Zbiór zadań

Zbiór zadań

§1. Równanie o rozdzielonych zmiennych

1. Wyznaczyć wszystkie składowe zbiorów ∆_γ dla podanych wartości γ:

a) ∆_γ = {x ∈ R : x²< γ}, γ > 0, b) ∆γ = {x ∈ R : x²> γ}, γ ∈ R, c) ∆_γ = {x ∈ R : e^x> γ}, γ ∈ R, d) ∆γ = {x ∈ (0, +∞) : ¹_x > γ}, γ ∈ R, e) ∆γ = {x ∈ (−∞, 0) : ¹_x < γ}, γ ∈ R, f ) ∆_γ = {x ∈ (0, +∞) : ln x > γ}, γ ∈ R,

g) ∆_γ = {x ∈ (0, +∞) : √

x > γ}, γ ∈ R, h) ∆γ = {x ∈ R : arctg x < γ}, γ > −^π₂,

i) ∆_γ = {x ∈ (0, π) : sin x > γ}, γ < 1, j) ∆γ = {x ∈ R : sin x > γ}, γ < 1,

k) ∆γ = {x ∈ (−^π₂,^π₂) : arcsin x < γ}, γ > −1.

2. Wyznaczyć wszystkie składowe zbioru:

∆_γ = {x ∈ R : 2x²− x⁴+ γ > 0} dla γ > −1.

3. Wyznaczyć ogół rozwiązań integralnych równania w zadanym prostokącie T : a) y⁰ = 2x(1 + y²), T = R²,

b) y⁰ = (1 + |y|)², T = R², c) y⁰ = x²e^−y, T = R², d) y⁰ = e^−xe^y, T = R²,

e) y⁰ = _cos¹2xe^y, T = (−^π₂,^π₂) × R,

f ) y⁰ = _1−x¹2 cos²y, T = (−1, 1) × (−^π₂,^π₂), g) y⁰ = _1−x¹2 cos²y, T = (1, +∞) × (^π₂,³₂π), h) y⁰ =

√

1−y²

√

1−x², T = (−1, 1) × (−1, 1).

4. Zbadać która z funkcji

ϕ₁(x) = −1 + 1

1 − e^x, x ∈ (0, +∞), czy

ϕ2(x) = −1 + 1

1 − e^x, x ∈ (−∞, 0) jest rozwiązaniem równania

y⁰= e^x(y + 1)² w prostokącie T = {(x, y) ∈ R² : x ∈ R, y ∈ (−1, +∞)}.

5. Zbadać która z poniższych funkcji jest rozwiązaniem integralnym równania y⁰ = 2

x · y w prostokącie T = {(x, y) ∈ R² : x ∈ (0, +∞), y ∈ R}:

Zbiór zadań

(a) ϕ1(x) = 0, x ∈ R, (b) ϕ₂(x) = x², x ∈ (0, 1),

(c) ϕ3(x) = −2x², x ∈ (0, +∞), (d) ϕ₄(x) = x³, x ∈ (0, +∞).

6. Wyznaczyć ogół rozwiązań integralnych równania w zadanym prostokącie T : a) y⁰ = e^x(y − 1)², T = R²,

b) y⁰ = _1+x^2x2e^y−1

e^y , T = R²,

c) y⁰ = _3+x^2x2y ln y, T = R × (0, +∞), d) y⁰ = _x¹2y³, T = R²,

e) y⁰ = _x2^2x+1(1 − e^y), T = R², f ) y⁰ = ^√1_x(√

y)³, T = (0, +∞) × h0, +∞), g) y⁰ = e^−x(y²− 1), T = R²,

h) y⁰ = ^√ey_xe⁻¹_y, T = (0, +∞) × R.

7. Wyznaczyć wszystkie rozwiązania integralne następujących równań w zadanym prostokącie T , przechodzące przez punkt (ξ, η):

a) y⁰ = 2x(1 + y²), T = R², (ξ, η) = (0, 0), b) y⁰ = x(1 + y²), T = R², (ξ, η) = (

q5 2π, 0),

c) y⁰ = ^√_1−x¹ (y + 2)², T = (−∞, 1) × R, (ξ, η) = (0, 0), d) y⁰ = ^√1

1−x(y + 2)², T = (−∞, 1) × R, (ξ, η) = (0, −3), e) y⁰ = ^√_1−x¹ (y + 2)², T = (−∞, 1) × R, (ξ, η) = (0, −2),

