Optymalizacja kosztu składni­ków mieszanki gumowej

S fcte& w ten ty nr 3 maj - czerwiec 2001 r. TOM 5

Zbigniew Wasilewski*, Zbigniew Nahorski**

O ptym alizacja kosztu składni­

ków m ieszanki gumowej

W artykule przedstaw iono m etodę projektow ania mieszanki gumowej o zad an ych ogran iczeniach nało żo n ych na j e j w ła ściw ości techniczne i o najmniejszym koszcie. Sformułowanie zadania optymalizacji wymaga określenia zależności między właściwościam i m ieszanki i je j składem w postaci funkcji, które uzyskuje się metodą identyfikacji statystycznej na podstawie zaplanowanej serii dośw iadczeń. M etoda była spraw dzona w p rojektow aniu m ieszanek produkcyjnych przynosząc znaczne oszczędności.

Słowa kluczowe: mieszanka gumowa, optymalizacja, identyfikacja modelu, planow anie eksperymentu

Optimization of rubber mixture raw material cost

A m ethod o f designing rubber mixtures satisfying the given constraints p u t on the technical properties and giving the least cost is presented. To form ulate the optimization problem the knowledge o f the dependence o f the properties on the mixture composition in the fu nctiona l fo rm is needed. This is realized by identifying the appropriate models using measurements taken during the planned experiments. The m ethod was tested when designing the mixtures produced in a plant. As a result, a considerable econom ical profit was obtained.

Keywords: rubber mixture, optimization, system identification, experiment planning

1. Wprowadzenie

Projektując now ą m ieszankę gum ową technolog przede wszystkim dba o uzyskanie jej odpowiednich właściwości technicznych. Jednak podobne właściwo­

ści może mieć gum a o różnym składzie. W naturalny sposób pojaw ia się więc zadanie poszukiw ania składu mieszanki gum owej, spełniającej zadane właściwości, lecz m ożliw ie najtańszej. O ptym alizacja składu m ie­

szanki gumowej z uw zględnieniem kosztu surowców pozwala uzyskiw ać m ieszanki tańsze, wpływając po­

średnio na obniżenie kosztów produkcji. W przypad­

ku w ielotonażow ej produkcji wyrobów gum ow ych zagadnienie nabiera strategicznego znaczenia w dzia­

łaniach m arketingow ych firm.

* Instytut Przemysłu Gumowego, Piastów

** Instytut Badań Systemowych PAN, Warszawa

Zadanie optym alizacji składu mieszanki gum o­

wej jest w ogólności zadaniem program owania nieli­

niow ego, w ym agającym znalezien ia optym alnych wartości skalarnej funkcji wielu zmiennych w ograni­

czonym obszarze [4]. Rozw ażm y m inim alizację w obszarze G funkcji F(x) zależnej od n zmiennych ze­

branych w wektorze x T = [xv x v x j , gdzie T ozna­

cza transpozycję wektora. Należy znaleźć taki punkt x *, że

F(x*) = m in F(x) (1)

x eG

przy czym G jest obszarem rozwiązań dopuszczalnych, wyznaczonym przez ograniczenia:

g. (x) = a. i = l, /

h. (x) < b. i = l , . . . , m (2) x. > 0 7 = 1, n

TOM 5 maj - czerwiec 2001 r. S fa d fo ttt& U f, nr 2

Funkcja F(x) oraz funkcje występujące w ogra­

niczeniach mogą być nieliniowe.

Trudność ustalenia obszaru w przestrzeni skła­

dów, w którym należy poszukiw ać składu najtańsze­

go, polega na tym, że nie jest on zadany w sposób jawny, lecz jedynie przez ograniczenia nałożone na właściwości gumy, zależne od jej składu. Inaczej m ó­

wiąc, obszar poszukiw ań jest wyznaczony przez pew ­ ne, nieznane funkcje g. i h.. Do ich aproksym acji uży­

to m odeli zależności po szczególnych w łaściw ości mieszanki od jej składu, w postaci funkcji liniowych lub kwadratowych. W spółczynniki tych funkcji w y­

znaczono na podstaw ie pom iarów m etodą regresji.

Dokładność w yznaczania w spółczynników za­

leży od liczby pomiarów. Przy ustalonej liczbie po­

miarów m ożna jednak tę dokładność zwiększyć, od­

powiednio rozm ieszczając punkty (wybierając składy mieszanki) w przestrzeni pomiarów, czyli odpow ied­

nio planując eksperym ent - serię doświadczeń um oż­

liwiającą utworzenie m odelu matematycznego. Pomia­

ry wielu właściwości są dosyć kosztowne. Planując eksperyment m ożna uzyskać lepszą dokładność m niej­

szym kosztem.

W rezultacie, w celu rozw iązania zadania nale­

ży:

• określić modele m atem atyczne opisujące zależno­

ści właściwości m ieszanki gumowej od jej składu,

• sformułować zadanie optymalizacji wybierając funk­

cję celu oraz określając ograniczenia wynikające ze stawianych wym agań,

• zastosować odpow iednie algorytmy prowadzące do rozw iązania postaw ionego zadania optymalizacji.

Powyższa m etoda postępow ania była opracow a­

na przez zespół prof. Kazim ierza M ańczaka z Instytu­

tu Badań System owych PAN dla optym alizacji składu szkła, jednak nie została nigdy opublikowana. Później była ona wykorzystana przez zespół kierowany przez autorów niniejszej pracy do optym alizacji składu m ie­

szanek gum owych i spraw dzona praktycznie w D ę­

bickich Zakładach Przem ysłu Opon Sam ochodow ych

“Stom il” *, przynosząc bardzo obiecujące rezultaty.

