Zadania 1-5 punktowane są jednakowo - po 10 punktów. Za poprawne rozwiązanie zadania 6 ∗ można dostać 15 punktów.

10.VI.2005 r.

Kolokwium nr 2 z Analizy matematycznej I Czas rozwiązywania - 90 min.

Zadania 1-5 punktowane są jednakowo - po 10 punktów. Za poprawne rozwiązanie zadania 6 ^∗ można dostać 15 punktów.

Należy rozwiązać cztery spośród sześciu zadań.

1. Zbadaj ekstrema lokalne funkcji:

f (x, y) = x ³ + y ³ − 3axy w zależności od parametru a ∈ R.

2. Oblicz:

n→∞ lim

Z ∞ 1

cos e ^πnx

x ² + nx dx

Uwaga: Podaj dokładnie z jakiego twierdzenia korzystasz, uzasadnij dokładnie poprawność rozumowania.

3. Niech A = {(x, y) ∈ R ² : x ² < y < 2x ² ∧ 2y ² < x < 4y ² }. Oblicz całki:

a)

ZZ

A

y x ² dxdy b)

Z Z

A

f (x, y)dxdy gdzie:

f (x, y) =

( 0 jeśli (x, y) ∈ Q + × Q,

y

x

w przeciwnym przypadku.

4. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach:

x = y ² , z = x ² + y ² , x = 1, z = 0. Wykonaj odpowiedni rysunek.

5. Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Dla każdego A ⊂ X kładziemy:

µ(A) =

( 0 jeśli zbiór A jest co najwyżej przeliczalny, +∞ jeśli zbiór A jest nieprzeliczalny.

Czy funkcja ta jest miarą na σ-ciele wszystkich podzbiorów X?

6* Niech (f _n ) będzie ciągiem funkcji rzeczywistych ciągłych określonych na R. Wykaż, że borelowskie są zbiory:

a) A = {x ∈ R : lim ^n→∞ f n (x) = 1};

b) B = {x ∈ R : f n (x) jest zbieżny do granicy skończonej}.

Uwaga: w punkcie b) pomocne może być skorzystanie z zupełności przestrzeni R.

Powodzenia!