§2. Równanie jednorodne

1. Wyznaczyć ogół rozwiązań integralnych równania w zadanych obszarach D⁺ i D⁻: a) y⁰ = −¹₂ ^y_x
3

+_x^y, D⁻= {(x, y) ∈ R²: x < 0, y ∈ R}, D⁺= {(x, y) ∈ R² : x > 0, y ∈ R}, b) y⁰ = 2 −^y_x, D⁻= {(x, y) ∈ R² : x < 0, y ∈ R}, D⁺ = {(x, y) ∈ R²: x > 0, y ∈ R}, c) y⁰ = ^y_x 1 + ln^y_x
, D⁻= {(x, y) ∈ R² : x < 0, y < 0}, D⁺= {(x, y) ∈ R² : x > 0, y > 0}, d) y⁰ = ^y_xln^y_x, D⁻ = {(x, y) ∈ R² : x < 0, y < 0}, D⁺= {(x, y) ∈ R²: x > 0, y > 0}, e) y⁰ = ^y_x− 2q

y

x, D⁻ = {(x, y) ∈ R²: x < 0, y < 0}, D⁺= {(x, y) ∈ R²: x > 0, y > 0}, f ) y⁰ = ^y_x+ tg^y_x, D⁻= {(x, y) ∈ R² : x < 0, −^π₂ < ^y_x < ^π₂},

D⁺ = {(x, y) ∈ R² : x > 0, −^π₂ < _x^y < ^π₂},

g) y⁰ = ^y_x+ tg^y_x, D⁻= {(x, y) ∈ R² : x < 0,^π₂ < ^y_x < ³₂π}, D⁺ = {(x, y) ∈ R² : x > 0,^π₂ < ^y_x < ³₂π},

h) y⁰ = ^y_x+ cos^{2 y}_x, D⁻= {(x, y) ∈ R²: x < 0, −^π₂ < ^y_x < ^π₂}, D⁺ = {(x, y) ∈ R² : x > 0, −^π₂ < _x^y < ^π₂}.

2. Wyznaczyć wszystkie rozwiązania integralne podanego równania przechodzące przez zadany punkt P :

a) y⁰ = ^y_x+ tg^y_x, P = (1,³₄π), b) y⁰ = _x^y
2

− 2^y_x+ 2, P = (−2, −6), c) y⁰ = _x^y
2

− 2^y_x+ 2, P = (−2, −4),

d) y⁰ = ^y_x + e^−yx, P = (1, 1), e) y⁰ = ^y_x + e^−yx, P = (−1, 1), f ) y⁰ = ^3x−y_x+y , P = (0, 1).

2

Zbiór zadań

3. Korzystając z teorii równania jednorodnego, wyznaczyć ogół rozwiązań integralnych równania w zadanym zbiorze G:

a) y⁰ = ^3x−y_x+y , G = {(x, y) ∈ R² : y > −x},

b) xy⁰ = y −px(y + 2x), G = {(x, y) ∈ R² : x(y + 2x) > 0}, c) xy⁰ = y − 2√

xy, G = {(x, y) ∈ R² : xy > 0}, d) y⁰ = ^x+y_x−y, G = {(x, y) ∈ R² : y 6= x},

e) y⁰ = ^x−y_x+y, G = {(x, y) ∈ R² : y 6= −x}.

§3. Równanie liniowe

1. Wyznaczyć ogół rozwiązań integralnych równania liniowego jednorodnego w zbiorze G = (p, q)×R:

a) y⁰ = _x2^2x+1y, (p, q) = R, b) y⁰ = (ctg x)y, (p, q) = (0, π),

c) y⁰ = (ctg x)y, (p, q) = (−π, 0), d) y⁰ = _x2¹−1y, (p, q) = (−1, 1).

2. Wyznaczyć ogół rozwiązań integralnych równania liniowego w zbiorze G = (p, q) × R:

a) y⁰ = ¹_xy + 2 ln x, (p, q) = (0, +∞), b) y⁰ = (cos x)y + sin 2x, (p, q) = R, c) y⁰ = −2y + 3e^x, (p, q) = R, d) y⁰ = y + x²+ 3, (p, q) = R, e) y⁰ = −y + xe^−x, (p, q) = R,

f ) y⁰ = −2xy + 2x²e^−x2, (p, q) = R, g) y⁰ = _x2^x−1y + 2x, (p, q) = (−1, 1), h) y⁰ = −xy + x³, (p, q) = R,

i) y⁰ = ^y_x +_{sin x}^x , (p, q) = (0, π),

j) y⁰ = _x+1^y + 3x + 3, (p, q) = (−1, +∞).

