METODA REDUKCJI CZASU REALIZACJI LINIOWYCH OBIEKTÓW BUDOWLANYCH*

(1)

ISSN 2083-8611 Nr 241 · 2015 Informatyka i Ekonometria 3

Piotr Jaśkowski Politechnika Lubelska

Wydział Budownictwa i Architektury Katedra Inżynierii Procesów Budowlanych p.jaskowski@pollub.pl

METODA REDUKCJI CZASU REALIZACJI LINIOWYCH OBIEKTÓW BUDOWLANYCH

^*

Streszczenie: Przedsięwzięcia budowlane często obejmują swym zakresem roboty powta- rzane na częściach obiektów. Proces budowy tych obiektów jest zazwyczaj dzielony na mniejsze elementy powierzane jednostkom organizacyjnym. Stosowaną w praktyce formą graficzną harmonogramów takich przedsięwzięć są cyklogramy. Najczęściej przyjmowa- nym kryterium ich optymalizacji jest minimalizacja czasu wykonania. Również w trakcie realizacji przedsięwzięć, w przypadku wystąpienia zakłóceń, jest konieczne podjęcie dzia- łań prowadzących do redukcji czasu realizacji pozostałych zadań. Najczęściej stosowane metody to: praca w godzinach nadliczbowych, alokacja dodatkowych zasobów lub reloka- cja zasobów zaangażowanych. W artykule rozważany jest problem doboru tych działań w celu redukcji czasu realizacji przedsięwzięcia liniowego pod kątem minimalizacji zwią- zanych z nimi kosztów. Opracowano model matematyczny zagadnienia. Sposób rozwiąza- nia problemu przedstawiono na przykładzie.

Słowa kluczowe: projektowanie realizacji przedsięwzięć liniowych, optymalizacja har- monogramów, programowanie liniowe.

Wprowadzenie

Obiekty budowlane ze względu na układ przestrzenny klasyfikuje się na dwie kategorie: obiekty kubaturowe (np. budynki mieszkalne i użyteczności publicznej) oraz liniowe (np. tunele, drogi, rurociągi i sieci instalacji). Do harmonogramowania wykonania obiektów liniowych – ze względu na ich specyfikę – są rozwijane odmienne metody.

* Wyniki prac były finansowane ze środków statutowych przyznanych przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego (S/63/2015).

Sławomir Biruk Politechnika Lubelska

Wydział Budownictwa i Architektury Katedra Inżynierii Procesów Budowlanych s.biruk@pollub.pl

(2)

Podstawowym celem optymalizacji harmonogramów ich realizacji jest minimalizacja planowanego czasu wykonania. Również w fazie realizacji przed- sięwzięć budowlanych wykonawca w ramach kierowania operatywnego musi podejmować działania w celu redukcji czasu i niwelowania ujemnego wpływu zjawisk losowych. Jeżeli przebieg realizacji znacznie różni się od przyjętego harmonogramu z ustalonym terminem dyrektywnym, konieczna jest jego aktualizacja.W sytuacji gdy na podstawie dotychczasowego postępu robót można wnioskować o trudnościach w dotrzymaniu terminu dyrektywnego, jest konieczne wprowadzenie działań skracających czas realizacji przedsięwzięcia. Zastosowanie takich działań można rozważać również na etapie harmonogramowania przed- sięwzięcia – przed przystąpieniem do jego realizacji. Bakry, Moselhi i Zayed [2014] zaliczają do nich m.in. pracę w nadgodzinach, wydłużony tydzień pracy, wprowadzenie systemu pracy zmianowej bądź zatrudnienie brygad lub maszyn o większej wydajności pracy. Skrócenie czasu wykonania procesów (lub frag- mentów ciągów) decydujących o terminie zakończenia przedsięwzięcia jest możliwe również poprzez alokację dodatkowych zasobów, dotychczas angażo- wanych do realizacji procesów niekrytycznych (dokładniej – zgodnie z termino- logią stosowaną w harmonogramowaniu przedsięwzięć liniowych – procesów nienależących do ciągów kontrolnych [Harmelink i Rowings, 1998]).

