http://www.mat.ug.edu.pl/~mwrzosek
Teoria opcji
Zad. 1. Znajdź cenę racjonalną wypłaty X.
Zad. 2. Niech Ω = {ω1, ω2}. Inwestor uważa, ze prawdopodobieństwo wzrostu ceny akcji wynosi P ({ω1}) = 0.2, a spadku P ({ω2}) = 0.8. Akcja kosztująca teraz S0= 260 za 3 miesiące będzie miała cenę
ST(ω) =
340, gdy ω = ω1, 220, gdy ω = ω2.
1. Oblicz wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe ceny akcji w chwili T .
2. Niech stopa procentowa na depozyt 3-miesięczny wynosi r = 1%. Wyceń europejską opcję kupna z ceną wykonania K = 280 i momentem wygaśnięcia za 3 miesiące.
3. Niech stopa procentowa na depozyt 3-miesięczny wynosi r = 1%. Wyceń europejską opcję sprzedaży z ceną wykonania K = 250 i momentem wygaśnięcia za 3 miesiące.
CT = (ST − K)+, PT = (K − ST)+,
B0= 1, BT = 1 + r, r ≥ 0, S0= s > 0, ST(ω) =
Su, gdy ω = ω1, Sd, gdy ω = ω2, ϕ = (β0, α0), α0= Xu− Xd
Su− Sd , β0= XdSu− XuSd
(1 + r)(Su− Sd), Xu= X(ω1), Xd = X(ω2), VT(ϕ)(ωi) = X(ωi), i = 1, 2, Vt(ϕ) =
α0S0+ β0, gdy t = 0, α0ST + β0(1 + r), gdy t = T, Π0(X) = V0(ϕ), ϕ − portfel replikujący.
Zad. 3. Opisz postępowanie inwestora sprzedającego europejską opcję kupna i chcącego zabezpieczyć wypłatę z opcji. Co się dzieje, gdy opcja jest sprzedawana po cenie innej niż racjonalna?
Rozwiązanie:
1. W chwili t = 0 inwestor postępuje następująco:
Działanie Rozliczenie
Sprzedaje jedną opcję C0
Kupuje α sztuk akcji −αS0
Tworzy depozyt bankowy (ew. bierze kredyt) −β0.
Na mocy definicji racjonalnej ceny mamy C0 − αS0 − β0 = 0. Zatem koszt początkowy takiego postępowania inwestora sprzedającego opcję jest równy zeru.
2. W chwili t = T inwestor postępuje następująco:
Działanie Rozliczenie
Realizuje opcję −CT
Sprzedaje akcje αST
Podejmuje pieniądze z banku (ew. zwraca dług) (1 + r)β0.
Rozliczenie końcowe −CT + αST + (1 + r)β0 = 0, czyli do tej transakcji nikt nie dołożył. Cena racjonalna wypłaty jest do zaakceptowania dla obu stron.
3. Gdyby opcja nie była sprzedawana po cenie C0, a po cenie C 6= C0, to:
i. Gdy C0 < C, sprzedający ma pewny zysk C − C0> 0 w chwili 0, gdyż wystarczy wydać C0, by zabezpieczyć wypłatę X dla kupującego, resztę sprzedający zachowuje dla siebie.
ii. Gdy C0 > C (koszt zabezpieczenia jest większy niż cena C), to kupujący ma pewny zysk C0− C > 0 w chwili 0, gdyż aby otrzymać wypłatę X musiałby wydać C0, a kupił ja za C.
W obu przypadkach, gdy C 6= C0 (tj. cena rożni się od ceny racjonalnej), znajdujemy portfel dający zysk bez żadnego ryzyka i zajmując odpowiednią pozycję mamy dodatni dochód.
1
Zad. 4. Znajdź przykład rynku i wypłaty X > 0, której cena racjonalna jest ujemna, tj. Π0(X) < 0.
Rozwiązanie:
1. Skorzystamy ze wzoru z zadania 1.
2. Wiemy, że Xu> 0, Xd> 0, r ≥ 0, Su> Sd.
3. Aby Π0(X) < 0, to musi być (1 + r)S0< Sd lub Su< S0(1 + r).
4. Niech zatem S0= 10, r = 0, 1, Sd= 12, Su= 13, Xd= 5, Xu= 15. Wtedy Π0(X) = −5011. 5. Na tym rynku możemy osiągnąć zysk bez ryzyka pożyczając 10 jednostek z banku i kupując za
tę kwotę akcję. Wtedy w chwili T sprzedając akcję otrzymujemy co najmniej 12, a do banku musimy zwrócić 11. W tej sytuacji można by osiągnąć zysk bez ryzyka za pomocą odpowiedniej strategii.
Zad. 5. Cena początkowa akcji wynosi 20 zł a oprocentowanie depozytu (kredytu) po 6 miesiącach wynosi r = 5%. Wiemy, że akcja po 6 miesiącach może kosztować 25 zł z prawdopodobieństwem 1/3 i 18 zł z prawdopodobieństwem 2/3. Oblicz racjonalną ceną europejskiej opcji sprzedaży z momentem wygaśnięcia 6 miesięcy i ceną wykonania 22 zł, znajdując strategię zabezpieczającą. Opisz, jakie działania na początku i na końcu okresu musi podjąć wystawca opcji sprzedaży, aby zabezpieczyć wypłatę.
Zad. 6. Cena początkowa akcji wynosi 170 zł a oprocentowanie depozytu (kredytu) po 4 miesiącach wynosi r = 2%. Wiemy, że akcja po 4 miesiącach może kosztować 220 zł z prawdopodobieństwem 1/2 i 160 zł z prawdopodobieństwem 1/2. Oblicz racjonalną ceną europejskiej opcji kupna z momentem wygaśnięcia 4 miesiące i ceną wykonania 180 zł, znajdując strategię zabezpieczającą.
Zad. 7. Cena początkowa akcji wynosi 70 zł a oprocentowanie depozytu (kredytu) po 3 miesiącach wynosi r = 3%. Wiemy, że akcja po 3 miesiącach może kosztować 65 zł z prawdopodobieństwem 1/5 i 76 zł z prawdopodobieństwem 4/5. Oblicz racjonalną ceną europejskiej opcji kupna i europejskiej opcji sprzedaży z momentem wygaśnięcia 3 miesiące i ceną wykonania 73 zł, znajdując strategię zabezpieczającą.
2