§4. Równanie Bernoulliego

1. Wyznaczyć ogół rozwiązań integralnych równania Bernoulliego w podanym zbiorze G:

a) y⁰ = xy − e^−x2y³, G = R × (0, +∞), b) y⁰ = xy − e^−x2y³, G = R × (−∞, 0), c) y⁰ = −y − xy², G = R × (0, +∞), d) y⁰ = −y − xy², G = R × (−∞, 0), e) y⁰ = ^4y_x + x√

y, G = (0, +∞) × (0, +∞), f ) y⁰ = _1−x^x2y + _1−x^x2y², G = (−1, 1) × (0, +∞),

g) y⁰ = _1−x^x2y − _1−x^x2y², G = (−1, 1) × (0, +∞), h) y⁰ = _1−x^x2y + ^√x

1−x²y², G = (−1, 1) × (0, +∞), i) y⁰ = _1−x^x2y + ^√x

1−x²y², G = (−1, 1) × (−∞, 0), j) y⁰ = 3xy + xy², G = R × (0, +∞).

k) y⁰ = −_2x^y +¹_y, G = (0, +∞) × (0, +∞), l) y⁰ = −_2x^y +¹_y, G = (0, +∞) × (−∞, 0), m) y⁰ = ^y_x+√³

y, G = (0, +∞) × (0, +∞), n) y⁰ = ^y_x+√³

y, G = (0, +∞) × (−∞, 0), o) y⁰ = ^y_x+p³

y², G = (0, +∞) × (0, +∞),

3

Zbiór zadań

p) y⁰ = ^y_x+p³

y², G = (0, +∞) × (−∞, 0).

§5. Równanie zupełne

1. Wyznaczyć funkcję pierwotną podanego równania zupełnego w danym prostokącie T : a) _x2^−y+y² +_x2+y^{x 2}y⁰= 0, T = (0, +∞) × (0, +∞),

b) _x2^−y+y² +_x2+y^{x 2}y⁰= 0, T = (−∞, 0) × (0, +∞), c) _x2^−y+y² +_x2+y^{x 2}y⁰= 0, T = (0, +∞) × (−∞, 0), d) _x2^−y+y² +_x2+y^{x 2}y⁰= 0, T = (−∞, 0) × (−∞, 0), e) e^−y+ (1 − xe^−y)y⁰ = 0, T = R²,

f ) 2x cos²y + (2y − x²sin 2y)y⁰ = 0, T = R², g) 3xy²− x²+ (3x²y − 6y²− 1)y⁰ = 0, T = R²,

h) _x¹ −_(x−y)^y2 ₂ + _(x−y)^x2 2 −_y¹
y⁰ = 0, T = (0, +∞) × (0, +∞), i) √ ^x

x²+y² +¹_x+_y¹ + √ ^y

x²+y² + ¹_y −_y^x₂
y⁰ = 0, T = (0, +∞) × (0, +∞).

2. Wyznaczyć ogół rozwiązań integralnych rownania zupełnego w zadanym prostokącie T : a) x + yy⁰ = 0, T = R²,

b) x − yy⁰ = 0, T = R², c) y + xy⁰ = 0, T = R²,

d) ¹_y + 1 − _y^x2y⁰ = 0, T = R × (0, +∞), e) ^{ln y}_x2 +1−_xy¹ y⁰ = 0, T = (0, +∞)×(0, +∞),

f ) y²e^2x+ x + ye^2xy⁰= 0, T = R², g) x + e^xe^y+ e^xe^yy⁰= 0, T = R², h) 2x arctg y +_1+y^x22y⁰ = 0, T = R²,

i) 1 − y²e^−2x+ ye^−2xy⁰ = 0, T = R², j) ^2x(1−e_(1+x2)^y2)+_1+x^ey2y⁰ = 0, T = R².

§6. Czynnik całkujący

1. Dobierając odpowiedni czynnik całkujący, wyznaczyć ogół rozwiązań integralnych podanego rów- nania w prostokącie T = R²:

a) x²− 3y²+ 2xyy⁰= 0, b) x⁴+ y²− xyy⁰ = 0, c) 2xy + (y²− x²)y⁰ = 0,

d) xy²− y + xy⁰ = 0, e) x²+ y − xy⁰= 0, f ) e^2x− 2y²+ 2yy⁰= 0.

2. Wyznaczyć ogół rozwiązań integralnych równania w podanym prostokącie:

a) ln y + x²−^x_yy⁰ = 0, T = R × (0, +∞),

b) 2x²ln x − 2y²+ 2xyy⁰ = 0, T = (0, +∞) × R, c) 2xy + 2 + x²− _y¹₂
y⁰ = 0, T = R × (0, +∞), d) xe^−y− (1 + x²e^−y)y⁰= 0, T = R²,

e) sin x + e^y+ cos x · y⁰ = 0, T = (−^π₂,^π₂) × R.

4