a a f 2 . 3 w o r d t b e s p r o k e n . G e b r u i k makend v a n d e z e F o u r i e r a n a l y s e w o r d t i n p a r a g r a a f 2 . 4 h e t g e d r a g v a n l i n e a i r e s y s t e m e n b e s c h r e v e n ; d i t w o r d t t o e g e l i c h t a a n de h a n d v a n e n i g e v o o r b e e l d e n . P r a k t i s c h e b e p e r k i n g e n , w a a r v a n e i n d i g e r e g i s t r a t i e l e n g t e s e n de n o o d z a a k t o t h e t b e m o n s t e r e n v a n s i g n a l e n t e n b e h o e v e v a n de v e r w e r k i n g de b e l a n g r i j k s t e z i j n , k u n n e n g r o t e i n v l o e d h e b b e n op de r e s u l t a t e n v a n e e n s i g n a a l a n a l y s e . Ook b i j de i n d e e l I I t e b e h a n d e l e n t i j d r e e k s a n a l y s e s p e l e n d e z e b e p e r k i n g e n e e n b e l a n g r i j k e r o l . I n de p a r a g r a f e n 2 . 5 en 2 , 6 w o r d t h i e r d a n o o k de n o d i g e a a n d a c h t aan g e s c h o n k e n . T o t s l o t v a n d i t h o o f d s t u k w o r d t i n h e t k o r t de a n a l y s e v a n h e t ( a s t r o n o m i s c h ) g e t i j b e h a n d e l d , a l s z i j n d e e e n d e r w e i n i g e f e n o m e n e n w e l k e a l s d e t e r m i n i s t i s c h k a n w o r d e n b e s c h o u w d en z o d o e n d e e x a k t k a n w o r d e n v o o r s p e l d .
Deterministic
Periodic Nonperiodic
Sinusoidal Complex periodic
Almost-periodic
Transient
Figure 2.1 Classifications of deterministic data.
being either sinusoidal or complex P « i ° d i c Nonperiodic data can be fu^ to categorized as being either "almost-penodiC or transien These
classifications of deterministic data are schematically illustrated m F g"^^^^^ Of course, any combination of these forms may also occur. For purposes o review, each of these types of deterministic data along with physical examples will be briefly discussed.
Sinusvormige p e r i o d i e k e _ d a t a , Aa A Sinusoidal data are those types of periodic data which can be defined mathematically by a time-varying function of the f o r m
x(t) = X sin {Infot + O) (2-0
where X = amplitude
ƒ(, = cyclical frequency i n cycles per unit time
e = initial phase angle w i t h respect to the time origin i n radians x{t) = instantaneous value at time t
The sinusoidal time history described by Equation (2 • 1) is
^f^J^f^^^^JJ
as a sine wave. When analyzing sinusoidal data m practice, the phase angle d is often ignored. For this casex{t) = X sin Irrfot ^2-2)
Equation (2.2) can be pictured by a time history plot or by an amplitude-frequency plot (amplitude-frequency spectrum), as illustrated m Figure 2.2
The time interval required for one f u l l fluctuation or cycle of sinusoidal data s called the period T , . The number of cycles per unit time is called
26
-the frequency/o. The frequency and period are related by
T. = i (^•^) Jo
Note that the frequency spectrum i n Figure 2.2 is composed of an amplitude component at a specific frequency, as opposed to a continuous plot o f amplitude versus frequency. Such spectra are called discrete spectra or line spectra.
Amplitude
Frequency
Figure 2.2. Time history and spectrum of sinusoidal data.
There are many examples of physical phenomena which produce approxi-mately sinusoidal data i n practice. The voltage output o f an electrical alternator is one example; the vibratory motion of an unbalanced rotating weight is another. Sinusoidal data represent one o f the simplest forms o f time-varying data f r o m the analysis viewpoint.
2.2.2 Complexe p e r i o d i e k e d a t a
Complex periodic data are those types of periodic data which can be defined mathematically by a time-varying function whose waveform exactly repeats itself at regular intervals such that
x(t) = x(t ± hT;) n = 1 , 2 , 3 , . . . (2-^) As for sinusoidal data, the time interval required f o r one f u l l fluctuation is
called the period T^. The number o f cycles per unit time is called the funda-mental frequency f^. A special case f o r complex periodic data is clearly sinusoidal data w h e r e / i = / Q .