Działania te wymagają dodatkowych nakładów finansowych. Ze względu na specyfikę robót liniowych, efekt w postaci skrócenia czasu wykonania przedsię- wzięcia może być uzyskany poprzez przerwanie ciągłości realizacji niektórych procesów lub zaangażowanie mniej wydajnych zasobów, co umożliwia wcześniej- sze rozpoczęcie procesów następujących po nich w kolejności technologicznej.

W artykule rozważany jest problem doboru optymalnych działań z uwzględ- nieniem ich kosztów i efektów w postaci skrócenia czasu realizacji przedsię- wzięcia liniowego. Dotychczas opracowane metody iteracyjne rozwiązania tego problemu, prezentowane w literaturze [Bakry, Moselhi i Zayed, 2014; Hassanein i Moselhi, 2005], nie gwarantują uzyskania wyników optymalnych.

1. Specyfika organizacji robót liniowych w budownictwie

Stosowanie właściwej metody planowania i kontroli zwiększa prawdopo- dobieństwo realizacji przedsięwzięcia w założonych terminach, zgodnie z przy- jętym budżetem i zgodnie z wymaganiami jakości [Mattila i Abraham, 1998].

Specyfika przedsięwzięć liniowych (powtarzalność prowadzonych robót na kolejnych działkach roboczych) spowodowała powstanie oraz rozwój nowych technik wspomagających projektowanie ich realizacji.

(3)

Wykorzystanie przy projektowaniu realizacji obiektów liniowych tradycyjnie stosowanych w budownictwie metod sieciowych i odzwierciedlanie planowanego przebiegu ich wykonania za pomocą harmonogramów belkowych (wykresów Gantta) jest krytykowane w literaturze m.in. ze względu na brak możliwości uwzględnienia warunku ciągłości pracy brygad roboczych oraz maszyn budowlanych, nawet gdy są stosowane metody wyrównywania zasobów [El-Rayes i Moselhi, 1998]. Russell i Wong [1993] krytykują przyjmowanie kryterium ciągłości wykorzystania zasobów jako kryterium nadrzędnego, ale powinno być brane pod uwagę ze względu na koszty przestojów w pracy zasobów.

Przedsięwzięcia budowlane o charakterze liniowym w naturalny sposób są dzielone na mniejsze zadania, a granicę podziału części obiektów stanowią węzły komunikacyjne, studnie rewizyjne czy też połączenia rur [Lutz i Hijazi, 1993;

Moselhi i Hassanein, 2003].

Czasy wykonania robót na każdym odcinku mogą być różne ze względu na odmienne warunki realizacyjne, np. występowanie poszerzeń na łukach drogi lub zmienność warunków geologicznych. Zmienna wydajność powoduje możli- wość wystąpienia przerw w pracy brygad roboczych, zmniejszenie stopnia wykorzystania sprzętu budowlanego i może przyczynić się do wzrostu kosztów oraz wydłużenia czasu realizacji całego przedsięwzięcia.

Planowany przebieg realizacji przedsięwzięcia o charakterze liniowym najwygodniej jest przedstawić w postaci harmonogramu o dwóch osiach współ- rzędnych, z których jedna odwzorowuje czas, a druga lokalizację kolejnych sekcji − odcinków drogi, tunelu czy rurociągu. Na rys. 1 przedstawiono przykład takiego harmonogramu.

Rys. 1. Przykład cyklogramu robót liniowych

czas sekcja

1 1

2 3 4

5 2 3 4 5 7

5

6

7

8 9

10

(4)

Procesy 1 i 2 (np. układanie nawierzchni betonowej, zagęszczanie podbudowy) są realizowane na wszystkich odcinkach drogi z tą samą wydajnością. Jest to przykład zastosowania metody pracy równomiernej, wykonywanej na działach jednotypowych (o jednakowej wielkości). Proces 3 jest realizowany na wszystkich działkach, lecz z wydajnością mniejszą niż w przypadku procesów 1 i 2.