Otrzym ane wyniki były tylko skrótowo prezentow a­

ne na konferencjach. Publikacja, jak a ukazała się w m ateriałach jednej z konferencji nie związanej ze śro­

dowiskiem technologów gumy [2], zawierała jedynie opis wyników fazy modelowania. Tak więc ta praca jest pierwszym pełnym opisem metody i wyników jej

zastosowania.

* obecnie Firma Oponiarska Dębica S.A.

A utorzy chcieliby p o dziękow ać człon kin iom zespołu prof. K. M ańczaka: dr W. A rczew skiej i dr E. K o w alskiej, które w spółpracow ały w w yk o na­

niu tej pracy, użyczając m. in. sp ecjalisty czn eg o oprogram o w ania oraz w ykonując o b liczen ia ko m ­ puterow e. P odzięk o w an ia n ależą się także zesp o ­ łow i z DZOS w D ębicy, kierow anem u przez m gra inż. Z. C habow skiego i m gra inż. W. W iktorskiego, w drażającem u m ieszanki op racow ane za pom ocą p o w y ż sz e j m etody, oraz In sty tu to w i P rz e m y słu G um ow ego „S tom il” w P iastow ie, w spierającem u organizacy jnie przedsięw zięcie.

2. Planowanie eksperymentu

Wprowadzenie

Planow anie eksperym entu przeprow adza się w celu w y znaczenia o ptym alnego planu ek sp ery m en ­ tu, którego w yniki posłużą do statystycznej o b ró b ­ ki danych uzyskanych z pom iarów [3,5,6,7]. H eu­

rystyczn e sposoby k o n stru o w ania planów dla ty p o ­ w ych funkcji regresji i stan dardow y ch obszarów zaw o dzą przy bardziej zło żo n y ch typach funk cji regresji i przy n iestan d ardo w y ch obszarach p lan o ­ w ania. W ym agają one szczególnego postępow ania.

Takim przypadkiem je s t planow an ie eksperym entu dla m ieszanki gum ow ej.

O ptym alizacja eksperym entu dla m ieszanek gu­

m owych jest realizow ana głównie w następujących celach:

• ustalenia obszaru badań pozwalającego w sposób możliwie pewny i z m inim alnym nakładem kosz­

tów przybliżyć zależnością funkcyjną rzeczyw i­

ste zależności zachodzące między właściwościam i m ieszanki i jej składem,

• określenia szukanej docelowej receptury mieszanki gumowej oraz zarysu jej właściwości technicznych (cech produktu).

Niech f^x), f2(x),...,fK(x) oznaczają funkcje cią­

głe przedstaw iające m ożliwe eksperymenty. Dla każ­

dego x, y.(x) jest wynikiem obserwacji, obarczonym błędem losowym. Założymy, że obserw acja y.(x) ma postać

y i ( x ) = ^ i b j f j ( x ) + z i( x) (3)

■ y=o

gdzie z^x)- zakłócenie losowe obserwacji, o rozkła-

SCa& tM t& U f, nr 3 maj - czerwiec 2001 r. TOM 5

dzie normalnym, takie że zachodzi

E(z.(x)) = 0 (4)

E { Z l( x ) Z j ( x ' ) } f 1 x = x ' i i - j [O x ^ x ' lub i & j przy czym E ozn acza w artość oczekiw aną zm ien­

nej losow ej. F u n k cje / 0, / , . . . , f K są znanym i fu n k ­ cjam i, n ato m iast param etry bQ, b v ..., bK p ozostają nieznane.

P rzez plan e k sp ery m en tu ro zum iem y m iary praw dopodobieństw a q v ..., qk w punktach x p x k, przy czym n. = q. N , j = 1, ..., k , są liczbami całko wi-

k

tymi, a więc = ^ . O dpow iadający ekspery-

7=1

ment zawiera nj nieskorelow anych obserwacji w każ­

dym punkcie x

y.(x.), i= l,...,rc ., 7 = 1, ..., k (5) Należy oszacow ać wartości param etrów ..., na podstaw ie A obserw acji (3). Do oceny para­

metrów bQ, Z?j,..., ^ w y k o rz y stu jem y standardową pro­

cedurę obliczeniow ą regresji.

Zadanie polega zatem na określeniu planu eks­

perymentu, który pozw ala na optymalną, w pewnym sensie, ocenę parametrów. Optym alizacja planu eks­

perym entu powoduje, że m odele m atematyczne wy­

znaczone na podstaw ie pom iarów przeprowadzonych zgodnie z optym alnym planem są dokładniejsze, po­

mimo niezbyt dużej liczby doświadczeń.

Kryteria optymalności planu ekspery­

mentu

Dokładność estym acji wektora param etrów

bT

= [bv bv bK] m ożna ocenić za pom ocą macierzy ko­

wariancji

c o v ( * ) = E{ [ £ - E ( £ ) ] [ £ - E ( £ ) ] 7 }

/V

gdzie przez

b

oznaczono estym ator wektora param e­

tru b .Oznaczmy przez £ p lan eksperym entu, zas' przez M ( £) m acierz o elem entach

m‘j = \ f ‘fjd%

⁽

6

)

P

zw aną m acierzą in fo rm acy jn ą planu ek sp ery m en ­ tu. Jeśli w liniow ej zależno ści funkcji W od p a ra ­ m etrów (3) w ektor n iezn an ych p aram etrów

b

= (6 b v bn) je s t oszacow any m etodą najm niejszy ch kw adratów , dającą najlepszy nieobciążony liniowy es­

tym ator

b

, to m acierz kowariancji estym atora

b

jest określona wyrażeniem

E [ ( b - b ) ( b - b ) r ] = ^ M - ' ( $ ) (7) przy czym £ przypisuje punktom x. praw dopodobień­

stwa q = n. N, i = 1, ..., k.

