• Nie Znaleziono Wyników

Zadania s¡ równo punktowane. Kolejno±¢ rozwi¡zywania dowolna. Rozwi¡zania nale»y redagowa¢

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Zadania s¡ równo punktowane. Kolejno±¢ rozwi¡zywania dowolna. Rozwi¡zania nale»y redagowa¢"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

21.06.2017 r. Imi¦: Nazwisko:

Egzamin nr albumu:

Nazwisko prowadz¡cego ¢wiczenia:

Zadania s¡ równo punktowane. Kolejno±¢ rozwi¡zywania dowolna. Rozwi¡zania nale»y redagowa¢

starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozumowanie. Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi). Dodatkowo, na karcie zada« wpisz wyniki.

Czas rozwi¡zywania - 90 min.

1. Wyznacz punkty stacjonarne oraz ekstrema lokalne funkcji h: R

3

→ R danej wzorem poni»ej.

h(x, y, z) = x

3

+ y

3

− 3y

2

x + z

3

y + z

3

.

Wskazówka: W jednym z punktów macierz drugiej pochodnej nie decyduje, czy jest tam ekstremum. ›eby to rozstrzygn¡¢ obetnij funkcj¦ np. do prostej {y = z = 0}.

min. lok. w: max. lok. w: brak ekstremum w:

2. Wyznacz ekstrema lokalne warunkowe funkcji F (x, y) = 2x

3

+ 2x przy warunku x

2

+ y

2

= 1 .

min. lok. war. w: max. lok. war. w:

3. Dane jest odwzorowanie u: X → Y o wzorze u(x, y) =

 x

3

y, x

y



, gdzie X = {x 6= 0 ∧ y 6= 0} oraz Y = {xy > 0}.

a) Zbadaj, gdzie u NIE jest lokalnie odwracalne. Odpowied¹:

b) Zbadaj, czy u jest globalnie odwracalne.

c) Korzystaj¡c ze wzoru na pochodn¡ odwzorowania odwrotnego wyznacz D(u

−1

)(4, 4) . D(u

−1

)(4, 4) =

4. Dane s¡ funkcje f(x) = x

2

e

2x

i g(x) = arctg(x) · sin(−x).

a) Dla obu podaj 3 pierwsze niezerowe wyrazy rozwini¦cia w szereg Taylora w x

0

= 0 .

f (x) ≈ g(x) ≈

b) Korzystaj¡c z rozwini¦¢ wyznacz granic¦ lim

x→0

g(x) + x

2

f (x) − x

2

=

5. Zbadaj, czy szereg jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, warunkowo czy rozbie»ny:

a)

+∞

X

n=7

2 + 3 ln(n) 

n

(n

2

+ 1)

n

b)

+∞

X

n=7

(−1)

n

n

3

n

4

+ 2n

3

− 3

Powodzenia!

Cytaty

Powiązane dokumenty

Miara  zadania do samodzielnego

Czy funkcja f jest mierzalna wzgl¦dem σ-algebry generowanej przez

Caªkowanie ci¡gów i szeregów funkcyjnych  zadania do samodzielnego

Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi)..

Uzasadnij ĪHSROH trapezu ABCD i pole WUyMNąWDAFD VąUyZQH.

Zad. 1.6 Dziesi¦ciu podró»nych, w tym czterech m¦»czyzn, wsiada losowo do o±miu wa- gonów. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e m¦»czy¹ni wsi¡d¡ do ró»nych wagonów o

Zad. 1.4 W sklepie znajduje si¦ 20 komputerów. W±ród nich jest 15 nowych oraz 5 odnowionych, przy czym na pierwszy rzut oka s¡ one nierozró»nialne. Sze±¢ kompu- terów

[r]