Poprzez właściwy dobór składu brygady roboczej lub zmianę wyposażenia tech- nicznego można wyrównać czasy wykonania tych procesów na wszystkich działkach (sekcjach, odcinkach). W przypadku zmiennej ilości robót na po- szczególnych odcinkach (mogą one wynikać np. z odmiennych warunków grun- towych, zmiany przekroju poprzecznego drogi) zmienia się także czas wykonania robót na poszczególnych sekcjach – proces 4 na rys. 1. Proces 5 jest realizowany równocześnie z dwóch kierunków przez dwie brygady o różnej wydajności.

Roboty skupione (punktowe) są prowadzone tylko w jednej lokalizacji (granica sekcji 3 i 4 – rys. 1) – np. wykonanie przepustu drogowego lub innego obiektu inżynierskiego. Obiekt taki jest naturalną granicą podziału na sekcje robót liniowych. Proces 7 odwzorowuje roboty prowadzone tylko na wybranych sekcjach (np. koryto drogi nie jest wykonywane w obrębie przeprawy mostowej). Częstym przypadkiem jest wykonywanie robót danego typu tylko w obrębie jednej sekcji (np. przęsło mostu) – proces 8 na rys. 1. Proces 9 to roboty typu powierzchnio- wego. Mogą być realizowane jednocześnie na kilku odcinkach (sekcjach) przez pewien okres budowy (np. montaż ekranów akustycznych). Mogą być także dopuszczalne przerwy w realizacji robót (proces 10 na rys. 1).

Projektowanie realizacji robót liniowych wymaga zachowania odpowied- nich zależności pomiędzy terminami rozpoczynania i kończenia robót. Na rys. 2 przedstawiono sposób odwzorowania przebiegu wykonania trzech procesów.

Proces B może rozpocząć się z opóźnieniem f_ab dni w stosunku do terminu roz- poczęcia procesu A na każdej lokalizacji robót.

Graniczne zbliżenie procesów na końcu ostatniego odcinka robót umożli- wia wcześniejsze rozpoczęcie procesu B i realizowanie go z mniejszą wydajno- ścią (tak jak proces B1 na rys. 2). Zaangażowanie maszyn budowlanych o niż- szej wydajności może prowadzić do zmniejszenia kosztów realizacji tych robót.

Krytyczne zbliżenie pomiędzy procesami B i C występuje na początku pierwszego odcinka (różnica terminów realizacji tych procesów na początku sekcji 1 jest równa minimalnej wielkości opóźnienia f_bc), co umożliwia wcześniejsze rozpoczęcie procesu C (tak jak proces C1) i w efekcie skrócenie terminu realizacji całego przedsięwzięcia przy jednoczesnym zmniejszeniu kosztów jego realizacji.

(5)

Rys. 2. Harmonogram realizacji trzech procesów liniowych (przykład – opis w tekście)

Rys. 3. Harmonogram realizacji dwóch procesów liniowych (przykład – opis w tekście) Odmienną sytuację przedstawiono na rys. 3. Krytyczne zbliżenie pomiędzy procesami A i B występuje na końcu ostatniego odcinka obiektu. Skrócenie czasu realizacji procesu poprzedzającego A (z przebiegiem wykonania jak proces A1) umożliwia wcześniejsze rozpoczęcie następnika B (jak B1) i skrócenie czasu realizacji przedsięwzięcia.

czas sekcja

1

A B C

2 3 4 5

f_ab

f_bc

f_bc czas realizacji

przedsięwzięcia skrócony czas

realizacji przedsięwzięcia

B1 C1

czas sekcja

1

A1 B

czas realizacji przedsięwzięcia skrócony czas

realizacji przedsięwzięcia 2

3 4 5

f_ab f_ab

B1 A

(6)

Klasyczna metodyka planowania przedsięwzięć liniowych jest kojarzona głównie ze sposobem graficznym przedstawiania przebiegu realizacji, co znacznie ogranicza jej popularność oraz spektrum zastosowań. Stąd podjęto próby matematycznej formalizacji opisu problemów ich harmonogramowania.

Harmelink i Rowings [1998] opracowali metodę wyznaczania ciągu kry- tycznego przedsięwzięcia liniowego, przez analogię do metody CPM, definio- wanego jako ciąg czynności, które muszą być zrealizowane zgodnie z harmono- gramem, aby ukończyć planowane przedsięwzięcie w zaplanowanym terminie.