M acierzą inform acyjną odpowiadającą planowi eksperym entu który skupia wszystkie eksperym en­

ty w punkcie x Q, jest m acierz rzędu pierwszego o po­

staci [/(x0)][/(x0)]T, natom iast jeżeli plan eksperym en­

tu £ składa się z praw dopodobieństw q v ..., qk w punk­

tach x , ..., x^ m acierz inform acyjna ma postać

M © = Ś « ,[ / ( * ,) ] [ / ( x i) f (8)

/=1 g d z ie / 7 = |

Jeżeli m acierz [M (£)]J jest w pewnym sensie

„mała”, albo inaczej mówiąc M (£) jest „duża”, to b jest bliskie b , co z kolei wyraża się „małością” wyrażenia (7). Większość kryteriów optymalności planu ekspery­

mentu polega na maksymalizacji określonego funkcjo­

nału macierzy informacyjnej planu eksperymentu M (£).

Zakłada się przy tym, że maksimum istnieje.

Jedna z m etod optym alizacji planu eksperym en­

tu polega na znalezieniu planu ^m aksym alizującego wyznacznik m acierzy informacyjnej M (£). Postępo­

wanie to jest ekw iw alentne m inimalizacji wyznaczni­

ka macierzy kowariancji Jest to tak zwany plan typu D. Oprócz m aksym alizacji wyznacznika m acie­

rzy informacyjnej det M, stosuje się często inne wskaź­

niki jakości planu, na przykład plan typu G polegają­

cy na m inim alizacji największej wariancji funkcji re­

gresji, plan typu A polegający na m inimalizacji śred­

niej wariancji współczynników, plan typu E, w któ­

rym m aksym alizuje się najw iększą wartość własną m acierzy M. Przykłady planów optymalnych typu D, E, A oraz G opisano w książce M ańczaka [6], s. 198- 203.

Planowanie eksperymentu dla mieszanin

M ieszanina stanowi obiekt badań, w którym na wektor x = ( x} 9 x j określający jej skład są nałożo­

ne ograniczenia fizykalne typu m

2 > < = 1 (9)

/=1

gdy x. jest wyrażone w częściach całej masy lub obję­

TOM 5 maj - czerwiec 2001 r.

SfaatMtentf,

nr 2

tości, albo

m

5 > = i o o

/=1

gdy x. jest wyrażone w procentach, oraz dodatkowo

x. > 0 , i = 1, m (10)

Na przykład, dla m ieszaniny o 3 składnikach x v x v x 3 spełnione są zależności (9), (10) o postaci

X } + X 2 + X 3 = 1 ( 1 1 )

x ] > 0, x 7 > 0, x 3 > 0 (12) W szystkie składniki x v x v x 3 m ieszaniny znaj­

dują się w przestrzeni trójwym iarowej na płaszczyź­

nie (11), to znaczy na hiperpłaszczyźnie dw uw ym ia­

rowej, w trójkącie ograniczonym zależnościam i (12).

Uogólniając, przestrzeń czynnikow a w przypadku m składników m ieszaniny jest sym pleksem określonym wzorami (9), (10) o m wierzchołkach na (m -1)-wy­

miarowej hiperpłaszczyźnie (9).

Metoda optymalizacji planu ekspery­

mentu

P rz e d sta w im y m eto d ę o p ty m a liz a c ji p lan u eksperym entu zastosow aną do zb ad an ia w łaściw o ­ ści m ieszanek gum ow ych. Zakładam y, że ro zw a ża ­ ny obiekt poddany n iem ierzaln y m zak łó ceniom z ma L w ejść x v x v ..., x L - składników m ieszanki - oraz jed n o w yjście y będące o k reślo n ą w łaściw o ­ ścią danej m ieszanki.

Zakładamy, że obiekt m ożna opisać zależnością liniową względem współczynników, o postaci

y n = b Tf ( x J + e n (13)

gdzie

b T = [bv ..., bk] jest wektorem współczynników, / T(*„) = [/,(*„), ••.,/*.(*„)] jest wektorem funkcji określających postać m odelu,

x Tn = O,,,, x 2n,xLn] jest wektorem wejść w tym doświadczeniu, natom iast

y T

= I

yN] jest wektorem wyjść m ierzonych w n = l , ..., /^dośw iadczeniach,

en jest zakłóceniem n-tej obserwacji, przy czym dla różnych n są to zmienne losowe niezależne o je d ­ nakowej wariancji o 2.

O znaczm y przez X m acierz eksp ery m entu o wym iarach N x K

/ 1 O 1 ) ••• A ( * i )"

X = : '• : (14)

_ A (xn ) ••• f K( x N)

M acierz inform acyjna eksperym entu M ma te­

raz postać M =

XTX.

Stosując m etodę najm niejszej sumy kwadratów, w której m inim alizuje się wskaźnik

N

S (b J = - 6 0m- b imx l ( u „ ) - . . . b Kmx K( u n )]2

/7=1

(15) wyznaczam y oceny w spółczynników

b =

(XTX)-]XT y

(16)

o macierzy kowariancji

co v ( b ) =

[XTX]-'c2

(17)

przy czym a 2 je s t w ariancją zakłóceń. W każdym punkcie x m ożem y w yznaczyć przew idyw aną war­

tość wyjścia

y ( x ) = b Tf ( x ) (18)

z wariancją

var ( y ( x ) ) = \f(x )(X rX )-'f(x )+ l] a 2 (19) Z a d a n ie o p ty m a liz a c ji p lan u e k sp e ry m e n tu (typu D) polega na znalezieniu w przestrzeni L-wy- m iarow ej takich punktów x v x v ..., x N, które m aksy­

malizują wyznacznik macierzy informacyjnej M . M ak­

sym alizacja wyznacznika macierzy informacyjnej M odpowiada m inim alizacji objętości elipsoidy koncen­

tracji rozkładu ocen współczynników b modelu.

