Addendum 1
Niech u =
z−2iz+4, gdzie z ∈ C. Naszkicuj zbiór wszystkich liczb zespolonych z, dla których:
(1) liczba u jest rzeczywista;
(2) liczba u jest czysto urojona.
Rozwiazanie
Liczba zespolona u jest rzeczywista wtedy i tylko wtedy, gdy Im u = 0.
Liczba zespolona u jest czysto urojona wtedy i tylko wtedy, gdy Re u = 0 i u 6= 0.
Musimy sie zatem dowiedzie¢, jak konkretnie wyglada cze±¢
rzeczywista i urojona podanej w zadaniu liczby zespolonej u (nie wiemy tego od razu bo liczba u jest podana jako ilo- raz dwóch liczb zespolonych). Przedstawiamy u w postaci algebraicznej. Dla uproszczenia rachunków wykorzystamy zale»no±ci
z · ¯ z = |z|
2, z + w = ¯ z + ¯ w.
Uwaga: Mo»na nie korzysta¢ z powy»szych wªasno±ci i od razu podstawi¢ z = a + bi.
Zauwa»my jeszcze, »e z 6= 2i.
Mamy
u = z + 4
z − 2i = z + 4
z − 2i · z − 2i
z − 2i = (z + 4) · z − 2i
|z − 2i|
2=
= (z + 4) · (z + −2i)
|z − 2i|
2= zz + 4z + 2iz + 8i
|z − 2i|
2=
= |z|
2+ 4z + 2iz + 8i
|z − 2i|
21
2
Podstawiamy z = a + bi i otrzymujemy
u = a
2+ b
2+ 4a − 4bi + 2ai − 2b + 8i a
2+ (b − 2)
2. Stad
u = a
2+ b
2+ 4a − 2b
a
2+ (b − 2)
2+ −4b + 2a + 8 a
2+ (b − 2)
2i.
(1) Liczba zespolona u jest rzeczywista wtedy i tylko wtedy, gdy
−4b + 2a + 8 a
2+ (b − 2)
2= 0.
Stad
−4b + 2a + 8 = 0 ∧ (a 6= 0 ∨ b 6= 2), czyli
a − 2b + 4 = 0 ∧ (a 6= 0 ∨ b 6= 2).
Szukany zbiór jest prosta o równaniu b =
12a + 2 z usunietym punktem (0, 2).
(2) Liczba zepolona u jest czysto urojona wtedy i tylko wtedy, gdy
a
2+ b
2+ 4a − 2b a
2+ (b − 2)
2= 0
| {z }
(1)
∧ u 6= 0
| {z }
(2)
Warunek (1) jest równowa»ny
a
2+ b
2+ 4a − 2b = 0 ∧ (a 6= 0 ∨ b 6= 2), czyli
a
2+ b
2+ 4a − 2b = 0 ∧ (a 6= 0 ∨ b 6= 2) (a + 2)
2+ (b − 1)
2= 5 ∧ (a 6= 0 ∨ b 6= 2).
Z warunku (2)
u = z + 4 z − 2i 6= 0,
czyli z + 4 6= 0, skad z 6= −4, a zatem a 6= −4 ∨ b 6= 0.
3