W harmonogramie uwzględnione mogą być czynności liniowe, powierzchniowe i miejscowe. W przeciwieństwie do metody CPM ciąg kontrolny mogą tworzyć części procesów, co lepiej odwzorowuje specyfikę przedsięwzięć liniowych.

W przypadku stosowania metody CPM do planowania przedsięwzięć liniowych, procesy ciągłe są dzielone na odcinki, co powoduje, że ścieżka krytyczna prze- chodzi przez arbitralnie wybrane punkty podziału. Wyznaczenie ciągu kontrol- nego jest istotne dla projektanta, bowiem pozwala na obliczenie zapasów czasu, analizę i optymalizację pracy zasobów odnawialnych (brygad i maszyn). Podob- ną koncepcję identyfikacji czynności krytycznych na działkach niejednorodnych (o różnej wielkości) przedstawili Harris i Ioannou [1998].

Mattila i Abraham [1998] zaprezentowali metodę wyrównywania zasobów w przedsięwzięciach liniowych, wykorzystującą ideę ciągów kontrolnych. Mo- del programowania liniowego binarnego został rozwiązany za pomocą pakietu LINDO. Wyrównanie zasobów jest możliwe poprzez zmianę wydajności brygad roboczych realizujących procesy poza ciągami kontrolnymi. Ten sam problem analizował Georgy [2008], stosując do optymalizacji algorytm genetyczny.

El-Rayes i Moselhi [1998] opracowali dwuetapowy algorytm iteracyjny planowania przedsięwzięć liniowych, minimalizujący czas przestojów w pracy brygad, uwzględniający ograniczoną dostępność zasobów – w ustalonych oknach czasowych. Ograniczenie to jest szczególnie ważne w przypadku, gdy wykonawca wykonuje równocześnie roboty o podobnym zakresie na kilku placach budów. Roboty na danym odcinku mogą być wykonywane przez jedną z dostęp- nych brygad, których wydajności pracy są różne (inne są czasy wykonania robót przez różne brygady na tym samym odcinku robót).

2. Formalizacja matematyczna problemu

Na każdej działce (niedokończonej sekcji obiektu liniowego) j ( j∈J,

{

^m

}

J = 1, 2,..., ) muszą być zrealizowane powtarzalne procesy rodzaju i, nale- żące do zbioru I =

{

1, 2,...,n

}

. Do realizacji każdego procesu zorganizowano

(7)

odrębną brygadę roboczą lub zestaw maszyn. Kolejność realizacji powtarzal- nych procesów każdego rodzaju na każdej działce j jest określona za pomocą grafu skierowanego G_j = I,A_j z jednym wierzchołkiem początkowym i koń- cowym, w którym I jest zbiorem wierzchołków grafu (tożsamym ze zbiorem rodzajów procesów), a A_j ⊂I×I jest zbiorem łuków łączących wierzchołki grafu (zależności pomiędzy procesami). Zależności między procesami mają charakter relacji kolejnościowych typu: rozpoczęcie procesu b po zakończeniu jego bezpośredniego poprzednika a, lecz nie wcześniej niż po upływie f_a,b dni.

Przy określaniu opóźnienia fa,b należy uwzględnić czas niezbędny na wykonanie procesu a na odcinku równym długości frontu pracy jednostki organizacyjnej realizującej ten proces oraz jednostki realizującej proces następny (b). Pozwoli to uniknąć równoczesnej pracy dwóch brygad na jednym froncie robót i zmniejszenia wydajności ich pracy.

Kolejność działek, na których sukcesywnie jest realizowany proces i, jest określona w postaci permutacji πi

( )

j =ci_,j, a postęp robót na działce – według poczynionych wcześniej ustaleń (zgodnie z kilometrażem lub od końca sekcji do jej początku). Kolejność działki – ze względu na przyjęty sposób formalizacji matematycznej – musi być określona również w przypadku, gdy dany proces nie jest na niej realizowany (przyjęta kolejność nie wpływa na uzyskiwany wynik optymalizacji).