Aby rozw iązać postaw ione zadanie stosujemy metodę iteracyjną wykorzystującą właściwości m acie­

rzy informacyjnej. M etoda polega na starcie z punktu początkowego, który stopniowo popraw ia się przez wym ianę punktów z planu początkowego z punktami nie należącymi do planu. Przebieg procesu iteracyjne- go opisany dokładniej w pracy Arczewskiej [1] jest dość pracochłonny, wym aga wielokrotnej m odyfika­

cji macierzy informacyjnej, odwracania tej macierzy oraz wyznaczania wariancji.

Przykład optymalizacji planu ekspery­

mentu dla mieszanek gumowych

Poszukujem y optym alnego planu eksperym en­

tu, m ającego na celu zbadanie właściwości mieszanki gum owej używanej w produkcji opon sam ochodo­

wych, składającej się z 14 składników wym ienionych w tabeli 1. Zgodnie z sugestiam i technologicznym i będziemy zmieniać 6 pierwszych składników z tabeli, natom iast pozostałych 8 składników ustalimy na za­

danym poziomie. W tabeli przedstaw iono surowce i zakres ich zmienności w odniesieniu do 100 części wagowych kauczuków.

S ta a tw te n x f, nr 3 maj - czerwiec 2001 r. TOM 5

Tabela 1. Składniki m ieszanki

Lp. Nazwa surowca Zakres zmian

1 Kauczuk RSS 15-40

2 Kauczuk SKI 20-60

3 Kauczuk KER 8512 0-50

4 Kauczuk KER 1712 0-50

5 Sadza JAS 539 40-60

6 Plastyfikator P 5-15

7 Tlenek ZnO 5,40

8 Żywica kumaronowa 6,00

9 AntyutleniaczAR 1,40

10 Antyutleniacz Polnox R 1,00

11 Stearyna roślinna 1,48

12 Przyspieszacz Vulkasil CBS 0,83

13 Przyspieszacz M 0,20

14 Siarka olejowana 2,40

Oznaczając przez x v x>, x 6 zmieniane surow ­ ce, ze względu na odniesienia surowców do 100 czę­

ści wagowych kauczuków, otrzym ujem y następujący obszar planow ania eksperym entu

jCj + X, + x3 + x Ą = 100 15 < jc] < 40

20 < x 2 < 60

0 < x3 < 50 (20)

0 < x Ą < 50 40 < x5 < 60 5 < x, < 15_o

D odatkow e og raniczenie narzucone na sumę kauczuków sprow adza obszar badań do pewnego hi- perw ielościanu.

Do estym acji w spółczynników przeliczono czę­

ści w agow e odniesione do 100 części kauczuków x na zawartości procentowe u.. Przyjmujemy, że m ode­

le opisujące właściwości m ieszanek gum owych mogą mieć postać w ielom ianu drugiego stopnia o 21 nie- Tabela 2. Optymalny plan składu recepturowego

Lp. «1 ^u2 U3 U4 “ 5 «6 Uy

1 0,2177 0,3266 0,0000 0,0000 0,3266 0,0272 0.1019

2 0,0864 0,2015 0,2878 0,0000 0,2303 0,0864 0,1076

3 0,0819 0,1092 0,1774 0,1774 0,2700 0,0819 0,1022

4 0,0817 0,1905 0,2722 0,0000 0,3266 0,0272 0,1018

5 0,2303 0,3454 0,0000 0,0000 0,2303 0,0864 0,1076

6 0,0866 0,3466 0,0000 0,1444 0,2855 0,0289 0,1080

7 0,0774 0,3097 0,1291 0,0000 0,3097 0,0774 0,0967

8 0,2443 0,3665 0,0000 0,0000 0,2443 0,0305 0,1144

9 0,1425 0,2201 0,1241 0,1241 0,2443 0,0305 0,1144

10 0,0916 0,2138 0,0000 0,3054 0,2443 0,0305 0,1144

11 0,2443 0,1222 0,0000 0,2443 0,2443 0,0305 0,1144

12 0,0817 0,1089 0,0817 0,2722 0,3266 0,0272 0,1017

13 0,1574 0,3560 0,0799 0,0000 0,2373 0,0584 0,1110

14 0,0916 0,1222 0,3054 0,0916 0,2443 0,0305 0,1144

15 0,2303 0,1151 0,2303 0,0000 0,2303 0,0864 0,1076

16 0,0864 0,3454 0,0000 0,1439 0,2303 0,0864 0,1076

17 0,2065 0,3097 0,0000 0,0000 0,3097 0,0774 0,0967

18 0,0774 0,1807 0,0000 0,2581 0,3097 0,0774 0,0967

19 0,2177 0,1089 0,2177 0,0000 0,3266 0,0272 0,1019

20 0,0817 0,3266 0,0000 0,1361 0,3266 0,0272 0,1018

21 0,1549 0,1032 0,2581 0,0000 0,3097 0,0774 0,0967

22 0,2065 0,1032 0,0000 0,2065 0,3097 0,0774 0,0967

23 0,2310 0,2310 0,1155 0,0000 0,2855 0,0289 0,1081

24 0,0843 0,1966 0,2809 0,0000 0,2777 0,0554 0,1051

25 0,0916 0,3665 0,1527 0,0000 0,2443 0,0305 0,1144

26 0,2373 0,2373 0,0000 0,1187 0,2373 0,0584 0,1110

27 0,1833 0,1222 0,3054 0,0000 0,2443 0,0305 0,1143

28 0,1727 0,1151 0,0000 0,2878 0,2303 0,0864 0,1077

29 0,1733 0,1155 0,0000 0,2888 0,2855 0,0289 0,1080

30 0,0890 0,1187 0,0890 0,2966 0,2373 0,0584 0,1110

TOM 5 maj - czerwiec 2001 r. Sta & tam en cf, nr 2

znanych współczynnikach

9 = +...+ b6u6 + b nu xu2 + b n u xu2 +...+ b%u5u6 (21) gdzie przez u r ..., u6 oznaczo n o zaw arto ści p ro ce n ­ tow e p o szczegó lny ch składników w m ieszance. W rozpatryw anym obszarze badań znajduje się 68 wierz­

