Cwiczenie 1. Zbada´ ´ c, czy odwzorowanie u 7→ σ(u) = u 99 jest permutacj¸ a zbioru:

ALGEBRA I R

Uk lady r´ owna´ n i ostatnie rzeczy Javier de Lucas

Cwiczenie 1. Zbada´ ´ c, czy odwzorowanie u 7→ σ(u) = u ⁹⁹ jest permutacj¸ a zbioru:

•

√ 1,

•

√ 1,.

Je´sli jest, poda´ c jawny wz´ or na σ ⁻¹ .

Rozwi¸ azanie: (a) σ nie jest injektywne. Wida´ c, ˙ze 1995 i 99 nie s¸ a wzgl¸ednie pierwsze:

obie liczby s¸ a podzielne przez 3. Korzystaj¸ ac z tego, wida´ c, ze e ^2πi/3 ∈

√ 1 i σ(e ^2πi/3 ) = σ(1).

Wi¸ec, σ nie jest injekcj¸ a i nie jest permutacj¸e. Ponadto, wida´ c, ˙ze dany pierwiastki z 1 = e ^i2πk

^/1995 i z 1 = e ^2iπk

^/1995 , gdzie k 1 , k 2 ∈ [0, 1994], to

σ(z ₁ ) = σ(z ₂ ) ↔ 99k ₁ = 99k ₂ + l1995

dla pewnego l ∈ N. Z tego wynika, ˙ze 99(k 1 − k ₂ ) = 1995l. Wi¸ec, 99(k ₁ − k ₂ )/1995 = 33(k ₁ − k ₂ )/665 ∈ N. To si¸e spe lnia dla k 1 = k ₂ + 665. Wi¸ec, σ nie jest injekcj¸ a.

Natomiast, dla (b) σ jest permutacj¸ a. Mamy, ˙ze σ jest injekcj¸ a: dany pierwiastki z ₁ = e ^i2πk

^/1996 i z ₁ = e ^2iπk

^/1996 , gdzie k ₁ , k ₂ ∈ [0, 1995], to

σ(z ₁ ) = σ(z ₂ ) ↔ 99k ₁ = 99k ₂ + l1996

dla pewnego l ∈ N. Z tego wynika, ˙ze 99(k 1 − k ₂ ) = 1996l. Liczby 99 i 1996 s¸ a wzgl¸ednie pierwsze. Zatem, jedyna mo˙zliwo´s´ c jest, ˙ze k 1 − k 2 b¸edzie proporcjonalna do 1996. Natomiast, to niemo˙zliwe poniewa˙z k ₁ − k ₂ ∈ [0, 1995]. Skoro σ jest injekcj¸a, jest surjekcj¸ a i jest permutacj¸ a.

Aby obliczy´ c σ ⁻¹ szukamy liczby ca lkowytej n takiej, ˙ze σ(z ₁ ) ⁿ = z ₁ , ∀z ₁ ∈

√

1.

Wida´ c, ˙ze

k 1 99n = k 1 + 1996l dla ka˙zdego k ₁ , czyli

k 1 (99n − 1) = 1996l.

Mo˙zemy szuka´ c n takiej, ˙ze 99n − 1996l = 1

1

ALGEBRA I R

Ostatnie r´ ownanie mo˙zna rozwi¸ aza´ c za pomoc¸ a algorytmu Euklidesa. Je˙zeli p i q s¸ a liczbami wzgld ¸ymi pierwszymi, to istniej¸ a λ ₁ i λ ₂ takie, ˙ze

λ ₁ p + λ ₂ q = 1.

Jak to obliczy´ c? Korzystamy z przyk ladu. Z algorytmu Euklidesa dla liczb ca lkowitych 1996 = 20 · 99 + 16 → 99 = 6 · 16 + 3 → 16 = 5 · 3 + 1.

Wi¸ec,

16 − 5 · 3 = 1.

Skoro 3 = 99 − 6 · 16 to

1 = 16 − 5(99 − 6 · 16) = 31 · 16 − 5 · 99.

Skoro 16 = 1996 − 20 · 99 to

1 = 31 · (1996 − 20 · 99) − 5 · 99 = 31 · 1996 − 625 · 99.

Wi¸ec, mo˙zemy wybiera´ c n = −625. Wi¸ec, σ ⁻¹ (z) = z ⁻⁶²⁵ . R´ ownowa˙znie, to jest σ ⁻¹ (z) = z ^−625+1996 = z ¹³⁷¹ . 

2