• Nie Znaleziono Wyników

(2) liczba u jest czysto urojona.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "(2) liczba u jest czysto urojona."

Copied!
3
0
0

Pełen tekst

(1)

Addendum 1

Niech u =

z−2iz+4

, gdzie z ∈ C. Naszkicuj zbiór wszystkich liczb zespolonych z, dla których:

(1) liczba u jest rzeczywista;

(2) liczba u jest czysto urojona.

Rozwi azanie

Liczba zespolona u jest rzeczywista wtedy i tylko wtedy, gdy Im u = 0.

Liczba zespolona u jest czysto urojona wtedy i tylko wtedy, gdy Re u = 0 i u 6= 0.

Musimy si e zatem dowiedzie¢, jak konkretnie wygl ada cz e±¢

rzeczywista i urojona podanej w zadaniu liczby zespolonej u (nie wiemy tego od razu bo liczba u jest podana jako ilo- raz dwóch liczb zespolonych). Przedstawiamy u w postaci algebraicznej. Dla uproszczenia rachunków wykorzystamy zale»no±ci

z · ¯ z = |z|

2

, z + w = ¯ z + ¯ w.

Uwaga: Mo»na nie korzysta¢ z powy»szych wªasno±ci i od razu podstawi¢ z = a + bi.

Zauwa»my jeszcze, »e z 6= 2i.

Mamy

u = z + 4

z − 2i = z + 4

z − 2i · z − 2i

z − 2i = (z + 4) · z − 2i

|z − 2i|

2

=

= (z + 4) · (z + −2i)

|z − 2i|

2

= zz + 4z + 2iz + 8i

|z − 2i|

2

=

= |z|

2

+ 4z + 2iz + 8i

|z − 2i|

2

1

(2)

2

Podstawiamy z = a + bi i otrzymujemy

u = a

2

+ b

2

+ 4a − 4bi + 2ai − 2b + 8i a

2

+ (b − 2)

2

. St ad

u = a

2

+ b

2

+ 4a − 2b

a

2

+ (b − 2)

2

+ −4b + 2a + 8 a

2

+ (b − 2)

2

i.

(1) Liczba zespolona u jest rzeczywista wtedy i tylko wtedy, gdy

−4b + 2a + 8 a

2

+ (b − 2)

2

= 0.

St ad

−4b + 2a + 8 = 0 ∧ (a 6= 0 ∨ b 6= 2), czyli

a − 2b + 4 = 0 ∧ (a 6= 0 ∨ b 6= 2).

Szukany zbiór jest prost a o równaniu b =

12

a + 2 z usuni etym punktem (0, 2).

(2) Liczba zepolona u jest czysto urojona wtedy i tylko wtedy, gdy

a

2

+ b

2

+ 4a − 2b a

2

+ (b − 2)

2

= 0

| {z }

(1)

∧ u 6= 0

| {z }

(2)

Warunek (1) jest równowa»ny

a

2

+ b

2

+ 4a − 2b = 0 ∧ (a 6= 0 ∨ b 6= 2), czyli

a

2

+ b

2

+ 4a − 2b = 0 ∧ (a 6= 0 ∨ b 6= 2) (a + 2)

2

+ (b − 1)

2

= 5 ∧ (a 6= 0 ∨ b 6= 2).

Z warunku (2)

u = z + 4 z − 2i 6= 0,

czyli z + 4 6= 0, sk ad z 6= −4, a zatem a 6= −4 ∨ b 6= 0.

(3)

3

Szukanym zbiorem s a punkty pªaszczyzny nale» ace do okr egu o ±rodku w punkcie (−2, 1) i promieniu √

5

z wyrzuconymi punktami (0, 2) oraz (−4, 0).

Cytaty

Powiązane dokumenty

Dla dodatniej liczby naturalnej n znaleźć wzór na największą potęgę liczby pierwszej p dzielącą n!4. Rozłożyć na czynniki pierwsze

Krawędzi, które łączą wierzchołki należące do różnych kawałków, jest dokładnie n k − 1, a ponieważ poddrzewa połączone takimi krawędziami składają się z

-zna metodę obliczania, jakim ułamkiem jednej liczby jest druga liczba, -zna sposoby zamiany ułamka na procent... b)

Grecki uczony Archimedes zajmował się między innymi zależnością między obwodem okręgu a jego średnicą. Zauważył, że obwód koła jest proporcjonalny do jego średnicy,

Oblicz, jakim procentem uczniów twojej klasy są dziewczynki, a jakim chłopcy.. Jakim procentem uczniów twojej szkoły są uczniowie

Powtórzenie podstawowych wiadomości i umiejętności dotyczących obliczeń procentowych: zamiana procentu na ułamek, zamiana ułamka na procent, obliczanie procentu danej

Punkty te połączono między sobą i z wierzchołkami trójkąta nieprzecinającymi się odcinkami tak, iż ”duży” trójkąt podzielono na mniejsze trójkąty.. Udowodnij, że

, n} tak, by dla każdych trzech wierzchołków A, B, C, dla których |AB| = |AC|, liczba przy wierzchołku A była albo mniejsza, albo wi e , ksza od jednocześnie obu liczb