chołków, 125 środków kraw ędzi, 104 środki ścian, 55 środków hiperpłaszczyzn 3-w ym iarow ych oraz śro­

dek obszaru. Łącznie otrzym ujem y 353 punkty kan­

dydujące do planu eksperym entu. Należy wyznaczyć plan eksperym entu złożony z N = 30 m ieszanek gu­

mowych, na podstaw ie którego wyznaczym y m ożli­

wie dokładnie m odel zawierający do 21 w spółczynni­

ków. Obliczenia rozpoczynam y startując z kilku róż­

nych planów początkowych, aby zwiększyć szansę wy­

generowania planu eksperym entu, który jest global­

nie optymalny względem założonego kryterium . W tabeli 2 (na poprzedniej stronie) p rze d sta ­ wiono optym alny plan składu recepturow ego dla 30 w zorcow ych m ieszanek gum ow ych w p ostaci p ro ­ centow ych udziałów po szczeg ó ln y ch składników , gdzie u7 oznacza procentow ą zaw artość sumy skład­

ników x v ..., x 14.

Optym alny plan eksperym entu zawierający 30 m ieszanek gum ow ych m ożna ponadto wyprowadzić z program u kom puterow ego w dogodnej do prow a­

dzenia eksperym entu postaci:

• recepty na 100 części kauczuków,

• namiaru w gram ach na zadaną masę mieszanki.

Dla każdej mieszanki można także obliczyć cenę (zł/kg), gęstość (kg/m 3) oraz procentow ą zawartość wszystkich kauczuków.

3. Identyfikacja modeli mate­

matycznych

Przeprowadzono identyfikację modeli właściwo­

ści m ieszanki gumowej w zależności od jej składu, wyrażonego przez zawartości procentow e u ., dla roz­

patrywanej już mieszanki stosowanej w produkcji opon samochodowych. Do badań przyjęto dwa typy m ode­

li. Pierwszy z nich, liniowy względem L składników, zawiera K - L nieznanych param etrów

y - b ]u ] + ... + bLuL (22) Drugi model, nieliniowy względem L składni­

ków, ma postać zredukow anego wielom ianu stopnia drugiego

y =

V , +- +

b LU L + b M U XU 2

+-+ (23)

0 nieznanych param etrach K = L (L -l)/2 + l. Korzysta­

jąc z ograniczenia norm ującego (9) m ożna by było wyelim inować z pełnego wielom ianu kwadratowego jedną ze zmiennych. Zam iast tego, w wielom ianie zre­

dukow anym elim inuje się składniki kw adratow e i wyraz wolny, zmniejszając w ten sposób liczbę w spół­

czynników o L + l. W spółczynniki wielom ianu zredu­

kowanego są oczywiście funkcjami współczynników w ielom ianu pełnego. Szczegółow e przekształcenia m ożna znaleźć w monografii M ańczaka [6], s. 175- 182.

B adaniu poddano m ieszanki 7-skład nikow e, (L=7) przedstaw ione w tabeli 1.

u ] - RSS kauczuk

u2 - SKI-3 kauczuk - KER 8512 kauczuk uĄ - KER 1712 kauczuk u5 - JAS 539 sadza u6 - P plastyfikator

un - reszta: zaw ierająca m iędzy innymi ZnO, żywicę, siarkę i inne.

M odele liniowe (24) i nieliniowe (25) dla tych m ieszanek zaw ierają liczbę w spółczynników odpo­

wiednio K=7 i K= 22

y m = + - + blUl(24)

9m

= V . + - +

blUl

^{+ + - + (25)}

m = 1 ,...,35

M odele te należy wyznaczyć dla 35 właściwości m ie­

szanek przedstaw ionych w tabeli 3.

Do tego celu użyto pom iarów w y k on anych zgodnie z planem eksperym entu przestaw io n ym w tabeli 2. K orzystając z nich przeprow adzono id en ­ tyfikację m odeli stosując program regresji k roko ­ wej z elim inacją n ieisto tn y ch zm iennych za pom o ­ cą testu /-S tud enta, począw szy od m odelu pełnego, 1 próbą d ołączan ia do m odelu po każdym kroku e li­

m inacji zm iennych od rzuconych w cześniej. K oń­

cow e m odele liniow e zaw ierały od siedm iu do j e d ­ nej zm iennej. W m odelach nielinio w ych n a stę p o ­ w ała w iększa elim in acja składników i na ogół ich liczba nie przek raczała połow y liczby składników w ystępu jący ch w pełnym m odelu.

