• Nie Znaleziono Wyników

Półgrupy operatorów ograniczonych (notatki do wykładu) Niech X będzie przestrzenią Banacha

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Półgrupy operatorów ograniczonych (notatki do wykładu) Niech X będzie przestrzenią Banacha"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

1. Półgrupy operatorów ograniczonych (notatki do wykładu)

Niech X będzie przestrzenią Banacha.

1. Odwzorowanie wykładnicze exp : B(X) → B(X) definiujemy znanym szeregiem potęgowym exp(A) = eA=

X

n=0

An n!. 2. Jeśli operatory A, B ∈ B(x) komutują, to eA+B = eAeB. 3. Dla każdego n ­ 2

n

X

k=0

Ak k!

 I +A

n

n

¬ kA2k 2n ekAk.

4. Jeśli F jest odwzorowaniem ciągłym o wartościach w przestrzeni Banacha, to d

dt Z t

0

F (s) ds = F (t).

Jeśli F jest klasy C1, to Z b

a

d

dsF (s) ds = F (b) − F (a).

5. Niech będzie dany ciągły homomorfizm

R 3 t → T (t) ∈ B(X), T (t + s) = T (t)T (s).

Wówczas T (t) = etA, gdzie A ∈ B(X) jest zdefiniowany jako A = lim

t→0t−1T (t) − I.

Co więcej, T (t) jest jedynym rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego d

dtX(t) = AX(t), X(0) = I.

Dowód jednoznaczności: Ustalmy t ∈ R i połóżmy Z(s) = e(t−s)AX(s). Bezpośrednim ra- chunkiem sprawdzamy, że Z0(s) = 0 dla s ∈ R, więc

Z(t) − Z(0) = Z t

0

Z0(s) ds = 0.

Zatem X(t) = Z(t) = Z(0) = etA. 

6. Jeśli T (t) = etA, to rezolwenta operatora A wyraża się dla Re λ > kAk wzorem (λ − A)−1=

Z 0

e−tλT (t) dt.

7. Półgrupa operatorów splotu z jądrem Gaussa rozważana na Lp(Rn), gdzie 1 < p < ∞ ma postać

Ptf (x) = Z

Rn

f (x − y)pt(y) dy, pt(x) = t−n/2e−πt−1|x|2. Ta półgrupa operatorów nie jest ciągła w normie. Mamy bowiem

kPtpt− ptk = kpt ? pt− ptkp ­ t−n/2(1/p−1)kp2− p1kp= kp2− p1kp kp1kp kptkp, co oznacza, że kPt− Ik ­ A, gdzie A = kpkp2−p1kp

1kp > 0.

Cytaty

Powiązane dokumenty

pierwsze twierdzenie Weierstrassa mówi, »e funkcja ci¡gªa w przedziale domkni¦tym i ograni- czonym jest ograniczona, a tzw.. drugie twierdzenie Weiertrassa mówi, »e funkcja ci¡gªa

Najprościej rzecz ujmując, dowód sprowadza się do wzoru na całkowanie przez podstawienie i bazuje na właściwej parametryzacji zbioru macierzy symetrycznych przy użyciu ich

Wobec tego, ¯ A jest generatorem infinitezymalnym mocno ciągłej półgrupy kontrakcji

Wprowadzamy także pojęcie wymiaru przestrzeni afinicznej – jest on równy wymiarowi modelowej przestrzeni wektorowej.. W skończonym wymiarze struk- tura afiniczna w

Niech R będzie relacją równoważności określoną nie- pustym

Zdanie będące zaprzeczeniem jest prawdziwe (spełnione), kiedy zdanie zaprzeczane jest fałszywe (nie jest spełnione)..

Jeśli potraktujemy ten podzbiór jako równanie na linię świata w M, to dowiemy się z niego, że zmiana położenia jest wzdłuż v (długość wektora stycznego dowolna) i zmiana v

Wniosek 2 Ze wzoru na pochodną funkcji zadanej w sposób uwikłany wynika, że jeśli F jest gładka, to także odpowiednia funkcja zadana w sposób uwikłany jest gładka, a co za tym