21.06.2017 r. Imi¦: Nazwisko:
Egzamin nr albumu:
Nazwisko prowadz¡cego ¢wiczenia:
Zadania s¡ równo punktowane. Kolejno±¢ rozwi¡zywania dowolna. Rozwi¡zania nale»y redagowa¢
starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozumowanie. Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi). Dodatkowo, na karcie zada« wpisz wyniki.
Czas rozwi¡zywania - 90 min.
1. Wyznacz punkty stacjonarne oraz ekstrema lokalne funkcji h: R
3→ R danej wzorem poni»ej.
h(x, y, z) = x
3+ y
3− 3y
2x + z
3y + z
3.
Wskazówka: W jednym z punktów macierz drugiej pochodnej nie decyduje, czy jest tam ekstremum. eby to rozstrzygn¡¢ obetnij funkcj¦ np. do prostej {y = z = 0}.
min. lok. w: max. lok. w: brak ekstremum w:
2. Wyznacz ekstrema lokalne warunkowe funkcji F (x, y) = 2x
3+ 2x przy warunku x
2+ y
2= 1 .
min. lok. war. w: max. lok. war. w:
3. Dane jest odwzorowanie u: X → Y o wzorze u(x, y) =
x
3y, x
y
, gdzie X = {x 6= 0 ∧ y 6= 0} oraz Y = {xy > 0}.
a) Zbadaj, gdzie u NIE jest lokalnie odwracalne. Odpowied¹:
b) Zbadaj, czy u jest globalnie odwracalne.
c) Korzystaj¡c ze wzoru na pochodn¡ odwzorowania odwrotnego wyznacz D(u
−1)(4, 4) . D(u
−1)(4, 4) =
4. Dane s¡ funkcje f(x) = x
2e
2xi g(x) = arctg(x) · sin(−x).
a) Dla obu podaj 3 pierwsze niezerowe wyrazy rozwini¦cia w szereg Taylora w x
0= 0 .
f (x) ≈ g(x) ≈
b) Korzystaj¡c z rozwini¦¢ wyznacz granic¦ lim
x→0
g(x) + x
2f (x) − x
2=
5. Zbadaj, czy szereg jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, warunkowo czy rozbie»ny:
a)
+∞
X
n=7
2 + 3 ln(n)
n(n
2+ 1)
nb)
+∞
X
n=7