O prócz m odeli w pełni zadow alających, o du­

żych w artościach testów i w spółczy n nik ach k o re ­ lacji oraz m ałyęh ocenach odchyleń standardow ych param etrów , w ko ńcow ym zestaw ie zn alazły się także m odele o słabszych w artościach tych w skaź­

ników. M iędzy innym i z tego w zględu po w y zn a­

czeniu m ieszanki optym alnej po stanow iono w yko-

S ta A to tK & ity nr 3 maj - czerwiec 2001 r. TOM 5

Tabela 3. Badane w łaściw ości mieszanek

Błąd, Błąd

Lp. Nazwa właściwości % popr., %

1 czas podwulkanizacji T2,170°C, min 6,5

2 czas wulkanizacji T40,170°C, min 8

3 czas optimum wulkanizacji T90,170°C, min 15,5

4 moment minimalny ML,170°C, dNm 21

5 moment maksymalny MH,170°C, dNm 16,5

6 lepkość Mooneya ML(1+3),100°C, M 17

7 czas podwulkanizacji T5,130°C, min 14 8 szybkość wulkanizacji V30,130°C, M/min 19

9 wydłużenie przy zerwaniu ER, % 4

10 wytrzymałość na rozciąganie RR, MPa 6 11 naprężenie przy wydłużeniu 100%, MPa 10 12 naprężenie przy wydłużeniu 300%, MPa 18

13 twardość Shore'a, °Sh 3

14 wytrzymałość na rozdzieranie RRD, kN/m 14

15 wydłużenie trwałe ET, % 34 7,5

16 elastyczność wg Schoba ESC, % 14

17 przyrost temp. ap. Goodricha DT, °C 32 15

18 odkształcenie trwałe ap. Goodricha, ET G, % 16

19 odporn. na zmęczenie przy zginaniu de Mattia, 2-4 kcykl 38 10,5 20 odporn. na zmęczenie przy zginaniu de Mattia, 4-8 kcykl 22

21 odporn. na zmęczenie przy zginaniu de Mattia, 8-12 kcykl 21,5 Właściwości po starzeniu termicznym 7 dni, 70°C

22 wydłużenie przy zerwaniu ER, % 5

23 wytrzymałość na rozciąganie RR, MPa 5 24 naprężenie przy wydłużeniu 100%, MPa 10 25 naprężenie przy wydłużeniu 300%, MPa 22 26 wytrzymałość na rozdzieranie RRD, kN/m 7

27 wydłużenie trwałe ET, % 6

28 zmiana wydłużenia po starzeniu brak

29 zmiana wytrzymałości po starzeniu brak Inne testy

30 H-test, N zmiana

31 pull-test, siła zrywania, N zmiana

32 pull-test, ocena pokrycia, pkty 15

33 szybkość tłoczenia, m/min 32,5 7,5

34 skurcz liniowy, % 35,5 11,5

35 pęcznienie, % 7

nać d o d atk ow o 5 zestaw ó w pom iaró w w rejonie optim um , które użyto także do spraw dzenia popraw ­ ności przew id yw ań m odelu. W tabeli 3 p rzed sta­

w iono u zyskane średnie błędy bezw zględne o b li­

czone w edług w zoru

gdzie y™00 są w artościam i u zy sk a­

nym i z m odelu. W iększość błędów w y n io sła k ilk a do kilk un astu p ro ­ cent. D uże błędy dla kilku w łaści­

w ości, w ynoszące pow yżej 30% , są zw iązan e z dużą zależn o ścią tych pom iaró w od sposobu p rzy g o to w a­

nia próbki do badań oraz od d efek ­ tów w ew nętrznych badanego m ate­

riału. B łędy te są głów nie zw iąza­

ne z przesunięciem poziom u pom ia­

rów. M ożna by je było p raw d o p o ­ dobnie zm niejszyć przez w cześniej­

sze skalow anie m odeli. W idać to ze średnich błędów w zględnych o b li­

c z o n y c h po d o d a n iu do w a rto śc i uzy sk an ych z m odeli różnicy m ię­

dzy średnim i z pom iarów i średni­

mi w artościam i uzyskanym i z m o­

deli, podan y ch w tabeli 3 w k olu m ­ nie „błąd p opr.” .

4. O ptym alizacja kosztu wsadu surow­

cowego

Do m inim alizacji kosztów su­

rowców przyjęto m ieszankę gumową na kapę podkładow ą opon, złożoną z 14 surowców przedstaw ionych w ta­

beli 4. D la tego składu surow ców opracow ano wcześniej plan ekspery­

mentu, wykonano pom iary i wyzna­

czono m odele w łaściw ości, czego wyniki przedstawiono w poprzednich punktach.

K au czuk i (1-4) oraz sadza i p lasty fik a to r (5-6) m ogły zm ieniać się w zadanych p rzedziałach , natom iast pozostałe składniki (7-14) były ustalone. R ozw iązań po szu ­ kiw ano w śród m ieszanek, które na 100 części W a ­

gow ych kauczuków m ieściły się w ograniczonym o bszarze surow ców i których 35 w łaściw ości znaj­

dow ało się w zad any ch przedziałach , gdzie YDm, YGm stanow ią dolną i górną granicę m-tej w łaści­

w ości dla m = 1 ,..,35.

Do w yznaczenia 35 w łaściw ości m ieszanki gu­

m owej y m (m = l,...,3 5 ) przyjęto m odele m atem atycz-

TOM 5 maj - czerwiec 2001 r. nr 2

Tabela 4. Przykładowa mieszanka g ili!

Lp Nazwa surowca

Punkt startowy, kg:

Cena*, zł/kg

Gęstość, kg/dm3

Zakres zmian od do

1 Kauczuk RSS 38,89 0,92 15 40

2 Kauczuk SKI-3 30,55 0,92 20 60

3 Kauczuk KER 8512 30,55 0,925 0 50

4 Kauczuk KER 1712 0,01 0,95 0 50

5 Sadza JAS 539 47,22 1,80 40 60

6 Plastyfikator P. 10,00 1,01 5 15

7 Tlenek cynku ZnO 5,37 5,61

8 Żywica kumaronowa 6,02 1,02

9 AntyutleniaczAR 1,39 1,21

10 Antyutleniacz P0LN0X 1,02 0,97

11 Stearyna roślinna 1,48 0,92

12 Przyspieszacz Vulkasil CBS 0,83 1,27

13 Przyspieszacz M 0,19 1,42

14 Siarka olejowana 2,41 2,07

* Uwaga: do obliczeń przyjmowano aktualne ceny składników.

ne (23) w p o sta c i z re d u k o w an y c h w ielo m ian ó w sto p n ia d ru gieg o . W sp ó łc z y n n ik i m o d eli zo stały w yznaczone za po m ocą m etody id en ty fik acji o p i­

sanej w p. 2. - P lano w a n ie eksp erym en tu dla m ie ­ szanin.

