Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział , na którym funkcja f (x) = x 3 + 6x 2 − 15x + 7 jest ściśle malej¸ aca i wypukła.

(1)

Analiza Matematyczna Egzamin Podstawowy

Zestaw B Zadanie 1

Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział , na którym funkcja f (x) = x ³ + 6x ² − 15x + 7 jest ściśle malej¸ aca i wypukła.

Rozwi¸ azanie

Funkcja f (x) jako wielomian stopnia 3 jest ci¸ agła na prostej rzeczywistej (−∞ , ∞).

Istniej¸ a zatem ci¸ agłe pochodne funkcji do rz¸edu trzeciego wł¸ acznie określone na tym przedziale. Funkcja jest ściśle malej¸ aca i wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest układ nierówności

f ⁽¹⁾ (x) < 0 f ⁽²⁾ (x) > 0

f ⁽¹⁾ (x) < 0 ↔ 3(x ² + 4x − 5) < 0 ↔ 3(x + 5)(x − 1) < 0 ↔ (−5 < x < 1) f ⁽²⁾ (x) > 0 ↔ 3(2x + 4) > 0 ↔ (x > −2)

Z rozwi¸zania układu nierówności x ∈ (−2, 1).

Funkcja f (x) jest ściśle malej¸ aca i wypukła na przedziale (−2, 1).

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego prost¸ a y = −x + 4 i parabol¸ a y = x ² − 4x.

Patrz wykres 2.pdf oddzielny zał¸ acznik.

Rozwi¸ azanie

Rozwi¸ azuj¸ ac układ równań

y = −x + 4 y = x ² − 4x

Otrzymujemy punkty wspólne prostej i paraboli (−1, 5), (4, 0).

Zauważmy że pole obszaru zawartego mi¸edzy prost¸ a i parabol¸ a można podzielić na trzy pola P ₁ , P ₂ , P ₃ .

Pole P ₁ dla x ∈ (−1, 0) zawarte jest mi¸edzy dodatni¸ a cz¸eści¸ a prostej i dodatni¸ a gał¸ezi¸ a

(2)

paraboli. St¸ ad jego wartość

|P ₁ | = Z 0

−1

[(−x+4)−(x ² −4x)]dx = Z 0

−1

(4−3x−x ² )dx = −4(−1)−3(−1) ² /2+(−1) ³ /3 = 13/6 Pole P ₂ zawarte w zakresie 0 < x < 4 mi¸edzy prost¸ a i osi¸ a OX jest równe

|P ₂ | = Z 4

0

[(−x + 4) − 0]dx = −(4) ² /2 + 4 · 4 = 8

Pole P 3 zawarte w tym samym zakresie argumentu x mi¸edzy osi¸ a OX i ujemn¸ a gał¸ezi¸ a paraboli.

|P ₃ | = Z 4

0

[0 − (x ² − 4x)]dx = Z 4

0

(−x ² + 4x)dx = −(4) ³ /3 + 4 · 4 ² /2 = 32/3 St¸ ad pole obszaru P zawartego mı¸edzy prost¸ a i parabol¸ a jest równe

|P | = 13

6 + 8 + 32

3 = 125

6 = 20 5 6 .

Uwaga: Zadanie można rozwi¸ azać stosuj¸ ac jeden symbol całki oznaczonej

|P | = Z 4

−1

[(−x+4)−(x ² −4x)]dx = Z 4

−1

(4+3x−x ² )dx = 4·4−4·(−1)+3·4 ² /2−3·(−1) ² /2+

−4 ³ /3 + (−1) ³ /3 = 125

6 = 20 5 6 Zadanie 3

Prosz¸e obliczyć granic¸e

b _n = 3n ² + 2n cos(n) + 1

−4n ² + n + 3 · (−1) ⁿ Rozwi¸ azanie

Do obliczenia granicy wykorzystamy twierdzenie o trzech ci¸ agach.

Przypomnijmy to twierdzenie.