Dla każdego procesu i można określić zbiór W_i wariantów działań, któ- rych celem jest skrócenie realizacji przedsięwzięcia. Zbiory te ujmują również bazowe (ustalone pierwotnie) sposoby wykonania procesów. Wybór wariantów będzie modelowany za pomocą zmiennej binarnej x_i,_j,_w∈

{ }

^0,¹ . Zmienna x_i_,_j_,_w przyjmie wartość 1, jeżeli proces rodzaju i na działce j będzie realizowany wa- riantem w∈W_i, a wartość 0 – w przeciwnym przypadku. Na podstawie danych o pracochłonności robót na działkach roboczych, wydajnościach brygad i maszyn, nakładach rzeczowych oraz cenach czynników produkcji, można określić czas t_i_,_j_,_w oraz koszt k_i_,_j_,_w wykonania procesu rodzaju i na działce j dla każ- dego wariantu w∈W_i. W przypadku gdy dany proces nie jest realizowany na określonej działce, przyjmujemy odpowiedni czas i koszt równe zero (dla wszystkich wariantów). Zmienną określającą czas wykonania robót przez bryga- dę i na działce j oznaczymy jako t_i_,_j.

Optymalne warianty działań (organizacji wykonania procesów na dział- kach) oraz terminy s_i_,_j rozpoczynania procesów i∈ na działkach I j∈ przy J

(8)

ustalonym terminie dyrektywnym T zakończenia przedsięwzięcia można wy- znaczyć, rozwiązując model matematyczny następującej postaci:

∑∑ ∑

∈ ∈ ∈

⋅

=

I

i j JwW

w j i w j i

i

x k z

z: _, _, _, _,

min , (1)

1

0 ₁

1_j = j c _j =

s_, , : _, , (2)

J j I i x

t t

Wi

w

w j i w j i j

i =

∑

⋅ ∀ ∈ ∀ ∈

∈

,

, ,

, , ,

, , (3)

J j I i T t

s_i_,_j + _i_,_j ≤ , ∀ ∈ ,∀ ∈ , (4)

( )

,

, robót postęost samym

takim o i ,

, ,

J j

A b a f

s

s_b _j _a _j _a_b _j

∈

∀

∈

∀

≥

− (5)

( )

, ,

robót

postęost samym

takim o i ,

, ,

, , , ,

J j

A b a f

t s t

s_b _j _b _j _a _j _a _j _a_b _j

∈

∀

∈

∀

≥

−

+ (6)

( )

,

, robót postęost przeciwnym

o i ,

, ,

, , ,

J j

A b a f

t s

s_b _j _a _j _a _j _a_b _j

∈

∀

∈

∀

≥

−

− (7)

( )

∈ ∧ = +1

∀

∈

∀ +

= _i_k _i_k _i_l _i_k

l

i s t i I k l k l J c c

s_, _, _, , , , : , _, _, , (8)

J j I i x

Wi

w w j

i = ∀ ∈ ∀ ∈

∑

∈

,

, ,

, 1 , (9)

{ }

i

w j

i i I j J w W

x_, _, ∈ 0,1, ∀ ∈ , ∀ ∈ ,∀ ∈ , (10)

J j I i

s_i_,_j ≥0, ∀ ∈ , ∀ ∈ . (11) Funkcja celu (1) minimalizuje łączny koszt realizacji przedsięwzięcia (przy ustalonym terminie dyrektywnym jego zakończenia). W terminie 0 rozpoczyna się realizacja procesu pierwszego rodzaju na pierwszej działce, na której będzie on wykonywany – zależność (2). Według zależności (3) jest obliczany czas realizacji każdego procesu na każdej działce. Zakończenie przedsięwzięcia musi nastąpić przed upływem terminu dyrektywnego – zgodnie z nierównością (4).

Terminy rozpoczęcia pozostałych procesów są ustalane na podstawie zależności i o takim samym postępie robót,

i o takim samym postępie

i o przeciwnym postępie robót,

(9)

(5)-(8), z uwzględnieniem kolejności technologicznej wykonania procesów (za- danej grafem G), ustalonego postępu robót na działkach i dopuszczalnych opóź- nień w rozpoczynaniu procesów powiązanych relacjami bezpośredniego poprze- dzania oraz z uwzględnieniem kolejności zajmowania działek przez jednostki organizacyjne (zadanej w postaci permutacji

π

_i

( )

j dla każdego procesu i).