Należy rozw iązać zadanie m inim alizacji funkcji kosztów

14

F(x) = (26)

/=1 gdzie

x - naw ażka surowcai c - cena surowcai

w obszarze określo nym przez n astęp u jące o g ran i­

czenia:

a) liniowe równościow e

• wynikające ze stałej sumy kauczuków

Xj + x2 + *3 + x Ą = 100 (27)

• wynikające ze stałego dodatku surowców

x 7 + +...+ x ^ — 18.71 (28)

b) liniowe nierów nościow e ograniczenia na surowce 0 < jej < 40

0 < x 2 < 60

0 < x3 < 50 (29)

0 < *4 < 50 40 < *5 < 60 5 < * 6 < 1 5

c) nieliniowe nierów nościow e ograniczenia na w ła­

ściwości

YD < y (x ) < Y G (30) gdzie YD m, YG m stanow ią dolną i górną granicę m-tej w łaściw ości.

Są one podane w tabeli. 5 (kreska oznacza brak o graniczenia). W ła­

śc iw o śc i m ie s z a n e k g u m o w y c h b y ły w y z n a c z a n e na p o d s ta w ie m o d e li o w s z y s tk ic h is to tn y c h w s p ó łc z y n n ik a c h (na p o d sta w ie testu r-Studenta). W w yniku o p ty ­ m alizacji przeprow adzonej m eto ­ dą R osena [8], stosując o p racow a­

ne m odele m atem aty czne, o trz y ­ m ano m ieszankę o niższym k o sz ­ cie składu surow cow ego i w ła ści­

w o śc ia c h o d p o w ia d a ją c y c h w y ­ m ogom techno log iczny m . P o m ia­

ry jej w łaściw ości podano w ta b e ­ li 5 w kolum nie oznaczonej y .

Po op ty m alizacji dołączono d odatkow o do planu ek sperym entu 5 punktów w rejonie uzyskanej m ieszanki optym alnej i p o w tó ­ rzono postępo w an ie w yznaczając od now a m odele w łaściw ości (które w w iększości przypadków nie uległy w iększym zm ianom ). Ponow na o p ty m aliza­

cja nie dop row ad ziła do uzyskania lepszego p u n k ­ tu od uzyskanego za pierw szym razem . M ieszanka optym alna oraz dwie m ieszanki z niew ielkim i zm ia­

nam i (w jednej z nich w yelim inow ano kauczuk o n ajm niejszej naw ażce - p o zostaw iając 3 kauczuki, w drugiej w yelim inow ano dw a kauczuki o k o lej­

nych najm niejszy ch naw ażkach - pozo staw iając 2 kauczuki) w ytypow ano do badań stacyjnych opon.

B adania te wykazały, że opony uzyskane z m ieszan­

ki optym alnej i m ieszanki z w yelim inow anym je d ­ nym kauczukiem m ają zbliżo ne w łaściw ości, nie tylko spełniające w ym agania, ale m ające naw et lep ­ sze w łaściw ości niż m ieszank a dotychczas sto so ­ wane. Ze w zględów o rganizacyjnych w ybrano m ie­

szankę z 3 kauczukam i, nieznacznie droższą od m ie­

szanki optym alnej z 4 kauczukam i i w drożono ją do produkcji opon sam ochodow ych. Prow adzone w k ilk u m ie się c z n y m o k resie b a d a n ia w ykazały, że p ro d u k o w a n e o p o n y o d z n a c z a ły się w y m a g a n ą trw ałością oraz spełniały testy na w ysokie p ręd k o ­ ści. Jed no cześnie koszt w sadu surow cow ego został obniżony o ponad 12% w stosunku do m ieszanki stosow anej p op rzednio. S zczeg óło w y skład m ie­

szanki je s t zastrzeżony.

S ta & fo tK & iy nr 3 maj - czerwiec 2001 r. TOM 5

Tabela 5. Z ada n e o g ra n iczen ia na w łaściw o ści i w artości dla m iesza nki optym a lnej

Lp. Nazwa właściwości YDm YGm Yflm

1 czas podwulkanizacji T2,170°C, min 1,5 ^- 2,1

2 czas wulkanizacji T40,170°C, min 2,0 - 2,6

3 czas optimum wulkanizacji T90,170°C, min - 5,5 4,4

4 moment minimalny ML,170°C, dNm 4,0 10,0 7,3

5 moment maksymalny MH,170°C, dNm 22,0 34,0 28,5

6 lepkość Mooneya ML(1+3),100°C, M 40,0 60,0 48,8

7 czas podwulkanizacji T5,130°C, min 9,5 - 11,3

8 szybkość wulkanizacji V30,130°C, M/min - - 28,5

9 wydłużenie przy zerwaniu ER, % 490,0 - 626,0

10 wytrzymałość na rozciąganie RR, MPa 17,4 - 17,4 11 naprężenie przy wydłużeniu 100%, MPa 1,5 2,3 1,6 12 naprężenie przy wydłużeniu 300%, MPa 5,0 8,5 5,4