”Jeśli a _n ≤ b _n ≤ c _n dla dostatecznie dużych n i ci¸ agi (a _n ), (b _n ) maj¸ a równe granice, to ci¸ ag b _n też ma granic¸e i zachodz¸ a równości

n→∞ lim a _n = lim

n→∞ b _n = lim

n→∞ c _n ”

Dla dostatecznie dużego n zachodzi nierówność

(3)

3n ² − 2n + 1

−4n ² + n + 3 ≤ 3n ² + 2n cos(n) + 1

−4n ² + n + 3 · (−1) ⁿ ≤ 3n ² + 2n + 1

−4n ² + n − 3 Z twierdzenia o trzech ci¸ agach otrzymujemy

n→∞ lim a _n = lim

n→∞ b _n = lim

n→∞ c _n = − 3 4 Zadanie 4

Prosz¸e obliczyć

Z

sin ³ x cos ⁴ xdx

Rozwi¸ azanie

Stosujemy podstawienie

t = cos x, dt = − sin xdx

Z

sin ³ x cos ⁴ xdx = Z

sin ² x cos ⁴ x sin xdx = Z

(1 − cos ² x) cos ⁴ x sin xdx =

= − Z

(1 − t ² )t ⁴ dt = Z

(t ⁶ − t ⁴ )dt = cos ⁷ x

7 − cos ⁵ x 5 + C Zadanie 5

Prosz¸e obliczyć

Z 26x

(x − 2)(x ² + 6x + 10) dx Rozwi¸ azanie

Rozkładamy funkcj¸e podcałkow¸ a na sum¸e ułamków prostych:

x

x ² + 6x + 10 = A

x − 2 + Bx + c

x ² + 6x + 10 = (A + B)x ² + (6A − 2B + C)x + (10A − 2C) (x − 2)(x ² + 6x + 10)

St¸ ad







A + B = 0

6A − 2B + C = 1

10A − 2C = 0

(4)

Rozwi¸ azaniem układu jest

A = 1

13 , B = − 1

13 , C = 10 26 . Prosz¸e sprawdzić!

St¸ ad

Z x

x ² + 6x + 10 dx = 2

Z 1

x − 2 dx +

Z −2x + 10

x ² + 6x + 10 dx = c ₁ + c ₂

c ₁ = 2

Z 1

x − 2 dx = 2ln|x − 2| + E = ln(x − 2) ² + E c 2 =

Z −2x + 10

x ² + 6x + 10 dx = −

Z 2x + 6 − 16

x ² + 6x + 10 dx = −

Z 2x + 6

x ² + 6x + 10 dx+16

Z dx

(x + 3) ² + 1 =

= −ln(x ² + 6x + 10) + 16 arctan(x + 3) + F Czyli

Z 26x

x ² + 6x + 10 dx = ln(x − 2) ² − ln(x ² + 6x + 10) + 16 arctan(x + 3) + G =

= ln (x − 2) ²

x ² + 6x + 10 + 16 arctan(x + 3) + G gdzie G = E + F .

Zadanie 6

Prosz¸e napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = ctg(π · 6 ^x ) . w punkcie (−1, f (−1)).

Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział , na którym funkcja f (x) = x 3 + 6x 2 − 15x + 7 jest ściśle malej¸ aca i wypukła.

Analiza Matematyczna Egzamin Podstawowy

Zestaw B Zadanie 1

Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział , na którym funkcja f (x) = x 3 + 6x 2 − 15x + 7 jest ściśle malej¸ aca i wypukła.

Rozwi¸ azanie

Funkcja f (x) jako wielomian stopnia 3 jest ci¸ agła na prostej rzeczywistej (−∞ , ∞).

Istniej¸ a zatem ci¸ agłe pochodne funkcji do rz¸edu trzeciego wł¸ acznie określone na tym przedziale. Funkcja jest ściśle malej¸ aca i wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest układ nierówności

 f (1) (x) < 0 f (2) (x) > 0

f (1) (x) < 0 ↔ 3(x 2 + 4x − 5) < 0 ↔ 3(x + 5)(x − 1) < 0 ↔ (−5 < x < 1) f (2) (x) > 0 ↔ 3(2x + 4) > 0 ↔ (x > −2)

Z rozwi¸zania układu nierówności x ∈ (−2, 1).

Funkcja f (x) jest ściśle malej¸ aca i wypukła na przedziale (−2, 1).

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego prost¸ a y = −x + 4 i parabol¸ a y = x 2 − 4x.

Patrz wykres 2.pdf oddzielny zał¸ acznik.