Spełnienie warunku (8) zapewnia ciągłość pracy jednostek organizacyjnych – każda brygada rozpoczyna pracę na kolejnej działce bezpośrednio po zakończe- niu procesu na działce poprzedniej (zgodnie z przyjętą permutacją działek). Dla każdego procesu na działce musi być dokonany wybór dokładnie jednego wariantu działań – równanie (9). Zmienne modelu muszą spełnić warunki brzegowe (10) i (11).

W celu uwzględnienia w modelu procesów skupionych i powierzchniowych, należy uzupełnić warunki (2)-(9) o dodatkowe ograniczenia.

Jeżeli proces skupiony v ma być zrealizowany w czasie t_v po rozpoczęciu procesu u, a przed rozpoczęciem procesu t na granicy działek g i h, wówczas termin jego rozpoczęcia powinien spełnić następujące nierówności:

{

uh ug

}

uv

v s s f

s −max _, , _, ≥ _, , (12)

h t

f t s

s_t_,_h − _v− _v ≥ _u_,_v,gdy jest realizowany odpoczątku działki , (13) g

t f

t s

s_t_,_g − _v− _v ≥ _u_,_v,gdy jest realizowany odkońcadziałki , (14)

∑

∈

⋅

=

Wv

w

w v w v

v t x

t _, _, , (15)

gdzie:

w

tv_, – czas realizacji procesu v przy zastosowaniu wariantu w,

w

xv_, – zmienna binarna modelująca decyzję o wyborze wariantu działań dla procesu v.

W przypadku procesów powierzchniowych (realizowanych przez pewien okres na jednej lub kilku działkach równocześnie) podobne zależności należy wprowadzić dla miejsc (lokalizacji) granic tych działek.

(10)

3. Przykład

W tab. 1 zestawiono dane o kolejności procesów jeszcze niezrealizowanych na czterech działkach (sekcjach) przykładowego obiektu liniowego, niezbędne do budowy grafu modelującego przedsięwzięcie.

Procesy na działkach są realizowane zgodnie z kilometrażem – wyjątek stanowi proces 3, którego wykonanie rozpoczyna się w miejscu zakończenia sekcji 4, a kończy na początku sekcji 3 (zgodnie z permutacją podaną w tab. 1).

Tabela 1. Kolejność realizacji procesów powtarzalnych (przykład)

Proces a

Numer procesu bezpośrednio poprzedzającego

b

fa,b

Permutacja działek πa(j)=ca,j

j=1 j=2 j=3 j=4

1 — — 1 2 3 4

2 1 5 1 2 (3) (4) 3 1 5 (4) (3) 2 1

4 2 10 1 2 3 4

3 10 1 2 3 4

5 4 5 1 2 3 4

Na granicy działek 2 i 3 będzie realizowany proces skupiony 6 (np. prze- prawa mostowa) w czasie 10 dni przez podwykonawcę (czas ten, ze względu na wcześniej zawarty kontrakt, nie może być skrócony). Jego wykonywanie może rozpocząć się bezpośrednio po zakończeniu procesu 2 i musi zakończyć się przed wykonaniem procesu 3. W tab. 2 i 3 przedstawiono dane o czasach i kosz- tach wykonania poszczególnych procesów na działkach dla wariantu bazowego oraz dwóch rozważanych wariantów działań, zidentyfikowanych w celu skróce- nia czasu realizacji przedsięwzięcia z 66 (rys. 4) do 55 dni.

