Procesy stochastyczne 8. Procesy z czasem ciągłym — zadania do samodzielnego rozwiązania

Procesy stochastyczne

8. Procesy z czasem ciągłym — zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 8.1 (P., Ex. 2.4-2.8 p. 26) Proces stochastyczny (Xt) jest zdefiniowany wzorem a) X_t= Ae^At,

b) X(t) = A cos(πt),

gdzie A i B są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (0, σ²). Znajdź wartość oczekiwaną następujących zmiennych losowych:

1. max_0¬t¬1X(t), 2. max_0¬t¬1|X(t)|, 3. ^R₀¹X(t) dt, 4. ^R₀¹X²(t) dt.

Zad. 8.2 (P. P., Zad. 1 str. 355) Proces stochastyczny (X_t) określamy następująco:

X_t= At²+ B, t ­ 0, gdzie (A, B) jest dwuwymiarową zmienną losową o rozkładzie

P (A = 1, B = 0) = P (A = −1, B = 0) = P (A = 0, B = 0) = P (A = 0, B = 1) = 1 4. Znajdź wartość średnią, kowariancję, wariancję, trajektorie i rozkłady jednowymiarowe pro- cesu (X_t). Oblicz P (X_t< 0). Czy (X_t) jest procesem o przyrostach niezależnych?

Zad. 8.3 (P. P., Zad. 3 str. 355) Proces stochastyczny jest określony następująco:

X = (At + B, t ­ 0),

gdzie dwuwymiarowy wektor losowy (A, B) ma rozkład jednostajny na prostokącie o bokach równoległych do osi układu współrzędnych. Czy X ma przyrosty niezależne?