Rozwi¸ azanie

Rozwi¸ azuj¸ ac układ równań

 y = −x + 4 y = x 2 − 4x

Otrzymujemy punkty wspólne prostej i paraboli (−1, 5), (4, 0).

Zauważmy że pole obszaru zawartego mi¸edzy prost¸ a i parabol¸ a można podzielić na trzy pola P 1 , P 2 , P 3 .

Pole P 1 dla x ∈ (−1, 0) zawarte jest mi¸edzy dodatni¸ a cz¸eści¸ a prostej i dodatni¸ a gał¸ezi¸ a

paraboli. St¸ ad jego wartość

|P 1 | = Z 0

−1

[(−x+4)−(x 2 −4x)]dx = Z 0

−1

(4−3x−x 2 )dx = −4(−1)−3(−1) 2 /2+(−1) 3 /3 = 13/6 Pole P 2 zawarte w zakresie 0 < x < 4 mi¸edzy prost¸ a i osi¸ a OX jest równe

|P 2 | = Z 4

0

[(−x + 4) − 0]dx = −(4) 2 /2 + 4 · 4 = 8

Pole P 3 zawarte w tym samym zakresie argumentu x mi¸edzy osi¸ a OX i ujemn¸ a gał¸ezi¸ a paraboli.

|P 3 | = Z 4

0

[0 − (x 2 − 4x)]dx = Z 4

0

(−x 2 + 4x)dx = −(4) 3 /3 + 4 · 4 2 /2 = 32/3 St¸ ad pole obszaru P zawartego mı¸edzy prost¸ a i parabol¸ a jest równe

|P | = 13

6 + 8 + 32

3 = 125

6 = 20 5 6 .

Uwaga: Zadanie można rozwi¸ azać stosuj¸ ac jeden symbol całki oznaczonej

|P | = Z 4

−1

[(−x+4)−(x 2 −4x)]dx = Z 4

−1

(4+3x−x 2 )dx = 4·4−4·(−1)+3·4 2 /2−3·(−1) 2 /2+

−4 3 /3 + (−1) 3 /3 = 125

6 = 20 5 6 Zadanie 3

Prosz¸e obliczyć granic¸e

b n = 3n 2 + 2n cos(n) + 1

−4n 2 + n + 3 · (−1) n Rozwi¸ azanie

Do obliczenia granicy wykorzystamy twierdzenie o trzech ci¸ agach.

Przypomnijmy to twierdzenie.

”Jeśli a n ≤ b n ≤ c n dla dostatecznie dużych n i ci¸ agi (a n ), (b n ) maj¸ a równe granice, to ci¸ ag b n też ma granic¸e i zachodz¸ a równości

n→∞ lim a n = lim

n→∞ b n = lim

n→∞ c n ”

Dla dostatecznie dużego n zachodzi nierówność

3n 2 − 2n + 1

−4n 2 + n + 3 ≤ 3n 2 + 2n cos(n) + 1

−4n 2 + n + 3 · (−1) n ≤ 3n 2 + 2n + 1

−4n 2 + n − 3 Z twierdzenia o trzech ci¸ agach otrzymujemy

n→∞ lim a n = lim

n→∞ b n = lim

n→∞ c n = − 3 4 Zadanie 4

Prosz¸e obliczyć

Z

sin 3 x cos 4 xdx

Rozwi¸ azanie

Stosujemy podstawienie

t = cos x, dt = − sin xdx

Z

sin 3 x cos 4 xdx = Z

sin 2 x cos 4 x sin xdx = Z

(1 − cos 2 x) cos 4 x sin xdx =

= − Z

(1 − t 2 )t 4 dt = Z

(t 6 − t 4 )dt = cos 7 x

7 − cos 5 x 5 + C Zadanie 5

Prosz¸e obliczyć

Z 26x

Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział , na którym funkcja f (x) = x ³ + 6x ² − 15x + 7 jest ściśle malej¸ aca i wypukła.

f ⁽¹⁾ (x) < 0 f ⁽²⁾ (x) > 0

f ⁽¹⁾ (x) < 0 ↔ 3(x ² + 4x − 5) < 0 ↔ 3(x + 5)(x − 1) < 0 ↔ (−5 < x < 1) f ⁽²⁾ (x) > 0 ↔ 3(2x + 4) > 0 ↔ (x > −2)

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego prost¸ a y = −x + 4 i parabol¸ a y = x ² − 4x.

y = −x + 4 y = x ² − 4x

Zauważmy że pole obszaru zawartego mi¸edzy prost¸ a i parabol¸ a można podzielić na trzy pola P ₁ , P ₂ , P ₃ .