Tabela 2. Czasy ti,j,w wykonania procesów na poszczególnych działkach dla analizowanych wariantów działań (przykład) [dni]

i

Wariant bazowy w=1

Praca w nadgodzinach w=2

Alokacja dodatkowych zasobów w=3

j=1 j=2 j=3 j=4 j=1 j=2 j=3 j=4 j=1 j=2 j=3 j=4

1 5 7 5 5 4 6 4 4 3 5 3 3 2 4 5 0 0 3 4 0 0 2 3 0 0 3 0 0 4 4 0 0 3 3 0 0 2 2 4 8 10 8 8 6 8 6 6 7 8 7 7 5 6 8 6 6 5 7 5 5 4 6 4 4

(11)

Tabela 3. Koszty ki,j,w wykonania procesów na poszczególnych działkach dla analizowanych wariantów działań (przykład) [j. pieniężne]

i

Wariant bazowy w=1

Praca w nadgodzinach w=2

Alokacja dodatkowych zasobów w=3

j=1 j=2 j=3 j=4 j=1 j=2 j=3 j=4 j=1 j=2 j=3 j=4

1 10 14 10 10 11 15 11 11 12 16 12 12 2 12 13 0 0 13 15 0 0 15 16 0 0 3 0 0 12 12 0 0 13 13 0 0 15 15 4 20 24 20 20 22 28 22 22 24 31 24 24 5 12 15 12 12 13 16 13 13 16 19 16 16

Model matematyczny problemu w przykładzie rozwiązano, stosując program Lingo 14.0. W rozwiązaniu optymalnym (tab. 4) uzyskano minimalny koszt realizacji przedsięwzięcia, równy 239 j.p. (11 j.p. więcej niż w wariancie bazowym).

Proces 1 powinien być na wszystkich działkach realizowany przy zastosowaniu wariantu 3 – z alokacją dodatkowych zasobów. Praca na działce 4 przy wykonywa- niu procesów 3 i 4 powinna być realizowana na wydłużonej zmianie roboczej.

Optymalny harmonogram realizacji przedsięwzięcia przedstawiono na rys. 5.

Tabela 4. Wartości zmiennych decyzyjnych w rozwiązaniu optymalnym (pominięto zmienne binarne z wartością 0)

Zmienna Wartość Zmienna Wartość Zmienna Wartość

z 239 t1,1 3 s1,1 0

x2,1,1 1 t1,2 5 s1,2 3

x2,2,1 1 t1,3 3 s1,3 8

x2,3,1 1 t1,4 4 s1,4 11

x2,4,1 1 t2,1 4 s2,1 5

x3,1,1 1 t2,2 5 s2,2 9

x3,2,1 1 t2,3 0 s2,3 14

x3,3,1 1 t2,4 0 s2,4 14

x3,4,1 1 t3,1 0 s3,1 28

x4,1,1 1 t3,2 0 s3,2 28

x4,2,1 1 t3,3 4 s3,3 24

x5,1,1 1 t3,4 4 s3,4 20

x5,2,1 1 t4,1 8 s4,1 20

x5,3,1 1 t4,2 10 s4,2 28

x5,4,1 1 t43 6 s4,3 38

x1,4,2 1 t44 6 s4,4 44

x4,3,2 1 t51 6 s5,1 29

x4,4,2 1 t52 8 s5,2 35

x1,1,3 1 t53 6 s5,3 43

x1,2,3 1 t54 6 s5,4 49

x1,3,3 1 t6 10 s6 14

(12)

Należy zauważyć, że procesy 4 i 5 realizowane na działkach 1 i 2, jako niekry- tyczne fragmenty ciągów, mogą być realizowane w czasie dłuższym niż w wariancie bazowym, dzięki czemu można zredukować koszty realizacji przedsięwzięcia.

Z tego względu takie warianty działań trzeba również uwzględniać w przepro- wadzanych analizach.

Rys. 4. Harmonogram realizacji przedsięwzięcia w przykładzie (wariant bazowy;

czas realizacji – 66 dni)

Rys. 5. Optymalny harmonogram realizacji przedsięwzięcia w przykładzie (czas realizacji – 55 dni)

czas sekcja

1 2 3 4

proces 1

proces 2

proces 3 proces 4

proces 5 proces 6

10 20 30 40 50 60 70

0

czas sekcja

1 2 3 4

proces 1

proces 2

proces 3 proces 4

proces 5 proces 6

10 20 30 40 50 60 70

0

(13)