W i t h few exceptions i n practice, complex periodic data may be expanded into a Fourier series according to the following formula.
x{t) = - -t- 2 («« cos l-nnht + b„ sin Irrnff) 2 71=1
2
= 1 f
x{t) cos 27rnA« n = 0 , 1 , 2,
sin lirnht dt n = \, 2, 3,
A n alternate way to express the Fourier series for complex periodic data is
where Zo = «o/2 x{t) = Xo+J.X„ cos (l-nnht - 0„) n=l (2.6) n = 1 , 2 , 3 , . H = 1 , 2 , 3 , . • ö„ = t a n - M è „ K )
In words, Equation (26) says that complex periodicdata consist of a static S Z o S ! ' w ï c h L v T a m p U t u d e T ' r / a n d phases'e!. The frequencies of the harmonic components are all integral multiples o f / , .
When analyzing periodic data in practice, the phase angles Q„ are often ignored. For this case, Equation (2.6) can be characterized by a^iscrete
may b t t b s e n t ^ F ' o r e x L p l e , suppose a periodic time history is formed by mixing three sine waves which have frequencies of 60, 75, and 100 cps. The highest common divisor is 5 cps, so the period o f the resulting periodic data
+ A-0
tX2
X3
-Xi jXs
h 2A 3A 4/1 5Ai
28
-is Tj, = 0.2 second. Hence when expanded into a Fourier series, all values o f X„ are zero except for n = 12, n = 15, and « = 20.
Physical phenomena which produce complex periodic data are far more common than those which produce simple sinusoidal data. I n fact, the classification of data as being sinusoidal is often only an approximation f o r data which are actually complex. For example, the voltage output f r o m an electrical alternator may actually display, under careful inspection, some small contributions at higher harmonic frequencies. I n other cases, intense harmonic components may be present i n periodic physical data. For example, the vibration response of a multicyUnder reciprocating engine will usually display considerable harmonic content.
2.2.3 B i j n a - p e r i o d i e k e d a t a
I n the previous section, i t is noted that periodic data can generally be reduced to a series of sine waves with commensurately related frequencies. Conversely, the data formed by summing t ^ o or more commensurately related sine waves will be periodic. However, the data formed by summing two or more sine waves with arbitrary frequencies generally will not be periodic.
More specifically, the sum of two or more sine waves w i l l be periodic only when the ratios of all possible pairs of frequencies f o r m rational numbers. This indicates that a fundamental period exists which will satisfy the requirements of Equation (2.^). Hence
x{t) = X, sin {It + Ol) + X^ sin (3? + 0^) + X^ sin {It + 0s) is periodic since | , f , and | are rational numbers (the fundamental period is = 1). On the other hand,
x{t) = X i sin {It + 00 + sin (3? + 0^ + X^ sin (V50? +
is not periodic since 2/V50 and 3/V50 are not rational numbers (the funda-mental period is infinitely long). The resulting time history i n this case w i l l have an "almost-periodic" character, but the requirements of Equation {2 A) will not be satisfied for any finite value of ! „ .
Based upon these discussions, almost-periodic data are those types o f nonperiodic data which can be defined mathematically by a time-varying function of the f o r m
x{t) = i X „ sin { l i r f j - f 0„) (2.7)
where ƒ„/ƒ„ 5^ rational number i n all cases. Physical phenomena producing almost-periodic data frequently occur in practice when the effects of two or more unrelated periodic phenomena are mixed. A good example is the v i -bration response i n a multiple engine propeller airplane when the engines are out of synchronization.
Het g e t i j op aarde i s eveneens een goed v o o r b e e l d v a n een b i j n a - p e r i o d i e k v e r s c h i j n s e l . Op a n a l y s e en v o o r s p e l l i n g v a n h e t v e r t i k a l e g e t i j wordt nader ingegaan i n § 2.7.