Pole P ₁ dla x ∈ (−1, 0) zawarte jest mi¸edzy dodatni¸ a cz¸eści¸ a prostej i dodatni¸ a gał¸ezi¸ a

|P ₁ | = Z 0

[(−x+4)−(x ² −4x)]dx = Z 0

(4−3x−x ² )dx = −4(−1)−3(−1) ² /2+(−1) ³ /3 = 13/6 Pole P ₂ zawarte w zakresie 0 < x < 4 mi¸edzy prost¸ a i osi¸ a OX jest równe

|P ₂ | = Z 4

[(−x + 4) − 0]dx = −(4) ² /2 + 4 · 4 = 8

|P ₃ | = Z 4

[0 − (x ² − 4x)]dx = Z 4

(−x ² + 4x)dx = −(4) ³ /3 + 4 · 4 ² /2 = 32/3 St¸ ad pole obszaru P zawartego mı¸edzy prost¸ a i parabol¸ a jest równe

[(−x+4)−(x ² −4x)]dx = Z 4

(4+3x−x ² )dx = 4·4−4·(−1)+3·4 ² /2−3·(−1) ² /2+

−4 ³ /3 + (−1) ³ /3 = 125

b _n = 3n ² + 2n cos(n) + 1

−4n ² + n + 3 · (−1) ⁿ Rozwi¸ azanie

”Jeśli a _n ≤ b _n ≤ c _n dla dostatecznie dużych n i ci¸ agi (a _n ), (b _n ) maj¸ a równe granice, to ci¸ ag b _n też ma granic¸e i zachodz¸ a równości

n→∞ lim a _n = lim

n→∞ b _n = lim

n→∞ c _n ”

3n ² − 2n + 1

−4n ² + n + 3 ≤ 3n ² + 2n cos(n) + 1

−4n ² + n + 3 · (−1) ⁿ ≤ 3n ² + 2n + 1

−4n ² + n − 3 Z twierdzenia o trzech ci¸ agach otrzymujemy

n→∞ lim a _n = lim

n→∞ b _n = lim

n→∞ c _n = − 3 4 Zadanie 4

sin ³ x cos ⁴ xdx

sin ³ x cos ⁴ xdx = Z

sin ² x cos ⁴ x sin xdx = Z

(1 − cos ² x) cos ⁴ x sin xdx =

(1 − t ² )t ⁴ dt = Z

(t ⁶ − t ⁴ )dt = cos ⁷ x

7 − cos ⁵ x 5 + C Zadanie 5

(x − 2)(x ² + 6x + 10) dx Rozwi¸ azanie

x ² + 6x + 10 = A

x ² + 6x + 10 = (A + B)x ² + (6A − 2B + C)x + (10A − 2C) (x − 2)(x ² + 6x + 10)

x ² + 6x + 10 dx = 2

x ² + 6x + 10 dx = c ₁ + c ₂

c ₁ = 2

x − 2 dx = 2ln|x − 2| + E = ln(x − 2) ² + E c 2 =

x ² + 6x + 10 dx = −

x ² + 6x + 10 dx = −

x ² + 6x + 10 dx+16

(x + 3) ² + 1 =

= −ln(x ² + 6x + 10) + 16 arctan(x + 3) + F Czyli

x ² + 6x + 10 dx = ln(x − 2) ² − ln(x ² + 6x + 10) + 16 arctan(x + 3) + G =

= ln (x − 2) ²

x ² + 6x + 10 + 16 arctan(x + 3) + G gdzie G = E + F .

Prosz¸e napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = ctg(π · 6 ^x ) . w punkcie (−1, f (−1)).

Równanie stycznej w punkcie (x 0 , f (x ₀ ))

(x ₀ )(x − x ₀ ) + f (x ₀ ) f

(x) = ^−π6 _sin

(π6 ^ln(6)

(−1) = ^−2πln(6) ₃ , f (−1) = ctg(π/6) = √