Podsumowanie

Specyfika realizacji budowlanych obiektów liniowych, a w szczególności dążenie do zapewnienia ciągłości pracy brygad realizujących procesy w kolejnych lokalizacjach, wymusza stosowanie odmiennych metod harmonogramowania, niż stosowanych w przypadku obiektów kubaturowych (np. klasyczna me- toda CPM nie pozwala na optymalizację pracy zasobów i uwzględnienie ich dostępności). Ich celem jest zapewnienie najlepszych efektów harmonizacji pracy zasobów w postaci redukcji kosztów przestojów oraz przerzutów sił i środków, a także równomiernego oraz pełnego wykorzystania zdolności produkcyjnej brygad i maszyn. W porównaniu do budowy obiektów kubaturowych, przedsię- wzięcia liniowe obejmują swoim zakresem z reguły mniejszą liczbę procesów, co przyczynia się do zmniejszenia złożoności problemów harmonogramowania oraz umożliwia stosowanie dokładnych algorytmów optymalizacyjnych do roz- wiązywania ich modeli matematycznych. Oba rodzaje przedsięwzięć w jedna- kowym stopniu są narażone na negatywne skutki oddziaływania czynników ryzyka, charakterystycznych dla produkcji budowlanej. W szczególności warunki atmosferyczne, awaryjność maszyn, nierozpoznane warunki gruntowe itp. mogą być źródłem opóźnień realizacyjnych. W artykule zaproponowano model zagadnienia doboru optymalnych działań, których celem jest skrócenie czasu realizacji przedsięwzięcia i aktualizacja terminów wykonania zadań. Model ten – opraco- wany dla problemów praktycznych – może być rozwiązany za pomocą istnieją- cych algorytmów programowania liniowego mieszanego i dostępnych progra- mów komputerowych (solverów).

Literatura

Bakry I., Moselhi O., Zayed T. (2014), Optimized Acceleration of Repetitive Construction Projects, „Automation in Construction”, No. 39.

El-Rayes K., Moselhi O. (1998), Resource-driven Scheduling of Repetitive Activities,

„Construction Management and Economics”, No. 16(4).

Georgy M.E. (2008), Evalutionary Resource Schedule for Linear Project, „Automation in Vonstruction”, No. 17.

Harmelink D.J, Rowings J.E. (1998), Linear Scheduling Model: Development of Controlling Activity Path, „Journal of Construction Engineering and Management”, No. 4(124).

Harris R.B., Ioannou P.G. (1998), Scheduling Projects with Repeating Activities, „Journal of Construction Engineering and Management”, No. 4(124).

(14)

Hassanein A., Moselhi O. (2005), Accelerating Linear Projects, „Construction Management and Economics”, No. 23.

Lutz J.D., Hijazi A. (1993), Planning Repetitive Construction: Current Practice, „Con- struction Management and Economics”, No. 11.

Mattila K.G., Abraham D.M. (1998), Resource Leveling of Linear Schedules Using Integer Linear Programming, „Journal of Construction Engineering and Management”, No. 3(124).

Moselhi O., Hassanein A. (2003), Optimized Scheduling of Linear Projects, „Journal of Construction Engineering and Management”, No. 129(6).

Russell A.D., Wong W.C.M. (1993), New Generation of Planning Structures, „Journal of Construction Engineering and Management”, No. 119(2).

METHOD FOR REDUCTION OF CONSTRUCTION LINEAR PROJECTS DURATION

Summary: Construction projects often involve repetitive processes conducted in similar units. The project’s scope is divided into simple processes to be conducted by particular gangs of specialized workers or machine sets. Schedules of such projects are usually presented graphically by two dimension coordinate system diagram. The main objective of schedule optimization is a project duration minimization. As the project proceeds, works may occur to be conducted not in accordance with the schedule, making the ex- pected completion date seriously different from the as-planned date. In such cases, works need to be rescheduled, which usually means that durations of operations need also to be reduced. This can be achieved by working overtime, employing new resources or relo- cating resources from less important to critical tasks. The paper investigates into the problem of selecting duration reducing measures for a linear project minimizing cost of these measures. The authors put forward a mathematical model of the problem and illus- trate its principle of operation with an example.

Keywords: planning linear projects, schedule optimization, linear programming.