13 twardość Shore'a, °Sh 49,0 55,0 49,0

14 wytrzymałość na rozdzieranie RRD, kN/m ^{- -} 36,0

15 wydłużenie trwałe ET, % - 20,0 26,0

16 elastyczność wg Schoba ESC, % 30,0 - 40,0

17 przyrost temp. ap. Goodricha DT, °C - 13,5 20,0 18 odkształcenie trwałe ap. Goodricha, ET G, % - - 1,8 19 odporn. na zmęczenie przy zginaniu de Mattia, 2-4 kcykl - 8,5 5,2 20 odporn. na zmęczenie przy zginaniu de Mattia, 4-8 kcykl - 11,5 7,5 21 odporn. na zmęczenie przy zginaniu de Mattia, 8-12 kcykl - 8,0 5,8

Właściwości po starzeniu termicznym 7 dni, 70°C

22 wydłużenie przy zerwaniu ER, % 400,0 - 463,0

23 wytrzymałość na rozciąganie RR, MPa 15,0 - 13,5

24 naprężenie przy wydłużeniu 100%, MPa 2,0 3,0 2,4 25 naprężenie przy wydłużeniu 300%, MPa 6,5 12,0 7,6 26 wytrzymałość na rozdzieranie RRD, kN/m - - 35,0

27 wydłużenie trwałe ET, % - - 12,0

28 zmiana wydłużenia po starzeniu - - -

29 zmiana wytrzymałości po starzeniu ^- - "

Inne testy

30 H-test, N 50,0 - 76,2*

31 pull-test, siła zrywania, N 155,0 - 126,1*

32 pull-test, ocena pokrycia, pkty 3,0 - 3,00

33 szybkość tłoczenia, m/min 0,95 - 0,77

34 skurcz liniowy, % - - 5,40

35 pęcznienie, % - 100,0 110,6

*W tych badaniach użyto innego kordu niż w badaniach objętych planowaniem eksperymentu

5. Podsumowanie

względów jedna z nich nie zo­

stała skierowana do produkcji wielkoseryjnej.

Na podstawie zebranych do św iad czeń m ożna stw ier­

dzić, że opisana m etoda daje dobre rezultaty. W rozw aża­

nym zastosowaniu wym agała ona jed nak przeprow adzenia d o s y ć o b s z e r n y c h b a d a ń wstępnych, to znaczy wykona­

nia pom iarów 35 właściwości.

M ożliw ości zm n iejsze­

nia liczby badań można szukać oczywiście w pom inięciu po­

m ia ró w w ła ś c iw o ś c i m ało istotnych dla zastosowań m ie­

szanki. Ciekawym kierunkiem poszukiw ań mogłoby być wy­

odrębnienie właściwości cha­

rakteryzujących się dużym po­

w iązaniem pomiarów, co po­

zwoliłoby na pominięcie badań niektórych z nich. Wyniki opi­

sane w [9] pozwalają mieć na­

dzieję, że ten kierunek mógłby by ć ź ró d łe m z n a cz n y c h oszczędności w przeprowadzo­

nych badaniach wstępnych.

Drugi kierunek poszuki­

wań m ógłby polegać na do­

kładniejszym poznaniu posta­

ci funkcji użytych do wyznacza­

nia ograniczeń, co mogłoby do­

prowadzić do rozważania nie­

pełnych modeli kwadratowych i w rezultacie do zmniejszenia liczby estym ow anych w spół­

czynników w ystępujących w tych funkcjach. Pozwoliłoby to na zm niejszenie liczby bada­

nych mieszanek. Oba te kierun­

ki wymagają jednak szerszych doświadczeń wynikają­

cych z projektowania wielu mieszanek.

Oprócz opisanego przykładu zastosowania, po­

wyższa m etoda była jeszcze sprawdzona przy projek­

towaniu dwóch dodatkow ych mieszanek. We wszyst­

kich przypadkach otrzym ano mieszanki wyraźnie tań­

sze od wcześniej produkowanych, jednakże z różnych

Literatura

7. Arczew ska W.: Optymalizacja sympleksowych p la ­ nów czynnikowych do wyznaczania modeli mate-

TOM 5 maj - czerwiec 2001 r. S fa tó u n e n y nr 2

matycznych właściwości mieszanin. Rozprawa dok­

torska. IBS PAN, Warszawa 1988

2. Arczewska W, Kowalska E., Nahorski Z , Chabow- ski Z , Wasilewski Z : Optimizacja i upravlene v kiberneticzeskih sistemah. M ateriały z polsko-buł­

garskiego sympozjum “Optimizacja svojstv rezino- vyh sm esej s identifikacjej o g raniczenij”. W: Soko­

łowski J.f Stachurski A. (red.).. IBS PAN, Warsza­

wa 1986, ss. 104-114

3. Fedorov W. W : Teoria optim alnogo eksperimenta.

Izd. Nauka, M oskwa 1971

4. Findeisen W., Szym anowski J., Wierzbicki A.: Teo­

ria i m etody obliczeniow e optym alizacji. Wyd.2.

PWN, Warszawa 1980

5. K acprzyński B.: Planowanie eksperymentów. Pod­

stawy matematyczne. WNT, Warszawa 1974 6. M ańczak K.: Technika planow ania eksperymentu.

WNT, Warszawa 1976

7. Polański Z : Planowanie doświadczeń w technice.

PWN, Warszawa 1984

8. Rosen J.B .: The gradient projection method fo r non­

linear programming. Part I, II, J. Soc. Indust, and Appl. Math. 1960, 8, i 1961, 9

9. Wasilewski Z , Nahorski Z : Zastosowanie analizy czynnikowej do badania zależności między w łaści­

wościami mieszanek gumowych. Elastom ery 2000, 4, nr 5, 26

I